探究動態(tài)幾何問題-2023年中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)練習(xí)（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（江蘇專用）

重難點(diǎn)03探究動態(tài)幾何問題

【命題趨勢】

數(shù)學(xué)因運(yùn)動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動態(tài)幾何問題是近年來中考的一個重難點(diǎn)問題，以

運(yùn)動的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動

態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性

的試題。以動態(tài)兒何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。

【滿分技巧】

D動態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動態(tài)幾何也有直線型的和

曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動態(tài)幾何問題，也有圓中的動態(tài)問題。有點(diǎn)動、線動、面

動，就其運(yùn)動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。根據(jù)其運(yùn)動的特點(diǎn)，又可分為（1）動點(diǎn)類（點(diǎn)在線

段或弧線上運(yùn)動）也包括一個動點(diǎn)或兩個動點(diǎn)；（2）動直線類；（3）動圖形問題。

2）解決動態(tài)幾何題，通過觀察，對幾何圖形運(yùn)動變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的‘變量"和"定量”動中求靜，

即在運(yùn)動變化中探索問題中的不變性;動靜互化抓住“靜''的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動

與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類

問題，要善于探索圖形的運(yùn)動特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動為靜，以靜制動。解決運(yùn)動

型試題需要用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系

和變量關(guān)系，并特別關(guān)注--些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。

3）動態(tài)幾何形成的存在性問題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等

腰（邊）三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等

三角形存在問題，相似三角形存在問題等。

A卷（真題過關(guān)卷）

一、單選題

I.（2021.江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=10,點(diǎn)C、。在4B上，AC=BD=1.已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)。移動，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動，在點(diǎn)P移動過程中作如下操作：

先以點(diǎn)P為圓心，PA,PB的長為半徑分別作兩個圓心角均為60。的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓錐的

側(cè)面.設(shè)點(diǎn)P的移動時間為（秒）.兩個圓錐的底面面積之和為S.貝IJS關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（）

【答案】D

【分析】由題意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圓錐的底面積進(jìn)行計(jì)算，即可求出函數(shù)

表達(dá)式，然后進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

?：AB=10,AC=BD=1,且已知點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著AB向點(diǎn)。移動，到達(dá)點(diǎn)

。后停止移動，則0≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPB=10-（t+l）=9-t,

由PA的長為半徑的扇形的弧長為：竺需?2=嗎義

.?.用P4的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為T

6

.?.其底面的面積為羋*

由PB的長為半徑的扇形的弧長為：怨磬=中

1803

.?.用PB的長為半徑的扇形圍成的圓錐的底面半徑為?

6

...其底面的面積為畔

36

.?.兩者的面積和S=X誓+△磬=白"(d_8t+41)

363618

.?.圖像為開后向上的拋物線，且當(dāng)t=4時有最小值；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段的動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握扇所學(xué)的知識，正確的求出函數(shù)的表達(dá)式.

2.(2022.江蘇泰州.統(tǒng)考中考真題)如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為與點(diǎn)力不重合的動點(diǎn)，以O(shè)E一

邊作正方形DEFG.設(shè)DE=dι,點(diǎn)、F、G與點(diǎn)C的距離分別為必，?,則由+加+為的最小值為()

4D

A.√2C.2√2

【答案】C

【分析】連接CF、CG、AE,證AADEWACDG(SAS)可得AE=CG,當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時，即得最

小值；

【詳解】解：如圖，連接C3CG、AE,

"：Z.ADC=乙EDG=90°

.??ADE=乙CDG

在ATWE和ACDG中，

(AD=CD

".'??ADE=乙CDG

(DE=DG

LAADE三ACOG(SAS)

.".AE=CG

.".DE+CF+CG=EF+CF+AE

當(dāng)EF+CF+AE=Ae時,最小，

2222

AC=yjAD+CD=√2+2=2√2

.?.J∕+?+?的最小值為2女，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，在胤4BCD中，對角線4C,BD相交于點(diǎn)O,AC1BC1BC=4,?ABC=

60°,若EF過點(diǎn)。且與邊4B,CD分別相交于點(diǎn)E,F,設(shè)BE=x,0E2=y,則y關(guān)于X的函數(shù)圖像大致為（）

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。向AB作垂線，交A8于點(diǎn)M,根據(jù)含有30。角的直角三角形性質(zhì)以及勾股定理可得A8、AC

的長，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AO的長，進(jìn)而求出0朋、AM的長，設(shè)BE=X,則EM=5-X,然后

利用勾股定理可求出y與X的關(guān)系式，最后根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)值的范圍，即可做出判斷.

【詳解】解：如圖過點(diǎn)。向48作垂線，交A8于點(diǎn)

VAC±BC,ZABC=60o,

o

ΛZjβAC=30,

;BC=4,

.?.A8=8,AC=4√3,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AO=-AC=2√3,

2

：.OM=-AO=√3,

2

.MM=y∕AO2-OM2=3,

設(shè)BE=x,OE2=y,則EM^AB-AM-EM=8-3-x=5-x,

VOE2=OM2+EM2,

.,.y=(X—5)2+3,

當(dāng)0≤x<3時，3<y≤28,

當(dāng)3≤x≤8時，3≤y≤12.

且圖像是二次函數(shù)的一部分

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、含有30。角的直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象

等知識，解題關(guān)鍵是求解函數(shù)解析式和函數(shù)值的范圍.

4.(2022.江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B是X軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段A3繞

點(diǎn)4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,3),則,"的值為()

?3333

【答案】C

【分析】過C作CDJ?X軸于D,CEJ_y軸于E,根據(jù)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,

可得△A8C是等邊三角形，又A(0,2),C(∕n,3),即得AC=VmzTT=BC=AB,可得BD=y∕BC2-CD2=

√τn2—8,OB-yJ?B2—OA2-'Jm2—3.從而?√r∏2_3+√m2—8=m,即可解得Tn-??.

【詳解】解：過C作CQLX軸于Q,CELy軸于E,如圖所示：

二四邊形EODC是矩形，

；將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,

：.AB=AC,ZBAC=60°,

ZVlBC是等邊三角形，

.?.A8=4C=8C,

VA(0,2),C(/?,3),

,CE=m=OD,CD=3,0A=2,

.'.AE=OE-OA=CD-OA=1,

：.AC=yjAE2+CE2=√m2÷1=BC=AB,

在Rt?BCD中，BD=√BC2-CD2=√m2-8,

在Rt?AOB中，OB=y∣AB2-OA2=√m2-3,

?'OB+BD=OD=m,

.*.Nrri2-3+√m2—8=m，

化簡變形得：3∕-22∕√-25=0,

解得：Tn=竽或m=-苧（舍去），

二m=#，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含〃7的代數(shù)式表示相關(guān)

線段的長度.

5.（2022.江蘇揚(yáng)州.統(tǒng)考中考真題）如圖,在ZUBC中,48<AC,將AABC以點(diǎn)4為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到

點(diǎn)。在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F.下歹IJ結(jié)論：Φ?AFE-?DFC;②DA平分NBDE；?Z.CDF=?BAD,其中

A.①②B.②③C.①③D.O@③

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：°.?將AABC以點(diǎn)4為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到A4DE,

△ADE=△ABC,

乙E=ZC,

VZ.AFE=?DFC,

???>AFE~XDFC,故①正確;

VΔADE=△ABC,

???AB—AD,

??ABD=?ADB1

???Z.ADE=Z-ABC,

?Z-ADB=?ADE,

???Zλ4平分4BDE,故②正確;

???ΔADE=△ABC,

二Z.BAC=?DAE?

???Z.BAD=?CAE,

VΔAFEDFC，

????CAE=?CDF

：?乙CDF=/-BAD，

故③正確

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握

以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.（2022.江蘇連云港.統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)4、B、。恰好

都落在點(diǎn)。處，且點(diǎn)G、。、C在同一條直線上，同時點(diǎn)E、。、尸在另一條直線上.小煒同學(xué)得出以下結(jié)

論：?GF//EC-,②AB=吸。；③GE=粕DF；④OC=2√∑OF:（g）?COF^?CEG.其中正確的是（）

C.①④⑤D.②③④

【答案】B

【分析】由折疊的性質(zhì)知NFGE=90。，NGEC=90。，點(diǎn)G為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，?AD=BC=2a,

AB=CD=2h,在用ACQG中，由勾股定理求得〃=√∑α,然后利用勾股定理再求得QF=">=2，據(jù)此求解即

可.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知NOG尸=NOGF,NAGE=NOGE,

：.ZFGE=ZOGF+Z0GE=^(ZDGO+ZAGO)=90°,

同理NGEC=90。，

二ZFGE+ZGEC=ISO0

：.GF//EC；故①正確；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO,GA=GO,

二DG=GO=GA,即點(diǎn)G為A。的中點(diǎn)，

同理可得點(diǎn)E為48的中點(diǎn)，

設(shè)A∕)=BC=2/AB=CD=Ih,貝IJnG=Gc>=GA=α,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,

.?.GC=34,

在Rf△€?￡>G中，CG2=DG2+CD2,

即(3α)2=02+(2b)2,

：.b=?[2a,

.".AB=2y∕2a=yj2AD,故②不正確；

?DF=FO=X,貝IJFC=2∕>-x,

在RrACOF中，CF2=OF2+OC2,

即(20-X)2=X2+(2")2,

??T?金昌即DF=Fg總

GE=y∕a2+fc2=√3tz,

?GE?/?ɑr

=-a-=76,

df√?

ΛGE=√6DF:故③正確：

?OC2a?/?-

??林="τr=2V2,

of雙

ΛOC=2√2OF;故④正確；

；N尸Co與NGCE不一定相等，

AC。FSACEG不成立，故⑤不正確；

綜上，正確的有①③④，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)

用含.r的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

7.（2020?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖①，AB=5,射線A用〃BN,點(diǎn)C在射線8N上，將AABC沿AC所

在直線翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)。落在射線BN上，點(diǎn)尸，Q分別在射線AM、BN上,PQ//AB.設(shè)AP=x,QD

=y.若y關(guān)于X的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點(diǎn)E（9,2）,則CoSB的值等于（）

【答案】D

【分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP=BQ=x,由圖象②可得當(dāng)x=9時，y=2,此時

點(diǎn)Q在點(diǎn)。下方，且8Q=x=9時，y=2,如圖①所示，可求8/）=7,由折疊的性質(zhì)可求BC的長，由銳角

三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：?.?A例〃BMPQ//AB,

.?.四邊形ABQP是平行四邊形,

.MP=BQ=X,

由圖②可得當(dāng)x=9時，y=2,

此時點(diǎn)Q在點(diǎn)。下方，且8Q=x=9時，y—2,如圖①所示,

圖①

：.BD=BQ-QD^x-y=1,

,.?將^ASC沿AC所在直線翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)。落在射線BN上,

：.BC=CD=-BD=-,ACVBD,

22

7

?D-βc27

??cosB=—

AB510

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識.理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)

的具體含義是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ZBCD中（AB>CD）,/.ABC=?BCD=90o,AB=3,

BC=√3,把RMABC沿著4C翻折得到RMAEC,若tanNaED=則線段DE的長度為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)已知，易求得4C=2√3,延長CD交AE于F,可得4F=CF=2,則EF=L再過點(diǎn)。作DG1EF,

設(shè)CG=Hx,則GE=2x,ED=√7x,FG=1-2x,在RtAFGD中，根據(jù)√5FG=GD,代入數(shù)值，即可

求解.

【詳解】解：如圖

,/乙B=90o,BC=√3,AB=3,

：.?BAC=30°,

：.AC=2√3,

,:乙DCB=90o,

.,.CD//AB,

J.?DCA=30o,延長CD交4E于F,

，AF=CF=2,貝IJEF=1,?EFD=60o,

過點(diǎn)。作DG_LE尸，設(shè)DG=√5x,則GE=2x,ED=√7x,

：.FG=l-2x,

二在Rt△FGC中，WFG=GD,即百（1-2x）=gx,

解得：T

：.ED=—.

3

故選B.

【點(diǎn)睛】本題目考查三角形的綜合，涉及的知識點(diǎn)有銳角三角函數(shù)、折疊等，熟練掌握三角形的有關(guān)性質(zhì),

正確設(shè)出未知數(shù)是順利解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個邊長為20Cm的正方形活動框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動

成四邊形ABCD,對角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到36Cm時才會斷裂.若NBAD=60。,則橡皮筋4C

斷裂（填"會’'或"不會”,參考數(shù)據(jù)：√3≈1.732）.

【答案】不會

【分析】設(shè)扭動后對角線的交點(diǎn)為。，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出扭動后的四邊形為菱形，利用菱形的性質(zhì)及

條件，得出△48D為等邊三角形，利用勾股定理算出TIO=IO8，從而得到AC,再比較即可判斷.

【詳解】解：設(shè)扭動后對角線的交點(diǎn)為0,如下圖：

根據(jù)正方形的性質(zhì)得，

得出扭動后的四邊形四邊相等為菱形，

AD=AB=20cm,

?必48。為等邊三角形，

：?BD=20cm,

???BO=泗=IoCm,

.?.AO-Λ∕AB2—BO2=lθV3cm.

根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)：AC=2AO=20√3≈34.64(cm).

???34.64<36,

二AC不會斷裂，

故答案為：不會.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是要掌握菱

形的判定及性質(zhì).

10.(2022.江蘇揚(yáng)州.統(tǒng)考中考真題)“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).如圖，已知三角形紙片ABC,

第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)8'處，折痕4。交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)4落在點(diǎn)。處，折痕MN交AB'

于點(diǎn)P.若BC=12,則MP+MN=.

第1次折疊第2次折疊

【答案】6

【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得BD=DB'=和力。1BC,由第二次折疊得到4M=DM,MN1AD,

進(jìn)而得到MNIlBC,易得MN是△40C的中位線，最后由三角形的中位線求解.

【詳解】解：；已知三角形紙片S8C,第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B'處，折痕AC交BC于點(diǎn)D,

.".BD=DB'=-BB,,AD1BC.

2

?.?第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，折痕MN交4方于點(diǎn)P,

：.AM=DM,AN=ND,

：.MNLAD9

，MNIlBC.

*：AM=DM,

,MN是△力。C的中位線，

：.MP=LDBLMN=LDC.

22

?：BC=12,BD+DC=CB,+2BD=BC,

：.MP+MN=-DB'+-DC=YDB'+DB'+B'C）=-BC=6.

222v72

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解

答關(guān)鍵.

11.（2021.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)4,B,C,。在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，直線/經(jīng)過點(diǎn)C,

O,將AABC沿/平移得到AMNO,M是A的對應(yīng)點(diǎn)，再將這兩個三角形沿/翻折，P,。分別是A,”的對

應(yīng)點(diǎn).已知網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都等于1,則PQ的長為

【答案】√W

【分析】連接P。，AM,根據(jù)P。=AM即可解答.

【詳解】解：連接P0,AM,

由圖形變換可知：PQ^AM,

由勾股定理得：ΛΛ∕=√l2+32=√Tθ,

Λpρ=√ιo.

故答案為：VTo.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確翻折前后對應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中，NBaC=90。，AB=2√2,AC=6,點(diǎn)E在線

段4C上，且AE=I,力是線段BC上的一點(diǎn)，連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE,

當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上時，AF=.

【答案】∣√6

【分析】過點(diǎn)F作BWl?AC于點(diǎn)M,由折疊的性質(zhì)得尸G=AB=2√Σ,NEFG=乙BAC=90°,EF=AE=I,再

證明AFME-AGFE,得EM=IMF=∣√2,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FMlAC丁點(diǎn)M,

B

；將四邊形4BDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段AC上，

.'.FG=AB=2√2,ZEFG=Z.BAC=90o,EF=AE=I,

ΛEG=J12+(2√2)2=3,

,.?ZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

ΔFMEGFE9

.EM_EF_MF_1

?'EF=EG=FG=3,

：.EM=-EF=^,MF=-FG=-√2,

3333

4

.?.AM=AE÷EM=-,

3

：.AF=>∕AM2+MF2=JG)2+(I??=∣√6.

故答案是：∣√6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造”母子相似三角

形”是解題的關(guān)鍵.

13.(2021?江蘇鹽城.統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,E、F分別是邊BC、CO上一

點(diǎn)，EFLAE,將△ECF沿EF翻折得△EC'F,連接ZC',當(dāng)BE=時，△AEC'是以AE為腰的等腰三

角形.

【答案】軟吟

【分析】對AZEL是以AE為腰的等腰三角形分類討論，當(dāng)4E=EC'時，設(shè)BE=X,可得到EC=4-，再

根據(jù)折疊可得到EC=EL=4-萬，然后在RtAA8E中利用勾股定理列方程計(jì)算即可；當(dāng)AE=AC，時，過A

作A4垂直于EC'于點(diǎn)"然后根據(jù)折疊可得到NC'EF=NFEC,在結(jié)合EFJ.4E,利用互余性質(zhì)可得到48E4=

N4EH,然后證得4ABEgAAHE,進(jìn)而得到BE="E,然后再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到EH=CH,

然后在根據(jù)數(shù)量關(guān)系得到BE=IBC=I

【詳解】解：當(dāng)AE=EC'時，設(shè)BE=X,則EC=4-x,

ECF沿EF翻折得△ECF,

：.EC=EC'=4-x,

在Rt?ABE中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB?即(4-x)2=x2+32,

解得：X=J;

當(dāng)4E=4C'時，如圖所示，過A作AH垂直于EC，于點(diǎn)”，

'JAHYEC',AE=AC',

：.EH=CH,

?'EFLAE,

.'.?C'EF+?AEC'=90o,4BEA+NFEC=90°

,.?ΔECF沿EF翻折得△ECF,

.??C'EF=?FEC,

J.∕,BEA=ΛAEH,

乙B=乙AHE

在^ABE和仆AHEψ?AEB=^AEH,

AE=AE

：.AABE^∕?AHE(AAS),

：.BE=HE,

：.BE=HE=HC',

：.BE=-EC'

2

9f

：EC=EC9

：.BE=-EC,

2

：.BE=LιBC=t4,

33

綜上所述，BE=g或%

故答案為：W或1

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理和折疊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論等腰三角形的腰，

然后結(jié)合勾股定理計(jì)算即可.

14.（2021.江蘇南京.統(tǒng)考中考真題）如圖，將團(tuán)ABCo繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到EL4B'C'D'的位置，使點(diǎn)夕落在8C

上，B'C'與CD交于點(diǎn)E,若AB=3,BC=4,BB'=1,則CE的長為.

【分析】過點(diǎn)C作CA"∕C'D'交B'C'于點(diǎn)M,證明4∕WB'Sa4。0，求得廣。=|,根據(jù)AAS證明44B8'≈ΔB'CM

可求出CM=I,再由CM/∕C'D'證明△CMESΔDC'E,由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CM/∕C'D'交B'C’于點(diǎn)M,

：平行四邊形ABCD繞點(diǎn)Λ逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形4夕廣》

：.AB=AB',AD=AD',ZB=乙AB'C'=ND=ND',^BAD=/.B'AD'

.,.?BAB'=?DAD',NB=NO'

.?ΔABB'SΔADD'

.BB,ABAB3

??7=———.

DD,ADBC4

?：BB，=1

：.DD'=-

3

.?C'D=CD'-DD'

=CD-DD'

=AB-DD'

4

=3^3

_5

?3

?：?AB'C=?AB'C'+?CB'M=?ABC+乙BAB'

：.NCB'M=乙BAB'

?'B'C=BC-BB'=4-1=3

：.B'C=AB

'：AB=AB'

：.ZABB'=?AB'B=?AB'C'

'JAB'∕∕C'D',CD'//CM

：.AB'//CM

：.ZAB'C'=乙B'MC

：.ZAB'B=?B'MC

在A4B夕和4夕Me中，

?BAB'=/.CB'M

?AB'B=LB'MC

AB=B'C

.?ΔABB'=ΔB,CM

：.BB'=CM=1

??CM∕∕C,D

J.∕?CMES?DC'E

.CMCE13

.?-----=—="J-=_

DCrDE-S

3

?CE3

.,—=—

CD8

：.CE=-3CD=3-AB=3-×3=9-

8888

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判

定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵.

15?(2021?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)如圖(1),AABC和△4方。是兩個邊長不相等的等邊三角形，點(diǎn)方、

C'、B、C都在直線/上，AABC固定不動，將△C在直線/上自左向右平移.開始時，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，

當(dāng)點(diǎn)9移動到與點(diǎn)C重合時停止.設(shè)C移動的距離為X,兩個三角形重疊部分的面積為y,y與X之間

的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示，則AABC的邊長是—.

【答案】5

【分析】在點(diǎn)8'到達(dá)8之前，重疊部分的面積在增大，當(dāng)點(diǎn)B'到達(dá)B點(diǎn)以后，且點(diǎn)。到達(dá)C以前，重疊部

分的面積不變，之后在8'到達(dá)C之前，重疊部分的面積開始變小，由此可得出8'C的長度為α,8C的長度

為a+3,再根據(jù)AA8C的面積即可列出關(guān)于。的方程，求出“即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B移動到點(diǎn)8時，重疊部分的面積不再變化，

根據(jù)圖象可知8'C=α,S.,b>c?=√3,

過點(diǎn)W作A'”，?。，

則AH為AAbC的高，

：ZWSC是等邊二角形,

/.NAE"=60°,

.A,H=-a,

?2

,α,α,

?'?SΔA'BC'=^×y即，M=√5,

解得a--2（舍）或a—2,

當(dāng)點(diǎn)C移動到點(diǎn)C時，重疊部分的面積開始變小，

根據(jù)圖像可知BC="+3=2+3=5,

二Z?A8C的邊長是5,

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象和三角函數(shù)，關(guān)鍵是要分析清楚移動過程可分為哪幾個階段，

每個階段都是如何變化的，先是點(diǎn)8到達(dá)B之前是一個階段，然后點(diǎn)。到達(dá)C是一個階段，最后U到達(dá)C

又是一個階段，分清楚階段，根據(jù)圖象信息列出方程即可.

16.（2020.江蘇徐州.統(tǒng)考中考真題）如圖,NMON=30。，在OM上截取CMl=6.過點(diǎn)公作J.OM,

交ON于點(diǎn)當(dāng)，以點(diǎn)BI為圓心，BIO為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)&；過點(diǎn)4作出B2JLOM,交ON于點(diǎn)殳，以點(diǎn)殳

為圓心，為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)心；按此規(guī)律，所得線段42°B2O的長等于.

【答案】219

【分析】根據(jù)已知條件先求出的長，再根據(jù)外角，直角算出AB142B2是等邊三角形，同理可得出其他

等邊三角形，即可求出答案.

o

【詳解】'-'A1B110M,?M0N=30,OA1=√3

o

β10=V3÷cos30=2

OBI=BIyll

o

Λ?B1A2O=30

φ

..Z-A2B1B2=60°

VΛ2B21OM

o

/.Z.B2A2Bi=60

，△當(dāng)冬巳是等邊三角形

??A2B2—2

.?"為公當(dāng)是等邊三角形

??A3B3=2×2=4

940B20

同理可得ΔBl是等邊三角形

,*,^20^20=219

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形計(jì)算，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)線段之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

三、解答題

17.(2022?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題)已知：AABC中，。為BC邊上的一點(diǎn).

(1)如圖①，過點(diǎn)。作。E〃AB交AC邊于點(diǎn)E,若A8=5,BQ=9,DC=6,求。E的長；

(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點(diǎn)F,使∕O∕?=∕4(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖③，點(diǎn)尸在AC邊上，連接8/、DF,若NOH=/4,△/BC的面積等于TCo?4B,以尸。為半徑作

ΘF,試判斷直線BC與。F的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴2

(2)圖見詳解

(3)直線BC與。尸相切，理由見詳解

【分析】(1)由題意易得累=；,則有?=；，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；

BD3CB5

(2)作DT〃AC交AB于點(diǎn)T,作/">F=NA3,射線。尸交AC于點(diǎn)兒則點(diǎn)尸即為所求：

(3)作8R〃CF交FD的延長線于點(diǎn)R,連接CR,證明四邊形ABKF是等腰梯形，推出AB=FR,由CF//BR,

推出SACFB=SδCFR=IAB?CD=TFR?CD,推出CCO凡然后問題可求解.

【詳解】(I),JDE//AB,

/.△CDE—△CBA?

.DE_CD

??布—ci,

?.?A8=5,BD=9,DC=6,

?DE6

.?-I",

56+9

J.DE=2；

(2)解：作DT"4C交AB于點(diǎn)T,作NT。F=NA7D,射線DF交AC于點(diǎn)F,則點(diǎn)F即為所求;

作8R〃CF交尸力的延長線于點(diǎn)R,連接C7?,如圖,

'：ZDFA=AA,

二四邊形ABRF是等腰梯形，

：.AB=FR,

：Z?F3C的面積等于TCD?AB,

SACFB=SACFR=&4B-CD=-FR-CD,

.".CDlDF,

?.?尸。是。尸的半徑，

.?.直線BC與。F相切.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角

形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個

三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中NACB=NOEB=90。，ZB=30o,BE=AC=3.

【問題探究】小昕同學(xué)將三角板OEB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn).

D

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊4B上時，延長DE交BC于點(diǎn)F,求BF的長.

(2)若點(diǎn)C、E、。在同一條直線上，求點(diǎn)。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板DEB由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上(如圖

3),求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長.

(4)如圖4,G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線4B的距離的最大值是.

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

,5√3

(o3χ)-TΓ

O

(4嚴(yán)

【分析】(1)在RSBEF中,根據(jù)余弦的定義求解即可；

(2)分點(diǎn)E在BC上方和下方兩種情況討論求解即可；

(3)取BC的中點(diǎn)0,連接G。，從而求出OG=K,得出點(diǎn)G在以。為圓心，百為半徑的圓上，然后根據(jù)弧長

公式即可求解；

(4)由(3)知，點(diǎn)G在以。為圓心，百為半徑的圓上，過。作0”_LA8于H,當(dāng)G在?！钡姆聪蜓娱L線上

時，GH最大,即點(diǎn)G到直線AB的距離的最大，在&A80H中求出。"進(jìn)而可求GH.

【詳解】(1)解：由題意得，4BEF=乙BED=9。°,

；在RtABEF中，?ABC=30o,BE=3,cos?ABC=—.

BF

：.BF=BE=-?-=2√3.

CQSLABCCOS30O

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時，

如圖一，過點(diǎn)。作DHlBC,垂足為H,

圖1

?.?在△?!Be中，"CB=90°,ZyIBC=30°,AC=3,

ΛtanzΛBC=—,

BC

BC=———=---=3>∕3.

tan?ABCtan300

在ABDE中，WEB=90。，Z-DBE=?ABC=30°,

DE

BE=3,tan?DBE=—,

BE

：.DE=BE-tan30o=√3.

,:點(diǎn)C、E、D在同一直線上，且4CEB=90。，

."CEB=180o-Z.DEB=90°.

又：在ACBE中，?CEB=90°,BC=3√3,BE=3,

CE=y∕BC2-BE2=3√2,

CD=CE+DE=3√Σ+√3.

；在ABCD中，SABCD=Q?BE=±BC?DH,

ΛDH=≡=√6.

BC+1

②當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時,

如圖二,

A

圖2

在ZkBCE中，VzCFB=90o,BE=3,BC=3√3,

/.CE=√βC2-BE2=3√2.

：.CD=CF-DF=3√2-√3.

過點(diǎn)。作。Ml8C,垂足為M.

在ABCC中，SABDC=∣δC-DM=ICD?BE,

：.DM=√6-1.

綜上，點(diǎn)。到直線BC的距離為乃±L

(3)解：如圖三，取BC的中點(diǎn)。，連接G。，則Go=TBD=√T

圖3

.?.點(diǎn)G在以。為圓心，g為半徑的圓上.

當(dāng)三角板。EB繞點(diǎn)8順時針由初始位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上時，點(diǎn)G所經(jīng)過的軌跡為150。

所對的圓弧，圓弧長為Wx2τrx√^="小

3606

.?.點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為尊m

(4)解：由(3)知，點(diǎn)G在以。為圓心，√5為半徑的圓上,

如圖四，過。作于-/7,

A

當(dāng)G在O”的反向延長線上時，GH最大,即點(diǎn)G到直線48的距離的最大,

在RmBOH中，NBHo=90°,NOBH=30°,BO=NBC=隨

.?.°∕∕=B°?siSH=e?sin3(ΓT

：.GH=OG+OH=>/3+—=—

44

即點(diǎn)G到直線48的距離的最大值為乎.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，解直角三角形等知識，分點(diǎn)E在BC上方和下方是

解第（2）的關(guān)鍵，確定點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是解第（3）（4）的關(guān)鍵.

19.（2021?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,正方形4BCC的邊長為4,點(diǎn)P在邊AD上（P不與4。重合），

連接PB,PC.將線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到PE,將線段PC繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到PF.連接

EF1EA1FD.

（1）求證：

①APDF的面積S=gP￡）2；

②E4=FD；

（2）如圖2,E4F。的延長線交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)N,連接MN,求MN的取值范圍.

【答案】⑴①見詳解；②見詳解；⑵4≤MN<2√5

【分析】（1）①過點(diǎn)F作FGLAO交AD的延長線于點(diǎn)G,證明APFG三ACPD,即可得到結(jié)論；②過點(diǎn)E

作E”_LD4交D4的延長線于點(diǎn)從證明APEH三4BP4結(jié)合△PFG三△CPD,可得GO=EH,同理:FG=A〃，

從而得△4HE≡ΔFGD,進(jìn)而即可得到結(jié)論：

（2）過點(diǎn)尸作尸G_LAO交的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作E從ID4交DA的延長線于點(diǎn)”,可得NAMD=90。，

MNWEF,"G=2AD=8,EH+FG=AD=A,然后求出當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時，EF最大值=4近，當(dāng)點(diǎn)P與AD

的中點(diǎn)重合時，EF最小值="G=8,進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】（1）①證明：過點(diǎn)F作FGLAn交Ao的延長線于點(diǎn)G,

圖1

?.?ZFPG+ZPFG=90o,ZFPG+ZCPn=90°,

.,.NFPG=NCPD,

又VNPGF=ZCDP=90o,PC=PF,

：.?PFG≡ΔCPD(AAS),

,FG=PD,

."POF的面積S=?6FG=”屏；

②過點(diǎn)E作EHlDA交DA的延長線于點(diǎn)H,

圖1

?.?ZEPH+ZPEH=90°,ZEPH+ZB∕?=90o,

：.ZPEH=ZBPAt

又*：NPHE=∕BAP=90°,PB=PE,

MPEH*BPA(AAS),

：.EH=PA,

由①得：FG=PD,

：.EH+FG=*PD=AD=CD,

由①得：APFG毛ACPD,

IPG=CD,

：.PD+GD=CD=EH+FG,

：.FG+GD=EH+FG,

：.GD=EH,

同理：FG=AH,

又TZAHE=ZFGDf

：.△AHE=AFGDf

：.EA=FD；

(2)過點(diǎn)尸作/G_LA。交AQ的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作Ea_LD4交的延長線于點(diǎn)”,

圖2

由(1)得：△AHE≡?FGD,

工NHAE=NGFD,

?//GFD+/GDF=9。。,

o

.?ZHAE+ZGDF=90t

VZHAE=ZMAD1ZGDF=ZMDA1

：.NMA。+NMQA=90。，

JNAMZ>90。，

?.?點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),

.".MN=2-EF,

?：EH=DG=AP,AH=FG=PD,

：.HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=S,EH+FG=AP+PD=AD=4,

此時EF最大值=√42+82=4√5,

當(dāng)點(diǎn)尸與AO的中點(diǎn)重合時，F(xiàn)G=2,EH=2,HG=S,

此時E尸最小值=HG=S,

.?.MN的取值范圍是：4<MΛ∕<2√5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加輔助線，

構(gòu)造直角全等的直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

20.(2021?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題)已知正方形ABCO與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖①，連接BG、CF,求票的值；

oG

(2)當(dāng)正方形AWG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CABE,分別取C尸、BE的中點(diǎn)M、N,連接試探究:

MN與8E的關(guān)系，并說明理由；

(3)連接BE、BF,分別取8￡、BF的中點(diǎn)MQ,連接QV,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

【答案】（1）√Σ;（2）MN1BE;MN=^BEt（3）9π

【分析】（I）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接4尸、AC,證明∕C4Fs4B4G即可求解；

（2）由M、N分別是CE8E的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接并延長使BW=M”,連接"/、EH,

則可證ZIBMC三ZlHM尸即可得到HF=BC=BA,再由四邊形BEFC內(nèi)角和為360。可得∕B4C=/.HFE,則可

證明4B4E三/HFE,即ZBHE是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；

（3）。、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又。、N兩點(diǎn)分別是8尸、BE中點(diǎn),所

以想到取AB的中點(diǎn)O,結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答.

【詳解】解：（1）連接力F、AC

???西邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

.?.AB=BC,AG=FG/BAD=?GAE=?CBA=Z.AGF=90°

???AF.AC分別平分NE4G,NB4D

Λ4BAC=?GAF=45°

.?.?BAC+/.CAG=/.GAF+“AG即4B4G=/.CAF

且Λ4BC,ZL4GF都是等腰直角三角形

ACAF.

—=—=√r2

ABAG

■■■ΔCAFSΔBAG

CFAC.

——=—=√r2

BGAB

B

E

(2)連接并延長使3M=M”,連接/7/、EH

???M是CT的中點(diǎn)

???CM=MF

又NCMB=乙FMH

.?.ΔCMB≡ΔFMH

BC=HF，乙BCM=乙HFM

在四邊形BEFe中

乙BCM+乙CBE+乙BEF+乙EFC=360°

又(CBA=?AEF=90°

?乙BCM+?ABE+Z-AEB+乙EFC=360°-90°-90°=180°

BPzHFM+乙EFC+乙ABE+?AEB=180°

即NHFE+?ABE+?AEB=180°

????BAE+Z.ABE+?AEB=180°

???乙HFE=乙BAE

又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

BC=AB=FHtEA=EF

?ΔBAE三ΔHFE

BE=HE.乙BEA=乙HEF

???乙HEF+乙HEA=?AEF=90°

???乙BEA+Z.HEA=90°=(BEH

???三角形3E”是等腰直角三角形

-M.N分別是34、BE的中點(diǎn)

1

.?.MN/∕HE,MN=-HE

1

???乙MNB=乙HEB=90。,MN=-BF

1

???MN1BE,MN=qBE

(3)取A3的中點(diǎn)0,連接。。、ON,連接A尸

在44BF中，。、Q分別是A8、BF的中點(diǎn)

1

?OQ=-AF

同理可得ON=TAE

?.?AF=丘AE=6√2

.?.OQ=3√2,ON=3

所以QN掃過的面積是以。為圓心，3夜和3為半徑的圓環(huán)的面積

二S=(3√2)27Γ—32τr=9τr.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動點(diǎn)問

題，屬于幾何綜合題，難度較大.解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線.

21.(2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動.

(1)ZkABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊4?上的一點(diǎn)，且4E=1,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,

如圖1,求CF的長；

圖1圖2

(2)△4BC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形8EF,如圖2,

在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑