高數(shù)同濟(jì)六版課件D93全微分

高數(shù)同濟(jì)六版課件d93全微分全微分概念及性質(zhì)多元函數(shù)微分法全微分在幾何中的應(yīng)用全微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用數(shù)值計(jì)算與誤差估計(jì)總結(jié)與展望contents目錄01全微分概念及性質(zhì)全微分定義與幾何意義全微分定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)P的全增量Δz可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B是與Δx和Δy無(wú)關(guān)的常數(shù)，ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P的全微分，記作dz，即dz=AΔx+BΔy。幾何意義全微分描述了函數(shù)在一點(diǎn)附近的變化率，其幾何意義是切平面上的增量。當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的全微分存在時(shí)，該點(diǎn)處的切平面與函數(shù)圖像近似重合。函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)可微分的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)與fy(x0,y0)存在，且函數(shù)在該點(diǎn)的全增量Δz可以表示為Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ)?？晌l件如果函數(shù)在某點(diǎn)可微分，那么該函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在。但是，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定是可微分的充分條件。必要條件可微條件與必要條件全微分是線性運(yùn)算，即d(k*f+g)=k*df+dg，其中k是常數(shù)，f和g是可微函數(shù)。線性性全微分符合微分法則，包括乘積法則、鏈?zhǔn)椒▌t等。微分法則在同一坐標(biāo)系下，全微分與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)。不變性全微分基本性質(zhì)VS如果函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么該函數(shù)在該點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸方向的變化率存在。偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在并不保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，但函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在則可以保證函數(shù)在該點(diǎn)可微分。同時(shí)，如果函數(shù)在某點(diǎn)可微分，那么該函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)存在性偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)性關(guān)系02多元函數(shù)微分法鏈?zhǔn)椒▌t若$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，則$z$對(duì)$x$的偏導(dǎo)數(shù)$frac{partialz}{partialx}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialx}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialx}$。全微分形式不變性無(wú)論中間變量如何選取，全微分的形式保持不變。復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)連續(xù)應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求得。復(fù)合函數(shù)微分法則若由方程$F(x,y)=0$能確定$y$是$x$的函數(shù)，則$y$對(duì)$x$的導(dǎo)數(shù)$frac{dy}{dx}=-frac{F_x}{F_y}$。一個(gè)方程的情形對(duì)于方程組$begin{cases}F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0end{cases}$，若能確定$u,v$是$x,y$的函數(shù)，則可通過(guò)解方程組求得$u,v$對(duì)$x,y$的偏導(dǎo)數(shù)。方程組的情形隱函數(shù)微分法則若函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的某鄰域內(nèi)有定義，且在該點(diǎn)取得極大值或極小值，則稱$(x_0,y_0)$為$f(x,y)$的極值點(diǎn)。若函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$可微，且在$(x_0,y_0)$取得極值，則$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。記$A=f_{xx}(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}(x_0,y_0)$，$C=f_{yy}(x_0,y_0)$，則當(dāng)$AC-B^2>0$時(shí)，若$A>0$，則$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取得極小值；若$A<0$，則$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取得極大值。無(wú)條件極值一階必要條件二階充分條件多元函數(shù)極值問(wèn)題要點(diǎn)三條件極值求函數(shù)$z=f(x,y)$在條件$varphi(x,y)=0$下的極值問(wèn)題。要點(diǎn)一要點(diǎn)二拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造函數(shù)$L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambdavarphi(x,y)$，將條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題，即求$L(x,y,lambda)$的極值點(diǎn)。必要條件若函數(shù)$z=f(x,y)$在條件$varphi(x,y)=0$下在點(diǎn)$(x_0,y_0)$取得極值，且$varphi_y(x_0,y_0)neq0$，則存在常數(shù)$lambda$，使得$begin{cases}f_x(x_0,y_0)+lambdavarphi_x(x_0,y_0)=0f_y(x_0,y_0)+lambdavarphi_y(x_0,y_0)=0varphi(x_0,y_0)=0end{cases}$成立。要點(diǎn)三條件極值與拉格朗日乘數(shù)法03全微分在幾何中的應(yīng)用

空間曲線切線與法平面方程空間曲線的一般方程了解空間曲線的一般表示方法，如參數(shù)方程、向量方程等。切線方程掌握求空間曲線在某一點(diǎn)的切線方程的方法，理解切線的幾何意義。法平面方程了解法平面的概念，掌握求法平面方程的方法，理解法平面與切線的關(guān)系?？臻g曲面的一般方程了解空間曲面的一般表示方法，如顯式方程、隱式方程等。切平面方程掌握求空間曲面在某一點(diǎn)的切平面方程的方法，理解切平面的幾何意義。法線方程了解法線的概念，掌握求法線方程的方法，理解法線與切平面的關(guān)系?？臻g曲面切平面與法線方程梯度的概念與性質(zhì)了解梯度的定義、性質(zhì)及其幾何意義，掌握求梯度的方法。方向?qū)?shù)理解方向?qū)?shù)的概念，掌握求方向?qū)?shù)的方法，了解方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系。最大變化率了解最大變化率的概念，掌握求最大變化率的方法，理解最大變化率與方向?qū)?shù)的聯(lián)系。梯度、方向?qū)?shù)與最大變化率等高線圖掌握繪制等高線圖的方法，理解等高線圖在表示多元函數(shù)圖像中的作用。透視圖與立體圖了解透視圖與立體圖的概念，掌握繪制透視圖與立體圖的方法，以便更直觀地展示多元函數(shù)的圖像。多元函數(shù)圖像的繪制方法了解繪制多元函數(shù)圖像的基本步驟和技巧，如選擇適當(dāng)?shù)囊暯?、使用顏色區(qū)分不同高度等。多元函數(shù)圖像繪制技巧04全微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用邊際分析研究經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)所引起的其他變量的邊際變化，常用于分析成本、收益、效用等。彈性分析研究一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度，即因變量變化的百分比與自變量變化的百分比之比。邊際分析與彈性分析概念介紹消費(fèi)者在購(gòu)買一定數(shù)量的某種商品時(shí)愿意支付的最高價(jià)格與這些商品的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格之間的差額。生產(chǎn)者在提供一定數(shù)量的某種商品時(shí)實(shí)際接受的價(jià)格與愿意接受的最低價(jià)格之間的差額。消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余計(jì)算生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余價(jià)格彈性與收入彈性估計(jì)商品價(jià)格變動(dòng)所引起的該商品需求量的變動(dòng)率，用于衡量需求對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)程度。價(jià)格彈性消費(fèi)者收入變動(dòng)所引起的該商品需求量的變動(dòng)率，用于衡量需求對(duì)收入變動(dòng)的反應(yīng)程度。收入彈性在生產(chǎn)過(guò)程中，如何調(diào)整生產(chǎn)要素的投入量，使得在產(chǎn)出一定的情況下，成本達(dá)到最小。生產(chǎn)成本最小化利潤(rùn)最大化效用最大化在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，企業(yè)如何確定產(chǎn)量和價(jià)格，以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。消費(fèi)者在有限的收入下，如何選擇商品組合，使得自己的效用達(dá)到最大。030201最優(yōu)化問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用05數(shù)值計(jì)算與誤差估計(jì)數(shù)值計(jì)算的定義與特點(diǎn)01數(shù)值計(jì)算是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法，通過(guò)數(shù)值近似和迭代過(guò)程來(lái)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)值計(jì)算方法分類02包括直接法和迭代法兩大類，其中直接法如高斯消元法、矩陣求逆等，迭代法如雅可比迭代、高斯-賽德爾迭代等。數(shù)值計(jì)算的應(yīng)用領(lǐng)域03廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)分析等領(lǐng)域。數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介誤差是指數(shù)值計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值之間的差異，可分為截?cái)嗾`差、舍入誤差和傳播誤差等。誤差的定義與分類主要來(lái)源于數(shù)學(xué)模型、數(shù)值方法和計(jì)算機(jī)硬件等方面。誤差的來(lái)源包括選擇合適的數(shù)值方法、提高計(jì)算精度、進(jìn)行誤差分析和估計(jì)等。減小誤差的方法誤差來(lái)源及分類討論迭代法求解非線性方程組迭代法的基本思想通過(guò)構(gòu)造一個(gè)迭代序列，逐步逼近非線性方程組的解。常見的迭代法包括簡(jiǎn)單迭代法、雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。迭代法的收斂性判斷根據(jù)迭代矩陣的譜半徑或迭代序列的收斂速度來(lái)判斷迭代法是否收斂。牛頓迭代法的基本思想通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以非線性方程組的解為根的線性方程組，然后用迭代法求解該線性方程組，從而逼近非線性方程組的解。牛頓迭代法的步驟首先給出初始近似值，然后計(jì)算函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，構(gòu)造線性方程組并求解，得到新的近似值，重復(fù)以上步驟直至滿足精度要求。牛頓迭代法的收斂性判斷根據(jù)牛頓迭代法的局部收斂性定理，當(dāng)初始近似值足夠接近真實(shí)解時(shí)，牛頓迭代法具有平方收斂速度。此外，還可以通過(guò)判斷迭代矩陣的譜半徑或構(gòu)造收斂性因子來(lái)判斷牛頓迭代法的收斂性。牛頓迭代法及其收斂性判斷06總結(jié)與展望課程重點(diǎn)內(nèi)容回顧利用全微分，我們可以在已知函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，近似計(jì)算出函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化量。全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分是多元函數(shù)微分學(xué)中的重要概念，它表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的變化量可以近似地用一個(gè)線性函數(shù)來(lái)表示。幾何上，全微分表示了切平面與函數(shù)圖像的切近程度。全微分的定義與幾何意義全微分的計(jì)算主要依賴于偏導(dǎo)數(shù)，通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分，最后相加即可得到全微分。全微分的計(jì)算法則難點(diǎn)問(wèn)題剖析及解決思路偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)，而全微分則表示函數(shù)對(duì)所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)之和。理解這一關(guān)系是全微分計(jì)算的關(guān)鍵。復(fù)合函數(shù)的全微分計(jì)算對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需要先求出中間變量的偏導(dǎo)數(shù)，再代入全微分的計(jì)算公式中進(jìn)行計(jì)算。隱函數(shù)的全微分計(jì)算對(duì)于隱函數(shù)，需要先求出隱函數(shù)對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，再利用全微分的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系理解多元函數(shù)的泰勒公式泰勒公式是多元函數(shù)微分學(xué)中的重要工具，它可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)附近的值。方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)沿某一方向的變化率，而梯度則表示函數(shù)在該點(diǎn)的最大變化率方向。了解這些概念有助于深入理解全微分的幾何意義。微分中值定理與推廣微分中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，它揭示了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。了解這些定理及