高二數(shù)學(xué)直線的方向向量與平面的法向量

關(guān)于高二數(shù)學(xué)直線的方向向量與平面的法向量研究

從今天開(kāi)始,我們將進(jìn)一步來(lái)體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.第2頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天為了用向量來(lái)研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來(lái)表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來(lái)刻畫(huà)直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。第3頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫(huà)平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過(guò)點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有第4頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天第5頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見(jiàn)，取z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。第6頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面的法向量不惟一，合理取值即可。第7頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式。解：由題意可得

第8頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應(yīng)該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系.

那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關(guān)系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關(guān)系以及它們二面角的大小呢？第9頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、平行關(guān)系：第10頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡(jiǎn)證：因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AB,AD,AF長(zhǎng)分別為3a，3b，3c，則可得各點(diǎn)坐標(biāo)，從而有又平面CDE的一個(gè)法向量是因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDE第11頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、垂直關(guān)系：第12頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以第13頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行第14頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關(guān)系.垂直平行相交第15頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓(xùn)練3第16頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．如圖，正方體中，

E為的中點(diǎn)，證明：//平面AEC練習(xí):用空間向量來(lái)解決下列題目2、在正方體AC

中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

A

D

、D

C

、DD的中點(diǎn)，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD

⊥平面EFGABCDA

B

C

D

FQEGRP第17頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天l1l2第18頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天l1第19頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天l1l2第21頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天l第22頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天第23頁(yè),共25頁(yè)，2024年2月25日，星期天；/澳洲成人信息悉尼成人墨爾本成人澳洲性息uyd91vau天里，耿正兄妹仨和喬氏母女倆一起動(dòng)手，把五間新屋吊頂棚需要的細(xì)竹簾子全部打好了。從正月初六開(kāi)始，由耿老爹作為主手，耿正作為主助手，小青、耿英、喬氏和耿直一起動(dòng)手，開(kāi)始為五間新屋吊頂棚和裝門窗。到正月十六，這些活計(jì)就全部做完了。113第二十九回張老鄉(xiāng)魂游武昌報(bào)家信|（白家母女無(wú)助時(shí)，耿家父子傾心幫；母女情緒稍穩(wěn)定，耿老爹驚做蹊蹺夢(mèng)。）白百大的喪事辦完之后，大家一時(shí)間全都有一種心力交瘁的感覺(jué)。喬氏母女倆雖然不再日日痛哭流涕了，但白家已經(jīng)完全失去了往日的歡樂(lè)。耿老爹父子們也無(wú)心再做蔬菜水果販賣的生意了。封頂?shù)奈彘g新屋目前尚在吹晾之中，耿老爹決定先把各間屋子的窗臺(tái)和設(shè)計(jì)在中間屋里的灶臺(tái)壘砌起來(lái)。因?yàn)榇芭_(tái)和灶臺(tái)壘砌起來(lái)了，并不會(huì)太多地影響屋子里邊的吊頂操作，也不影響吹晾房頂、后墻和隔間墻。于是，耿老爹把自己的想法小心地告訴了喬氏，讓她去找曾經(jīng)幫助過(guò)蓋房子的哪一位泥匠師傅，借用人家一段時(shí)間的全套操作工具。泥匠工具借回來(lái)了，耿老爹就讓耿正給自己打下手，動(dòng)手壘砌灶臺(tái)和窗臺(tái)。囑咐耿英和耿直，讓他們陪著喬氏母女倆人說(shuō)話，想辦法逗她們開(kāi)心。耿英和耿直都屬于腦子快，嘴巴好使的主；但盡管姐弟倆使出了渾身的解數(shù)，喬氏母女倆時(shí)不時(shí)的還是會(huì)偷偷地掉眼淚。每當(dāng)此時(shí)，耿英也會(huì)忍不住跟著掉眼淚，轉(zhuǎn)而又想著法兒勸說(shuō)：“唉，早聽(tīng)人說(shuō)，人這一生啊，是‘生有時(shí)辰，死有地點(diǎn)’呢，好些事情都是不能由人的。所以啊，一旦碰上了，盡管很難接受，也只能順其變了，再傷心也是沒(méi)有用的?。　惫⒅币舱f(shuō)：“如果幺爹看到娘娘和小青姐姐老是傷心，他會(huì)很難過(guò)的！”喬氏一把鼻涕一把淚地說(shuō)：“是啊，道理我都清楚呢，可我就是管不住這眼淚都怪他不聽(tīng)勸”看到姆媽哭得傷心，小青顧不了自己那顆痛苦不堪的心了，反過(guò)來(lái)又開(kāi)始勸慰母親：“我說(shuō)姆媽啊，英妹妹和小直弟弟說(shuō)得對(duì)著哩。我爹那么喜歡在長(zhǎng)江上跑，他現(xiàn)在可算是遂了自個(gè)兒的心愿了！我們就當(dāng)他是跑一趟長(zhǎng)長(zhǎng)的船運(yùn)押送去了，他快樂(lè)著呢，我們就不要老是哭了。你要是再傷心出個(gè)好歹來(lái)，我可怎么辦啊”喬氏睜著一雙淚眼看著小青，聽(tīng)話地點(diǎn)點(diǎn)頭說(shuō)：“姆媽不哭他了，咱們記著給他做‘七’也就是了。唉，熬著吧，等做完了‘七七’，姆媽這心里啊，也許就會(huì)平靜一些了。老話不是說(shuō)了嘛，‘時(shí)間是一劑良藥’呢”日子就這樣一天一天地