2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型03 三角函數(shù)（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)

文化）

一、單選題

1.（2022春.黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校校考開學(xué)考試）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯

到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,內(nèi)環(huán)弧長為0.6m,

徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2D.1.40m2

2.（2021秋.湖南婁底.高三?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？''大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點

出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方

向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,IO

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

3.（2021?河南許昌?校聯(lián)考一模）某校高一年級研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測速儀實地測量復(fù)興號高鐵

在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收

反射光.當(dāng)物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移力=生產(chǎn)，其中V為測速儀測得被測

Λ

物體的橫向速度，2為激光波長,為。兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵Im處，

發(fā)出的激光波長a=160Onm（Inm=Iorm）,測得某時刻頻移（=9?0xl0'＞（l∕h）,則該時刻高鐵的速度約等

于（）

C.320km∕hD.300km∕h

4.（2021?全國?高三專題練習(xí)）音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，1807年法國數(shù)學(xué)家傅

里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如Y=Asinwx的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻

率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由下圖L2,3三個函數(shù)圖象組

成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（）

A../(/)=0.06sinlOoom+0.02sin1500R+0.0Isin300Om

B./(∕)=0.06sin500π∕+0.02sin2000πt+0.01sin300πt

C./(f)=0.06Sinlooo入f+0.02sin2000加+0.01sin3000加

D./⑺=0.06sinIOOo加+0.02Sin25(X)R+0.01sin300OR

5.(2022春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期中)第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國

舉辦的國際性奧林匹克賽事.2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37

秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌.短道速滑，全稱短跑道速度

滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動.如圖，短道速滑比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑

為8.5m，直道長為28.85m?若跑道內(nèi)圈的周長等于半徑為27.78m的扇形的周長，則該扇形的圓心角為（參

考數(shù)據(jù)：取17萬=53.42）（）

'~跑道~V-

[8^5m?

（*-------28.85m------]30m

、____________________J≡___________________

----------------------60m----------------------*j

A.-B.-C.2D.—

233

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他

把這種方法稱為“三斜求積”：以斜幕并大斜累減中斜累，余半之，自乘于上，以小斜基乘大斜基減上，余四

約之，為實，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五"田域類''里就有已知三邊求三角形面積

的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13,14,15,則該三角形田地的面積

是（）

A.84B.168C.79D.63

7.（2022.全國.高一假期作業(yè)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級，抗日戰(zhàn)爭

中被日軍飛機炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖L我國古代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊

以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體磚塊砌成的近似

圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2,則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓

的半徑是（）

8.(2022?全國?模擬預(yù)測)《幾何原本》卷∏的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù)，通過

這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，這種證明方式優(yōu)雅而直

觀.觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為8s(α+/?)或cos。CoSSinaSin夕，所以該圖直觀地反映

了公式8s(α+0=8sacos萬-sinαsin∕7.通過觀察圖中陰影直角三角形長直角邊和長方形的寬，可得公式

A.cos(α-⑶=CoSaCOS尸+sinasinβ

B.sin(α-∕?)=Sinacosβ-cosasinβ

C.cos(α+/7)=COSaCOSP-SinaSinβ

D.sin(α+/)=SinaCoS萬+cosasinβ

9.（2022?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲,

然后通過主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,通過主動降噪

芯片生成的聲波曲線是y=Asin（<vx+°）（其中A>0,O>0,0≤∕<2Λ?）,則*=（）

用來降噪的聲波

A.-B.πC.—D.-

226

10.（2022?高一課時練習(xí)）2021年1月7日，一個戴著紅帽子，扎著紅圍脖，身材圓滾的大雪人在哈爾濱

市友誼西路音樂公園內(nèi)落成.這個用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意著可愛祥和、喜慶豐收，

每天約有3000人前來和大雪人合影打卡，已成為松花江畔冬天的新地標(biāo)，這滿滿的冬日儀式感就是冰城獨

特的浪漫.小明同學(xué)為了估算大雪人的高度,在大雪人的正東方向找到一座建筑物AB,高為

2

在它們之間的地面上的點M（8,M,。三點共線）處測得樓頂4,雪人頭頂C的仰角分別是15。和45。，在

樓頂A處測得雪人頭頂C的仰角為15。，則小明估算大雪人的高度為（）

A.13√2mB.13mC.18√2mD.13Gm

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵

餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”.經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是荒，“弓”

所在圓的半徑為1.05米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3≈1.732）

7"

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

12.（2022春?北京豐臺?高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaewus,約前417-前369）通過圖

來構(gòu)造無理數(shù)血,石,石,….記NK4C=a,ADAC=β,則cos(α+∕7)=()

7|_5/6述+也

B.c.B也

32^36~3632

13.（2022?四川廣安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服唇影算法”在《大衍歷》中建立了唇影

長/與太陽天頂距。（0＜。＜180）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可

知，唇影長度/等于表高A與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=Atan氏對同一“表高”兩次測量，第一次和第

二次太陽天頂距分別為a、β,若第一次的“辱影長”是“表高”的3倍，且tan（a-4）=（,則第二次的“號影

長”是“表高”的（）倍

A.1B.—C.一D.一

322

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是"中

國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測

量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得ZZMC=30。，ZDBC=60o,ΛB=14米，則岳陽

樓的高度C力為（）

D

A.66米B.76米C.8白米D.90米

15.（2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓

柱、棱柱于一體，極具對稱之美.為了估算圣?索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物

AB,高約為36m,在它們之間的地面上的點M（8,M,。三點共線）處測得建筑物頂4、教堂頂C的仰角

分別是45和60,在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15,則可估算圣?索菲亞教堂的高度CQ約為（）

A.54mB.47mC.50mD.44m

16.（2022.浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服唇影算法”在《大衍歷》中建立了影長/

與太陽天頂距e（0°≤"<1800）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可

知，號影長/等于表高力與太陽天頂距。正切值的乘積，即∕=mane.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二

次太陽天頂距分別為α,β,若第一次的“愚影長”是"表高”的3倍，且tang-6）=；,則第二次的“辱影長”

是“表高”的（）

257

A.1倍B.-C.5倍D.］倍

17.（2022?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測）“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率兀的一種方法.在公元263年左右，由

魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求C根據(jù)“割

圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率兀，則兀的近似值是（）（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)sinl5≈0.2588）

A.3.05B.3.10C.3.11D.3.14

18.（2022秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中提出

了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜基并大斜基減中斜暴，余半之，自乘于上.以小斜嘉乘大斜塞

以上文字用公式表示就是S=*一戶］，

減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.“

其中mb,c分別是AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊,S是aABC的面積，在aABC中，若α=3,b=5,c=6,

則AABC的內(nèi)切圓的面積為（）

?7π4√14?8π、9π

A.—B.-------πC.—D.—

2777

19.（2021秋?遼寧營口?高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國機械

學(xué)家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，

在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形ABC的邊長

為2,則勒洛三角形面積為（）

A.2π-2>fiB.2τr+?s∣3C.—ξ-+?fiD.4乃

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，

漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1）,證

明了商高結(jié)論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至。）得到圖2.在圖2中，

若AD=5,BD=3√10.D,E兩點間的距離為Ji存，則弦圖中小正方形的邊長為（）

A.也B.述C.1D.√2

23

21.（2022?福建漳州?統(tǒng)考三模）英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利?卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，

卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻

上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算

出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲

上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點，然后用兩個質(zhì)

量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2）,由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反

射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G,從而計算出了地球的質(zhì)量.在該

實驗中，光源位于刻度尺上點尸處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺

的點。處，鏡面繞M點順時針旋轉(zhuǎn)4角后，反射光線照射在刻度尺的點Q'處，若APMQ是正三角

形.PQ=a,QQ'=b（如圖3）,則下列等式中成立的是（）

圖1

√3?

A.tana=

2a+b

C√3?

C.tan2a=----

2a+b

22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》

一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成），如圖（1）類比“趙

爽弦圖“，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的

一個大等邊角形，設(shè)叱=3AF,若向三角形ABC內(nèi)隨機投一粒芝麻（忽略該芝麻的大?。瑒t芝麻落在陰

影部分的概率為（）

23.（2022?河南鄭州?統(tǒng)考三模）位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當(dāng)于一個測量日影的圭表.圭表是我國古代

一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向

水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為"圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面

上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置

設(shè)計的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即NASC）約為32.5。，夏至正午太陽高度角（即

ZADC）約為79.5。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即08的長）為14米，則表高（即AC的長）約

327

為（）（其中tan32.5°*],tan79.5o≈y）

夏至正午陽光

冬至正午陽光

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

24.（2022秋?河南鄭州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，

發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sinl8表示.若實數(shù)〃滿足4siι√18+1=4,則ITinl8

4n2sin218

的值為（）

A.4B.-C.2D.g

42

25.（2022?高一課時練習(xí)）數(shù)學(xué)家傅里葉關(guān)于三角函數(shù)的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物

的叫聲等都可以歸結(jié)為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數(shù)模型描述的.已知描述百靈鳥

對應(yīng)的函數(shù)解析式是/(x)=ASin(<yχ+φ)(A>0,0>0,0<<p<τc),貝||()

,,π

B.ω=6,φ=~

3

/5%

D.G=6,φ=——

6

26.（2022秋?山西太原?高二山西大附中?？奸_學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又

環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1）,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理（圖2）.現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度

為2米，設(shè)筒車上的某個盛水筒尸到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水

2

筒P剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過f秒后，下列命題正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：8548。。^）

圖1圖2

①d=2-3sin舟+可，其中Sine=|,且T嗚)，

②4=2+3武器-可，其中Sine=且0e(θ,?,

③當(dāng)t≈3S時，盛水筒尸再次進入水中，

④當(dāng)t≈22時，盛水筒P到達最高點.

A.①③B.②③C.②④D.①④

27.(2022秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，

曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1-CoS，為角。的正矢，記作VerSin6；定義I-Sine為角。的余矢，記作

COVerSd.給出下列結(jié)論：

①函數(shù)/(x)=VerSinX-COVerSX在-,π上單調(diào)遞增；

②若c°vers。_-=2,貝IJversin2x-covers2x-1=-；

versinx-15

③若g(x)=versinx?covers^,則g(x)的最小值為O；

9

④若/7(x)=versin2x-coversr,則〃(x)的最小值為一一.

8

其中所有正確結(jié)論的序號為()

A.①②B.③④C.①③④D.②③④

28.(2022秋.廣東肇慶.高三統(tǒng)考階段練習(xí))《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代

時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”(以

弦為邊長得到的正方形ABCD是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成)，用數(shù)形結(jié)合法

給出了勾股定理的詳細證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若AF=6,

βF=4√10,G,尸兩點間的距離為2而，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為()

G

29.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學(xué)家用圓內(nèi)接正6〃邊形的周長來近似計算圓周長，以估計圓周

率兀的值.若據(jù)此證明π>3.14,則正整數(shù)〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.H

二、多選題

30.（2021秋?山東臨沂?高一臨沂第四中學(xué)校考期末）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，衛(wèi)星圖片可以

看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設(shè)其中一個扇形的面積為，，圓心角為%,天壇中剩余部

分扇形的面積為邑，圓心角為a］，（囚<。2）當(dāng)Sl與邑的比值為與1。0,618時，則裁剪出來的扇形看上去

較為美觀，那么（）

A.α∣≈137.5°B.α1≈127.5°

C.a2-（75-Y）πD.—=~~~-

a22

31.（2020秋?福建福州?高三福建省福州華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲

落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時

返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船

底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.

時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3：007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中正確的有（）

A./(x)=2.5cos7T5B./(x)=2.5sinr+5

C.該貨船在2：OO至4：00期間可以進港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進港

32.（2022秋.福建莆田.高三莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純

音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)V=Asins.我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個

復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/（x）=SinX+gsin2x,則（）

A./（x）的最大值為gB.2兀為f（x）的最小正周期

C.χ'為y=∕（χ）曲線的對稱軸D.（兀⑼為曲線y=∕（χ）的對稱中心

33.（2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.底與

腰之比為黃金分割比（或二1二0.618）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36。的等腰三角形.例如，

2

中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的.如圖，將五角星的五個頂點相連，記

正五邊形AB8E的邊長為。，正五邊形AB∣6RE的邊長為匕，ZCAD=a,則下列結(jié)論正確的是（）

A

D

B1E

B、

4

D

A.ctΛ∕5—1

A.s?n——=--------

24

r?-√5-l

a2

Cb3—?/?

a2

D.對任意的8∈R,CoSe+cos(0+2α)+cos(e+4a)+cos(e+6α)+cos(9+80)=0

三、填空題

34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》方田篇記載“宛田面積術(shù)日：以徑乘周，四

而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的

公式為：扇形面=至緲.現(xiàn)有一宛田的面積為I,周為2,則徑是__________.

4

35.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會閉幕式上，呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結(jié)緊緊包裹的

畫面，體現(xiàn)了中國“世界大同，天下一家'’的理念，數(shù)學(xué)中也有類似“包裹”的圖形.如圖，雙圓四邊形即不僅

有內(nèi)切圓而且有外接圓的四邊形，20世紀80年代末，國內(nèi)許多學(xué)者對雙圓四邊形進行了大量研究，如：邊

長分別為〃，b,c,d的雙圓四邊形，則其內(nèi)切圓半徑r=2或時，外接圓半徑

α+?+c÷J

R2=j（"+"）（,+?）（""+〃C）.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形，則RT=___________.

16abed

36.（2022秋.浙江金華?高一浙江金華第一中學(xué)校聯(lián)考期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，

在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、

機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機等都有應(yīng)用勒洛三

角形.如圖，己知某勒洛三角形的一段弧AB的長度為2乃，則該勒洛三角形的面積是.

37.（2022.全國?高三專題練習(xí)）《后漢書?張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，

合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機.外有八龍，首銜銅丸，下有

蟾蛛，張口承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蛛銜之.

振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神如圖，

為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距20Okm的A,B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60。方向，若

A地動儀正東方向的銅丸落下，8地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東km.

38.（2022秋?河南?高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術(shù)手段叫做“斯諾克”：在白色本球與目標(biāo)球之間，

設(shè)置障礙，使得本球不能直接擊打目標(biāo)球.如圖，某場比賽中，某選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需

經(jīng)過邊BC,CD兩次反彈后擊打目標(biāo)球N,點M到CD,BC的距離分別為200Cg60cm,點N到8,BC的

距離分別為80CmJ20Cm,將M,N看成質(zhì)點，本球在M點處，若擊打成功，貝!∣tan。=.

39.（2021秋?山東臨沂?高一臨沂第四中學(xué)?？计谀?020年12月4日，我國科學(xué)家宣布構(gòu)建了76個光子

（量子比特）的量子計算原型機“九章"九章”得名于我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，書中有一個“引葭

赴岸”問題：”今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意

思為“今有水池1丈見方(即8=1()尺)，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽

∩

引，恰巧與水岸齊接(如圖所示).設(shè)"4AC,則，叼的值為一

40.(2021秋?安徽六安?高三六安一中?？茧A段練習(xí))斯特瓦爾特(Stewart)定理是由18世紀的英國數(shù)學(xué)家

提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論.根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)AABC中，內(nèi)角A、8、

BDm/imtr+inner

C的對邊分別為。、b、C,點。在邊BC上，且警='，則AQ-=--——7——?-.已知aABC中，

DCnm+n(^m+n)

內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,b=2c=4,asinB+GbcosA=0,點￡)在BC上，且aABD的面

積與?ADC的面積之比為2,則AD=.

41.(2022春?全國?高一期末)克羅狄斯?托勒密(PtoIemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其

中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補

時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,4為直徑延長線上的一點，OA=2,B為

半圓上一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC,則當(dāng)線段OC的長取最大值時，/AOC=.

42.(2023?全國?高三專題練習(xí))筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐

光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖1).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一

個盛水筒都做勻速圓周運動如圖2,將筒車抽象為一個半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時

120秒，當(dāng)f=0時，盛水筒M位于點發(fā)(3,-36)，經(jīng)過f秒后運動到點P(x,y),點P的縱坐標(biāo)滿足

y=∕(f)=Rsin((yr+e)(f≥0,<υ>0,∣p∣<∣^,則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時，盛水筒M對應(yīng)的點P的縱坐標(biāo)為

43.（2022春?湖南?高一校聯(lián)考期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：

“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等

邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點在ABC中，已知NAeS=30。，且AB=G-1,現(xiàn)

以BC,AC,AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A',B',C,則A'8'C的面積最

大值為.

44.（2022秋.江蘇常州.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學(xué)之王，很多數(shù)學(xué)定理以他的

名字命名.對ABC而言，若其內(nèi)部的點P滿足NAPB=NBPC=NCPA=I20,則稱尸為ABC的費馬點.在

4BC中，已知NA4C=45,設(shè)尸為_4?C的費馬點，且滿足NP8A=45°,PA=4.則ABPC的外接圓半

徑長為.

45.（2022秋?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢族最古老的民

間藝術(shù)之一.如圖，紙片為一圓形，直徑A3=20cm,需要剪去四邊形CEcQ,可以經(jīng)過對折、DC,EC

裁剪、展開就可以得到.

已知點C在圓上且AC=?0cm,ZECD=30".要使得鏤空的四邊形CECQ面積最小，AD的長應(yīng)為Cm.

四、解答題

46.（2022春?廣東廣州?高一校聯(lián)考期中）仰望星空，時有流星劃過天際，令我們感嘆生命的短暫，又深深

震撼我們凡俗的心靈.流星是什么？從古至今，人們作過無數(shù)種猜測.古希臘亞里士多德說，那是地球上

的蒸發(fā)物，近代有人進一步認為，那是地球上磷火升空后的燃燒現(xiàn)象.10世紀波斯著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家

阿爾?庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度.如圖，假

設(shè)地球是一個標(biāo)準的球體，。為地球的球心，AB為地平線，有兩個觀測者在地球上的A,B兩地同時觀測

到一顆流星S,觀測的仰角分別為NS4O=a,ZSBD=β,其中，ZDAO=ADBO=90°,為了方便計算，

我們考慮一種理想狀態(tài)，假設(shè)兩個觀測者在地球上的A,B兩點測得a=30。，尸=15。，地球半徑為R公里，

兩個觀測者的距離43=9.（參考數(shù)據(jù)：≈1.73,√∑27≈1.5）

O

（1）求流星S發(fā)射點近似高度ES；

（2）在古希臘，科學(xué)不發(fā)達，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結(jié)的固體，已知對流層高度大約在

18公里左右,若地球半徑Rχ6370公里,請你據(jù)此判斷該流星S是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”？并說明理由.

47.（2022春.江蘇蘇州.高一吳縣中學(xué)?？计谥校┫聢D所示的畢達格拉斯樹畫是由圖（i）利用幾何畫板或者

動態(tài)幾何畫板Geog防心做出來的圖片，其中四邊形A8CC,AEFG,PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中NE4B

的大小會得到更多不同的“樹形

D

D

(1)在圖(i)中，AB=2,AE=y∕3且AEjLAB,求的值;

(2)在圖(ii)中，AB=T.,AE=B設(shè)/E48=6(0<e<m,求的最大值.

48.（2022?全國?高一專題練習(xí)）成都市為迎接2022年世界大學(xué)生運動會，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該

賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABc∞,根據(jù)自行車比賽的需要，需預(yù)留出AC,AO兩條服務(wù)車道（不

考慮寬度），DC,CB,BA,AE,ED為賽道,ZABC=^AED=,ZBAC?-,5C=2√3（km）,CD=4√2（km）.?:

34

km為千米.

3

（1）若CoSNCAO=g,求服務(wù)通道AO的長；

（2）在（1）的條件下，求折線賽道A即的最長值（即AE+即最大）.（結(jié)果保留根號）

49.（2022河北張家口?統(tǒng)考三模）“費馬點”是由十七世紀法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費馬提出并征解的一個問題,

該問題是指在位于三角形內(nèi)找一個到三角形三個頂點距離之和最小的點.由當(dāng)時意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出

解答，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120。時，“費馬點”與三個頂點的連線正好三等分“費馬點”所在的周角，即該

點所對的三角形三邊的張角相等且均為120。；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120。時，所求點為三角形最大

內(nèi)角的頂點.在，ABC中，/A、/8、/C的對邊分別為久久c,且2/,b2,d成等差數(shù)列，/3=60。.

(1)證明：ABC是直角三角形；

⑵若。是.,ABC的“費馬點”，a=2.設(shè)Q4=x,OB=y,OC=z,求x+y+z的值.

專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯

到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,內(nèi)環(huán)弧長為0.6m,

徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2D.1.40m2

【答案】C

【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為α，內(nèi)環(huán)半徑為心外環(huán)半徑為G根據(jù)題設(shè)可得R-{=0?9和a?+幻=3,

從而可求扇環(huán)的面積.

【詳解】設(shè)扇環(huán)的圓心角為α,內(nèi)環(huán)半徑為小外環(huán)半徑為4,則G-{=0.9,

由題意可知，ctrl=0.6,ar2=2.4,所以。（弓+弓）=3,

所以扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為

S===gx3x0.9=l.35m2.

故選：C.

2.（2021秋?湖南婁底?高三校考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？'‘大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點

出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方

向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？()

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題目信息畫出示意圖，假設(shè)甲、乙相遇時經(jīng)過時間為f秒，每步走。米，分別得到AC=3S,

AB=IOa,BC=(7-Io)”,再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇時經(jīng)過的時間，從而得到甲乙相遇時,

甲、乙各走的步數(shù).

【詳解】由題意，得到示意圖如圖所示，甲、乙從A點出發(fā)，甲走到8處后，又斜向北偏東某方向走了一段

后與乙相遇，即在C點相遇，假設(shè)甲、乙相遇時經(jīng)過時間為，秒，每步走。米，則AC=3tα,AB=Wa,

BC=(7z-10)(7

在RtABC中，AC2+AB2=BC2,

即(3以"+(IO。。=[(7r-10)a]2,

解得：r=,

4921

故甲走了7t=丁=24.5步，乙走了3f=z=10.5步.

22

故選：D.

【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.

(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.

(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.

(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.

3.(2021.河南許昌?校聯(lián)考一模)某校高一年級研究性學(xué)習(xí)小組利用激光多普勒測速儀實地測量復(fù)興號高鐵

在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收

反射光.當(dāng)物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移力=4乎，其中V為測速儀測得被測

?

物體的橫向速度，/1為激光波長，為夕兩束探測光線夾角的一半,如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵Im處，

發(fā)出的激光波長，=16OOnm(Inm=IO-m),測得某時刻頻移力=9.0xl0%l∕h),則該時刻高鐵的速度約等

C.320km∕hD.3∞km∕h

【答案】A

【分析】由已知函數(shù)關(guān)系知丫=#-,結(jié)合己知及示意圖求出sin。，代入求值即可.

2sιn°

λf0.020.02

【詳解】由題設(shè)知："Ξ?,而"叱下石壽=天麗,則八L6χ∣(Γ6m,

1.6×10^6×9.0×1091.44×104X√1.0004

≈3.6×105m/h

^Ξ0.020.04即V≈360km/h.

2×

√lL0004

故選：A.

4.(2021?全國?高三專題練習(xí))音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，1807年法國數(shù)學(xué)家傅

里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如Y=Asinwx的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻

率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音叉的聲音圖象是由下圖1,2,3三個函數(shù)圖象組

成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為()

A./(r)=0.06sinlOooR÷0.02sin1500πt+0.01sin3000R

B./(z)=0.06sin500R+0.02sin2000R+0.01sin300加

C./(r)=0.06sin1Ooom÷0.02sin20009+0.01sin3000R

D./(/)=0.06sin1Ooom+0.02sin2500m+0.01sin300Om

【答案】C

【分析】由圖1求出A、7\。的值，寫出對應(yīng)函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項得Hl函數(shù)/⑺的解析式.

211

【詳解】解：由圖1知，A=0.06,?r=--,

j(X)j(XJ3(乂)

2乃

所以3=彳=HX)0乃，所以y=0.06SinlooOm；

結(jié)合題意知，函數(shù)/?)=0?06SinlOooR+0.02sin2000加+0.0Isin3000R.

故選：C.

5.(2022春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期中)第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國

舉辦的國際性奧林匹克賽事.2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37

秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌.短道速滑，全稱短跑道速度

滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動.如圖，短道速滑比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑

為8.5m，直道長為28?85m?若跑道內(nèi)圈的周長等于半徑為27.78m的扇形的周長，則該扇形的圓心角為(參

考數(shù)據(jù)：取17∕r=53.42)()

2萬

D.

T

【答案】c

【分析】先計算出跑道內(nèi)圈的周長，利用扇形的弧長公式即可求得扇形的圓心角.

【詳解】由題意得跑道內(nèi)圈的周長為2Λ?χ8?5+28.85χ2=111.12m,所以該扇形的圓心角為

111.12-2×27.78C

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