黑龍江省大慶市2023屆高三第一次教學質量檢測數(shù)學試題（解析版）

大慶市2023屆高三年級第一次教學質量檢測

數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合A={E<α},集合8={T2},若ACB=0,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(→30,-l]B.(-∞,-l)

C.(→o,2)D.(2,+∞)

R答案，A

K解析？

K祥解》利用交集的運算求解.

K詳析H因為A={x∣x<a},集合B={-l,2},且AC8=0,

所以Q≤—1,

故選：A

2.已知復數(shù)Z=出一i3,貝IJZ的虛部為()

2-1

A.1B.2iC.2D.0

K答案，c

K解析》

K祥解》化簡復數(shù)Z,可得Z的虛部.

3+i§(3+i)(2+i)5+5i

K詳析》因為Z=『r-r=,.v.^+1=——+i=l+2ι,所以復數(shù)Z的虛部為2.

2-ι(2-ι)(2+ι)5

故選：C

3.已知α=(-l,3),?=(2,Λ),若a_L(a—b),則4=()

A.-3B.4C.3D.-4

K答案，B

R解析》

K祥解Il由平面向量的坐標運算求解，

K詳析R因al(a-b),所以“?(α-b)=7—α?b=10-(-2+34)=0,所以;1=4.

故選：B

4.我國西北某地區(qū)開展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對近5年投入的沙漠治理經費X（億元）和沙漠治理面

積y（萬畝）的相關數(shù)據統(tǒng)計如下表所示.

治理經費V億元34567

治理面積y/萬畝1012111220

根據表中所給數(shù)據，得到y(tǒng)關于X的線性回歸方程為5=2x+α,則α=（）

A.1B.2C.3D.4

K答案1C

K解析』

K樣解》利用線性回歸直線方程過定點）,可得K答案』.

3+4+5+6+7_10+12+11+12+20C

『詳析》因為元==5,y=-------------------=13,

5

因回歸方程過定點）,將其代入9=2x+α,得13=2χ5+α,解得α=3,

故選：C

5.已知5"=2，b=Iog53,則Iog5l8=（）

A.a+3bB.a+2bC.2a+bD.3a+b

K答案，B

K解析1

K樣解H由對數(shù)的運算性質求解，

K詳析》因為5"=2，所以α=log52.則Iog5l8=log52+log59=log52+2iog53,

所以Iog5l8=a+2b.

故選：B

6.已知不重合的直線/,m,"和不重合的平面α,β,下列說法中正確的是（）

A.若muα,nuβ,m±n,則aJ■力

B.若機Ua,〃ua,m//β,nllβ,則a〃萬

C.若a",lLβ,則/〃a

D.若。/3=1,InUa,nuβ,m//n,則加〃/

R答案UD

R解析』

K祥解』由線線垂直得不到面面垂直，可判斷A錯；無法判斷〃2,〃是否相交，故B錯誤；存在∕u0特

殊情況，故C錯誤；由線面平行的性質和判定定理可判斷D正確.

K詳析》對選項A,如圖所示，滿足命題條件，但不一定滿足。，尸，故A錯；

對選項B,當根〃〃〃/,?，=/時，都滿足加〃4，m∕β,但推不出C〃尸，故B錯;

對選項C,存在∕uα特殊情況，故C錯誤；

對選項D,因為6，n（≡β,m∕∕n,所以加//，，又Uα,a?0=1,所以.

7.設X,y∈R,則"x+y>2”是“X,y中至少有一個大于1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

R答案1A

K解析工

K樣解》利用反證法可以得到x+y>2時X,y中至少有一個大于1,充分性成立，再舉出反例，證明必

要性不成立

R詳析力假設χ,y均不大于1,即x≤l且y≤l,則x+y≤2,這與已知條件x+y>2矛盾，故當x+y>2

時X,y中至少有一個大于1.故充分性成立；取X=2,丁=一1,滿足X,y中至少有一個大于1,但x+y>2

不成立，故必要性不成立，故"x+y>2”是“x,>中至少有一個大于1”的充分不必要條件.

故選：A

8.設拋物線C：√=-12γ焦點為F,點P在上，β(0,-9),若IPFl=I。耳，則IPQl=()

A.2√2B.4√2C.5√2D?6√2

K答案HD

K解析』

K祥解D根據題意得出I尸耳是拋物線通徑的一半再由勾股定理即可解決.

K詳析D由題意可知E(O,-3),∣QE∣=6,

所以IP尸I=6.

因為拋物線C的通徑長2p=12,

所以「尸_Ly軸，

所以IPQl=J6?+6?=60

故選：D.

9.函數(shù)/(x)=ASin(<υx+0)(A>0,0>0,∣^∣<y)的部分圖象如圖所示，將/(x)的圖象向右平

移三個單位長度得到函數(shù)g(X)的圖象，則(

B.^(x)=>/2cos2x

C.g(x)=0cos(2x_?D.g(x)=V^sin2x+?)

K答案Dc

K解析》

K樣解》首先根據函數(shù)圖象得到/(x)=J^Sin+?b再根據平移變換求解即可.

R詳析Il由圖知：/(x)n,n=-A=-√2,則A=J5，

-T=-π--=-,所以T=乃，則⑦=2,即〃X)=五sin(2x+

41234v,1

因為/(t)=3SinlI■乃+e]=0,所以?∣%+e=&萬，keZ,

2

即(P=——yr+k兀,k∈Z.

因為|同＜搟，得夕=q,所以/(X)=J^Sin(2x+?).

所以g(x)=JΣsin2(x-γ∣j+^=逝sin(2x+工

I6J

=√f2sin^2χ-y^+y=V2cos^2x-y

故選：C

10.在三棱錐P—ABC中，P8J_平面ABC,且AB=PB=26，AC=BC=2,E,尸分別為BC,PA

的中點，則異面直線E尸與PC所成角的余弦值為（）

Lr.-?/?

5DT

K答案』B

K解析』

R祥解X要求異面直線的夾角，利用線線平行進行轉化，如圖分別取AB,PB的中點M,G,連接尸M,

ME,GE,FG,則GE〃PC,所以NFEG或其補角為異面直線EF與PC所成的角，解三角形即可得解.

K詳析D如圖所示，分別取AB,P8的中點M,G,連接FM,ME,GE,FG,則GE〃PC,所以NFEG

（或其補角）為異面直線E尸與PC所成的角.

P

因為A6=PB=26，AC=3C=2,所以尸M=√§,ME=I.

因為依，平面ABC,BCU平面ABC,FMHPB,

平面ABC,PB±BC,QMEU平面ABC,

所以RV/LME，且PC=JBC2+PB?=4?

在RtZ?FΛ∕E中，PE=^FM^+ME2=2-

在乙Z7EG中，EG=?PC=2=FE,FG=/)>

由余弦定理得cosNFEG=EF?'EG上FG?=4+4-3=5

IEFEG2×2×28

所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為*.

8

故選：B

11.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=2,g(χ)-/(χ-4)=4,若g(x)的

圖象關于直線χ=2對稱，g(2)=l,則/(2022)=()

A.-3B.-IC.0D.2

R答案》A

R解析』

K祥解11依題意可得g(2-x)=g(2+x),再由“χ)+g(2-x)=2可得"τ)=f(χ),即可得到/(x)

為偶函數(shù)，再由8(力一/(%-4)=4得到/。+4)=/(%),即可得到/(x)的周期為4,再根據所給條

件計算可得.

K詳析D因為g(x)的圖象關于直線χ=2對稱，所以g(2-x)=g(2+x),

所以/(x)+g(2-x)=∕(x)+g(x+2)=2,

因為/(-x)+g(2+x)=2,所以/(r)=∕(x),所以/(x)為偶函數(shù).

因為g(x)-∕(%-4)=4,所以g(x+2)-∕(x-2)=4,

所以/(X)+∕(X-2)=-2,所以/(X+2)+∕(X)=-2,

所以/(x+4)+∕(x+2)=-2,所以/(x+4)=∕(x),所以/(x)的周期為4，所以/(2022)=/(2).

因為g(2)T(-2)=g(2)-42)=4,所以〃2)=-3,故/(2022)=—3.

故選：A

22

12.設片，K分別是橢圓。：0+今=1(.＞。＞0)的左、右焦點，點P，Q在橢圓C上，若，￡+尸用I=

IPE—,且PE=260,則橢圓C的離心率為()

A爭B—c?@D.交

3333

K答案DA

K解析』

K樣解》利用數(shù)量積知識得PEJ?PR,然后利用第一定義及勾股定理得到。、C關系，即可求出離心率

K詳析D由卜￡+尸瑪］=IPE—尸同，得尸;社P月，則點P是以KK為直徑的圓與橢圓C的交點，不妨

設和點尸在第一象限，如圖

連接。耳，令IQKl=%,則IP閭=2x,耳∣=2α-x,∣P耳∣=2α-2x.

因為P與，PQ,所以仍用2+儼。2=代用2,即4(〃—χy+9χ2=(2α-力2,得X=?∣,又

?PF^+?PF2f^?F,F2f,所以4(a—xf+4f=4c2,將X=I代入，得e=容

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=∕-4e'+l的圖象在點(0,/(0))處的切線方程為

R答案X4x+y+3=0

工解析H

K祥解H先求導，再由導數(shù)的幾何意義和點斜式即可求解

K詳析D因為/(X)=/-4e'+l,所以/'(χ)=2x-4e'.因為"0)=-3,/'(O)=T,所以所求切

線方程為y-(-3)=-4x,即4x+y+3=0.

故K答案H為：4x+y+3=0

14.已知直線/：3x—4y+l=0與圓0=χ2+y2+2χ-4y+M=o相離，則整數(shù)機的一個取值可以是

K答案》2或3或4(注意：只需從2,3,4中寫一個作答即可)

K解析H

"羊解Il利用直線與圓的位置關系列出不等式組，解出整數(shù)加的范圍.

K詳析》因為圓。的圓心為(-1,2),所以圓心到直線/的距離4=為不4=2,因為圓。的方程可化

簡為(x+lp+(y-2)2=5-加，即半徑為百二￡，所以所以1＜加＜5,故整數(shù)小的取值

可能是2,3,4.

故R答案Il為：2或3或4(注意：只需從2,3,4中寫一個作答即可)

15.一個口袋里有大小相同的白球4個，黑球〃?個，現(xiàn)從中隨機一次性取出2個球，若取出的兩個球都是白

球的概率為,，則黑球的個數(shù)為.

6

K答案D5

K解析D

K祥解》根據古典概型的概率公式及組合數(shù)公式得到方程，解得即可.

C21121

廣詳析》由題意得分=：,所以］不=2,解得m=5或加=一12(舍去)，

Ct46(m+3)(∕tt+4)6

即黑球的個數(shù)為5.

故K答案H為：5

16.已知(?一2)的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)之比是2:3,則〃=,展開式的常數(shù)項

為.(用數(shù)字作答)

K答案，①.9②.-672

K解析H

C32

K祥解力空1：根據二項式系數(shù)的性質得方■=§,解出〃即可；

9-3r9—3〃

空2：由題化簡得其展開式的通項為(I=Cj?(-2)"x丁，令一7一=0,解出廠值，代回即可得到其常

數(shù)項.

〃！

C323'(n-3)'2

K詳析員由題意得U=不，即二—「匕=彳,解得〃=9.

C：3〃！3

4!(n-4)!

，八99r，9Y9-3r

一習展開式的通項為&I=Cj?(6)B=q?(-2),?Λ~.

9一3廠o

令=0,解得r=3,故展開式中的常數(shù)項為C；X(-2)=-672.

故K答案H為：9；-672.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設｛α,,｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=2,%是4，的等比中項.

(1)求｛4｝的通項公式;

3

(2)設〃,=-----,求數(shù)列也｝的前〃項和s..

anan+?

K答案』(1)4=3〃—1

3幾

(2)

6π+4

K解析》

K祥解D(1)設｛a,,｝的公差為d,由題意可得(2+2d)2=2(2+10d),求出d=3,即可求出｛《,｝的通

項公式；

(2)由裂項相消法求和即可得出K答案2

K小問1詳析F

設｛4｝的公差為d,因為4=2,%是4，%的等比中項,

所以（2+2d）?=2（2+101）,所以［2-3d=o.

因為d∕0,所以d=3，故a”=2+3（〃-1）=3"-1.

R小問2詳析卜

,331______1

因為a=----(-3--n-l)(3rt+2)^3tt-l^3tt+2

a,,all+i

1ILl___1_3n

3n-l3n+2J23〃+26〃+4

18.在ABC中，內角A,B,C的對邊分別為小b>c?,已知sin8-SinACoSC='sinC.

2

（1）求角A；

（2）若c=2,。為BC邊的中點，卜。卜平，求a的值.

K答案x（1）A=∣

（2）a=?/?

K解析H

R祥解II（I）由兩角和的正弦公式化簡求解，

（2）由平面向量數(shù)量積的運算律與余弦定理求解，

K小問1詳析2

由題意得SinB=Sin(A+C),

所以SinAcosC+cosAsinC-sinAcosC=—sinC,

所以COSASinC=—SinC.因為SinCHO,所以COSA=

22

TT

因為0<A<^?,所以A=

R小問2詳析)

由2AO=AB+4C，可得4AZ/=HZf+AC"-+2∣A8∣kqcosA.

因為c=2,|4￡)|=也^,A——,所以+2Z?—3=O，解得力=1.

II23

因為∕=b2+c2—IbccosA=3?所以a=?/?■

19.如圖,在長方體ABCD-A4GR中,底面ABCO是邊長為2的正方形，AA1=3,M,N分別是

（1）證明：MN〃平面CGR。；

（2）求平面3。。與平面CMN夾角的余弦值.

K答案，（1）證明見K解析T

R解析D

K祥解2（1）取CR的中點T，連接。T,TN,由三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形DMNT是

平行四邊形，則MN〃。丁，再由線面平行的判定定理可證得結論；

（2）以。為坐標原點，DA>DC，的方向分別為X，>，Z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標系，利用空間向量求解.

K小問1詳析）

證明：取CQ的中點T，連接。T,TN,

?：N,T分別是BA,CR的中點,

.,.NT//BC,NT=-BC

2

?；底面AB8是矩形，Λ/是AO的中點，

DM//BC//NT,DM=-AD=-BC=NT

22

四邊形DMNT是平行四邊形，

.?.MN〃DT，

?.?阿二平面CG2。，Z)TU平面CGA。，

...MN〃平面CGRD.

K小問2詳析工

解：以。為坐標原點，DA>DC，的方向分別為X，y，Z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標系,

則M(l,0,0),yvfl,l,∣j,A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),3(2,2,0),=

CM=(I,-2,0),

設平面CMN的法向量為〃=(x,y,z),

，3

n?MN=VH—Z=O

則J2

n?CM=x-2y=O

令z=-2,得"=(6,3,-2).

取平面BDA的一個法向量W=AC=(-2,2,0).

設平面BQR與平面CMN的夾角為。，由圖可知6為銳角,

mn

_6_3√2

貝IJcosθ=cos(m,n

∕77∣J7?2λ∕2×714

故平面BDDl與平面CMN夾角的余弦值為亙.

14

20.鹽水選種是古代勞動人民的智慧結晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批

某品種種子的密度（單位：g∕cn√）進行測定，認為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種.自

然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.6.

頻率

IW

1.4--------------------------

1.1--------------------------------

0.9-------------------

0.6--------------

0.5-------------------------------------

nkJ------------------>

0.60.81.01.21.41.61.8種子密度

（1）若將這批種子的密度測定結果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據圖估計這批種子密度的平均值；

（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）

（2）在（1）的條件下，用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設

萌發(fā)的種子數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望（各種子的萌發(fā)互相獨立）；

（3）若該品種種子的密度0~N（1.3,O.O1）,任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設隨

機變量XN（M,f?）,則尸（〃一向Ik//+b）≈0.6827,尸（〃一2弗N〃+2b）α（）.9545.

K答案H（1）1.24g∕cm3

（2）分布列見K解析％期望1.44；

（3）16827粒.

K解析H

K樣解Il（I）根據頻率分布直方圖直接計算平均值即可；

（2）求出一粒種子發(fā)芽的概率，問題轉化為二項分布求解分布列與期望；

（3）根據正態(tài)分布的對稱性，利用參考數(shù)據直接求指定區(qū)間的概率即可得解.

K小問1詳析》

種子密度的平均值為：(0.7χ0.5+0.9χ0.6+l.lχθ.9+1.3x1.4+1.5χl.l+1.7χθ.5)χθ.2=1.24(g/cmD

K小問2詳析』

3

由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為(1.4+l.l+0.5)x0.2=

34,3、318

任選一粒種子萌發(fā)的概率P=IX三+1——×-=—，

因為為這批種子總數(shù)遠大于2,所以XB(2,p),

77

-X-49CI87252

P(X=O)=CP°(I"-P(X=l)=Cp(l-p)=2×-×--

25256252

1818

一

一324

P(X=2)=C；p2(l-p)。X-

2525625

所以X布列為：

X012

49252324

P

625625625

期望E(X)=2p=石=1.44.

K小問3詳析2

因為該品種種子的密度。?N(1.3,0.01),

2

所以〃=1.3,σ=0.01-BPσ=O.L

所以20000粒種子中約有優(yōu)種20000×0.5+——J=20000×0.84135=l6827(粒)

即估計其中優(yōu)種的數(shù)目為16827粒.

22

21.已知雙曲線C與橢圓上+匕=1有相同的焦點，且焦點到漸近線的距離為2.

94

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設。為雙曲線C的右頂點，直線/與雙曲線C交于不同于。的￡,尸兩點，若以E尸為直徑的圓經過

點。且Z)G，所于G,證明：存在定點H,使得IGHl為定值.

2

R答案2(1)f_2L=i

4

(2)證明見K解析》

K解析D

K祥解Il(I)由已知可設，雙曲線C的標準方程為3一方=l(4>O,O>O),根據條件列出“，c關系式,

解出代入方程即可；

(2)對直線的斜率能否為0進行討論.斜率不為0時，設/的方程為y=丘+機，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有

垂直關系時;在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到相，上的關系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗證即

可.

K小問1詳析』

設雙曲線C的標準方程為三—1=l(α>0/>0),

焦點為M(-c,0),E(G0)，

22

因為雙曲線C與橢圓工+匯=1有相同的焦點，所以c=J5?

94

∣?c∣---------

因為焦點到漸近線的距離為2,所以乙=8=2,從而α="Γ萬=1，

√α+b-

2

故雙曲線C的標準方程為χ2-2L=ι

4

K小問2詳析》

證明：設E(Xl,y),F(x2,y2).

①當直線I的斜率存在時，設/的方程為y=丘+利,

y=kx-?-m.

聯(lián)立方程組《2

xi_y.1

化簡得("K*-2Amx-(〃，+4)=0,

22

則A=(2?m)2+4(m2+414-X)>0,B∣Jm-k+4>Q,

2km

x+%,=------7

1l-4-公

且《

-nr-4

x,x-,=--------

1-4—廿

因為OE?o∕7=(x1-1)(4-1)+Xy2=0，

22n2kn2

所以，(公+l)χlχ2+(Am-l)(x1+x,)+m+1=(A:+1)?~'~~+(fo∕?-1)??-+m+l=Q

4一κ—κ

化簡得3〃「—2km—5k2=(〃?+左)(3，〃-5左)=O

所以加=-Z或M=?∣A,且均滿足加2-左2+4〉。.

當加=—Z時;直線/的方程為y=%(x—1),直線/過定點(1,0),與已知矛盾；

當〃?=：%時，直線/的方程為y=k(x+gj,過定點M[-*O]

②當直線/的斜率不存在時，由對稱性，不妨設QE方程為：y>=x-?,

2

7y1

聯(lián)立方程組彳4，得4f—(x—1)2=4

y=x-l

得玉=1,X2=-|,此時直線/過定點M

因為JDGLE/，所以點G在以。M為直徑的圓上，〃為該圓的圓心，∣G可為該圓的半徑，故存在定點

g,θ],使得IGM為定值g

Kr點石成金圓錐曲線中的定值問題通常是通過設參數(shù)或取“特殊值”來確定定值是多少.因此求解時應

設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).

22.已知函數(shù)/(x)=XInX-