Chapter4-1向量組及其線性組合

chapter4-1向量組及其線性組合2023REPORTING向量組基本概念與性質(zhì)線性組合與線性表示向量空間與子空間矩陣與向量組的聯(lián)系總結(jié)回顧與拓展延伸目錄CATALOGUE2023PART01向量組基本概念與性質(zhì)2023REPORTING由若干個同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合稱為向量組。向量組定義給定向量組A：a1，a2，…，am，其表示方法為將各向量按列（或行）排列成矩陣形式。向量組表示方法向量組定義及表示方法線性組合與線性表示若向量組B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A和向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。線性相關與線性無關在向量組A中，若存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0，則稱向量組A是線性相關的，否則稱它是線性無關的。向量組線性相關性判斷極大線性無關組：設S是一個n維向量組，α1,α2,...αr是S的一個部分組，如果滿足以下兩個條件，則稱α1,α2,...αr是S的一個極大線性無關組α1,α2,...αr線性無關。向量組中任意r+1個向量都線性相關。秩的概念：一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。極大線性無關組與秩的概念兩個向量組等價當且僅當它們可以互相線性表示，即兩個向量組的秩相等。兩個m×n矩陣A和B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得B=PAQ。向量組等價性質(zhì)探討等價向量組的判定定理等價向量組的性質(zhì)PART02線性組合與線性表示2023REPORTING線性組合定義：設$V$是數(shù)域$P$上的一個線性空間，$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$是$V$中的向量，$k_1,k_2,ldots,k_s$是數(shù)域$P$中的數(shù)，那么向量$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$稱為向量組$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$的一個線性組合。線性組合性質(zhì)零向量是任意向量組的線性組合，即$0=0alpha_1+0alpha_2+ldots+0alpha_s$。向量組中每個向量都可以看作是其余向量的線性組合加上自己，即$alpha_i=0alpha_1+ldots+1alpha_i+ldots+0alpha_s$。向量組的線性組合仍然是該向量組的線性組合。0102030405線性組合定義及性質(zhì)線性表示定理：向量$beta$可以由向量組$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性表示的充分必要條件是存在數(shù)域$P$中的一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_s$，使得$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$。若向量組$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性相關，則其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。若向量組$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性無關，則其中任何一個向量都不能由其余向量線性表示。推論線性表示定理及其推論平面向量基本定理在平面內(nèi)，如果兩個向量不共線，那么這一平面內(nèi)的任一向量都可以由這兩個向量唯一地線性表示。待定系數(shù)法設$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$，通過解方程組求解系數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_s$?？臻g向量基本定理在空間中，如果三個向量不共面，那么這一空間內(nèi)的任一向量都可以由這三個向量唯一地線性表示。求解向量線性表示方法案例一設$alpha=(1,2,3),beta=(4,5,6),gamma=(7,8,9)$，判斷$gamma$是否可以由$alpha,beta$線性表示。解設$gamma=xalpha+ybeta$，則有方程組$begin{cases}x+4y=72x+5y=83x+6y=9end{cases}$，解得$begin{cases}x=-1y=2end{cases}$，因此$gamma=-1alpha+2beta$。案例二設$alpha=(1,0),beta=(0,1),gamma=(1,1)$，判斷$gamma$是否可以由$alpha,beta$線性表示。解設$gamma=xalpha+ybeta$，則有方程組$begin{cases}x=1y=1end{cases}$，解得$begin{cases}x=1y=1end{cases}$，因此$gamma=1alpha+1beta$。案例分析：具體向量組線性表示過程PART03向量空間與子空間2023REPORTING向量空間是由一組向量構(gòu)成的集合，滿足加法和數(shù)乘封閉性，即向量空間中任意兩個向量的線性組合仍屬于該空間。向量空間定義向量空間具有加法交換律、結(jié)合律，數(shù)乘分配律等性質(zhì)。向量空間性質(zhì)向量空間定義及性質(zhì)子空間概念子空間是向量空間的一個子集，且滿足向量空間的定義，即子空間中任意兩個向量的線性組合仍屬于該子空間。子空間判定方法判斷一個子集是否為子空間，需要驗證該子集是否滿足向量空間的定義，即是否對加法和數(shù)乘封閉。子空間概念及其判定方法

基、維數(shù)與坐標的概念引入基的概念基是向量空間中的一個線性無關向量組，且能夠線性表示出該空間中任意一個向量。維數(shù)的概念向量空間的維數(shù)是指該空間中任意一個基所含向量的個數(shù)，維數(shù)反映了向量空間的“大小”。坐標的概念對于向量空間中任意一個向量，可以表示為基中向量的線性組合，該線性組合的系數(shù)稱為該向量在基下的坐標。案例描述給定一個向量空間及其一組向量，求解該空間的基和維數(shù)。案例分析首先判斷給定的向量組是否線性無關，若線性無關則可作為基；然后計算基的個數(shù)即為空間的維數(shù)。若給定的向量組線性相關，則需要通過初等變換等方法求出一組線性無關的向量作為基，再計算維數(shù)。案例分析：求解向量空間基和維數(shù)問題PART04矩陣與向量組的聯(lián)系2023REPORTING矩陣可以用一個二維數(shù)組簡潔地表示一組向量，方便存儲和計算。簡潔性矩陣運算有一套完整的運算法則，可以方便地對向量組進行各種操作，如線性組合、旋轉(zhuǎn)、縮放等?？刹僮餍跃仃嚳梢灾庇^地表示向量組的空間分布，有助于理解和分析向量組的性質(zhì)?？梢暬仃囎鳛橄蛄拷M表示形式的優(yōu)勢維度變換矩陣運算可以實現(xiàn)向量組的維度變換，如將一組二維向量映射到三維空間，或者將一組三維向量降維到二維平面。性質(zhì)保持某些特殊類型的矩陣運算可以保持向量組的某些性質(zhì)不變，如正交變換可以保持向量的長度和夾角不變。線性變換矩陣乘法可以實現(xiàn)向量組的線性變換，如旋轉(zhuǎn)、縮放、平移等。通過矩陣運算，可以方便地改變向量組的形狀和分布。矩陣運算對向量組的影響分析123矩陣的秩定義為其最大非零子式的階數(shù)，而向量組的秩定義為其最大線性無關組的向量個數(shù)。兩者之間存在密切聯(lián)系。定義關聯(lián)一個矩陣的秩等于其列向量組的秩，也等于其行向量組的秩。因此，可以通過計算矩陣的秩來確定向量組的秩。等價性矩陣秩和向量組秩的概念在解決線性方程組、判斷向量組線性相關性等問題中具有重要應用價值。應用價值矩陣秩與向量組秩的關系探討案例一判斷一個向量組是否線性相關?？梢酝ㄟ^構(gòu)造一個以該向量組為列向量的矩陣，然后計算該矩陣的秩。如果秩小于向量個數(shù)，則該向量組線性相關；否則，線性無關。案例二求一個向量組的最大線性無關組。可以通過對以該向量組為列向量的矩陣進行初等行變換，將其化為行最簡形式。然后選取非零行的首非零元所在列對應的原始向量，即可構(gòu)成最大線性無關組。案例三求一個向量組生成的子空間的一組基和維數(shù)?？梢酝ㄟ^構(gòu)造一個以該向量組為列向量的矩陣，然后計算該矩陣的秩。秩即為子空間的維數(shù)，而最大線性無關組即為子空間的一組基。案例分析：利用矩陣方法解決向量組問題PART05總結(jié)回顧與拓展延伸2023REPORTING向量組是由一組向量構(gòu)成的集合，這些向量可以是行向量或列向量，具有相同的維數(shù)。向量組的概念向量組的線性組合是指每個向量乘以一個標量系數(shù)后相加得到的向量，該向量可以表示為向量組中向量的線性組合。線性組合的定義若向量組中存在一個向量可以由其他向量線性表示，則該向量組線性相關；否則，該向量組線性無關。線性相關與線性無關向量組的秩是指向量組中極大線性無關組所含向量的個數(shù)，它反映了向量組的線性獨立程度。向量組的秩本章知識點總結(jié)回顧常見誤區(qū)和易錯點提示誤區(qū)一認為只要向量組中向量個數(shù)多于維數(shù)就一定線性相關。實際上，只有當向量組中向量個數(shù)大于維數(shù)時，才可能存在線性相關的向量組。易錯點一在計算向量組的秩時，容易忽略向量組中可能存在的線性相關關系，從而導致計算錯誤。誤區(qū)二忽視零向量的存在。零向量與任何向量都線性相關，因此在判斷向量組線性相關性時需要考慮零向量的影響。易錯點二在求解向量組的線性組合時，需要注意標量系數(shù)的取值范圍，避免出現(xiàn)無解或多解的情況。向量空間的概念向量空間是由一組滿足特定運算規(guī)則的向量構(gòu)成的集合，它是線性代數(shù)中的重要概念之一。向量空間的基是指該空間中一個極大線性無關組，而維數(shù)則是指基中所含向量的個數(shù)?；途S數(shù)是描述向