2023年高考數(shù)學(xué)大題練習(xí)（新高考） 18 古典概型與統(tǒng)計 含解析

專題18古典概型與統(tǒng)計

一、解答題

1.(2022年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某

種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)?/p>

口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間140,50),求此人患這種疾病的概

率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確

到0.0001).

【答案】(1)47.9歲;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】

(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)A={人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對立事件的概率公式

P(A)=I-P(A)即可解出；

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

(1)

平均年齡±=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).

(2)

設(shè)A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},所以

P(A)=I-P(A)=1-(0.001+0.002+0.∞6+0.002)×10=1-0.11=0.89.

(3)

設(shè)B=‘'任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，

則由己知得：

P(B)=I6%=0.16,P(C)=O.1%=0.001,P(BIe)=O.023χ10=0.23.

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P(ClB)=迺=P(C)P⑻C)=0.001x0.23=O(Xn4375≈0.0014

P(B)P(B)0.16

2.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾市海拉爾第二中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題)

某職業(yè)中專開設(shè)的一門學(xué)科的考試分為理論考試和實(shí)踐操作考試兩部分，當(dāng)理論考試合格才

能參加實(shí)踐操作考試，只有理論考試與實(shí)踐操作考試均合格，才能獲得技術(shù)資格證書，如果

一次考試不合格有1次補(bǔ)考機(jī)會.學(xué)校為了掌握該校學(xué)生對該學(xué)科學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行了一次調(diào)

查，隨機(jī)選取了100位同學(xué)的一次考試成績，將理論考試與實(shí)踐操作考試成績折算成一科得

分(百分制)，制成如下表格：

分段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

人數(shù)510a304+510

(1)①求表中α的值，并估算該門學(xué)科這次考試的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值

代表)

②在［40,50),［50,60),［60,70)這三個分?jǐn)?shù)段中，按頻率分布情況，抽取7個學(xué)生進(jìn)行

教學(xué)調(diào)研,學(xué)校的教務(wù)主任要在這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)查,求這2人均來自［60,

70)的概率；

(2)該校學(xué)生小明在歷次該學(xué)科模擬考試中，每次理論合格的概率均為P(O<P<D,每次考

實(shí)踐操作合格的概率均為方，這個學(xué)期小明要參加這門學(xué)科的結(jié)業(yè)考試，小明全力以赴，且

每次考試互不影響.如果小明考試的次數(shù)的期望不低于2.5次，求。的取值范圍.

?

【答案】⑴①a=20,平均分74；②5

⑵切

【分析】

(1)①利用樣本總量為100求出α=20,從而估計出平均分，②利用分層抽樣得到［40,50),

［50,60),［60,70)分別抽取1人，2人，4人，利用列舉法求出占典概型的概率；

(2)求出小明考試的考試次數(shù)的可能取值及相應(yīng)的概率，得到考試次數(shù)的期望值，列出不

等式，求出。的取值范圍.

⑴

①由題意得：5+10+a+30+α+5+10=100,解得：a=20,

j^×(45×5+55×10+65×20+75×30+85×25+95×10)=74,

②[40,50),[50,60),[60,70)頻率之比為1:2:4,抽取7個學(xué)生進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，

故[40,50),[50,60),[60,70)分別抽取1Λ,2A，4人,

設(shè)抽取的[40,50)的學(xué)生為A,150,60)的學(xué)生為B,C,|60,70)的學(xué)生為α,b,c,d,

這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，則一共的選法有

(ΛB),(ΛC),(A0),(Λ?),(Λc),(ΛJ),(B,C),(B,α),(B,?),(B,c),(B,J),

(CM),(C,b),(C,c'),(C∕),(α,b),(α,c),(α,4)0c),(6,d),(c,α),

共有21種情況,其中這2人均來自[60,70)的情況有(α,b),(a,c),(α,d),(4c),e∕),(c,d),

共6種情況，

所以這2人均來自[60,70)的概率為卷=,.

(2)

1O3

小明考試的次數(shù)為2次的概率為:p+(l-P)-=P2-]p+l,

考試次數(shù)為3次的概率為(I-P)0χg+gp=p-gp2,

考試次數(shù)為4次的概率為(I-P)PX；=；p-；P),

考試次數(shù)的期望值為2(p2-∣?p+l)+31p-gp2)+4(jp-3p2)=-∣?p2+2p+2,

351

所以-2,+2p+2≥∕,解得：]≤p≤l,

因?yàn)椤?lt;P<ι,所以g≤p<l.

即P的取值范圍是?,?].

3.(黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(文科)試題)某經(jīng)銷

商采購了一批水果，根據(jù)某些評價指標(biāo)進(jìn)行打分，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20筐(每筐1kg),得分

數(shù)據(jù)如下：17,23,29,31,34,40,46,50,51,51,58,62,62,68,71,78,79,80,

85,95.根據(jù)以往的大數(shù)據(jù)認(rèn)定:得分在區(qū)間(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]內(nèi)的分

別對應(yīng)四級、三級、二級、一級.

(1)試求這20筐水果得分的平均數(shù).

(2)用樣本估計總體，經(jīng)銷商參考以下兩種銷售方案進(jìn)行銷售；

方案1：將得分的平均數(shù)換算為等級，按換算后的等級出售;

方案2：分等級出售.

不同等級水果的售價如下表所示：

等級一級二級三級四級

售價（萬元/噸）21.81.41.2

請從經(jīng)銷商的角度，根據(jù)售價分析采用哪種銷售方案較好，并說明理由.

【答案】⑴55.5

（2）采用方案1較好；理由見解析

【分析】

（1）利用平均數(shù)公式進(jìn)行求解；（2）分別計算出方案1與方案2的平均數(shù)，比較后得到答

案.

（1）這20筐水果得分的平均數(shù)為

17+23+29+31+34+40+46+50+51+51+58+62+62+68+71+78+79+80+85+95UUU

=55.3

20

（2）方案1：由于得分的平均數(shù)55.5?50,75］,

所以可以估計這批水果的銷售單價為1.8萬元/噸.

方案2：設(shè)這批水果售價的平均值為嚏萬元/噸，由已知數(shù)據(jù)得，

得分在（0,25］內(nèi)的有17,23,共2個，所以估計四級水果所占比例為康，

得分在（25,50］內(nèi)的有29,31,34,40,46,50,共6個，所以估計三級水果所占比例為得，

得分在（50,75］內(nèi)的有51,51,58,62,62,68,71,共7個，所以估計二級水果所占比例

嗚，

得分在（75,100］內(nèi)的有78,79,80,85,95,共5個，所以估計?級水果所占比例為：，

1731

貝IJjf=2χ-+1.8x-—?bl.4×-+1.2×-~=1.67（萬兀/噸）.

42010IO

所以從經(jīng)銷商的角度考慮，采用方案1的售價較高，所以采用方案1較好.

4.（吉林省吉林市普通中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第四次調(diào)研測試文科數(shù)學(xué)試題）為了切實(shí)維

護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在

行動——反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計出他們

競賽成績分布如下：

成績X人數(shù)

[40,50)2

[50,60)a

[60,70)22

[70,80)h

[80,90)28

[90,100]a

(1)求”,〃的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(2)估計該社區(qū)居民競賽成績的平均數(shù)輸和方差S?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)；

⑶以頻率估計概率，若P(x≥1-s)e(0.8,0.9],社區(qū)獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號，若

P(x≥1τ)e(θ.9,l],社區(qū)獲得“反詐先鋒社區(qū)”稱號，試判斷該社區(qū)可獲得哪種稱號(S為

競賽成績標(biāo)準(zhǔn)差)？

【答案】(1)。=4；6=40,圖見解析

(2)75,I(K)

(3)該社區(qū)可獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表求出。、力的值，從而補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與方差公式計算可得；

(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出P(x≥i-s)=P(X≥65),即可判斷：

(1)

解：由題可知：〃=0.004x10x100=4,〃=IOO—(2+4+22+40+28+4)=40,

所以IOO名居民競賽成績在［70,80)組內(nèi)頻率/組距為高70=0.040,

補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：

(2)

解：估計該社區(qū)居民競賽成績的平均數(shù)

-242240284

X=45X------F55X-----F65×------F75×------F85×------H95×-----=75

100100100100100100

估計該社區(qū)居民競賽成績的方差

2222

s=(45-75)×^+(55-75)×-^-+(65-75)×-

1,100v,100v,100

+(75-75)2×-+(85-75)2×^+(95-75)2×-^-=100

1,100v,100v,100

(3)

解：由(1)可得S=J面=10,

所以P(XNji-S)=P(XN65)=1-P(X<65)=1-(0.002x10+0.004x10+0.022x5)=0.83

?.?0.83e(0.8,0.9］所以該社區(qū)可獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號.

5.(四川省瀘州市瀘縣第二中學(xué)教育集團(tuán)2022屆高考仿真考試(四)數(shù)學(xué)(文)試題)為

了更好地刺激經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，增加就業(yè)崗位，多地政府出臺支持“地攤經(jīng)濟(jì)'’的舉措.某市城管委

對所在城市約6000個流動商販進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、

飾品等，各類商販所占比例如圖.

果蔬類15%

玩具類10%

飾品類5%

苴他類

(1)該市城管委為了更好地服務(wù)百姓，打算從流動商販經(jīng)營點(diǎn)中隨機(jī)抽取100個進(jìn)行政策問

詢.如果按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取，請問應(yīng)抽取小吃類、果蔬類商販各多少家？

(2)為了更好地了解商戶的收入情況，工作人員還對某果蔬經(jīng)營點(diǎn)最近40天的日收入進(jìn)行了

統(tǒng)計（單位：元），所得頻率分布直方圖如下.

（i）請根據(jù)頻率分布直方圖估計該果蔬經(jīng)營點(diǎn)的日平均收入（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表）；

（ii）若從該果蔬經(jīng)營點(diǎn)的日收入超過200元的天數(shù)中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天的日收入至

多有一天超過250元的概率.

【答案】（1）小吃類商販40家，果蔬類商販15家

_..14

⑵（i）152.5兀（ii）—

【分析】

（1）先通過扇形統(tǒng)計圖計算出小吃類所占的比例，然后根據(jù)百分比計算出小吃類和果蔬類

商販各多少家：

（2）（i）根據(jù)頻率分布直方圖，利用每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值乘以該組的頻率求和得出平均

數(shù)；

（ii）根據(jù)頻率分布直方圖，計算出日收入超過200元的天數(shù)及日收入在200-250,250-3∞

的天數(shù)，然后利用古典概型的計算方法計算概率.

（1）

由題意知I,小吃類所占比例為1-25%-15%-10%-5%-5%=40%,

按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取，應(yīng)抽取小吃類商販IOoX40%=40（家），

果蔬類商販100*15%=15（家）.

（2）

（i）該果蔬經(jīng)營點(diǎn)的日平均收入為

（75×0.002+125×0.009+175×0.006+225×0.002+275×0.00?）×50=152.5π.

（ii）該果蔬經(jīng)營點(diǎn)的日收入超過200元的天數(shù)為：（0.002+0.001）x50=0.15,0.15×40=6

天,其中超過25。元的有2天，記日收入超過250元的2天為％,a2,其余4天為白，b1,

4,4隨機(jī)抽取兩天的所有可能情況為：（49），（q，A），（4也），（4也），（4也）,（%，4），

（%也），（α2,?）,（%也）,（4也）,（?ι,?）,（々也），（b2,bi）,（?2,?）,（4也）共15種,

其中至多有一天超過250元的對立事件為：（4，%）共1種.

114

所以這兩天的11收入至少有一天超過250元的概率為I-百=百.

6.（河南省安陽市2022屆高三下學(xué)期高考模擬試題文科數(shù)學(xué)試題）某省會城市為了積極倡

導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共

交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”

等便民服務(wù)措施.為了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年齡分布，交管部門對某線路公交

車統(tǒng)計整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：

（1）求相的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)在從年齡分布在［20,40）人中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取2人進(jìn)行

問卷調(diào)查，求這2人中至少有一人年齡在［20,30）的概率.

【答案】（l）%=0?02,中位數(shù)為與；

⑵焉

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，即可求出〃?，再根據(jù)中

位數(shù)計算公式計算可得;

（2）根據(jù)分層抽樣求出［20,30）、［30,40）的人數(shù),分別記作A、B、。、b、J用列舉法

列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得;

(1)

解：依題意可得(0.005+0.015+m+0.03+0.015+0.01+0.005)χl0=l,解得m=0.02,

因?yàn)?0.005+0.015+0.02)χl0=0.4<0.5.所以中位數(shù)為于［30,40),

設(shè)中位數(shù)為X,則(0?005+0.015+0.02)χl0+(x-30)x0.03=0.5,解得X=與，故這1200

名乘客年齡的中位數(shù)為等;

⑵

解：從年齡分布在［20,40）人中用分層抽樣的方法抽取5人，則［20,30）中抽取5x面翳石=2

人，記作A、B,

130,40）中抽取5χ0ofj03=3人,記作。、b、C

則從這5人中抽取2人進(jìn)行問卷調(diào)查有（AB）,（A,α）,（As）,（Ac）,（氏“），（B,b）,（B,c）,

(a,b),(α,c),(4c)共10個基本事件;

滿足這2人中至少有人年齡在［20,30）的有（A,3）,（AM）,（4力），（AC）,（氏。），（民與,

（民C）共7個基本事件,

所以滿足這2人中至少有一人年齡在［20,30）的概率P=A7

7.（北京市一零一中學(xué)2022屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題）作為北京副中心，通州區(qū)的建設(shè)

不僅成為京津冀協(xié)同發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，也肩負(fù)著醫(yī)治北京市“大城市病”的歷史重任，因

此，通州區(qū)的發(fā)展備受囑目.2017年12月25日發(fā)布的《北京市通州區(qū)統(tǒng)計年鑒（2017）》

顯示：2016年通州區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長17.4%,下面給

出的是通州區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率，如圖一.又根據(jù)通州區(qū)統(tǒng)計局

2018年1月25日發(fā)布：2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年

增長12.2%.

圖一20U-20I6年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率圖二2011-2017年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率

（億元）

1000217939.9-I25.0

900800.8I

800:^X16.7687.7■ruM'20.0

700506.1.590.8.6.4

60015.0

500

4∞10.0

300

2005.0

100

0.0

201120122013201420152016

?全社會固定資產(chǎn)投資—增長率

⑴在圖二中畫出2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標(biāo)出增長率并補(bǔ)

全折線圖;

⑵通過計算2011-2017這7年的平均增長率約為17.2%,現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取

2個年份，記X為“選取的2個年份中，增長率高于17.2%的年份的個數(shù)“，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望;

⑶設(shè)2011~2017這7年全社會固定資產(chǎn)投資總額的中位數(shù)為看,平均數(shù)為元，比較和與與工

的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

(3)XQ<X

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長12.2%”補(bǔ)

全折線圖

(2)根據(jù)題意寫出X的取值并計算對應(yīng)的概率，寫出分布列即可

(3)根據(jù)題意分別計算毛，，直接寫出答案即可

(1)

圖二2011-2017年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率

(億元)1054.5,

100099

900k力人SOOSII]

800

700

600

500

400

300

200

IOO

0

r2∣0112ι012∏201320T142015T2016ι20i17

?全社會固定資產(chǎn)投資-→-增長率

(2)

依題意，X的可能取值為0,1,2

C22C1C14C21

P(X=O)=涓=；P(X=I)=,=；P(X=2)=-i=-

//?y/

.?.x的分布列為：

XO12

24

P?

777

.?.x的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX2+1X±+2X'=9

7777

(3)Λ?<Λ

8.(廣東省潮州市瓷都中學(xué)2022屆高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試題)2020年，我國已經(jīng)實(shí)

現(xiàn)全面脫貧的歷史性戰(zhàn)略任務(wù).但鞏固脫貧成果還有很多工作要繼續(xù)，利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行

產(chǎn)品的銷售就是一種有效的方式.某村盛產(chǎn)臍橙，為了更好銷售，現(xiàn)從臍橙樹上隨機(jī)摘下100

個臍橙進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間[200,500](單位：克)，統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分

布直方圖如圖所示.

(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在［250,300),［300,350)的臍橙中隨機(jī)抽取5個，再從這5個

臍橙中隨機(jī)抽2個，求這2個臍橙質(zhì)量至少有一個小于300克的概率；

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，己知該村的臍橙種

植地上大約還有IoOooO個臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：人所有臍橙均以7元/千

克收購；B.低于350克的臍橙以2元/個收購，其余的以3元/個收購.請你通過計算為該村選

擇收益較好的方案.

(參考數(shù)據(jù)：225X0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425X0.2+475X0.05=354.5)

7

【答案】(1)記；

(2)選擇方案2,理由見解析.

【解析】

【分析】

(I)求由質(zhì)量落在［250,300),［300,350)的臍橙頻率比，確定分層抽樣落在［250,300)有2

個，質(zhì)量落在［300,350)有3個，利用超幾何分布的概率公式求出2個臍橙質(zhì)量至少有一個

小于300克的概率；(2)計算出這IOO個臍橙的平均質(zhì)量，從而計算出A方案的收益，再

根據(jù)頻率求出低于350克的臍橙個數(shù)和不低于350克的臍橙個數(shù)，求出方案B的收益，比

較得到結(jié)論.

(I)質(zhì)量落在［250,300),［300,350)的臍橙的頻率分別為0.0032×50=0.16,0.0048×50=0.24,

其中0.16:0.24=2:3,

所以用分層抽樣的方法抽取的5個臍橙中，質(zhì)量落在［250,300)有2個，質(zhì)量落在［300,350)

有3個，則從這5個臍橙中隨機(jī)抽2個，求這2個臍橙質(zhì)量至少有一個小于300克的概率為

C；C；+G_7

—--To

(2)設(shè)這100個臍橙的平均質(zhì)量為1,則

x=(225×0.001+275×0.0032+325×0.0048+375X0.006+425X0.004+475×0.∞l)×50=354.5

A方案：設(shè)收益為",則憎=IOoooOX354.5x0.007=2.4815*105(元)：

B方案:設(shè)收益為W2，以頻率代表概率,

則低于350克的臍橙個數(shù)為(().001+0.0032+0.0048)x50xl(XXXX)=45(XX),

不低于350克的臍橙個數(shù)為(0.006+0.004+0.001)*50x100000=55000,

所以叫=45000X2+55000×3=255000

因?yàn)椤?lt;叱，所以該村選擇收益較好的方案B.

9.(河南省開封市部分學(xué)校2022屆高考考前押題文科數(shù)學(xué)試題)2022年2月20日，北京

冬奧會在國家體育場"鳥巢”落下帷幕，中國代表團(tuán)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦

推動了我國冰雪運(yùn)動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動.某學(xué)校組織了一次冰雪

運(yùn)動趣味知識競賽，100名喜愛冰雪運(yùn)動的學(xué)生參賽，現(xiàn)將成績分成［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］(成績均在區(qū)間［50,100］上)共五組并制成如下頻率分布直方

圖.學(xué)校決定對成績前15名的參賽學(xué)生進(jìn)行獎勵，獎品為冬奧吉祥物冰墩墩玩偶.

(1)試求參賽學(xué)生成績的眾數(shù)及受獎勵的分?jǐn)?shù)線的估計值；

(2)從受獎勵的15名學(xué)生中按上述成績分組并利用分層抽樣抽取5人.現(xiàn)從這5人中抽取2人,

試求這2人成績恰有一個不低于90分的概率.

【答案】(1)眾數(shù)為75,受獎勵分?jǐn)?shù)的估計值為85

⑵I

【分析】

(I)根據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)求法，可得眾數(shù)；先求得成績在［90,100］的人數(shù)，分析可得

受獎勵分?jǐn)?shù)線在［80,90)內(nèi)，且設(shè)為X,根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.

(2)由⑴可得成績在［85,90)的人數(shù)為9,成績在［90,100］的人數(shù)為6,利用分層抽樣,

分別求得兩層人數(shù)，且記作A，&，4，B,,B2,分別列出總可能情況和滿足條件情況，

根據(jù)古典概型概率公式，即可得答案.

(I)

由頻率分布直方圖估計眾數(shù)為75,

競賽成績在［90,100］的人數(shù)為0.006χIOxIOO=6,

競賽成績在［80,90）的人數(shù)為0.018x10x100=18,故受獎勵分?jǐn)?shù)線在［80,90）內(nèi).

設(shè)受獎勵分?jǐn)?shù)為X,則（90-x）x0?018+0.006χl0=0.15,

解得x=85,故受獎勵分?jǐn)?shù)的估計值為85.

（2）

由（1）知，受獎勵的15人，成績在［85,90）的人數(shù)為9,成績在［90,100］的人數(shù)為6,

利用分層抽樣，UJ知成績在［85,90）的抽取3人，記作A，4,A3,成績在［90,100］的抽取2

人，記作用，B2,

現(xiàn)從這5人中抽取2人,所有的可能情況有（A,4）,（A，可），（44）,（4，員），（4,4），

（）B）,（）（闖,（，）共種,

4,4,（A2,2Λ,B1,A4510

滿足條件的情況有（4,4），（4也）,（4，4），（4，員），（4,線），（4也）共6種,

故所求的概率為P=郎=|.

10.（山東省日照市2022屆高三下學(xué)期5月校際聯(lián)合考試（三模）數(shù)學(xué)試題）《黃帝內(nèi)經(jīng)》

中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時的睡眠對一天至關(guān)重要（子時是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）.相

關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，深度睡眠時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，

對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計如下表：

組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比

I[0,51)0.1%9.2%

2[51,66)11.1%47.4%

3[66,76)34.6%31.6%

4[76,90)48.6%11.8%

5[90,l∞]5.6%0.0%

注：早睡人群為23：00前入睡的人群，晚睡人群為01：00后入睡的人群.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)分別

在第幾組？

（2）據(jù)統(tǒng)計，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間［76,90）內(nèi)的人群中，早睡人群約占80%.從睡眠指數(shù)得分

在區(qū)間［76,90）內(nèi)的人群中隨機(jī)抽取3人，以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）.

【答案】(1)分別在第3組，第2組

12

(2)分布列見解析，E(X)=y

【分析】

(1)根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合題意給的表格與數(shù)據(jù)直接得出結(jié)果：

(2)利用二項(xiàng)分布求概率公式分別求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3),

進(jìn)而列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計算公式計算即可.

(1)

早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計在第3組，

晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)估計在第2組.

(2)

X的所有可能取值為0，1,2,3.

p(x=。)=嘿J?唱，P(XT=嘿)'(步哉，

P(x=2)=咱圖噎,P(X=3)=G削J喂,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X1234

1124864

P

125125125125

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=Ox」-+IX旦+2x曳+3χ史=12

I7125125125125T

U.(河南省許平汝聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期核心模擬卷(中)文科數(shù)學(xué)(三)試題)

2021年10月1日是中華人民共和國成立72周年.某校舉行了愛國知識競賽，為了解本次競

賽成績情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(滿分100分，最低分不低于50分)進(jìn)行統(tǒng)計,

得出頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求實(shí)數(shù)，〃的值，并估計這IOO名學(xué)生的成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表）；

⑵若用分層抽樣的方法在［70,80）,［80,90）,［90,100］這三組中抽取6人擔(dān)任愛國知識宣傳

員，再從這6人中隨機(jī)選出2人負(fù)責(zé)整理愛國知識相關(guān)材料，求這2人中至少有1人來自

［80,90）組的概率.

【答案】（1）加=0.014,平均數(shù)是84.2分；

⑵I

【分析】

（1）利用直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)的求法即得；

（2）利用分層抽樣的概念及古典概型的概率公式即得.

（I）

由題意知，（0.004+0.012+m+0.028+0.042）xl0=l,

解得加=0.014,

Λx=0.04×55+0.12×65+0.14×75+0.28×85+0.42×95=84.2（分）.

估計這100名學(xué)生的成績的平均數(shù)是84.2分.

（2）

由題知［70,80）組有IOOXO.14=14人，［80,90）組有IooXO.28=28人，［90,100］組有

l∞×0.42=42Λ,

利用分層抽樣抽取6名學(xué)生,則在［70,80）,［80,90）,［90,100］組中抽取的人數(shù)分別為:

?xl4=lλ>色x28=2人，色x42=3人,

8484

即在［70,80）,［80,90）,［90,100］組中抽取的人數(shù)分別為1人、2人、3人,

記［70,80）組的1位同學(xué)為A,［80,90）組的2位同學(xué)為用、B2,［90,100］組的3位同學(xué)為G、

則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有(A,q)，(A,為)，(Ac),(A,G),(Ag),(β,,C,),

(BI,B2),

(B-C),O,),(β,C),(BC),(CC),(CC),(C,C),共15種可

12(BPC3),22v3p2p323

能，

其中［80,90)組中至少有1人入選的有(ABJ,(AB2),(B1,B2),(Bl,C,),(β,,C2),(β,,C3),

(B2,C,),(B2,C2),(B2,C,),共9種,

Q7

所以這2人中至少有1人來自［80,90)組的概率為P=V=I

12.(貴州省普通高等學(xué)校招生2022屆高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)(文)試題)北京冬奧會期間,

志愿者團(tuán)隊“∕?∕dCas/從所有參加冬奧會的運(yùn)動健兒中分別抽取男女運(yùn)動員各100人的年

齡進(jìn)行統(tǒng)計分析(抽取的運(yùn)動員年齡均在區(qū)間［16,40］內(nèi))，經(jīng)統(tǒng)計得出女運(yùn)動員的年齡頻

率分布直方圖(圖1)和男運(yùn)動員的年齡扇形分布圖(圖2).回答下列問題：

10%10%

■[16,20)

S[20,24)

30%□[24,28)

@[28,32)

□[32,36)

目[36,40)

20%

圖2

⑴求圖1中的α值；

(2)利用圖2,估計參賽男運(yùn)動員的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

(3)用分層抽樣方法在年齡區(qū)間為［16,24)周歲的女運(yùn)動員中抽取5人，男運(yùn)動員中抽取4

人；記這9人中年齡區(qū)間在［20,24)周歲的運(yùn)動員有〃?人，再從這，"人中抽取2人，求這

2人是異性的概率.

【答案】(I)0.0500

(2)26.8周歲

⑶I

【分析】

(I)由各組的頻率和為1,列方程可求出。的值，

(2)直接利用平均數(shù)公式求解即可，

(3)先由題意結(jié)合分層抽樣的定義求出加=6,然后利用列舉法求解概率

(1)

依題意，4(t∕+0.0750+0.0750+0.0250÷0.0125+0.0125)=1,

解得α=0.0500.

(2)

用每個年齡區(qū)間的中點(diǎn)值作為本區(qū)間的年齡值，由圖2可知：年齡區(qū)間為[16,20),[20,

24),[24,28),[28,32),[32,36),[36,40]的頻率分別為：0.1,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1

所以參賽男運(yùn)動員的平均年齡估值為：

18x0.1+22x0.3+26x0.2+30x0.2+34x0.1+38x0.1=26.8

即男運(yùn)動員的平均年齡估值為26.8周歲.

(3)

由圖1可知；年齡區(qū)間為[16,20)周歲的女運(yùn)動員有0.05x4x100=20人，年齡區(qū)間為[20,

24)周歲的女運(yùn)動員有0.0750x4x100=30人，

由圖2可知：年齡區(qū)間為[16,20)和[20,24)周歲的男運(yùn)動員分別有10人和30人，

故用分層抽樣女運(yùn)動員年齡在區(qū)間[16,20)和[20,24)應(yīng)分別抽取2人和3人，男運(yùn)動員

年齡在區(qū)間[16,20)和[20,24)應(yīng)分別抽取1人和3人.

所以抽取的9人中年齡在[20,24)的有6人，故,”=6

記這6人中年齡在[20,24)周歲的3名女運(yùn)動員分別為α,b,c,3名男運(yùn)動員分別為1,2,

3,從6人中抽取2人的基本事件如下：

(a,b),(?>c),(a,I),(“，2),(a,3),(?,c),(b,I),(b,2),(?,3),(c,I),

(c,2),(c,3),(1,2),(1,3),(2,3),共15種.

記抽取2人是異性的事件為A,事件4包含基本事件有：

(a,1),(?,2),(α,3),(.b,1),(?,2),(?,3),(c,1),(c,2),(c,3)共9種所

Q3

以P(A)=W=M

13.(江西省上饒市六校2022屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(文)試題)在迎接2022年北京冬季

奧運(yùn)會期間，某校開展了“冰雪答題王"冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)

生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(滿分為100分)分為6組：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求4的值；

（2）從比賽成績在［50,60）和［80,90）兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)按照分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生，再從這7

名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生恰好來自不同分?jǐn)?shù)段的概率.

【答案】（l）α=0.025

⑵史

21

【分析】

（1）利用頻率和為1可直接求得結(jié)果；

（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定［50,60）中應(yīng)抽取2人，［80,90）中應(yīng)抽取5人；列舉出7名學(xué)

生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生所有的基本事件和兩名學(xué)生恰好來自不同分?jǐn)?shù)段的基本事件，由古典

概型概率公式可得結(jié)果.

（1）（0.∞5+0.010+0.020+0.030+（a+0.010）×10=l,.?.a=0.025.

（2）比賽成績在［50,60）和［80,90）的頻率之比為0.1:0.25=2:5,

二［50,60）中應(yīng)抽取2人，記為A&［80,90）中應(yīng)抽取5人，記為。也c,d,e；

從7名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生有：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Be,Bd,

Be,ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共21個基本事件：

其中兩名學(xué)生恰好來自不同分?jǐn)?shù)段的情況有Aα,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Be,Bd,

Be,共10個基本事件；

兩名學(xué)生恰好來自不同分?jǐn)?shù)段的概率P=郎.

14.（廣西柳州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某政府部門為促進(jìn)黨風(fēng)建

設(shè),擬對政府部門的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行量化考核,每個群眾辦完業(yè)務(wù)后可以對服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行打分,

最高分為100分.上個月該部門對100名群眾進(jìn)行了回訪調(diào)查，將他們按所打分?jǐn)?shù)分成以下

幾組：第一組［o,20),第二組［20,40),第三組［40,60),第四組［60,80),第五組［80,100］,

得到頻率分布直方圖如圖所示.

鮮

0.0175

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

0.0025

20406080IOO分?jǐn)?shù)

⑴估計所打分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)

⑵該部門在第一、二組群眾中按比例分配的分層抽樣的方法抽取6名群眾進(jìn)行深入調(diào)查，之

后將從這6人中隨機(jī)抽取2人聘為監(jiān)督員，求監(jiān)督員來自不同組的概率.

【答案】(1)眾數(shù)為70,平均數(shù)為65；

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖與眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法依次計算即可；

(2)先求出6人中第一、二組抽到的人數(shù)，求出樣本空間的樣本點(diǎn)個數(shù)和事件“2人來自不同

的組”包含的樣本點(diǎn)個數(shù)，代入概率公式計算即可.

(1)

由頻率分布直方圖可知，

義=

眾數(shù)為70

2

5個組的頻率分別為005,0.1,0.2,0.35,0.3,

所以平均數(shù)為

10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3=65：

(2)

由頻率分布直方圖可知第一組的頻率為0.05,第二組的頻率為0.1,

則第一組的人數(shù)為5人，第二組的人數(shù)為10人，

所以按分層抽樣的方法抽到的6人中，

第一組抽2人，記為八的；第二組抽4人，記為伉、瓦、4、仇,

則Ω={α,02,aibi,axb2,alb3,a^,a2bl,a2b2,a2bi,a2b4,blb2,blbi,他，她，她，她}，

設(shè)事件A為抽到的2人來著不同的組，

則A=[albt,aib2,atb,,aib4,a2bl,a2b2,a2b3,a2b4],所以P(A)=—.

15.（2022.陜西.西安市臨潼區(qū)鐵路中學(xué)高一期末）新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學(xué)”，

各校精心組織了線上教學(xué)活動，開學(xué)后，某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學(xué)生中抽取

一個容量為150的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查.已知該校高一年級共有學(xué)生

660人，抽取的樣本中高二年級有50人，高三年級有45人.下表是根據(jù)抽樣調(diào)查情況得到的

高二學(xué)生日睡眠時間（單位：h）的頻率分布表.

分組頻數(shù)頻率

[6,6.5)50.10

[6.5,7)80.16

[7,7.5)X0.14

[7.5,8)12y

[8,8.5)100.20

[8.5,9]z

合計501

（1）求該校學(xué)生總數(shù)及頻率分布表中實(shí)數(shù)無，V,z的值；

（2）已知日睡眠時間在區(qū)間［6,6.5）的5名高二學(xué)生中，有2名女生，3名男生，若從中任選2

人進(jìn)行面談，求選中的2人恰好為一男一女的概率.

【答案】（1）1800人，X=7,y=0.24,z=8

（2）1

【分析】

150150-50-45

（1）設(shè)該校學(xué)生總數(shù)為"，根據(jù)題意由求解;

n660

（2）利用古典概型的概率求解.

（?）

解：設(shè)該校學(xué)生總數(shù)為〃,

,,...150150-50-45

由題0r意解得〃=1800,

，該校學(xué)生總數(shù)為18（）（）人.

x7

由題意為=0?14,解得χ=7,y=點(diǎn)=0.24,

z=50-（5-8-x-12-10）=8.

（2）

記”選中的2人恰好為一男一女”為事件A,

記5名高二學(xué)生中女生為斗心，男生為M∣,Λ√2,M3,

從中任選2人有以下情況：（耳,Eb（M,Mj,（耳,％）（片,%），（6，必），（乙，區(qū)），（凡，％），

（M，M）,（M，M），（M，M）,基本事件共有10個，

其中事件A包含的基本事件有6個，

所以選中的2人恰好為一男一女的概率為

16?（2022?江蘇常州.高一期末）某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個性化作業(yè)質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問

50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)生對個性化作業(yè)的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其

中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間［40,50）,［50,60）...........［80,90）、［90,100］.

頻率

0.028

0.022

0.018

O405060708090100分?jǐn)?shù)

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并估計該中學(xué)學(xué)生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率；

（2）從評分在［40,60）的受訪學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在［50,60）的概率；

（3）估計這50名學(xué)生對個性化作業(yè)評分的平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)

的值作代表）

【答案］⑴”0.006,概率為0.68.

(3)76.2

【解析】

【分析】

（I）利用頻率之和為1列出方程，求出α=0.006,并計算出不低于70分的頻率作為概率

的估計值；（2）利用列舉法求解古典概型的概率；（3）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值

作代表計算出平均數(shù).

(1)

由題意得:10(0.(X)4+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1,

解得：α=0.006,

由頻率分布直方圖知，不低于70分的三組頻率之和為0.28+0.22+0.18=0.68,

因此估計該中學(xué)學(xué)生對個性化作業(yè)評分不低于70的概率為0.68.

(2)

評分在［40,50)的人數(shù)為2人，設(shè)為A,B,在［50,60)的人數(shù)為3人，'設(shè)為a,b,c,

從這5人中隨機(jī)抽取2人，共10個等可能的基本事件，

分別為(AB),(A,a),(A,b),(4,c),(B,α),(B,b),(B,c),(O,b),(q,c),(b,c),

記事件A為“2人評分都在［50,60)”，A包含3個基本事件，分別為(α,6),(a,c),0,C),

所以P(A)端,

因此2人評分都在［50,60)的概率為2.

(3)

這50名學(xué)生對個性化作業(yè)評分的平均數(shù)為：

45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2.

17.(2022?江蘇省江浦高級中學(xué)高一期末)為了調(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織

了高一年級學(xué)生進(jìn)行了物理測試.根據(jù)測試成績(總分