2023年普通高等學校招生“BG杯”線上統(tǒng)一模擬考試Ⅱ（含答案）

絕密★啟用前試卷類型：A

2023年普通高等學校招生“BG杯”線上統(tǒng)一模擬考試II

數(shù)學

2023.7.30

本試卷共5頁，22小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

★祝考/順利支

注意事項：

1.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域的相

應位置，若無法打印答題卡，需標清題號作答在白紙上。

2.考生務必在規(guī)定時間內在“雨課堂”提交答案，上傳的圖片需要保證完整、清晰。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合要求的。

1.集合4={(x)，)?41,蒼丫€產(chǎn)卜8={(x,y)|xy=18,x,yeN},則48的子集個數(shù)為

A.8B.6C.4D.2

2.已知復數(shù)z滿足i(z-2+i)=2+2i,則|z|=

A.4B.5C.6D.7

3.已知梯形ABCZ)的四個頂點共圓，存在一個120。的內角，且上底與下底的長度之和等

于兩腰長度之和，若下底CD的長度為6,則C4CB=

A.16B.20C.24D.36

4,已知(2x+l)"'各二項式系數(shù)和為128,其第k項系數(shù)最大，則％=

A.2B.3C.4D.6

5.下列函數(shù)中，圖像與y=在x?(),”)部分關于尸x對稱的是

A.y=ln,x+-3)B.y=ex2+1

C.y=ln(x+-1)D.y=ln(x2-5x+1)

6.有5個男孩和5個女孩手拉手圍成一圈，恰好有3人沒能拉到異性的手的概率為

數(shù)學試題第1頁(共5頁)

7.直線P4,PB,尸C兩兩垂直，平面ABC與平面心C,平面尸AC,平面24B所成角

分別為〃，名，4，則cos?！砪osacos"的最大值為

A.BB,75C.見D.姬

935

8.已知C在x軸上，48在丁=4》上，ZAC8=y,ABVAC,則C橫坐標最小值為

A.1-2>/2B.1-V2C.3-2&D.-1-&

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得。分。

9.為促進全國各地廣大高中生交流學習，互幫互助獲得優(yōu)質學習資源，創(chuàng)建了“985、

211上岸群”，群內匯集了五湖四海愛學習的同學，已知河北的人數(shù)是福建的四分之

一，河南的人數(shù)是河北的三倍，山西是河南人數(shù)的六分之一且為6()人，按分層抽樣的

方法抽取群內河北、山西、福建、河南四省的同學17人，則下列說法中正確的有

A.抽取河南的同學為7人B.群中河北的同學有150人

C.抽取福建的同學為8人D.群中山西和河北的同學共有180人

10.函數(shù)“X)的定義域為N,對定義域內任意的5,看,都有(與-工2乂/(占)-〃七))20，

若〃〃x))=4x,則一定不存在使得

A./(0)=1B./(1)=2C."3)=8D./(5)=13

II.已知等式，|x+a,|=c,則下列說法中正確的有

1=1

A.當〃=2,c=5,q=—I,4=2時，x=—3

B.當〃=2,4=—1,出=2時，c>3

C.當〃=3,q=2,g=一1，4=~4時，cN6

D.若〃=2攵(左￡N')，4<%<<%-當時，c取到最小值

12.已知4什2=3〃+1一次小k、bGR,設4=工,42=>，則下列說法中正確的有

A.若p，4為非零整數(shù)，-照〃+L2｝為常數(shù)列，則pw“，b=\

B.若攵=2,匕=1,則%+2=(〃+i)y一小

c.若，>皿,貝!|4=「?4"+，2?4,其中《耳是常數(shù)，4也是屋-燈+。=0的兩根

D.若2=6,A=l,x=l,y=2,則｛甌必用一7｝與｛44%-7｝各項都是完全平方數(shù)

數(shù)學試題第2頁(共5頁)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.圓錐的母線長為6,高為3,其體積為；過圓錐頂點截圓錐所得的平面圖

形最大面積為(第一空2分，第二空3分).

14.已知定義在［0,3］上的函數(shù)/(x)=coss(<y>0),當〃3)取得最大值時，/⑴的可能取

值集合為.

15.已知函數(shù)數(shù)列｛工(以滿足工(x)=W,嘉/x)=2力(x)+x，若人(力+2023=0存在實數(shù)

根，貝也的取值集合為.

16.已知橢圓「：，■+)，=l(a>0),該橢圓的圓周繞點旋轉一周形成的軌跡圖形的

面積為9乃，則a的取值范圍為

3-------------------

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

在AABC中，的對角分別為A&C,其中2sinAsinB=3cosC,c=2；

(1)求tanAtanB

(2)若a+/?=2正，求AABC的面積

18.(12分)

空間中有一個平面。和兩條直線機，〃，其中m，〃與a的交點

分別為A,B,記48=1,設直線機與〃之間的夾角為工，

3

(1)如圖1,若直線〃?，〃交于點C,求點C到平面a距離

的最大值；

(2)如圖2,若直線機，”互為異面直線，直線機上一點P

和直線〃上一點。滿足PQ|a,PQ_L”且PQ_L〃z

i.證明：直線機，〃與平面a的夾角之和為定值；

ii.設PQ=d(0<d<l),求點P到平面a距離的最大值

(用d表示).

圖2

數(shù)學試題第3頁(共5頁)

19.（12分）

正項數(shù)列｛4｝的前〃項積為?。懙那啊表椃e為7；,已知1‘［是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式

(2)記數(shù)列的前”項和為S"，證明：S“<(

20.(12分)

已知函數(shù)〃x)=V-21nk+l|

(1)求〃x)的單調區(qū)間

(2)若/(x)Nor對定義域內任意的x都成立，求a的取值范圍

21.(12分)

已知a>(),QC:(x+?)：+/=r2(r>0),直線/(不與y軸垂直)過點C交0C于4,8

兩點，E(2a,0),F(-2a,0),AE交BF于點Q

(1)求點。的軌跡方程「(用含a,/?的式子表示)

(2)若「所在的圓與0c相切，M為「上一點，MP,為OC的兩條切線，

試求S：的取值范圍(用含〃的式子表示)

數(shù)學試題第4頁(共5頁)

22.（12分）

近日，烈日炎炎，麥當勞推出了13.9隨心配套餐，該套餐由主食和甜品兩部分組成。

主食有漢堡，雞肉卷，麥片。甜品共五種。該套餐目前備受好評，吸引了許多人前往

食用。假設每名顧客選取各主食、甜品的概率相同且概率相互獨立。

（1）現(xiàn)在，有兩名顧客前往麥當勞用餐。求兩名顧客點到完全相同套餐的概率。

（2）如果一名顧客食用了某一種主食，則他下次繼續(xù)吃這種主食的概率為‘，吃

4

另外兩種主食的概率相同。該顧客第一次選擇了漢堡。求該顧客吃第〃次吃漢堡

的概率，并比較第十次吃到漢堡四°和第十次吃到雞肉卷心的大小。

（3）為盡可能調查顧客對套餐的喜愛程度。麥當勞共召集了及名顧客，并選出k

名a類顧客和k名b類顧客（同一人可同時作為a,b兩類顧客），記被分類的顧

客數(shù)目為X。求使P（X=4）取得最大值時A的取值。

數(shù)學試題第5頁（共5頁）

2023年普通高等學校招生“BG杯”線上統(tǒng)一模擬考試II

數(shù)學參考答案

選擇題、填空題（共80分）：

1234512

DBBBCBCD

13.27萬，18

I。

15.{A:eZ|A:>14}16.-,1U1，三

3

選擇、填空解析：

【第一題解析】

本題考察集合相關概念的定義。

B={(1,18),(2,9),(3,6),(6,3),(9,2),(18,1)},滿足的有3個元素，子集個數(shù)為23=8。

選D項。

【第二題解析】

本題考察復數(shù)相關概念的定義與復數(shù)的運算法則。

z=2+2,+2_j=4_3i,|z|=+4。=5,選B項。

【第三題解析】

本題考察平面向量基本知識。

由共圓可知該梯形等腰，延長D4,CB交于E,作設AB=x,則

x+6=2(6-x),解得x=2,由數(shù)量積定義，即求|/)4|￡)耳=2(),選B項。

【第四題解析】

本題考察二項式定理。

,r7r

2?=128,，〃=7,Tr+I=C；-2-x-,設最大項為1%,則7^27；,Tr+l>Tr+2

2a1

故產(chǎn)2'‘2C；*',即］7-r-r+ln2vrw§nr=2,所以第3項，選B。

7r+15r

C；2->C；2-1>233

了一8一廣

【第五題解析】

本題考察圖像變換與代數(shù)變形。

令e*=f,則y=，；，解得/=y土Jy2-I,x=ln（y±Jy?,由于xw（0,+oo）,故答案

為y=In（x+Jx2T｝選擇C項。

【第六題解析】

本題考察排列計數(shù)與邏輯推理。

男生和女生將一個環(huán)分成了若干段，其中鄰段之間的性別不同，每段兩端的人能夠拉到

手。特殊的，若某一段只有一個人，那么只有一個人能夠拉到手。并且由于是環(huán)，男生的

段數(shù)等于女生的段數(shù)，故段數(shù)為偶數(shù)。因為有7個人拉到手了，那么可能為1段一個人和

3段多個人或5段一個人和1段多個人。但是后者不成立，因為一定有一個性別的人被分

成了三段一個人，但是總共卻有五個人。故一定為1段一個人和3段多個人。枚舉一個人

的那一段的性別，2種方案：他的左邊站著2或3個異性，右邊站著剩下的，2種可能，剩

下的4個同性一定站在一起。每個人是不同的，故一共有2x2xSx5xU種方法。又因為

一共有型=9!種方案，P=20X5!X4!=20X24=”,選人項。

109!6x7x8x963

【第七題解析】

本題考察空間向量與不等式。

設平面48c的一個法向量為h（x,y,z）,不妨設乎=1,代求式化為

xyzxyz區(qū)邛（均值不等式），選擇A項

—<______

（x2+y2+z2

【第八題解析】

本題考察解析幾何、導數(shù)、三角函數(shù)相關知識。

設斗=tan。乃二tan工，―—―=1,xx,=1,得大=1+J5

881+再/2

設A（4r,-4f）,5（4f2+女加，如一4f）,其中女=tan。乃貝!]C（4/一幾機一4，），故）2=4，因為

8

BsT,所以（初-4f）2=4（4/+卜力），得/=—-,即求4/一〃=—―~--n=f（n）,求

8（〃+2）16（〃+2）.

導得了⑺+令其為0,得公，（〃+4）_8（"+2）’=0,解得〃=2&或

8（n+2）

（舍），代入得到最小值為1-2a

選擇A項

【第九題解析】

本題考察抽樣調查相關知識。

根據(jù)比例關系，山西60人，河南360人，河北120人，福建480人。(哪有這么第)

360480

分層抽樣，河南抽取17.=6人,福建抽取17.=8人。

60+360+120+48060+360+120+480

本題選CDo

【第十題解析】

本題考察抽象函數(shù)與其應用。

由/(/(x))=4x,故/(x)eN,若〃=則/(/(x))=4x==4x-4,

不可能，故單調遞增，由定義，/(/(0))=0>/(0),又因為

/(0)>0,故/(0)=0?選擇A。

構造〃x)=2x顯然成立，排除B。

若/⑴23,貝=⑶，故/⑴</(2)43,與/⑴23矛盾，若/⑴=1,則

4=/(/(1))=1，矛盾，故/⑴=2；故"2)="/⑴)=4,〃〃2))=〃4)=8,故

/(3)<8,選擇C。

若/(5)=13,則〃13)=〃/(5))=20,因為〃8)=〃〃4))=16,/(13)>/(8)+5=21,

矛盾，故選擇D,本題選ACD。

【第十一題解析】

本題考察不等式。

設44《+I，D項：當〃=2時，由三角形不等式何+x|+,+乂2何-聞，成立

故+x|+k+,+4—a,(f=1,2,…，左),當且僅當q**,-q］成”。

對于f=l,2,…，左，不等式相加可得c24+I+。*+2++%*—q—%—'—q-i

當且僅當xe［-a*+1,-4］成立。故D項錯誤，B項正確。

C項，|x+4|+|x-2|+|x+126+|x+l|26,當且僅當x=-l時取等，正確。

A項，x=2時也成立，錯誤。

本題選BCo

【第十二題解析】

本題考察數(shù)列。

A項，pa'qa“限=pa：+「qka“a.*\+qbcrn是常數(shù)，得

pM-qka.％+qba；=pa?-qka^a,,+qba；,_l即pa；+x-qba^,}-qka?{an+x-a^+(qb-p)a^,=0

若p=q,0=1,則有p-%)(%+an_^)=qkan(an+l-an_,)

由于4+產(chǎn)%,得p(a,M+a,T)-P也=。，即%+%-0=0，A項錯誤

B項，an.2-an+l=an+l-an,^an.2-an+l=an+{-an=...=a2-ax=y-x

累加得a“+2-4=(y-x)(n+l),an+2=(n+l)y-nx,B項正確

C項，由題，dt+d-,=k,dtd2=b

%I""'、，相減得(4-4)%=/(%-44)-4"3-44)

[a?+2-d2an+l=d^an+,-d2an)

故%=々4?+一々+4%df,.,=a；-d,%,c項正確

+l2212

"d：_4d2_4：+44“-d：4d2

D項，因為/?=1,a,.=64*-4,,由A項分析，{“3-a.”"+2}為常數(shù)列

易得a：”-6aM*|+。；=-7

左右加上8aM向得(?！?|+。”)2=-7’左右加上4a“4+|得(?！?|=4"M"|-7

D項正確，選BCD。

【第十三題解析】

V=^r2h=^l2-h2)h=27^,截面是頂角為，(0<94120°),腰為6的等腰三角形，

0=90,時面積取得最大值18

【第十四題解析】

本題考察三角函數(shù)的周期性和三角恒等變換的性質和運用，

2k冗

思路：/(3)=cos3ty<l,取最大值時33=2%"(左￡二)，則。=—^—(Zw),

2kJi44]

/(I)=cos—,左=3〃一2(〃￡,)時，/(I)=cos(2n-=cos(-—=~~^f

771

k=3n-l(n￡二)時，/(I)=cos(2n--=cos(-—,

k=3n(nG)時，/⑴=8s2wr=l,

于是/⑴可取值1和

【第十五題解析】

本題考察數(shù)列與函數(shù)相關知識。

設￡(X)=4*+〃X，由，+I(X)=2/,(X)+X,得/=〃_|也=孫+1,偽=0嗎=1

(2"T

故4=2"T也=2j,￡(x)=2n-|x2+(2n-'-l)x,其最小值-匕導-4-2023

令f=2"T,則--809分+1±0,當”414,fW2'3=8192時,/-8094/+1=f(f-8094)+l>(),

成立；當"413時，z2-8094r+l=/(/-8094)+l<0,綜上，k的取值范圍為#eZ|%214}

【第十六題解析】

本題考察二次函數(shù)、解析幾何、分類討論。

對于任意一個平面圖形。，繞某點P旋轉一圈，則。上每一點4都會形成一個圓，若始

的值域為［小目，則會形成一個圓環(huán)，外徑為4，內徑為弓。故對于橢圓上任意一點

A(x,y),設尸則以2=犬+(>-')2=(1-/萬2-2)+/+/=g(y),(視為關于y的函

數(shù))。問題轉化為求其在［-1,1］最大值與最小值之差M。其對稱軸為x=￡。

當0<"1時：對稱軸大于0,開口向上，最大值一定在-1處取，即(/+1『；若

工41,最小值為產(chǎn)+/+一一;否則取右端點，為。-I)"

1-aa-1

只需定性分析，M在［0,1-/］是關于f的二次函數(shù)，在口-/,+8)為射，是一次函數(shù)

同理，4>1時，M在是關于/的二次函數(shù)，在［萬_1,+8)是一次函數(shù)。

二次函數(shù)的那一段一定大于小，原因是g(y)不單調，極差一定大于端點函數(shù)值之差。

由分析可得，1=2時，有"=4’,是在一次函數(shù)這一段，得匕2二,即1姮

32333

由于是橢圓，故答案為隹武陷

33

解答題(共70分):

17.(10分)

（1）由2sinAsinB=3cosC

得-2sinAsinB=-3cosC=_3cos[〃-（4+B）]=3cos（A+B）

即-2sinAsinB=3cosAcosB-3sinAsinB

即sinAsinB=3cosAcos3所以tanAtan5=3

(2)(法一)

由cosC=a+”——-,代入a+b=242得cosC=--1

labab

tanAtan8=sin'sinB=3,即§而不皿B-cosAcosB=2cosAcosB

cosAcosB

即cosC=2cosAcosB

442*b~-ci~+4ci~—b~+4ZB?8

故r---1=2-----------------------------,代入a+b=2J2,得ab=一

ab4b4a5

痂、八_2,1,痂0_1,.18V15_V15

成cosC=-----1=—sinC=------,iSxS..=—cibsinC——,-------=------

ab44MRBrC22555

（法二）

因為a+6=Vic,即sinA+sin8=VisinC

.4+8A—Bnr,4+8A+B

2sin-------cos-------=2,2sin--------cos-------

整理得tan—tan—=3-272,

22

聯(lián)立可得tan4+tan0=2"（J7）,所以tan￡=tanC=?ta呼=后

2262V51-tan2%

JWy.sinC=^^-,cosC=—=0——-,i^ab=-,所以S4ABe=」absinC=

44lab5的25

18.（12分）

（1）設點C到平面a的距離為h,作C”_LAB于點H,可知

設C4="CB=a,在中，由余弦定理可知：

a2+b2-TabcosZACB=AB2=1,

由于直線機與”之間的夾角為工，且它們交于點c,則NACB=M,

33

從而/+從一她=1,X-ab>ab,貝!JabWl（4=力時取等）；

AIIC=-absmZACB=-AI3CH,所以CH=?abM昱,

,2222

所以點C到平面a的距離4無，其最大值為走；

22

(2)(i)

證：如圖，過點P作直線/|〃，由題知直線/與平面a必相交于一點，設其為

點D,連接D4,DB,則尸，Q,D,5共面，又且。Bua,于是

PQ\DB,又/||〃，則四邊形尸。8。為平行四邊形，因為PQ_L〃且PQ_Lm,所

以且BO_L〃?，又/門機=P,所以即_L平面以。，

PHLAD于H,則又ADCBD=D,WOPHLa,

設.PH=h,則尸到平面a的距離也為人且直線m,〃與平面a的夾角分別為

NR4H和NPD”；由于直線，〃與〃之間的夾角為土，則直線相與/之間的夾角

3

也為三，貝ljNAPO=工，于是NPAH+NPDH=%-ZAPD=紅,

333

即直線相，〃與平面a的夾角之和為定值空；

3

(ii)

因為_L平面為。，所以3OJ.A。，由(i)問知O8=PQ=d,

則LA5￡>中，AD2=AB2-BD2=\-d2,則49=J1-/,XZAPD=-,

3

由(1)問同法算得PH43>/1彳=苴三還，

22

即點P到平面a距離/?的最大值為/(4)=-丁(0“I),

19.（12分）

（1）由題，—=tn_x-n（n>2）,4=q故f,=〃+l

(2)L'+U>(〃+1)!,由于\-品n

77+1)1

n2+111

X—>0,即證〃W4時，S?>-

(〃+l)!(〃+1)！(M-1)!(n+1)!n\T?4

11^Uii'

s〃=+r(?-J)U(2!+3!++(n+l)!j

0!1!1!2!nl)

11f11111111

0!(n+1)!(2!3!(n-l)ij1!2!n'.(n+1)!

1111f45n

<—+—+—+—+—+—+..+

1!2!3!4!5!6!

\

1_7

(n+l)!<4

20.（12分）

（1）”x）的定義域為（YO,-1）U（-1,8）

-1-⑸

單調減區(qū)間為-0°'-2-

(2)因為*-21n|x+l|之奴，構造g(x)=x2-21n|x+l|-如NO,求導得

22犬+(2—67)X—67—2

g'(x)=2x--r-a=---------------------

x+1

對于方程〃(2=2/+(2-辦-々-2=0,△=(2-4+8(〃+2)=/+4々+20>0

設方程的兩根為方,工2（%＜9），由于〃（一］）=-2V。，故大＜一1＜七

可知g（x）在（-1,乙）單調遞減，在（X2,收）單調遞增

U

若&.0,則8（工2）＜8（。）=。，矛盾，故&=0，Wx,x2==0,a=-2

當。=-2時,下證g（x）W0恒成立,令g（x）=0,得％=-2,%=0

XS，-2)-2(-2,-1)(-1,0)0(0,+oo)

/'（X）—0+—0+

/WX極小值7極小值7

故g(x)±m(xù)in{g(-2),g(O)}=O成立,綜上，。的取值范圍為{-2}

21.(12分)

(1)(法一)

設A(X1,yJ,8(X2，%),Q(x,y)，AE:y=—二-(x-2a),BF:y=一(x+2a)

X]—2。x7+2,ci

聯(lián)立得(-----——x=2a[--—十———由于y+、2=。，玉+々=-2。

I王一2a+2aJ(玉一2〃x2+2aJ

y工0,約去得(%2+2々+石-2a)x=2ci^x2-\-2a-xx+2ci)

得x=2.-2a,x、='，回代，y=—(工—2々)=2%，%=與

2Xj-2a2

故(X[+〃1+y；=戶=(x+4〃1+V=4,(yw0)

(法二)

設A(-a+“o),5(-a—,-%),Q(x,y),由°C方程，y1+t2=r2

由于4QE共線：。=」一。上=七網(wǎng)

x-2at-a-2ay0t-3a

由于BQF共線：。=上=上=2

x+2at-ayQt-a

聯(lián)立得上=上3=史必=超=2(差比定理)，故y=2%

yQt-3at-ala

又因為x-2〃=2f-6〃2=x+4〃，故(X+4〃)2=y2=4/(ywO)

(2)(法一)

設M（Xo，y0）,4為。到直線NP的距離，&為點M到直線NP的距離

2

S=-d2-2yjr-d；=心一d：d；

22

①/-=3〃時，N尸:+〃)(x+〃)+)%-9〃=0,(x0+4a)+=36a

9a2([_]2q2_6aq

%+(%+a)=21a2+6ax

Jy：+(Xo+a『Jy：+(%+a0

222422

l9a(12a-6ax0)Sia(12a-6ax())-a(^12a-60ro尸

S=I---------------------------------------------；——=----------------------

222

121/-6"(21a-6ax0)7a-2ax0

%e(-10a,2a),令12/-6〃x()=/e(0,72/)