大學(xué)物理-上海交通大學(xué)-第四版-下冊(cè)課后題全部答案

習(xí)題11

11-1.直角三角形ABC的A點(diǎn)上，有電荷/“8x1°C,3點(diǎn)上有電荷%=<8xl°C,試求C點(diǎn)的電

場(chǎng)強(qiáng)度(設(shè)BC=0.04m,AC=0.03m)o

E=___%___i

解：％在。點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng):「“兒

62=4?2j

“2在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng):-4。

44

.「us4以四曲E=E.+E=2.7X10Z+1.8X10J

..c點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：12J

「￡=JE2+琢=3.24x104

C點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)：N12

1Q

。=arctan——=33.7=3342'

方向如圖：2.7

11-2.用細(xì)的塑料棒彎成半徑為50cm的圓環(huán)，兩端間空隙為2cm,電量為3.12xl(T9c的正電荷均勻分布在棒上,

求圓心處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。

解：?.?棒長(zhǎng)為，=2乃廠_4=3.12"?

2="OxiO-C-m-'X

電荷線密度：2cm

可利用補(bǔ)償法，假設(shè)有一均勻帶電閉合線圈，那么圓心處的合場(chǎng)強(qiáng)為0,變空隙，那么圓心處場(chǎng)強(qiáng)等于閉合線圈

產(chǎn)生電場(chǎng)再減去d=Q02，〃長(zhǎng)的帶電棒在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，即所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求缺口處帶負(fù)電荷的塑料棒在°點(diǎn)產(chǎn)生

的場(chǎng)強(qiáng)。

解法1：利用微元積分：

ARd0

dE(jxcos，

R2

a

Eo=[cosOdd----------2sintz?---------2tz=-。

兀兀

."4/R4/R4TT￡0R-=0.72V-m

解法2：直接利用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式：

由于d?r,該小段可看成點(diǎn)電荷：/=Xd=2.0x1011C

1

Eo=q2=9.0X1()9X2?。義1?=0.72V?m

那么圓心處場(chǎng)強(qiáng)：4%&R~(0?5)。

方向由圓心指向縫隙處。

11-3.將一“無(wú)限長(zhǎng)”帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電荷線密度為九，四分之一圓弧A3的半徑為R,試

求圓心。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立x°y坐標(biāo)，如下圖。

①對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線A0°在。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：

用工=------(cos彳-COS")

4〃eR2

<0

Z7X/?乃.、

EA、,=-------(sm-----SIIITT)

右.〔'4G2

②對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線§00在°點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng):

4/..n

------(smyr-sm—

2

4

(/cos兀--cos、

③對(duì)于A5圓弧在。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：有：

AX4..

.?.總場(chǎng)強(qiáng)：°X4萬(wàn)％R,°y4萬(wàn)％R,得：°4%/R'。

￡=后或=焉45

或?qū)懗蓤?chǎng)強(qiáng)：%八，方向45。

11-4.一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為力,求環(huán)心處。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E。

dE=口,

解：電荷元向產(chǎn)生的場(chǎng)為：；

根據(jù)對(duì)稱性有：』dE=0

丁，那么:

?^2/?sinOdd_2

E=JdEx=JdEsin6=

04萬(wàn)￡戶2兀

2.

E=

兀

方向沿x軸正向。即：2￡°R

11-5.帶電細(xì)線彎成半徑為尺的半圓形，電荷線密度

為修。sin。,式中

。為一常數(shù)，°為半徑R與％軸

所成的夾角，如下圖.試求環(huán)心。處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

eAdi兒sin。]。

dE=-----7=----------

解：如圖，4兀,

dE=dEcoscp

<x

dE、,=dEsin0F=0

〔y,考慮到對(duì)稱性，有：幺u

「「r7tsin(pd(p

E=\dE=\dEsm(p=\———^二——

J>JJo4TT%R47r/H

方向沿y軸負(fù)向。

11-6.一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為b,求球心。處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：如圖，把球面分割成許多球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為dl=Rde,所帶電荷：dq=2兀rodl。

,Z7_xdq_o兀rxdl

dH=r=7

222

利用例11-3結(jié)論，有：4^0(x+r)4乃+/)2

dE_A,2TT7?COS0-Rsm0-RdO

,一4乃￡°[(Rsine)2+(Rcose)2]%"一一一

E=^Lplsin2^=-^E=^-i

化簡(jiǎn)計(jì)算得：2%Jo24&0.4邑。

11-7.圖示一厚度為d的“無(wú)限大"均勻帶電平板，電荷體密度為夕。求板內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫(huà)出場(chǎng)強(qiáng)隨坐標(biāo)x變

化的圖線，即E—x圖線(設(shè)原點(diǎn)在帶電平板的中央平面上，°尤軸垂直于平板)。

解：在平板內(nèi)作一個(gè)被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面Si為高斯面，

\\<^L[EdS=2EASVz,"cAV

當(dāng)㈤X一2時(shí)，由上和手=2卯史

￡=小

有：/；

\x\>4-[E-dS=2E，kS\a-2doAS

當(dāng)門(mén)2時(shí)，由Js?和乙“一〃2"，

E*

廠--、、有：2%。圖像見(jiàn)右。

11-8.在點(diǎn)電荷"的電場(chǎng)中，取一半徑為R的圓形平面（如下圖），

平面到q的距離為d,試計(jì)算通過(guò)該平面的E的通量.

解：通過(guò)圓平面的電通量與通過(guò)與A為圓心、A5為半徑、圓的平面

為周界的球冠面的電通量相同。

【先推導(dǎo)球冠的面積：如圖，令球面的半徑為r,有廠=、4一+火

球冠面一條微元同心圓帶面積為：dS=27irsin0-rd0

5=[2^-rsin3-rdO=Inr2cos00”

J。cos6=—

，球冠面的面積：一

二17ir2（l-—）

ri

q二47尸卬閉合球面一

???球面面積為：?球面，通過(guò)閉合球面的電通量為：%,

2^=紐①…2=41__d）

由：①球面S球冠,.?.球總2丁%2%J-+/。

11-9.在半徑為R的“無(wú)限長(zhǎng)〃直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為p,求圓柱體內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布，并作Ev關(guān)系曲線。

JLEMS=J=

解：由高斯定律%S內(nèi),考慮以圓柱體軸為中軸,半徑為「，長(zhǎng)為/的高斯面。

27irl-E=p7Vr1

(1)當(dāng)時(shí)，￡o

Op兀NI

271rl-E=-..........

(2)當(dāng)r>H時(shí)，￡o

即：[2%廠

圖見(jiàn)右。

11-10.半徑為凡和^2（與<氏2）的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度分別帶有電量力和一X,試求：（1）r<Rl.

⑵尺1<"氏2；⑶廠〉R2處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

■丁二=6%

解：利用高斯定律：既s內(nèi)。

丫RF—0

[1）<1時(shí)，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以：I—U

2

27rr

IE7——E?

(2)時(shí)，利用高斯定律及對(duì)稱性，有：￡。,那么：2兀%丁

(3〕丫>R時(shí)，利用高斯定律及對(duì)稱性，有：[乙n"Y"I乙F3——0U,那么：￡F3—0U；

E=0r<R]

E=\E=2rR.<r<R,

c1z

LTis^r

BP：k=。"2。

11-11.一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為夕的正電荷，假設(shè)保持電荷分布不變,在該球體中挖去半徑為廠的一個(gè)小球體,

球心為兩球心間距離°°'=d,如下圖。求：

(1)在球形空腔內(nèi)，球心?！幍碾妶?chǎng)強(qiáng)度冠。；

(2)在球體內(nèi)P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E,設(shè)°'、°、P三點(diǎn)在同一直徑上，且°P=d。

解：利用補(bǔ)償法，可將其看成是帶有電荷體密度為夕的大球和帶有電荷體密度為一夕的小球的合成。

(1)以。為圓心，過(guò)。'點(diǎn)作一個(gè)半徑為d的高斯面，根據(jù)高斯定理有：

fE-dS=2?+兀(]3E°=M

，S,￡。3n35,方向從o指向O；

(2)過(guò)尸點(diǎn)以。為圓心，作一個(gè)半徑為d的高斯面。根據(jù)高斯定理有：

\E-dS^^---7vd3￡八=過(guò)

S'13n34,方向從o指向p,

過(guò)尸點(diǎn)以。'為圓心，作一個(gè)半徑為2d的高斯面。根據(jù)高斯定理有：

3

E-dS=—B~?匕兀戶Ep,pr

*/3n

3sod~

E=Ep+Ep,=P(d------)

23%47,方向從0指向p。

n-12.設(shè)真空中靜電場(chǎng)E的分布為“=。"'，式中c為常量，求空間電荷的分布。

解：如圖，考慮空間一封閉矩形外外表為高斯面，

ff-A5

EdS=cxQ

啟'.JJs

,(J-A5?%

由高斯定理：與S內(nèi)，

-A5=--------------

cx0

設(shè)空間電荷的密度為夕(X),有：氣

，可見(jiàn)Q(x)為常數(shù)n夕=￡°c

p(x}dx=\\ocdx

ii-i3.如下圖，一錐頂角為°的圓臺(tái)，上下底面半徑分別為凡和氏2,在它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為c,求

頂點(diǎn)。的電勢(shì).(以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn))

n'解：以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，沿軸線方向豎直向下為X軸，在側(cè)面上取環(huán)面元，如圖示，易知，環(huán)面圓半

7cC77c9（1X

aS-271r-al=2〃?xtan----------

20

cos—

2

利用帶電量為4的圓環(huán)在垂直環(huán)軸線上無(wú)。處電勢(shì)的表達(dá)式:

1q

C.odx

?xtan---------萬(wàn)

20

cos—a

dU=-^-2-------tan—dx

4宓0（xtan^）2+x22、2

有:

QQ

%2~^2~

xx=&cot—

考慮到圓臺(tái)上底的坐標(biāo)為：2

rx2c0,c?廣嘿dx='（4-N）

--tan—dx=------tan-

2J&co弓2s

?U=2%22%0

11-14.電荷量。均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心'處（r

解:利用高斯定可求電場(chǎng)的分布。

4"E內(nèi)=,小=Qr

4兀名代

⑴廠＜H時(shí)，&o八；有：

7QQ

4萬(wàn)rE外=—_E外

/；

[2）時(shí)，《；有：

rRpoo

=[E^-dr+E外-dr

離球心r廠處（r＜HD）的電勢(shì)：人內(nèi)R外,即：

'8-^.dr=3。Qr2

7"小R418兀%R8兀%N

11-15.圖示為一個(gè)均勻帶電的球殼，其電荷體密度為夕，球殼內(nèi)外表半徑為R1,外外表半徑為區(qū)2.設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電

勢(shì)零點(diǎn)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)。

r＜RF—

解：當(dāng)1時(shí)，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：1,

433

E.丁（廠-凡）-3）

當(dāng)與＜廠＜七時(shí)，有：2派2

40/3s0r

E咫——）夕（咫_用）

當(dāng)"冬時(shí)，有：3-4宓。產(chǎn)-3%產(chǎn)

以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，有：

00一吊）pco

RfP（y3

uC2dr+Edr=dr+

=\Rl^\R^i.^^k

11-16.電荷以相同的面密度。分布在半徑為八=1°。陰和4=2°c冽的兩個(gè)同心球面上，設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，球心

處的電勢(shì)為U°=300V。

（1）求電荷面密度；

（2）假設(shè)要使球心處的電勢(shì)也為零，外球面上電荷面密度為多少？

（4=8.85xl（）T2c2.N-imj

r<r有：.

解：（1）當(dāng)1時(shí)，因高斯面內(nèi)不包圍電荷,

O-

■~~~2

vV尸Vr

當(dāng)?2時(shí)，利用高斯定理可求得:￡。丁,

E=

r>r'3

當(dāng)2時(shí)，可求得：

r2?8一_

E-dr+E-dr~-dr+4)

23口既廣r2

「2%

-12

_8.85xiox300=8.85xIO-c//

r+r30x10-3

那么：I2

（2）設(shè)外球面上放電后電荷密度b，那么有:

,=b

Uo'=（g+。工）/￡（）=。.0一G一2

，??

那么應(yīng)放掉電荷為：

,.3

A^=4^-r2（（T-cr）=-o--4^r2=4x3.14x8.85x10-12x300x0.2=6.67x10-9（7。

11-17.如下圖，半徑為R的均勻帶電球面，帶有電荷4,沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為X,長(zhǎng)

度為/,細(xì)線左端離球心距離為不。設(shè)球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細(xì)線所受球面電荷的電場(chǎng)力和細(xì)線

在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能（設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零）。

解：（1）以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一均勻帶電細(xì)線的方向?yàn)閤軸，

（O_）?"E=q2

均勻帶電球面在球面外的場(chǎng)強(qiáng)分布為：4?！畂r（廠>尺）。

取細(xì)線上的微元：dq=Adl=Adr有：dF=Edq

F=尸q，九打=—皿—

r

°4乃包無(wú)4-7T￡0r0（r0+/）（戶為廠方向上的單位矢量）

U二」—

（2）?.?均勻帶電球面在球面外的電勢(shì)分布為：（r>Rco為電勢(shì)零點(diǎn)）。

dW=—―Adr

對(duì)細(xì)線上的微元=所具有的電勢(shì)能為：4萬(wàn)名廣，

q1o+i4drq,r+Z

WTT7=-------=----In——n

Jr

.4乃%or4乃4r0

11-18.一電偶極子的電矩為P,放在場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，0與E之間夾角為夕，如下圖.假設(shè)將此偶極子繞通過(guò)

其中心且垂直于P、E平面的軸轉(zhuǎn)180°,外力需作功多少？

P/―解：由功的表示式：dA=MdB

—矛-E

—---------考慮到：M=pxE,有：A=J?pEsmOd0=2pEcos0

n-19.如下圖，一個(gè)半徑為R的均勻帶電圓板，其電荷面密度為）（>0）今有一質(zhì)量為機(jī)，電荷為一q的粒子（“>（））

沿圓板軸線（X軸）方向向圓板運(yùn)動(dòng)，在距圓心。（也是X軸原點(diǎn)）為〃的位置上時(shí)，粒子的速度為“。，求粒子擊中圓

板時(shí)的速度（設(shè)圓板帶電的均勻性始終不變）。

b

解：均勻帶電圓板在其垂直于面的軸線上X。處產(chǎn)生的電勢(shì)為:

u=(7^2+xo-xo)

,那么，

—mv~=—mVg-(~qUob)---mVg+(R+b-yjR^+b2)

2

由能量守恒定律，222%,

v=卜;+"(R+b—?+高

有：V吟

思考題11

ii-i.兩個(gè)點(diǎn)電荷分別帶電4和2q,相距/,試問(wèn)將第三個(gè)點(diǎn)電荷放在何處它所受合力為零?

qQ2qQ

答：由4f好4萬(wàn)￡o(/-x)2,解得：x=/(W-l),即離點(diǎn)電荷4的距離為/(0T)。

11-2.以下幾個(gè)說(shuō)法中哪一個(gè)是正確的？

(A)電場(chǎng)中某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向，就是將點(diǎn)電荷放在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向；

(B)在以點(diǎn)電荷為中心的球面上，由該點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)處處相同；

(C)場(chǎng)強(qiáng)方向可由石=歹/4定出，其中4為試驗(yàn)電荷的電量，q可正、可負(fù)，b為試驗(yàn)電荷所受的電場(chǎng)力；

(D)以上說(shuō)法都不正確。

答：(C)

11-3.真空中一半徑為R的的均勻帶電球面，總電量為4(4<0),今在球面面上挖去非常小的一塊

面積4S(連同電荷)，且假設(shè)不影響原來(lái)的電荷分布，那么挖去/S后球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方

向.

答：題意可知：4%￡oR2,利用補(bǔ)償法，將挖去局部看成點(diǎn)電荷,

七=bAS

有：,方向指向小面積元。

11-4.三個(gè)點(diǎn)電荷0、％和一“3在一直線上，相距均為2R,以％與“2的中心。作一半徑為2尺的球面，A為球

面與直線的一個(gè)交點(diǎn)，如圖。求：

廠一、⑴通過(guò)該球面的電通量肛"S；

/1：了30

[；'(2)A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EA。

\/

解.⑴"s￡q_4叫(3R)4兀％R-4叫我一

11-5.有一邊長(zhǎng)為。的正方形平面，在其中垂線上距中心。點(diǎn)。/2處,

有一電荷為q的正點(diǎn)電荷，如下圖，那么通過(guò)該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量

為多少？

解：設(shè)想一下再加5個(gè)相同的正方形平面將q圍在正方體的中心，

通過(guò)此正方體閉合外外表的通量為：①閉合=4/%,那么，

①=-^-

通過(guò)該平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為：6既。

11-6.對(duì)靜電場(chǎng)高斯定理的理解，以下四種說(shuō)法中哪一個(gè)是正確的？

(A)如果通過(guò)高斯面的電通量不為零，那么高斯面內(nèi)必有凈電荷；

(B)如果通過(guò)高斯面的電通量為零，那么高斯面內(nèi)必?zé)o電荷；

(C)如果高斯面內(nèi)無(wú)電荷，那么高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度必處處為零；

(D)如果高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零，那么高斯面內(nèi)必有電荷。

答：(A)

11-7.由真空中靜電場(chǎng)的高斯定理0可知

(A)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)一定為零；

(B)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)一定都不為零;

(C)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)不一定都為零;

(D)閉合面內(nèi)無(wú)電荷時(shí)，閉合面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)一定為零。

11-8.圖示為一具有球?qū)ΨQ性分布的靜電場(chǎng)的石?r關(guān)系曲線.請(qǐng)指出該靜電場(chǎng)是由以下哪種帶電

體產(chǎn)生的。

(A)半徑為R的均勻帶電球面；

(B)半徑為R的均勻帶電球體；

(c)半徑為尺、電荷體密度夕=Ar(A為常數(shù))的非均勻帶電球體；

(D)半徑為R、電荷體密度夕=人/廠(A為常數(shù))的非均勻帶電球體。

答：(D)

11-9.如圖，在點(diǎn)電荷g的電場(chǎng)中，選取以q為中心、R為半徑的球面上一點(diǎn)尸處作電勢(shì)零點(diǎn)，那么與點(diǎn)電荷q距離為r

的P'點(diǎn)的電勢(shì)為

4兀^。(廠一尺)(口)4?！?)r)

答：(B)

11-10.密立根油滴實(shí)驗(yàn)，是利用作用在油滴上的電場(chǎng)力和重力平衡而測(cè)量電荷的，其電場(chǎng)由兩塊帶電平行板產(chǎn)生.實(shí)驗(yàn)

中，半徑為廠、帶有兩個(gè)電子電荷的油滴保持靜止時(shí)，其所在電場(chǎng)的兩塊極板的電勢(shì)差為012.當(dāng)電勢(shì)差增加到4012時(shí),

半徑為2r的油滴保持靜止，那么該油滴所帶的電荷為多少？

U4=p.[%(2?g

—lr2q=P--^r3g

解：d3—①,d3—②

...①②聯(lián)立有：q'=2q=Ae.

ii-ii.設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，那么半徑為尺的均勻帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)的電勢(shì)分布規(guī)律為(圖中的和人皆為常量)：

答：(C)

11-12.無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電勢(shì)零點(diǎn)能取在無(wú)窮遠(yuǎn)嗎？

答：不能。見(jiàn)書(shū)中例11-12。

大學(xué)物理第12章課后習(xí)題

12-1.一半徑為0.10米的孤立導(dǎo)體球，其電勢(shì)為100V(以無(wú)窮遠(yuǎn)為零電勢(shì))，計(jì)算球外表的面電荷密度。

「QoR

解：由于導(dǎo)體球是一個(gè)等勢(shì)體，導(dǎo)體電荷分布在球外表，...電勢(shì)為：U="=——，

4萬(wàn)￡q

,￡，P8.85xlO-12xlOOoous-9「/,

那么：a=-^—=--------------=8.85x109Cm-.

R0.1/

12-2.兩個(gè)相距很遠(yuǎn)的導(dǎo)體球，半徑分別為6=6.0cm,r2=12.0cm,都帶有3xl(y8c的電量，如果用一導(dǎo)線

將兩球連接起來(lái)，求最終每個(gè)球上的電量。

解：半徑分別為K的電量為41，4電量為12,

由題意，有：—%一①，0+夕2=6x108---(2)

4萬(wàn)4〃％馬

①②聯(lián)立，有：/=2xl()-8c,%=4x10-8。。

12-3.有一外半徑為7?1，內(nèi)半徑1?2的金屬球殼，在殼內(nèi)有一半徑為氏3的金屬球，球殼和內(nèi)球均帶電量4，求球心的

電勢(shì).

解：由高斯定理，可求出場(chǎng)強(qiáng)分布：

%0R]

￡2?dr+J氏E/

???Uo=J：%dr+j3

rR2q,「82q

二一^—rdr+-——dr=X

J24兀％產(chǎn)J%3

12-4.一電量為q的點(diǎn)電荷位于導(dǎo)體球殼中心，殼的小徑分別為Rj、R2.求球殼內(nèi)外和球殼上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布,

并畫(huà)出E?廠和V?廠曲線.

解：由高斯定理，可求出場(chǎng)強(qiáng)分布：

...電勢(shì)的分布為：

?0°q

當(dāng)0<r<用時(shí)，U[=出qnd

r4%R24〃//o

q

當(dāng)K<4時(shí)，U=qdr=——-——

2R24%//

r

'8qdr=q°F與

當(dāng)〃區(qū)時(shí)，。0

223=2

r4^-^0r4乃”u

12-5.半徑K=0.05加,，帶電量q=3x10-8(2的金屬球,被一同心導(dǎo)體球圍，產(chǎn)殼內(nèi)半徑凡=0.07m,外

O'-----1-

半徑4=0.09m，帶電量。=—2x1(He。試求距球心一處的。點(diǎn)的場(chǎng)蹲與電勢(shì)。(1)r=0.10m[2)r=0.06m

[3)r-0.03mo

解：由高斯定理，可求出場(chǎng)強(qiáng)分布:

，電勢(shì)的分布為：

R2q,,8Q+q.dr-q(11)10+4

當(dāng)r<N時(shí)，f-----"r+

&4兀&丁R34萬(wàn)4/47rq&R24?￡0尺3

%q「Q+q,”_“J1)i”

當(dāng)時(shí)，Uz=《dr+

萬(wàn)加廠萬(wàn)

44d/4TTS0rR24-7V￡OR3

Q+qQ+q

當(dāng)6<廠工R3時(shí)，。3=dr=

R34萬(wàn)4乃％R3’

當(dāng)廠>凡時(shí)，。4=

r4乃20r47r/r

...(1)r=0.10m,適用于「〉氏3情況，有：

3。

F=g+g9X10N,=900V；

4〃竹廠244兀20r

(2)r-0.06m,適用于R1<r<情況，有：

6+

居=q:=7.5xlC)4N，U2=t^-(--^)+/,^=1.64X103V;

241地產(chǎn)2414>此

(3)r=0.03m,適用于r<R]情況，有:

TJ_q(1___1)1Q+q

E[=0,=2.54x103V。

1癡、&

R24TT￡QR3

12-6.兩塊帶有異號(hào)電荷的金屬板A和B,相距5.0mm,兩板面積都是150cmz,電量分別為土2.66義1CT'c,

A板接地，略去邊緣效應(yīng)，求：（1）B板的電勢(shì)；（2）AB間離A板1.0mm處的電勢(shì)。

解：（1）由石=—有：E=q

￡0A

5mmy

那么：UAB=Ed=,而UA—0,

B

2.66X10-8X5XW3

UTT=-------------7：------------7=-1000V,

R8.85x1012x1.5xlO^2

1「

3

離A板1.0mm處的電勢(shì)：Up=—x（-10）=-200V

12-7.平板電容器極板間的距離為d,保持極板上的電荷不變，忽略邊緣效應(yīng)。假設(shè)插入厚度為的金屬板，求無(wú)金

屬板時(shí)和插入金屬板后極板間電勢(shì)差的比；如果保持兩極板的電壓不變，求無(wú)金屬板時(shí)和插入金屬板后極板上的電荷的

比。

解：（1）設(shè)極板帶電量為。0,面電荷密度為5,。+

無(wú)金屬板時(shí)電勢(shì)差為:Ui=E。?d=--d,

￡o

有金屬板時(shí)電勢(shì)差為:U2=E0\d-t)=^(d-t),

A

U.d

電勢(shì)差比為：,%

。22dT）J

*0

12）設(shè)無(wú)金屬板時(shí)極板帶電量為Qo,面電荷密度為b。，111

有金屬板時(shí)極板帶電量為。，面電荷密度為。。

由于有E。,d=E?（d—t）,即—d——（d—

￡?！辍?/p>

?Qo__dT

Qad1--112

解法二：U

無(wú)金屬板時(shí)的電容為：C——，有金屬板時(shí)的電容為：CQ=--—0那么:

odd-t

u、d

⑴當(dāng)極板電荷保持不變時(shí)，利用C='知：」=—

UU2d~t

當(dāng)極板電壓保持不變時(shí)，利用旦知:Qo_d-t

⑵C=

U~Q~~d~

12-8.實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場(chǎng)E垂直于地面向下，大小約為130V/m.在離地面1.5km的高空的場(chǎng)

強(qiáng)也是垂直向下，大小約為25V/m.

（1）試估算地面上的面電荷密度（設(shè)地面為無(wú)限大導(dǎo)體平面）;

（2）計(jì)算從地面到1.5km高空的空氣中的平均電荷密度.

解：（1）因?yàn)榈孛婵煽闯蔁o(wú)窮大導(dǎo)體平面，地面上方的面電荷密度可用或=己考察，選豎直向上為正向，考慮到靠近

%

地面處場(chǎng)強(qiáng)為EQ=-130V,所以：

CT=￡OE=8.85X1OT2><(—130)=—1.15x10-9C/m2；

（2）如圖，由高斯定理小石卷=;2功，有:

氣S內(nèi)

那么：一

E'AS+E0（-AS）=^-^,25—（—130）=^^^,

2。8.85xl0-

得:p=6.2xl0-13C/m3.

12-9.同軸傳輸線是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱（內(nèi)）和圓筒（外）構(gòu)成，設(shè)內(nèi)圓柱半徑為A-電勢(shì)為匕，外圓

筒的內(nèi)半徑為,電勢(shì)為％.求其離軸為處（氏2）的電勢(shì)。

R2rRi<r<

解：?.?&<r<7?,處電場(chǎng)強(qiáng)度為：E=--------，

2兀%丫

???內(nèi)外圓柱間電勢(shì)差為：乂一%=------dr=------In」

2兀%丫2兀%顯

2

那么：----（-K-K）

27r4g/居）

同理，r處的電勢(shì)為：U-V,-----dr=-----In-[*)

rrIjcs^r27r痂r

2

U=V+

r22?！辍阋鳌?gt;

ln(r/7?,)

【注：上式也可以變形為：U,==『（KT）與書(shū)后答案相同，或?qū)ⅲ?）式用：

ln(&/RJ

rX/LT

V：—?7?=[-------dr--------In土計(jì)算，結(jié)果如上】

J%2?！?。丫27r%Rx

12-10.半徑分別為〃和人的兩個(gè)金屬球，它們的間距比本身線度大得多，今用一細(xì)導(dǎo)線將兩者相連接，并給系統(tǒng)帶上電

荷Q求:

（1）每個(gè)求上分配到的電荷是多少？（2）按電容定義式，計(jì)算此系統(tǒng)的電容。

解：（1）首先考慮。和萬(wàn)的兩個(gè)金屬球?yàn)楣铝?dǎo)體，由于有細(xì)導(dǎo)線相連，兩球電勢(shì)相等：-=丁亥-----①，再

4萬(wàn)4萬(wàn)4%

由系統(tǒng)電荷為Q,有：%+為=。一②

兩式聯(lián)立得：二0”；

q=,qb

laa+bba+b

[2）根據(jù)電容的定義：C=g=———（或C=g=———）,將（1）結(jié)論代入，

u%U%

4%竹。4〃20b

有：C=（a+力。

12-11.圖示一球形電容器，在外球殼的半徑Z?及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢(shì)差U維持恒定的條件下，內(nèi)球半徑Q為多大時(shí)才能

使內(nèi)球外表附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最?。壳筮@個(gè)最小電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

解：由高斯定理可得球形電容器空間內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為：E=-2^,

47120r

-a*7aQ7Qb-a

而電勢(shì)差：U=E-dr=-^--dr=-.............，

J。Ja47r/ab

QUab_abU

：.^—=-----，那么，場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式可寫(xiě)為：E=---------o

47rqb—ab—ar

廠bU

因?yàn)橐疾靸?nèi)球外表附近的場(chǎng)強(qiáng)，可令廠=。，有：E=---------