第一章 空間向量與立體幾何 章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何章末重難點(diǎn)歸納總結(jié)考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積【例1】（2023春·江蘇連云港）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【一隅三反】1．（2023河南新鄉(xiāng)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，則（

）

A．4 B．5 C．6 D．82．（2023北京）已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中正確的共有（）①與是一對(duì)相反向量；②與是一對(duì)相反向量；③與是一對(duì)相反向量；④與是一對(duì)相反向量．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）

A． B．C． D．4．（2023春·陜西西安·高一長(zhǎng)安一中校考期末）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二空間向量的基本定理【例2-1】（2023春·江蘇南通）已知P是所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【例2-2】．（2023春·高二單元測(cè)試）已知是空間的一個(gè)基底，若，，則（

）A．是空間的一個(gè)基底B．是空間的一個(gè)基底C．是空間的一個(gè)基底D．與中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底【一隅三反】1．（2023春·河南周口）三棱錐中，M是平面BCD內(nèi)的點(diǎn)，則以下結(jié)論可能成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（

）A．B．C．D．3．（2022秋·高二單元測(cè)試）（多選）下列各組向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）4．（2023甘肅）（多選）下列命題正確的是（）A．若，則與共面B．若與共面，則C．若＝x＋y，則M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，則＝x＋y考點(diǎn)三空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例3】（2023廣西）（多選）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．） D．與夾角的余弦值為【一隅三反】1．（2023廣東）若，且為共線向量，則的值為（

）A．7 B．C．6 D．82．（2023福建）已知，，則等于（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè)，則AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四空間向量與立體的綜合運(yùn)用【例4-1】（2023春·新疆阿勒泰）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．【一隅三反】1．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.2．（2023春·浙江）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；(2)若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．3．（2023春·重慶長(zhǎng)壽）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PBC；(2)求證：平面PBD⊥平面PAC．(3)若，求二面角的平面角的余弦值.考點(diǎn)五動(dòng)點(diǎn)和軌跡問(wèn)題【例5-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.

【例5-2】（2023春·上海寶山）已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，求：

(1)與所成角的大??；(2)二面角的余弦值；(3)點(diǎn)在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由.【一隅三反】1．（2023春·河北保定）（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．二面角B—EF—D的正切值為D．過(guò)E，F(xiàn)，C的平面截該正方體所得截面為五邊形2．（2023春·山東棗莊），分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.

3．（2023·山西晉中·高二