高考數(shù)學(xué)解析幾何-第21講 調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線

高考數(shù)學(xué)解析幾何

第21講調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線

知識(shí)與方法

以極點(diǎn)極線為背景的題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考和各級(jí)競(jìng)賽試題之中，如圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦、

圓錐曲線內(nèi)接四邊形兩對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)軌跡等，是圓錐曲線的?？紗栴}，這些問題大多

和極點(diǎn)極線與調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)有關(guān).熟悉調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線基本性質(zhì)，能抓住此類問題的

本質(zhì)，明確問題的目標(biāo)，能更高效地解決問題.下面介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、

Apollonius圓、極點(diǎn)和極線等射影幾何的重要概念及性質(zhì)，溯本求源，揭示此類與極點(diǎn)極

線有關(guān)的問題的來(lái)龍去脈.

（一）調(diào)和分割的概念

“調(diào)和分割”又稱"調(diào)和共規(guī)”，來(lái)源于交比，分“調(diào)和線束''和"調(diào)和點(diǎn)列”兩種，它是交比研

究中的一個(gè)重要特例，也是貫穿《高等幾何》課程的一個(gè)重要概念.

定義1線束和點(diǎn)列的交比：

如圖，過點(diǎn)。的四條直線被任意直線/所截的有向線段之比絲/更稱為線束

ADBD

OA.OC.OB、Or）或點(diǎn)列AC,反。的交比.

定理1交比與所截直線無(wú)關(guān).

【證明】令線束0（。也Gd）分別交/于A3,c,θ,

.∣AC.BCSW)ClSAHOeCOsin^AOC.CoSin/COBsin∕40CSinNZC08

則m---/----=M/=--------------/-----------------------,----------,又τ7因ra為

ADBDS.lA?n?nJUSNιR?DC?rJ)UDOsinZAODDOsinZBODsι∏z×AODsin/BoD

各對(duì)應(yīng)向量方向相同，故交比與所截直線無(wú)關(guān).

【注】定理說明，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線束的交比是相同的.保持線束不變，取另一直線/‘交

線束于A',5',C',D',可視為對(duì)/作射影變換，所得交比不變，由此說明交比是射影不變量,

具有射影不變性.

O

AAK

定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列：

若交比為-1,則稱為調(diào)和比.交比為-1的線束稱為調(diào)和線束,點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地，若

AC=ACB

AD=-λDB

（2>O且；IH1,則A,C,3,0四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;

①A,B叫做“基點(diǎn)”,CD叫做“（內(nèi)、外）分點(diǎn)

根據(jù)定義可得：如果點(diǎn)C內(nèi)分線段A3,點(diǎn)。外分線段AB,且生=絲，那么稱點(diǎn)CO調(diào)

CBDB

和分割

線段Λβ.亦稱AC,民。為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn)，依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即：調(diào)和點(diǎn)列=內(nèi)分比=外分比.

ABCD

②也可以以。C為基點(diǎn)，則四點(diǎn)。,反C,A仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，故稱AB與C,。調(diào)和共輛.

③如圖，若A,C,及D構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,O為直線AB外任意一點(diǎn)，則四直線。4,OC,03,OD為

調(diào)和線束；若另一直線截此調(diào)和線束，則截得的四點(diǎn)A',C,B',仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（由定理1

可知）.

ΛΓΔΓ）

定理2調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)：若AC,B,O為調(diào)和點(diǎn)列，即把=絲,則:

CBDB

2

(1)調(diào)和性：；~—7+,；----Γ=]Γ

?AC??AD??AB?

證明.IaI_I。ALlCBLI網(wǎng)朋-ICAl陽(yáng)-1陰

?CB??DB?∣C4∣AlICAl∣Zλ4∣

=網(wǎng)-j一畫=畫+畫-2=扇+由-西

(2)共轉(zhuǎn)性：

若AC,3,￡>構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，則R3,C,A也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.

即：若,?,+,?,=—I.2j.成立,則I1I+I1I=I2］也成立;

?AC??AD?'IA?B"l∣?DB??DA??DC?

(3)等比性：

①留=%=4

ICBl?DB?

②記線段AB的中點(diǎn)為M,則有∣M4F=加8F=∣MC∣?∣岫.

③記線段CD的中點(diǎn)為N,則有INClHND『=MHN4(同2可證)

證明」CAI_IZMI=IAM∣+∣MC∣I⑷+∣M4∣JM?∣+∣MC∣∣M?∣-∣MC∣

,∣CB∣?DB?∣M4∣-∣MC∣?MD?-?MA??MD?+?MA??MD?-?MA?

由等比怦府可知?幽業(yè)5業(yè)竺上Ml=(WAl+1MelHMHT附

`‘、''(∣Λ∕D∣+∣M4∣)+(∣MD∣-∣MA∣)(∣MD∣+∣Λ14∣)-(∣MD∣-∣Λ∕A∣)

.2∣Λ?瑞=IMAIHMBF=IMCI?∣MD∣

2?MD?

同理可得INCF=INe>|2=|附卜|人附

定理3斜率分別為.卷,勺的三條直線4,44交于X軸外的點(diǎn)P，過P作X軸的垂線乙，則

kl,k2,%成等差數(shù)列的充要條件為4,4、加4成調(diào)和線束.

分析：不妨設(shè)勺、&2、e均為正數(shù)，其它情況同理可證.

【證明】如圖，設(shè)《4、44與X軸分別交于AB,C,O四點(diǎn)，則

2k,=K+A3o=-?-H——==Wa<=>A氏C力成調(diào)和點(diǎn)列Oil，h12」4成調(diào)和線

-DBDADCDCBC

束.

定理4己知尸為橢圓的焦點(diǎn),/為F相應(yīng)的準(zhǔn)線，過P任作一直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，交/

于點(diǎn)則A,5,F,M成調(diào)和點(diǎn)列.

（說明：此處圖像應(yīng)修正：8點(diǎn)在橢圓上，8片虛線應(yīng)往上移一

【證明】如圖，分別過AB作/的垂線，垂足為A，耳,則由橢圓的第二定義及平行線的性質(zhì)可

得：

條嬴符故AL成調(diào)和點(diǎn)列.

定義3阿波羅尼斯APOllOniUS圓：到兩定點(diǎn)48距離之比為定值聯(lián)&>0且AWl）的點(diǎn)的

軌跡為圓，稱為APOnOniUS圓（簡(jiǎn)稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學(xué)家APolIoniUS最先提出并解決.

【證明】如圖，由AP=AP8,則在AB直線上有兩點(diǎn)C、。滿足四=吸=已4,故

?BC??BD??BP?

PC、PD分別為一APB的內(nèi)外角平分線，則CoP,即尸的軌跡為以CD為直徑的圓

（圓心O為線段CO的中點(diǎn)）.

由口斗=嗎可知，圖中ACa。為調(diào)和點(diǎn)列.

IBCl?BD?

定義4完全四邊形:我們把兩兩相交，且沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成

的圖形，叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形A88各邊延長(zhǎng)交成的圖形稱為完全四邊形

ABCDEF,AC、BD、斯稱為其對(duì)角線.

定理5完全四邊形對(duì)角線所在直線互相調(diào)和分割.即AGeH、BGDh分別構(gòu)成調(diào)和

點(diǎn)列.

【證明】≡s?SABW_S.AEC.SliACD.SABDF.SfiBEF_EC.AD.?DC.AF_?

SBDESCDSFCS&BEFCDAFECAD

tAtASAeOE

即四=之，所以￡/羽為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得至I].

HFIF

(二)極點(diǎn)和極線的概念

1.極點(diǎn)和極線的幾何定義

如圖,P為不在圓錐曲線「上的點(diǎn)，過點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,",連

接EH,FG交于N,連接EG,尸”交于M,我們稱點(diǎn)P為直線MN關(guān)于圓錐曲線「的極點(diǎn),

稱直線MN為點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線「的極線.直線MN交圓錐曲線「于A,8兩點(diǎn)，則∕?,PB

為圓錐曲線「的兩條切線.若P在圓錐曲線「上，則過點(diǎn)P的切線即為極線.

(1)自極三角形：極點(diǎn)P——極線MV；極點(diǎn)M-----極線PM極點(diǎn)N------極線MP;即

PMN中,三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊分別為一對(duì)極點(diǎn)和極線，稱../MV為“自極三角形

(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況

⑴當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)E(尸,M,N)對(duì)應(yīng)的極線，就是切線PE;

(2)當(dāng)四邊有一組對(duì)邊平行時(shí)，如：當(dāng)尸〃〃EG時(shí)，EG和尸”的交點(diǎn)M落在無(wú)窮遠(yuǎn)處；點(diǎn)P

的極線和點(diǎn)N的極線PMl滿定：FHuNMJiEGHPM、.

2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義

對(duì)于定點(diǎn)P(X0,%)與非退化二次曲線「：Ar?+C∕+6+￡>+尸=0,過點(diǎn)P作動(dòng)直線與曲

線「交于點(diǎn)A與點(diǎn)B,那么點(diǎn)P關(guān)于線段43的調(diào)和點(diǎn)。的軌跡是什么？

可以證明：點(diǎn)Q在一條定直線/:AxOX+C?y+。三至+E上滋+/=0上，如下圖.我們

稱點(diǎn)P為直線/關(guān)于曲線「的極點(diǎn)；相應(yīng)地，稱直線/為點(diǎn)P關(guān)于曲線「的極線.

P

一般地，對(duì)于圓錐曲線JAr2+Bu+qy2+z)χ+Ey+F=0,設(shè)極點(diǎn)P(%,%),則對(duì)應(yīng)的極

線為

"x+S^pΞ+Cy0y+。牛+E券+尸=。

【注】替換規(guī)則為:χ2→%,.f雙Ayf3；照4f三包

22

⑴橢圓與+2=1(。>力>0)的三類極點(diǎn)極線

ab^

(1)若極點(diǎn)P(X(I,%)在橢圓外，過點(diǎn)P作輔圓的兩條功線，切點(diǎn)為4,8,則極線為切點(diǎn)弦所

在直線

AB：―+浮=1；

a1b2

(2)若極點(diǎn)P(Λ,%)在橢圓上，過點(diǎn)P作橢圓的切線/,則極線為切線岑+邛=1；

0ab~

⑶若極點(diǎn)P(Λ0,%)在桶圓內(nèi)，過點(diǎn)P作橢圓的弦AB,分別過A,8作橢圓切線，則切線交點(diǎn)

軌跡為極

線警+浮=1

a^b^

由此可得橢圓極線的幾何作法：

(2)對(duì)于雙曲線二一馬=1,極點(diǎn)P(X0,%)對(duì)應(yīng)的極線為警一坐=1；

a~h~ab

(3)對(duì)于拋物線y2=2px,極點(diǎn)P(XO,%)對(duì)應(yīng)的極線為y=p(??+x)?

3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)

22

(1)引理：已知橢圓方程為=+?=l(α>6>0),直線/的方程為誓+誓=1,點(diǎn)p(%,%)

a"b~aZr

不與原點(diǎn)重合.過點(diǎn)P作直線交橢圓于AB兩點(diǎn),M點(diǎn)在直線A3上，則“點(diǎn)M在直線/上”

的充要條件是"P,M調(diào)和分割A(yù)B",即竺=國(guó)1

PBMB

【證明】先證必要性.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x∣,yj,則有理+誤L=L設(shè)直線/W的參數(shù)方

a^b

程為

.%+為

?—

<l+,(f為參數(shù))

I-ι+t

與橢圓方程聯(lián)立，得產(chǎn)+2(號(hào)+*-ι)+(J+J-ι)=o,

即P?+??-M+僅■+善-1=0,該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為仙，則q+f,=O?

[a'b^[ah-

即P,M調(diào)和分割A(yù)B,也即空.

PBMB

將以上證明過程反向推導(dǎo)，即得充分性成立.

設(shè)P是圓錐曲線「的一個(gè)極點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的極線為/,過P任意引一條直線，交r于點(diǎn)AB,

交/于點(diǎn)Q,若點(diǎn)A是位于P,Q間的點(diǎn)，結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì)：

(1)調(diào)和性

(2)共軌性

8,0,AP四點(diǎn)也構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”，即11二+11二=二0.

∣ββ∣?BP?I網(wǎng)

(3)等比性

(1)點(diǎn)Q、P是線段Afi的內(nèi)、外分點(diǎn),粵=g3=2.

(2)若「為橢圓或雙曲線，當(dāng)直線AB經(jīng)過曲線中心O時(shí)，∣OR?∣OQ∣=∣04∣2=∣O3∣2.

4.配極原則

若P點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線「的極線通過另一點(diǎn)。，則。點(diǎn)的極線也通過P,稱P、。關(guān)于「調(diào)和

共機(jī)

【證明】設(shè)點(diǎn)P(∕,%),則相應(yīng)的極線為Ip:黎+等=1,點(diǎn)Q(q,),J,相應(yīng)的極線為IQ:

岑+渾=L因?yàn)椤＿^點(diǎn)。,Q坐標(biāo)滿足方程華+浮=1,即空+空=1;則P點(diǎn)

abcrb-ab'

坐標(biāo)滿足方程笄+渾=1,這也說明，也就是G過點(diǎn)P

a^b^

配極原則說明:/尸過點(diǎn)QolQ過點(diǎn)P,由此可得下面推論:

推論1:共線點(diǎn)的極線必然共點(diǎn)(A、G、D、E四點(diǎn)共線，它們的極線a、g,d、e共交點(diǎn)尸);

共點(diǎn)線的極點(diǎn)必然共線(直線a、g,d、e共交點(diǎn)P,它們的極點(diǎn)AG,D、E四點(diǎn)共線).

推論2：如下圖，過極點(diǎn)P作兩條直線，與梆圓分別交于點(diǎn)AB和C,O,則直線ARBC的交

點(diǎn)T必在極線上.

5.橢圓的極點(diǎn)與極線的常用性質(zhì)

2o

對(duì)于橢圓1+4=1,極點(diǎn)P(X0,%)(不是原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的極線為誓+誓=1,有如下性質(zhì)：

ab"a~b~

性質(zhì)1：“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”

2

當(dāng)極點(diǎn)P(力⑼(加HO)在?χ軸上時(shí),對(duì)應(yīng)的極線X=一平行于y軸,當(dāng)極點(diǎn)尸(0,〃)(MWO)在

m

y軸上時(shí)對(duì)應(yīng)的極線y=生平行于X軸；特別地，當(dāng)極點(diǎn)P為橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，極線為相應(yīng)的

n

準(zhǔn)線.

性質(zhì)2：平方模型

如下圖，射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,與點(diǎn)P的極線交于點(diǎn)C,則?0P?-?0C?=IoDI2；當(dāng)

點(diǎn)P在X軸上時(shí)，∣0P∣?∣0C∣=α2;當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，∣0P∣?∣0C∣=b2.

性質(zhì)3：共軌方向

設(shè)極點(diǎn)P(%o.yo)不在坐標(biāo)軸上，則直線OP的斜率為kop=極線2：簧+翼=1的

斜率k=4?則Mi=，(-鬻)=/°

【注】性質(zhì)3表明：橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的極線方向與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的方向相同，稱OP

與極線方向共趣.當(dāng)極點(diǎn)P(xo,yq)在橢圓內(nèi)時(shí)，極線I平行于以P為中點(diǎn)的弦所在直線

EF(用點(diǎn)差法易證).設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作橢圓的切線I1,則以P

為中點(diǎn)的弦所在直線EF、過點(diǎn)。的切線％、極點(diǎn)P的極線I,三線互相平行，如下

圖.

性質(zhì)4:平行

如下圖，設(shè)四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形，AC∕∕BD,AD∏BC=Q,則點(diǎn)P的極線過Q,

且與直線AC.BD平行.特別地，若BC∕∕AD∕∕y軸時(shí)，點(diǎn)P的極線平行y軸，且與X

軸的交點(diǎn)R也是AC、BD交點(diǎn)、，有|0/?|??0P?=?0F?2=a2.

性質(zhì)5:垂直

設(shè)圓錐曲線Γ的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為I,若過點(diǎn)F的直線與圓雉曲線Γ

相交于M1N兩點(diǎn)，則Γ在M1N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線I上，且FQ1MN.

【證明】以橢圓為例證明，雙曲線與拋物線類似處理.

設(shè)P(XoJo),則P(XOJo)對(duì)應(yīng)的極線為MN:翳+繁=1,由F(C,0)在直線MN上得

登=1,所以Xo=J故Q在準(zhǔn)線％9上.由「(『Jo)，易證∕?N?%F=T,所

以FQIMN.

性質(zhì)6：等角定理

如下圖，A1B是橢圓「的一條對(duì)稱軸I上的兩點(diǎn)(不在「上)，若A1B關(guān)于「調(diào)和共

輛，過A任作Γ的一條割線，交「于P,Q兩點(diǎn)，則?PBA=?QBA.

證明：因Γ關(guān)于直線I對(duì)稱，故在Γ上存在P,Q的對(duì)稱點(diǎn)P',Q'.若P'與Q重合，則

Q'與P也重合，此時(shí)P.Q關(guān)于I對(duì)稱，有?PAB=?QABi若P'與Q不重合，則

Q'與P也不重合，由于4B關(guān)于「調(diào)和共舸，故4B為「上完全四點(diǎn)形PQ'QP'的

對(duì)邊交點(diǎn)，即Q'在P1A上也在PB上，故BP,BQ關(guān)于直線I對(duì)稱，也有ΛPBA=

/.QBA.

【注】事實(shí)上，性質(zhì)6對(duì)于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結(jié)論：

(1)直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為Q',則Q'與Q關(guān)于I對(duì)稱；

(2)?PAO=/-QAB=/-Q'AB-,

⑶^AP+^AQ'=θ?

典型例題

類型1:判斷位置關(guān)系

【例1】已知點(diǎn)M(α,b)在圓O?.x2+y2=l外，則直線αx+by=1與圓。的位置關(guān)系

是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

類型2：求極線方程

【例2】過橢圓9+3=1內(nèi)一點(diǎn)M(1,2),作直線AB與橢圓交于點(diǎn)4B,作直線CD

與橢圓交于點(diǎn)C1D,過48分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P,過C,0分別作橢圓的切線交于

點(diǎn)Q,求P,Q連線所在的直線方程.

【例3】設(shè)橢圓C:*+，=l(α>b>0)過點(diǎn)M(√X1),且左焦點(diǎn)為F1(-√2,l)?

(1)求枚圓C的方程；

(2)當(dāng)堂mi)白竺直色J于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A1B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)

Q,滿足IQl?∣QB∣=I而I?I而證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

類型3：證明直線過定點(diǎn)或三點(diǎn)共線

［例4］如圖，過直線l?.5x-7y-70=0上的點(diǎn)P作橢圓卷+?=的切線PM和

PN,切點(diǎn)分別為M,N,連結(jié)MN.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線MN恒過定點(diǎn)Q;

⑵當(dāng)MNHI時(shí)，定點(diǎn)Q平分線段MN.

2

2

［例5］已知A1B分別為橢圓E?.^+y=l(α>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn),

AG-GB=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB'1E的另一交點(diǎn)

為D.

(1)求E的方程;

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

類型4:證明兩直線垂直

［例6］已知A(-2,0),B(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，且直線AC和直線BC的斜率之積為-*

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

⑵設(shè)直線［與(1)中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線x=4相交于點(diǎn)Q,且F(l,0),求證:

乙PFQ=90°.

類型5:證明向量數(shù)量積(或線段長(zhǎng)度之積)為定值

［例7］如圖，橢圓有兩頂點(diǎn)4(-l,0),B(l,0),過其焦點(diǎn)F(0,l)的直線I與橢圓交于

C、D兩點(diǎn)，并與%軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

⑴當(dāng)ICDI=I√Σ時(shí)，求直線I的方程/1(-1,0);

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于4、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OPOQ為定值.

類型6:與斜率有關(guān)的定值問題

2

［例8］設(shè)PCx0ly0')為梆圓?+y=1內(nèi)一定點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過點(diǎn)P的兩條

直線分別與橢圓交于點(diǎn)A1C和B、D,且AB//CD.

(1)證明：直線AB的斜率為定值；

(2)過點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)P平分線段EF.

［例9］如圖，橢圓E［+,=1(α>h>θ)的離心率為y,直線l?.y=?x與橢圓E

相交于4、B兩點(diǎn)，AB=25,C、D是橢圓E上異于4、B的任意兩點(diǎn)，且直線

AC.BD相交于點(diǎn)M,直線AD,BC相交于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

(1)求橢圓E的方程;

(2)求證：直線MN的斜率為定值.

【例10】四邊形ABCD是橢圓?+?=1的內(nèi)接四邊形，AB經(jīng)過左焦點(diǎn)FltACtBD交

于右焦點(diǎn)F2,直線AB與直線CD的斜率分別為k1,k2.

(1)證明：2為定值；(2)證明：直線CD過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

類型7:等角問題

2

【例11】設(shè)橢圓c：y+y=1的右焦點(diǎn)為F,過戶的直線I與C交于A1B兩點(diǎn),點(diǎn)

M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)［與萬(wàn)軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

⑵設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：?OMA=/.OMB.

【例12］如圖，已知橢圓C:捺+'=l(α>b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)(一1,日)在橢圓

C上，過原點(diǎn)。的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且?MF?+?NF?=4.

（1）求橢圓C的方程;

⑵設(shè)P（1,0）,（2（4,0）,過點(diǎn)Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，證明:

?APO=Z-BPQ

類型8:三斜率成等差數(shù)列

引理：二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0與直線PQ交于點(diǎn)P,Q,定點(diǎn)。

在直線PQ上，PQ與。點(diǎn)關(guān)于曲線C的極線交于點(diǎn)R.曲線C上有兩動(dòng)點(diǎn)A1B,且

直線AO,BO分別交曲線Γ于點(diǎn)C,D,直線AB,CD分別交PQ于點(diǎn)M,N.則

M1O1N1R成調(diào)和點(diǎn)列.

【證明】延長(zhǎng)XO交BC于點(diǎn)E,由定理5可知：B,E,C,Y成調(diào)和點(diǎn)列（完全四邊形中

的調(diào)和點(diǎn)列）,故M,O,N,R也成調(diào)和點(diǎn)列（調(diào)和點(diǎn)列在射影變換下的不變性）.

【例13］梆圓C:g+g=l,P的坐標(biāo)是（XO,0）,Q點(diǎn)在P關(guān)于橢圓的極線x=^上.

過P作直線交橢圓于點(diǎn)A.B.求證：直線AQ1PQ1BQ的斜率成等差數(shù)列.

該結(jié)論對(duì)于拋物線，雙曲線同樣適用.特別地，當(dāng)Q點(diǎn)在X軸上時(shí)，就是等角線，此時(shí)

PQ斜率為0,PQ平分LAQB.

【例14］如圖，已知橢圓C:捺+，=l(α>b>0),過焦點(diǎn)F任作一直線交橢圓C于

A1B兩點(diǎn)，交F相應(yīng)的準(zhǔn)線￥點(diǎn)M,P為過尸與無(wú)軸垂直的直線上的任意一點(diǎn)，則直線

PA1PM1PB的斜率成等差數(shù)歹∣J.

【例15］如下圖，橢圓捺+，=l(α>b>0)的左右頂點(diǎn)為A11B11Q為直線X=Tn上

一點(diǎn)，Q4,QBi分別于曲圓交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)P作直線交梆圓于A,B兩點(diǎn)，直線AB與

X軸交于點(diǎn)P,與直線x=m交于點(diǎn)記直線QAi,QB1,QP的斜率分別為k1,k2,k0,

則：

2

(1)k1,k0fk2成等差數(shù)列；(2)XPXQ=a.

【例16］橢圓.+需=l(α>6>0)經(jīng)過點(diǎn)M1,∣),離心率e=[?

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)P是直線x=4-上任意一點(diǎn)，AB是經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F的一條弦(不經(jīng)過點(diǎn)M).

記直線PA,PF,PB的斜率依次為1<1也％問:是否存在常數(shù)人使得fc1+fc3=λk2.若

存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

參考答案

類型1:判斷位置關(guān)系

【例1】已知點(diǎn)M(α,b)在圓O:X2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓。的位置關(guān)系

是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

【答案】B.

【解析】因?yàn)棣義+by=l是圓/+y2=ι的切點(diǎn)弦方程，所以直線與圓相交，故選B.

類型2:求極線方程

【例2】過橢圓9+9=1內(nèi)一點(diǎn)M(1,2),作直線AB與橢圓交于點(diǎn)作直線CD

與橢圓交于點(diǎn)CtD,過4B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P,過C,D分別作橢圓的切線交于

點(diǎn)Q,求P,Q連線所在的直線方程.

【答案】沁=L

【解析】該題實(shí)質(zhì)上就是求橢圓?+?=l內(nèi)一點(diǎn)MQ,2)對(duì)應(yīng)的極線方程，答案為≡+

959

1.

2

[例3]設(shè)橢圓C-.^+^=l(a>6>0)過點(diǎn)M(√2,l),且左焦點(diǎn)為F1(-√2,l)?

(I)求教圓C的方程；(2)當(dāng)色點(diǎn)￡(4,1)塑直線I于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A1B時(shí),

在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足I萬(wàn)I?I謔I=I而I?I而證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【答案】(1)1+：=1;(2)見解析.

42

C2=2

21α~=422

【解析】(1)由題意得：?-+-=l,解得《.，所求橢圓方程為?r+9v=l.

a2b2[b2=242

c2=a2-b2

(2)解法1:定比點(diǎn)差法

設(shè)點(diǎn)Q、4、B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2>y2)

由題設(shè)知I說而而而I均不為零，記4=嵋=黑，則λ>0且

?pb?IQBl

又A1P1B1Q四點(diǎn)共線，從而AP=-APB1AQ=λQB

于是4=小-忒2,]=yi-極,χ_χ1+λχ2^_yl+λy2

l-λl-λl+λ1+A

從而?4x=?i..............(1)y=??1.............(2)

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即：

Xi+2yf=4..................(3)

×2+2yf=4..................(4)

(1)+(2)×2,并結(jié)合⑶(4)得4x+2y=4,

即點(diǎn)Q(X,y)總在定直線2x+y-2=0上.

解法2：構(gòu)造同構(gòu)式

設(shè)點(diǎn)Q(Xy),A(xlly1),B(x2ly2'),

由題設(shè)知I而|,|而|,|而|,|而I均不為零，記入=鬻=用，

又4P,B,Q四點(diǎn)共線，可設(shè)方=一/l而，Pβ=λβQ(Λ≠O,±l)

_4-λx(_4+Ax

1λ1+λ

^υ(λ1){(2)

=v2=i±^⑷

l-λV21+A

22

由于A(,x1,y1)lβ(x2,y2)在橢圓C上，將(1)(2)分別代入C的方程x+Zy=4,

整理得：(/+2y2-4)於一4(2χ+y-2)4+14=0(3)

(x2+2y2-4)λ2+4(2x+y-2)λ+14=0(4)

(4)-⑶得：8(2x+y-2)λ=0,“λ≠0,?2x+y-2=0,

即點(diǎn)Q(X,y)總在定直線2x+y-2=0上.

解法3：極點(diǎn)極線

由?AP?-?QB?=I砌.?PB?可得卷=薪

說明點(diǎn)P1Q關(guān)于梆圓調(diào)和共輒，點(diǎn)Q在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線上，

此極線方程為等+芳=1,化簡(jiǎn)得2x+y-2=0.

故點(diǎn)Q總在直線2x+y-2=0上.

【注】點(diǎn)Q的軌束方程為2x-y-2=0(在橢圓內(nèi)的部分)

類型3：證明直線過定點(diǎn)或三點(diǎn)共線

【例4.】如圖，過直線Z:5x-7y-70=0上的點(diǎn)P作橢圓卷+?=1的切線PM和

PN,切點(diǎn)分別為M,N,連結(jié)MN.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí)，證明：直線MN恒過定點(diǎn)Q-

⑵當(dāng)MN//1時(shí)，定點(diǎn)Q平分線段MN.

【答案】見解析.

【解析】解法1:常規(guī)解法

(1)證明：設(shè)P(XO,yt>),M(x1,y1),N(x2,y2)?

則橢圓過點(diǎn)M1N的切線方程分別為：箸+等=1,篝+等=L

因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)P,則有：筌+華=1,筌+嚕=L

259259

這表明MN均在直線禁+錚=1⑴上.

由兩點(diǎn)確定一條直線知，式(1)就是直線MN的方程，

其中(Xofo)滿足直線I的方程.

當(dāng)點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)時(shí),可理解為X0取遍一切實(shí)數(shù)，相應(yīng)的y0為y0=∣χ0-10.

5x70

代入(1)消去y°得?χ+?y-1=0(2)對(duì)一切X0eR恒成立.

Zbo?

變形可得沏償+韻-(等+1)=0,對(duì)一切X。

(X5y(25

X=

∈R恒成立,故有慍63=θT%A

I——9+1=0Vy=——io

故直線MN恒過定點(diǎn)Q管,一卷).

?5Λ?-70_]

(2)當(dāng)MN//1時(shí)，由式(2)知?----絲一≠三.解得X0

?―/一/U

4375533

=-≡τγ.代入(2),得MN的方程為5x-7y--=0(3)

ιz,II-‰--rn■AT/∣-1τnrιτr>ΛY、/上/口533?533128068

將此方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y得云?/-X-=0.

由此可得，此時(shí)MN截圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q(",-2)的橫坐標(biāo)，即

一533

X--

xγ1+=--2----=7--=---2-5-----

22丫53314

2×T5^

代入(3)式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q(得,一2)的縱坐標(biāo)，

即

5255331/125533\9

y=-X---------------=---I---------------I=-------

,7147x3549k22/10

這就是說，點(diǎn)Q-平分線段MN.

解法2:

(1)動(dòng)點(diǎn)P在定直線I上，則相應(yīng)的切點(diǎn)弦過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)Q必為極點(diǎn)，

于是只需求極點(diǎn)即可：

由5x-7y-70=0^^-?=1,得到極點(diǎn)坐標(biāo)Q管,一看)，即為所求定點(diǎn).

(2)由橢圓內(nèi)一點(diǎn)極線方向與以極點(diǎn)為中點(diǎn)弦的方向相同，也即OQ與極線方向共軌，即得

結(jié)論(2).

【注】“極點(diǎn)在已知直線上，則極線過定點(diǎn)”.這是一類?？嫉闹本€過定點(diǎn)問題.

2

v2

［例5］已知A1B分別為橢圓E?.^+y=l(α>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn),

AG-GB=S1P為直線X=6上的動(dòng)點(diǎn)，P4與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)

為

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

【答案】⑴=+y2=l;⑵見解析

9

2

【解析】(1)易得橢圓E的方程為?v-+y2=l;

(2)利用極點(diǎn)極線

角度1:如下圖，設(shè)CO交4B于Q,4C交CB于R,則QR為P對(duì)應(yīng)的極線，

即點(diǎn)Q在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線上.極點(diǎn)P(6,t)對(duì)應(yīng)的極線方程為等+ty=1,

即y+ty=1,極線恒過定點(diǎn)(|,0),故直線CD也過定點(diǎn)(|,0).

則點(diǎn)P(6,t)在點(diǎn)Q(m,0)對(duì)應(yīng)的極線上，極點(diǎn)Q(mt0)對(duì)應(yīng)的極線方程為詈+0?y=l,

即X=—,由2=6得？n=1,所以直線CD過定點(diǎn)Q仔,0).

角度3:如圖，設(shè)直線x=6交X軸于點(diǎn)H.由極點(diǎn)極線的性質(zhì)可知：

IOQlIOHl=?OB?2

即6∣O<2∣=32,所以∣OQ∣=*故直線CD過定點(diǎn)Q(∣,O)?

【注】本題的背景是極點(diǎn)極線，上面解法從三個(gè)不同角度進(jìn)行了“秒殺”，令人回味無(wú)窮.極

點(diǎn)極線是高等幾何中的內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教材中雖然沒有介紹相關(guān)的定義及性質(zhì)，但是以此

為背景的高考和競(jìng)賽試題層出不窮、常考常新.我們用其他解法求解本題時(shí)，可以用求極

線對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的解法得到這個(gè)定點(diǎn)，目標(biāo)已然心中有數(shù)，那么就能降低運(yùn)算難度,避免計(jì)算錯(cuò)

誤.

類型4:證明兩直線垂直

［例6］已知A(-2,0),8(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，且直線AC和直線BC的斜率之積為-*

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)設(shè)直線I與(1)中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線X=4相交于點(diǎn)Q,且F(l,0),求證:

乙PFQ=90°.

【答案】(1)9+9=l(yW0);(2)證明見解析.

【解析】(1)設(shè)Cay),則依題意得kAC-kBC=-\,又/(-2,0),8(2,0),

所以有--?--=--(y≠θ)>

x+2X-24)

整理得?+?=l(yM0),即為所求軌跡方程.

(2)解法1:

設(shè)直線上y=k%+m,與3/+4y2=12聯(lián)立得

3x2+4(kx+m)2=12,即(3+4fc2)x2÷Bkmx÷4m2-12=O,

22222

依題意A=(8km)-4(3+4∕c)(4τn-12)=0,即3+4k=mf

—8km—4km

???∕+"2=?W得/=&=中再,

???P或翳黑》而3+41=病,得P(募,。又Q(4,4∕c+m),

__/4fc3\

又F(1,O),則而?而=(一一--1,—I?(3,4fc+m)=0.知而1而，即乙PFQ=90°.

?mmJ

解法2:

設(shè)P(Xo,y°),則曲線C在點(diǎn)P處切線PQ：孚+券=1,

令X=4,得Q(4,匕逛)，又F(1,0),

?y()'

.?.FPFQ=(Xo-l,y0)?(3,"3巧=。，知而_L而,即乙PFQ=90".

解法3:

x=4為橢圓的右準(zhǔn)線，橢圓右焦點(diǎn)為F(l,0),

由橢圓極點(diǎn)極線性質(zhì)5可知：PF1FQ,即乙PFQ=90°.

2箝2

【注】模型：已知橢圓e?v+?=l(α>h>O)的右焦點(diǎn)為F,直線I與橢圓C相切于

P,且與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q,前有PFIFQ.

類型5：證明向量數(shù)量積(或線段長(zhǎng)度之積)為定值

【例7】如圖，橢圓有兩頂點(diǎn)4(-1,0),8(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,l)的直線I與橢圓交于

C、D兩點(diǎn)，并與X軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)ICDI=I位時(shí),求直線I的方程4(一1,0)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：OPOQ為定值.

(2)定值為1.

【解析】解法1:

設(shè)P(t,O),則點(diǎn)P的極線過Q.易得橢圓方程%2+^=l,則P的極線為等+比=1,

z

于是點(diǎn)Q在直線X=:上，設(shè)QQ,y0).則OP?OQ=(t,0)?ɑ,y0)=?'I+θ?3o=L

解法2:

根據(jù)極點(diǎn)極線幾何性質(zhì)，點(diǎn)p關(guān)于枚圓x2+^=1的極線為過點(diǎn)Q且與X軸垂直的直

線上.

設(shè)該直線交X軸于Q',由“調(diào)和點(diǎn)列”的“等比性”，可知0Q'?0P=0B2,從而OP.

OQ=I.

類型6:與斜率有關(guān)的定值問題

［例8］設(shè)P(Xofo)為梆圓y+y2=1內(nèi)一定點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，過點(diǎn)P的兩條

直線分別與橢圓交于點(diǎn)A1C和B、D,且AB//CD.

(1)證明：直線AB的斜率為定值；

(2)過點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)P平分線段EF.

【答案】見解析

【解析】(1)因?yàn)锳B//CD,所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線竽+yθy=1平行于AB,

即AB的斜率是一普(定值)；

4x0

2

(2)直線EF：y=--x0)+y(),代入橢圓γ+y=1,得

—荻Q-χ°）+y°

x

XQ+4據(jù)2?（o+4詔）

+>,o-1=°

16環(huán)

心(瑤+4據(jù))

此時(shí)點(diǎn)P是EF中點(diǎn)，即點(diǎn)P平分線段EF.

［例9］如圖，橢圓Fι?+?=1(α>h>θ)的離心率為"直線l-.y=?x與橢圓E

z

αDΔ/22

相交于4、B兩點(diǎn)，4B=25,C?D是橢圓E上異于A、B的任意兩點(diǎn)，且直線

AC.BD相交于點(diǎn)M,直線AD,BC相交于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求證：直線MN的斜率為定值.

【答案】（1）]+!=1;（2）見解析.

63

【解析】⑴]+<=l.（過程略）

63

⑵設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m,n）,直線DC與BA交于點(diǎn)P,

則MP為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，其方程為竽+?=L結(jié)合y=iχ,得到P點(diǎn)坐標(biāo)為

（?,?）.所以，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線MN的方程為-?-x+---x=l,即x+y=

?m+nm+n∕6m+n3m+n

771+n,

所以直線MN的斜率為定值-L

【注】本題需要極點(diǎn)、極線之間的兩次轉(zhuǎn)化，通過點(diǎn)P在點(diǎn)N