山西省太原市中北大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省太原市中北大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若關(guān)于x的方程9x+（a+4）?3x+4=0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞） B．（﹣∞，﹣4） C．[﹣8，﹣4） D．（﹣∞，﹣8]參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】令3x=t＞0，由條件可得a=，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：令3x=t＞0，則關(guān)于x的方程9x+（4+a）?3x+4=0即t2+（4+a）t+4=0有正實(shí)數(shù)解．故a=，由基本不等式可得：t+≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)，等號(hào)成立，∴﹣（t+）≤﹣4，即﹣4﹣（t+）≤﹣8，∴a≤﹣8，∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣8]．故選：D．2.

若拋物線y＝4x2上一點(diǎn)到直線y＝4x－5的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.（，1）B．（0,0）C．（1,2）D．（1,4）參考答案：A3.在區(qū)間[0，4]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x＞1的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75參考答案：D【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，用符合題意的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度除以所有基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，可得答案．【解答】解：數(shù)集（1，4]的長(zhǎng)度為3，數(shù)集[0，4]的長(zhǎng)度為4，∴在區(qū)間[0，4]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則x＞1的概率為：=0.7，故選：D．4.圓的圓心到雙曲線的漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A5.函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），則下列說(shuō)法不正確的命題個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)；②若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a＜0；③存在a＞0，函數(shù)y=f（x）有唯一的零點(diǎn)；④若a≤1，則函數(shù)y=f（x）有唯一的零點(diǎn)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先將函數(shù)進(jìn)行參變量分離，得到2a=，令g（x）=，轉(zhuǎn)化成y=2a與y=g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可得結(jié)論．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，則2a（x+lnx）=x2，∴2a=，令g（x）=，則g′（x）==令h（x）=x+lnx，通過(guò)作出兩個(gè)函數(shù)y=lnx及y=﹣x的圖象（如右圖）發(fā)現(xiàn)h（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上，設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，x=x0是漸近線，當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（x0，1）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，∴g（1）=1，可以作出g（x）=的大致圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)a＜0時(shí)，y=2a與y=g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故①正確；若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a＜0或a≥，故②不正確；存在a=＞0，函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，故③正確；若函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，則a＜0，或a=，則a≤1，故④正確．故選：B．6.已知函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定義域?yàn)榧螧.(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求實(shí)數(shù)m的值．

參考答案：略7.為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（

）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：C【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，所以為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問(wèn)題，反映學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解的深度.8.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A.1 B. C. D.0參考答案：C【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則，，代入即可求得導(dǎo)數(shù)值.【詳解】由題：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查求導(dǎo)數(shù)值，關(guān)鍵在于熟練掌握求導(dǎo)法則和常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)法則準(zhǔn)確計(jì)算求解.10.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：A∵方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m2＞m+2＞0，解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，都有，則m的取值范圍是________.參考答案：【分析】由，得，分段求解析式，結(jié)合圖象可得m的取值范圍．【詳解】解：，，時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，解得或，若對(duì)任意，都有，則。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．

12.設(shè)a＞0，b＞0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則+的最小值是

．參考答案：4【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得a+b的值，進(jìn)而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化簡(jiǎn)整理，根據(jù)ab的范圍，求得答案．【解答】解：∵是3a與3b的等比中項(xiàng)∴3a?3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）∴+==≥4．故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．使用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．13.已知，分別求，，，然后歸納猜想一般性結(jié)論

．參考答案：14.若，則最大值為_(kāi)__▲_______．參考答案：2

15.已知命題，，則：___________參考答案：，略16.為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)______.參考答案：

解析：17.為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為▲

．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)是定義在(－4,4)上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)上的解析式，并利用定義證明其在該區(qū)間上的單調(diào)性；（3）解關(guān)于m的不等式．參考答案：（1）；（2）在上單調(diào)遞增；（3）或.【分析】（1）根據(jù)條件可得，解不等式組即可；（2）將a，b的值代入中，利用定義證明的單調(diào)性即可；（3）根據(jù)的單調(diào)性和，可得，解不等式即可.【詳解】（1）由題可知，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，解得；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，任取，且，且，則于是，所以在上單調(diào)遞增.（3）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以的解為，解得或，∴不等式的解集為或．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定與證明，以及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性的定義，合理利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.已知集合,集合．（Ⅰ）若,求;（Ⅱ）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）（1,3）（2）略20.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，，，平面ABCD，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．參考答案：(Ⅰ)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.…………3分又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB＝1，21.設(shè)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，線段FA的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與拋物線相切于點(diǎn)P，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．（1）求p的值；（2）試判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)M，使得圓C恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得FA的中點(diǎn)，由中點(diǎn)在拋物線上求得pD的值；（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得Q的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出圓心到x軸的距離，求出，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號(hào)判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；（3）法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合（2）中求得的P，Q的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，由恒成立求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．法二、由（2）中求出的P，Q的坐標(biāo)求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，得到以PQ為直徑的圓的方程，利用方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)k恒成立，系數(shù)為0列式求解x，y的值，從而得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）利用拋物線的定義得，故線段FA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程y2=2px，得，解得p=1；（2）由（1）得拋物線的方程為y2=2x，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為，由，得方程，由直線與拋物線相切，得，且，從而，即，由，解得，∴PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為．圓心C到x軸距離，，∵=∵k≠0，∴當(dāng)時(shí)，，圓C與x軸相切，當(dāng)時(shí)，，圓C與x軸相交；（3）方法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M（x1，0），由（2）知，，，∴．由得，．∴，即或．∴平面上存在定點(diǎn)，使得圓C恒過(guò)點(diǎn)M．證法二、由（2）知，，PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.．∴圓C的方程為．整理得．上式對(duì)任意k≠0均成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得．∴平面上存在定點(diǎn)，使得圓C恒過(guò)點(diǎn)M．22.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且FD=PD．（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；（Ⅱ）求三棱錐F﹣ADC與四棱錐P﹣ABCD的體積比．

參考答案：（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）1：6考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）如圖所示，連接BD，利用三角形中位線定理可得：PB∥OE，再利用線面平行的判定定理即可證明．（Ⅱ）由FD=PD，可得：點(diǎn)F到平面ACD（也是平面ABCD）的距離與點(diǎn)P到平面ABCD的距離比為1：3，又易知△ACD的面積等于四邊形ABCD面積的一半，即可得出體積之比．解答：（I）證明