2020年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2020年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把你認(rèn)為符合題目要求的選項(xiàng)填涂在答題卡上相應(yīng)題號(hào)下的方框里）1．（3分）﹣2020的倒數(shù)是（）A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a(chǎn)2+a2＝a43．（3分）如圖，將直尺與三角尺疊放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度數(shù)為（）A．62° B．56° C．28° D．72°4．（3分）一組數(shù)據(jù)7，8，10，12，13的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．7、10 B．9、9 C．10、10 D．12、115．（3分）我國(guó)汽車(chē)工業(yè)迅速發(fā)展，國(guó)產(chǎn)汽車(chē)技術(shù)成熟，下列汽車(chē)圖標(biāo)是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．6．（3分）2020年中央財(cái)政下達(dá)義務(wù)教育補(bǔ)助經(jīng)費(fèi)1695.9億元，比上年增長(zhǎng)8.3%．其中1695.9億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．16.959×1010元 B．1695.9×108元 C．1.6959×1010元 D．1.6959×1011元7．（3分）正多邊形的一個(gè)外角為60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1＝L?cosα，阻力臂L2＝l?cosβ，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）A．越來(lái)越小 B．不變 C．越來(lái)越大 D．無(wú)法確定9．（3分）如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）10．（3分）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（）A．135 B．153 C．170 D．18911．（3分）函數(shù)的零點(diǎn)是指使函數(shù)值等于零的自變量的值，則下列函數(shù)中存在零點(diǎn)的是（）A．y＝x2+x+2 B．y＝+1 C．y＝x+ D．y＝|x|﹣112．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，且m＜n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝．14．（3分）口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)量和材料都相同的兩種顏色的球，其中紅色球3個(gè)，白色球2個(gè)，從中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）若＝＝（a≠c），則＝．16．（3分）如圖，公路彎道標(biāo)志表示圓弧道路所在圓的半徑為m（米），某車(chē)在標(biāo)有R＝300處的彎道上從點(diǎn)A行駛了100π米到達(dá)點(diǎn)B，則線段AB＝米．17．（3分）如圖，四邊形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，則將它以AD為軸旋轉(zhuǎn)180°后所得分別以AB、BD為母線的上下兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之比為．18．（3分）由4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a﹣b）2與4個(gè)直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a2+b2＝c2，還可以用來(lái)證明結(jié)論：若a＞0、b＞0且a2+b2為定值，則當(dāng)ab時(shí)，ab取得最大值．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計(jì)算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．20．（6分）先化簡(jiǎn)（﹣）÷，然后從﹣3，0，1，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．四．解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）我市開(kāi)展“溫馨家園，創(chuàng)文同行”活動(dòng)，某初中學(xué)校倡議學(xué)生利用雙休日進(jìn)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，為了了解同學(xué)們的勞動(dòng)情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的勞動(dòng)時(shí)間t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，將所得數(shù)據(jù)繪制成了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）本次調(diào)查參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共人，a＝．（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）扇形圖中“0≤t≤0.5”部分的圓心角是度．22．（8分）如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國(guó)企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”．該橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端E點(diǎn)距地面5m，從E點(diǎn)處測(cè)得D點(diǎn)俯角為30°，斜面ED長(zhǎng)為4m，水平面DC長(zhǎng)為2m，斜面BC的坡度為1：4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m，≈1.41，≈1.73）．五．解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）為了預(yù)防新冠肺炎疫情的發(fā)生，學(xué)校免費(fèi)為師生提供防疫物品．某校花7200元購(gòu)進(jìn)洗手液與84消毒液共400瓶，已知洗手液的價(jià)格是25元/瓶，84消毒液的價(jià)格是15元/瓶．求：（1）該校購(gòu)進(jìn)洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若購(gòu)買(mǎi)洗手液和84消毒液共150瓶，總費(fèi)用不超過(guò)2500元，請(qǐng)問(wèn)最多能購(gòu)買(mǎi)洗手液多少瓶？24．（9分）如圖，?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分別在邊BC、AD上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，連接EF、AE、CF、DE．（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求證：AE⊥DE．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長(zhǎng)；（3）請(qǐng)用線段AB、BE表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．26．（10分）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣3＜m＜0時(shí)，試確定m的值，使得△PAC的面積最大；（3）拋物線上是否存在不同于點(diǎn)B的點(diǎn)D，滿足DA2﹣DC2＝6，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2020年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把你認(rèn)為符合題目要求的選項(xiàng)填涂在答題卡上相應(yīng)題號(hào)下的方框里）1．（3分）﹣2020的倒數(shù)是（）A．﹣2020 B．2020 C． D．﹣【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．依據(jù)倒數(shù)的定義回答即可．【解答】解：﹣2020的倒數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是倒數(shù)的定義，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a+b）2＝a2+b2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a(chǎn)2+a2＝a4【分析】利用同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則和完全平方公式分別化簡(jiǎn)求出答案即可判斷．【解答】解：A、a2?a3＝a5，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、a2+a2＝2a2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的運(yùn)算．正確掌握同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的運(yùn)算法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則和完全平方公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)法則和公式是解題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖，將直尺與三角尺疊放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度數(shù)為（）A．62° B．56° C．28° D．72°【分析】由兩銳角互余的性質(zhì)可求∠DAC度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩銳角互余的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．（3分）一組數(shù)據(jù)7，8，10，12，13的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．7、10 B．9、9 C．10、10 D．12、11【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法求出結(jié)果即可．【解答】解：＝＝10，從小到大排列處在中間位置的一個(gè)數(shù)是10，因此中位數(shù)是10，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的意義和計(jì)算方法，理解平均數(shù)、中位數(shù)的意義和計(jì)算方法是得出正確答案的前提．5．（3分）我國(guó)汽車(chē)工業(yè)迅速發(fā)展，國(guó)產(chǎn)汽車(chē)技術(shù)成熟，下列汽車(chē)圖標(biāo)是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．【解答】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故錯(cuò)誤；B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故正確；C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故錯(cuò)誤；D、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形．故錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念：中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．6．（3分）2020年中央財(cái)政下達(dá)義務(wù)教育補(bǔ)助經(jīng)費(fèi)1695.9億元，比上年增長(zhǎng)8.3%．其中1695.9億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．16.959×1010元 B．1695.9×108元 C．1.6959×1010元 D．1.6959×1011元【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：1695.9億元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．7．（3分）正多邊形的一個(gè)外角為60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】多邊形的外角和等于360°，因?yàn)樗o多邊形的每個(gè)外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．【解答】解：設(shè)所求正多邊形邊數(shù)為n，則60°?n＝360°，解得n＝6．故正多邊形的邊數(shù)是6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．8．（3分）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1＝L?cosα，阻力臂L2＝l?cosβ，如果動(dòng)力F的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化情況是（）A．越來(lái)越小 B．不變 C．越來(lái)越大 D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)杠桿原理及cosα的值隨著α的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案．【解答】解：∵動(dòng)力×動(dòng)力臂＝阻力×阻力臂，∴當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂為定值，且定值＞0，∴動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，∵杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)α的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)cosα的值越來(lái)越大，又∵動(dòng)力臂L1＝L?cosα，∴此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，∴此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性等知識(shí)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）【分析】AB的長(zhǎng)是兩個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量為x時(shí)，因變量的差的絕對(duì)值，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意可知，AB＝﹣，AB邊上的高為x，∴S△ABC＝×（﹣）?x＝（k1﹣k2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示三角形的底和高是正確解答的關(guān)鍵．10．（3分）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（）A．135 B．153 C．170 D．189【分析】分析前三個(gè)正方形可知，規(guī)律為左上方的數(shù)等于序號(hào)數(shù)，左下方的數(shù)比左上方數(shù)大1，右上方數(shù)是左下方數(shù)的2倍，右下方數(shù)為左下方數(shù)的平方數(shù)的2倍加上序號(hào)數(shù)，由此解決問(wèn)題．【解答】解：根據(jù)規(guī)律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．解決本題的難點(diǎn)在于找出各個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．11．（3分）函數(shù)的零點(diǎn)是指使函數(shù)值等于零的自變量的值，則下列函數(shù)中存在零點(diǎn)的是（）A．y＝x2+x+2 B．y＝+1 C．y＝x+ D．y＝|x|﹣1【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的意義，逐項(xiàng)代入求解進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，方程x2+x+2＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，因此選項(xiàng)A不符合題意；方程+1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，因此選項(xiàng)B不符合題意；方程x+＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，因此選項(xiàng)C不符合題意；方程|x|﹣1＝0的解為x＝±1，因此選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的意義，當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，求出自變量的值是正確判斷的前提．12．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，且m＜n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b【分析】依照題意畫(huà)出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的圖象，觀察圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a、b，將其圖象往下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的圖象，如圖所示．觀察圖象，可知：m＜a＜b＜n．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的圖象，依照題意畫(huà)出圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝1．【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于c的方程，求出c的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，解得c＝1．故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．14．（3分）口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)量和材料都相同的兩種顏色的球，其中紅色球3個(gè)，白色球2個(gè)，從中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．【分析】從袋中任取一球有3+2＝5種可能，其中摸出白球有3種可能，利用概率公式進(jìn)行求解．【解答】解：∵袋子中共有5個(gè)小球，其中白色小球有2個(gè)，∴從中任意摸出一球，有5種等可能結(jié)果，其中摸到白色小球的有2種可能，∴從中任意摸出一球，摸出白色球的概率是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．15．（3分）若＝＝（a≠c），則＝．【分析】根據(jù)分比的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，關(guān)鍵是熟練掌握比例的分比的性質(zhì)．16．（3分）如圖，公路彎道標(biāo)志表示圓弧道路所在圓的半徑為m（米），某車(chē)在標(biāo)有R＝300處的彎道上從點(diǎn)A行駛了100π米到達(dá)點(diǎn)B，則線段AB＝300米．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出∠AOB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案為：300．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得∠AOB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，四邊形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，則將它以AD為軸旋轉(zhuǎn)180°后所得分別以AB、BD為母線的上下兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之比為3：2．【分析】根據(jù)兩個(gè)圓錐的底面圓相同，設(shè)底面圓的周長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得上面圓錐的側(cè)面積為：l?AB，下面圓錐的側(cè)面積為：l?BD，即可得出答案．【解答】解：∵兩個(gè)圓錐的底面圓相同，∴可設(shè)底面圓的周長(zhǎng)為l，∴上面圓錐的側(cè)面積為：l?AB，下面圓錐的側(cè)面積為：l?BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案為：3：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題關(guān)鍵．18．（3分）由4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a﹣b）2與4個(gè)直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a2+b2＝c2，還可以用來(lái)證明結(jié)論：若a＞0、b＞0且a2+b2為定值，則當(dāng)a＝b時(shí)，ab取得最大值．【分析】作斜邊c上高h(yuǎn)，由完全平方公式可得ab最大值為，由三角形的面積公式可得h＝，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，作斜邊c上高h(yuǎn)，∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，又∵a2+b2＝c2，a2+b2為定值，∴ab≤，∴ab最大值為，∵a，b為直角邊的直角三角形面積＝a?b＝c?h，∴＝c?h，∴h＝，∵等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半，∴當(dāng)a＝b時(shí)，h＝，故答案為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，完全平方公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）計(jì)算：|﹣1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（）﹣1．【分析】原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1﹣3×+1+2＝﹣1﹣+1+2＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（6分）先化簡(jiǎn)（﹣）÷，然后從﹣3，0，1，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把m的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝[﹣]?＝?＝（m﹣3）﹣2（m+3）＝m﹣3﹣2m﹣6＝﹣m﹣9，當(dāng)m＝﹣3，0，3時(shí)，原式?jīng)]有意義，舍去；當(dāng)m＝1時(shí)，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．四．解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）我市開(kāi)展“溫馨家園，創(chuàng)文同行”活動(dòng)，某初中學(xué)校倡議學(xué)生利用雙休日進(jìn)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，為了了解同學(xué)們的勞動(dòng)情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的勞動(dòng)時(shí)間t（h）：A．0≤t≤0.5，B．0.5＜t≤1，C．1＜t≤1.5，D．t＞1.5，將所得數(shù)據(jù)繪制成了如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）本次調(diào)查參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共100人，a＝40．（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）扇形圖中“0≤t≤0.5”部分的圓心角是18度．【分析】（1）根據(jù)圖形得出本次調(diào)查參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生＝35÷35%，求出即可；（2）求出勞動(dòng)時(shí)間在0.5＜t≤1范圍內(nèi)的學(xué)生，再畫(huà)出圖形即可；（3）先求出勞動(dòng)時(shí)間在0≤t≤0.5范圍內(nèi)的學(xué)生占總數(shù)的百分比，再求出圓心角即可．【解答】解：（1）本次調(diào)查參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案為：100，40；（2）如圖所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%﹣×100%＝5%，∴扇形圖中“0≤t≤0.5”部分的圓心角是360°×5%＝18°，故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，能根據(jù)圖形得出正確的信息是解此題的關(guān)鍵．22．（8分）如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國(guó)企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”．該橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示：引橋一側(cè)的橋墩頂端E點(diǎn)距地面5m，從E點(diǎn)處測(cè)得D點(diǎn)俯角為30°，斜面ED長(zhǎng)為4m，水平面DC長(zhǎng)為2m，斜面BC的坡度為1：4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m，≈1.41，≈1.73）．【分析】作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，則DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出EF＝DE＝2，DF＝EF＝2，求出CH＝AF＝3，由斜面BC的坡度求出BH＝4CH＝12，進(jìn)而得出答案．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如圖所示：則DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由題意得：∠EDF＝30°，∴EF＝DE＝×4＝2，DF＝EF＝2，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度為1：4＝，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2+2+12＝2+14≈17.5（m），答：處于同一水平面上引橋底部AB的長(zhǎng)約為17.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題以及坡度問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．五．解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）為了預(yù)防新冠肺炎疫情的發(fā)生，學(xué)校免費(fèi)為師生提供防疫物品．某?；?200元購(gòu)進(jìn)洗手液與84消毒液共400瓶，已知洗手液的價(jià)格是25元/瓶，84消毒液的價(jià)格是15元/瓶．求：（1）該校購(gòu)進(jìn)洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若購(gòu)買(mǎi)洗手液和84消毒液共150瓶，總費(fèi)用不超過(guò)2500元，請(qǐng)問(wèn)最多能購(gòu)買(mǎi)洗手液多少瓶？【分析】（1）設(shè)該校購(gòu)進(jìn)洗手液x瓶，該校購(gòu)進(jìn)84消毒液y瓶，根據(jù)“共400瓶；花費(fèi)7200元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)能購(gòu)買(mǎi)洗手液a瓶，則能購(gòu)買(mǎi)洗手液（150﹣a）瓶，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)2500元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)該校購(gòu)進(jìn)洗手液x瓶，該校購(gòu)進(jìn)84消毒液y瓶，依題意有，解得．故該校購(gòu)進(jìn)洗手液120瓶，該校購(gòu)進(jìn)84消毒液280瓶；（2）設(shè)能購(gòu)買(mǎi)洗手液a瓶，則能購(gòu)買(mǎi)洗手液（150﹣a）瓶，依題意有25a+15（150﹣a）≤2500，解得a≤25．故最多能購(gòu)買(mǎi)洗手液25瓶．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)不等關(guān)系，正確列出一元一次不等式．24．（9分）如圖，?ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分別在邊BC、AD上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，連接EF、AE、CF、DE．（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求證：AE⊥DE．【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，證△AOF≌△COE（AAS），得出AF＝CE，則AE＝AF＝CE＝CF，即可得出四邊形AECF是菱形；（2）證∠ACB＝30°，△ABE是等邊三角形，則AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∠AEC＝120°，證出CE＝BE＝BC＝AB＝CD，則∠CED＝∠CDE＝30°，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】（1）解：四邊形AECF是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四邊形AECF是菱形；（2）證明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE＝BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的長(zhǎng)；（3）請(qǐng)用線段AB、BE表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠ODB＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DE，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴，∴＝，∴BD＝2；（3）解：CE＝AB﹣BE，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH＝DE，在Rt△BED與Rt△BHD中，，∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BE，∵∠DCE＝∠A，∠DGA＝∠DEC＝90°，∴△ADH≌△CDE（AAS），∴AH＝CE，∵AB＝AH+BH，∴AB＝BE+CE，∴CE＝AB﹣BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．26．（10分）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P（