高三開學(xué)摸底考試卷02（新高考Ⅱ卷變式卷）（解析版）

高三開學(xué)摸底考試卷02（新高考Ⅱ卷變式卷）選擇題1．（2023春?信陽月考）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：．2．（2023?2月份模擬）設(shè)集合，3，，，，，．若，，則A． B． C．1 D．3【解析】集合，3，，，，，，，，，解得．故選：．3．（2023春?重慶期中）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué)．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”和“書”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有A．240種 B．36種 C．120種 D．360種【解析】把樂”和“書”兩門課程看作一個(gè)元素，則有種不同的排課順序．故選：．4．（2022秋?甘谷縣期末）已知，，則（3）的值為A． B．13 C．7 D．【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，又由，則，則（3）（3），則（3），故選：．5．（2023?湖濱區(qū)三模）設(shè)橢圓的離心率為，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；所以推不出，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，則，必要性成立；綜上：“”是“”的必要不充分條件．故選：．6．（2023春?利州區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，【解析】由題意得，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．7．（2023春?江西月考）已知是第二象限角，且，則A．2 B． C． D．【解析】，，可得：，整理可得：，解得：，或，是第二象限角，，，，故．故選：．8．（2023?大興區(qū)校級(jí)模擬）是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的無窮等比數(shù)列，，關(guān)于數(shù)列，給出下列命題：①數(shù)列中任意一項(xiàng)均不為0；②數(shù)列中必有一項(xiàng)為0；③數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)；④數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)．其中正確的命題個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】對(duì)于①，例如，當(dāng)時(shí)，，故①不正確；對(duì)于②，例如，則恒成立，故②不正確；對(duì)于③，由①，，故③不正確；對(duì)于④，若，則，即，因?yàn)?，所以，由，所以?shù)列中一定不可能出現(xiàn)，故④正確；故選：．多選題9．（2023春?寧波期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，記二面角的大小為，二面角的大小為，則A．異面直線與所成角的范圍是 B．的最小值為 C．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的體積為 D．用平面截正方體，截面的形狀為梯形【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為或中的銳角或直角，又，所以△為等邊三角形，因?yàn)辄c(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)異面直線與所成角為，當(dāng)點(diǎn)趨近或時(shí)，異面直線與所成角趨近，所以異面直線與所成角的范圍是，選項(xiàng)正確；對(duì)于，過點(diǎn)作，，因?yàn)槠矫?，所以平面，過點(diǎn)作，，垂足為，，所以為二面角的平面角，為二面角的平面角，故，，設(shè)，則，，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，選項(xiàng)正確；對(duì)于，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，因?yàn)椋浴?，所以，又，所以，所以的面積，又，，，，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的體積為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，延長(zhǎng)，，兩直線交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，連接，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為梯形，所以用平面截正方體，截面的形狀為梯形，正確．故選：．10．（2023?安徽二模）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線與交于，兩點(diǎn)，且，，若過點(diǎn)，分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則A． B． C． D．以為直徑的圓過點(diǎn)【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線得距離為4，所以，所以拋物線的方程為，設(shè)，，，，由可知為的中點(diǎn)，所以且，，由，可得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，可得，所以，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，所以切線的方程為，即，①同理可知，切線的方程為，②聯(lián)立①②，解得，，所以，拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于，故正確；對(duì)于：直線的方程為過點(diǎn)，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，所以，所以，故正確；對(duì)于：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，所以以為直徑的圓過點(diǎn)，故正確，故選：．11．（2023?昌江縣二模）函數(shù)的定義域?yàn)?，它的?dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是A．在上函數(shù)為增函數(shù) B．在上函數(shù)為增函數(shù) C．在上函數(shù)有極大值 D．是函數(shù)在區(qū)間，上的極小值點(diǎn)【解析】由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．故選：．12．（2023春?思明區(qū)校級(jí)期末）某工廠有3個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)的電子元件，第一車間的次品率為，第二車間的次品率為，第三車間的次品率為，三個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫．假設(shè)第一、二、三車間生產(chǎn)的成品比例為，現(xiàn)有一客戶從該倉庫中隨機(jī)取一件，則下列說法正確的有A．取出的該件是次品的概率約為0.012 B．取出的該件是次品的概率約為0.016 C．若取出的電子元件是次品，則它是第一車間生產(chǎn)的概率約為0.5 D．若取出的電子元件是次品，則它是第一車間生產(chǎn)的概率約為0.4【解析】取第一車間的產(chǎn)品數(shù)為300件，第二車間的產(chǎn)品數(shù)為200件，第三車間的產(chǎn)品數(shù)為300件，所以共有次品件，則任取一件為次品的概率，取出的電子元件是次品，則它是第一車間生產(chǎn)的概率約為，故選：．三．填空題13．（2022春?成都期末）已知向量，，其中，．若，則的值為．【解析】向量，，，，，，，，，故答案為：4．14．（2023春?遼寧月考）某車間對(duì)一個(gè)正六棱柱形的工件進(jìn)行加工，該工件的所有棱長(zhǎng)均為．需要在底面的中心處打一個(gè)半徑為的圓柱形通孔（如圖所示），當(dāng)工件加工后的表面積最大時(shí)，加工后的工件體積為．【解析】正六邊形的底面邊長(zhǎng)為4，．正六棱柱形的工件的表面積為定值，要使工件加工后的表面積最大，則取得最大值，令（a），則當(dāng)，時(shí)，（a）取得最大值，此時(shí)加工后的工件體積為：．故答案為：．15．（2023?江西二模）圓，，過作圓的切線，，過作斜率為1的直線與圓交于點(diǎn)在內(nèi)），線段上有一點(diǎn)使，則的坐標(biāo)為．【解析】因?yàn)?，，是過點(diǎn)的圓的切線，所以的方程為，即，又過作斜率為1的直線，所以直線的方程為，設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，聯(lián)立直線和直線的方程得，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在左，點(diǎn)在右，如圖所示，可知，當(dāng)時(shí)，則，作的平分線，交于于第三象限一點(diǎn)，則直線過點(diǎn)，則因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，直線的方程與方程聯(lián)立，，得出點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程與方程聯(lián)立，，解得，因?yàn)樵趦?nèi)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)椋?，即，解得，?lián)立直線與直線的方程得：，解得，代入得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在左，點(diǎn)在右，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．16．（2022秋?合肥期末）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象過點(diǎn)，則．【解析】由題意得，，，所以，，所以，故．故答案為：．四．解答題17．（2023?大埔縣三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，、且．（1）求；（2）若，，點(diǎn)，分別在邊，上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．【解析】（1）由，可得，，，，，．（2）設(shè)，，根據(jù)題意有．，，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值．18．（2023春?龍泉驛區(qū)月考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求的前100項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，由①可知，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，公差、首項(xiàng)均為1，所以．（2）由得，，，；令，則．19．（2023?秀英區(qū)校級(jí)三模）某加盟連鎖店總部對(duì)旗下600個(gè)加盟店中每個(gè)店的日銷售額（單位：百元）進(jìn)行了調(diào)查，如圖是隨機(jī)抽取的50個(gè)加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖．若將日銷售額在，的加盟店評(píng)定為“四星級(jí)”加盟店，日銷售額在，的加盟店評(píng)定為“五星級(jí)”加盟店．（1）根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到；（2）若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額，其中近似為（1）中的樣本平均數(shù)，根據(jù)的分布估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）；（3）該加盟連鎖店總部決定對(duì)樣本中“四星級(jí)”及“五星級(jí)”加盟店進(jìn)一步調(diào)研，現(xiàn)從這些加盟店中隨機(jī)抽取3個(gè)，設(shè)為抽取的“五星級(jí)“加盟店的個(gè)數(shù)，求的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【解析】（1）由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為，，，，，，，，，，，，，的頻率分別為0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，估計(jì)這50個(gè)加盟店日銷售額的平均數(shù)為：（百元），，，中位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為百元，則，解得．估計(jì)中位數(shù)為13百元．（2）由（1）知，，，，估計(jì)這600個(gè)加盟店中“五星級(jí)”加盟店的個(gè)數(shù)為．（3）由（1）得樣本中“四星級(jí)”加盟店有（個(gè)，“五星級(jí)”加盟店有（個(gè)，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，．的概率分布列為：0123．20．（2023春?上高縣校級(jí)月考）如圖，在四棱臺(tái)中，，，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若四邊形為正方形，平面，，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：連接，因?yàn)閹缀误w為四棱臺(tái)，且，所以且，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，1，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，因?yàn)?，，，?，，由，得，令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，2，，易知平面的一個(gè)法向量為，0，，因?yàn)?，，所以二面角的余弦值為?1．（2023秋?松江區(qū)期末）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）若過原點(diǎn)，為雙曲線上異于，的一點(diǎn)，且直線、的斜率，均存在，求證：為定值；（3）若過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）解：由題意得解得，雙曲線的方程為；（2）證明：設(shè)，，由雙曲線的對(duì)稱性，可得，．設(shè)，（5分）則，，，（8分）所以（3）解：由（1）得點(diǎn)為當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，，，，將方程與雙曲線方程聯(lián)立消去得：，，假設(shè)雙曲線上存在定點(diǎn)，使恒成立，設(shè)為則，故得：對(duì)任意的恒成立，，解得，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，恒成立；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，知點(diǎn)使得也成立．又因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，所以雙曲線上存在定點(diǎn)，使恒成立．22．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)令，解得或，當(dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，令，解得