高中數(shù)學(xué)立體幾何向量法歸納

關(guān)于高中數(shù)學(xué)立體幾何向量法歸納空間向量空間向量的運算空間向量基本定理空間向量的坐標(biāo)運算加減和數(shù)乘運算共線向量共面向量空間向量的數(shù)量積知識結(jié)構(gòu)夾角和距離平行和垂直第2頁,共44頁，2024年2月25日，星期天1、空間直角坐標(biāo)系以單位正方體的頂點O為原點，分別以射線OA，OC，的方向為正方向，以線段OA，OC，的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸,y軸,z軸,這時我們建立了一個空間直角坐標(biāo)系C'D'B'A'COAByzxO為坐標(biāo)原點，x軸,y軸,z軸叫坐標(biāo)軸，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面一、基本概念第3頁,共44頁，2024年2月25日，星期天右手直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系—Oxyz橫軸縱軸豎軸第4頁,共44頁，2024年2月25日，星期天2、空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M（x,y,z）其中x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo),z叫做點M的豎坐標(biāo)點M（X，Y，Z）第5頁,共44頁，2024年2月25日，星期天

如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.4、平面的法向量nα3、直線的方向向量第6頁,共44頁，2024年2月25日，星期天1、假設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).2、根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組3、取某一個變量為常數(shù)(當(dāng)然取得越簡單越好),

便得到平面法向量n的坐標(biāo).anb5、平面法向量的求法設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.可按如下步驟求出平面的法向量的坐標(biāo)第7頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量為:第8頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1)AA

BOzyA1C1B1AxCDD1第9頁,共44頁，2024年2月25日，星期天5、兩法向量所成的角與二面角的關(guān)系設(shè)n1

、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1

、n2夾角相等或互補，于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角.第10頁,共44頁，2024年2月25日，星期天二、基本公式：1、兩點間的距離公式（線段的長度）2、向量的長度公式（向量的模）第11頁,共44頁，2024年2月25日，星期天3、向量的坐標(biāo)運算公式第12頁,共44頁，2024年2月25日，星期天4、兩個向量平行的條件5、兩個向量垂直的條件或第13頁,共44頁，2024年2月25日，星期天7、重心坐標(biāo)公式6、中點坐標(biāo)公式第14頁,共44頁，2024年2月25日，星期天9、直線與平面所成角公式

(為

的法向量)8、直線與直線所成角公式10、平面與平面所成角公式

(為二面角兩個半平面的法向量）第15頁,共44頁，2024年2月25日，星期天11、點到平面的距離公式（PM為平面的斜線,為平面的法向量）12、異面直線的距離公式（A,B為異面直線上兩點,為公垂線的方向向量）第16頁,共44頁，2024年2月25日，星期天利用向量求角直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角（二面角）利用向量求距離點到直線的距離點到平面的距離直線到平面的距離平行到平面的距離直線到直線的距離三、基本應(yīng)用第17頁,共44頁，2024年2月25日，星期天利用向量證平行利用向量證垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行第18頁,共44頁，2024年2月25日，星期天四、基本方法1、平行問題第19頁,共44頁，2024年2月25日，星期天２、垂直問題第20頁,共44頁，2024年2月25日，星期天３、角度問題第21頁,共44頁，2024年2月25日，星期天４、距離問題（１）點到點的距離、點到平面的距離、直線到直線的距離直接用公式求解。（２）點到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解。第22頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例：題型一：線線角五、典型例題第23頁,共44頁，2024年2月25日，星期天所以：題型一：線線角解：以點C

為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，不妨設(shè)則

C||所以與所成角的余弦值為第24頁,共44頁，2024年2月25日，星期天題型二：線線垂直第25頁,共44頁，2024年2月25日，星期天題型三：線面角N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長方體中，例：第26頁,共44頁，2024年2月25日，星期天題型三：線面角N又例：在長方體中，第27頁,共44頁，2024年2月25日，星期天ABDCA1B1D1C1例.在正方體AC1中，E為DD1的中點，求證：DB1//面A1C1EEF題型四：線面平行xyz即第28頁,共44頁，2024年2月25日，星期天DACBBCDAFEXYZ題型五：線面垂直或先求平面BDE的法向量再證明第29頁,共44頁，2024年2月25日，星期天題型六：面面角設(shè)平面xyz第30頁,共44頁，2024年2月25日，星期天XYZ例：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：面A1BD∥面CB1D1題型七：面面平行或先求兩平面的法向量再證明第31頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例、在正方體AC1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ題型八：面面垂直或證明兩平面的法向量垂直第32頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)第33頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)第34頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)第35頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)第36頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)第37頁,共44頁，2024年2月25日，星期天題型九：異面直線的距離zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B1第38頁,共44頁，2024年2月25日，星期天ABCDEFGXYZ題型十：點到平面的距離第39頁,共44頁，2024年