5.1.2 矩形的判定-八年級數(shù)學下冊同步課堂（浙教版）

矩形的判定特殊平行四邊形學習目標壹理解并掌握矩形的判定方法。解決有關的證明題和計算題，感受解析思路和方法。貳經(jīng)歷探索矩形判定方法的過程。叁經(jīng)歷探究矩形判定的過程，發(fā)展學生實驗探究的意識。肆從數(shù)學活動中獲得成功的體驗，充滿對學習的好奇心和求知欲。知識回顧工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？矩形的判定1矩形的定義：平行四邊形ABCD∠A=90°四邊形ABCD是矩形。有一個角是直角的平行四邊形是矩形.ABCD“矩形的對角線相等”，反過來，猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.不對，等腰梯形的對角線也相等.我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.驗證結論ABCD∴△ABC≌△DCB（SSS）證明∴AB=CD,BC=BC（平行四邊形對邊相等）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）在△ABC和△DCB中AB=CD（已證）BC=BC（已證）AC=BD（已知）

∴∠ABC=90°（等式的性質）∴四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）又∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）矩形的判定2平行四邊形ABCDAC=BD四邊形ABCD是矩形。對角線相等的平行四邊形是矩形.BACD∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD

∴

四邊形ABCD是矩形。幾何語言：猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形。1、矩形的四個角都是直角，它的逆命題是什么？逆命題：四個角都是直角的四邊形是矩形。想一想2、如果上述逆命題成立，那么進一步說，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形呢？已知：四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°求證：四邊形ABCD是矩形.驗證結論DABC證明：∵∠A＝∠B＝90°

∴∠A＋∠B＝180°

∴AD∥BC

同理：AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠A＝90°

∴四邊形ABCD是矩形。矩形的判定3有三個角是直角的四邊形是矩形.BACD

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形.幾何語言：例題講解如圖,AC、BD是矩形ABCD的對角線，且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，

AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.例題講解如圖，□

ABCD的四個內角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．證明：在

□

ABCD中，AD∥BC,

∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例題講解一張四邊形紙板ABCD形狀如圖，它的兩條對角線相互垂直.若要從這張紙中剪出一個矩形，并使它的四個頂點分別落在四邊形ABCD的四條邊上，可怎樣剪？ABCDOABCDOEFGH解：如圖，在AB、BC、CD、AD上取中點E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE,∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC,∵AC⊥BD.∴EF⊥BD.∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD,∵EF⊥EH,即∠HEF=90°同理，∠EHG=90°，∠HGF=90°∴四邊形EFGH是矩形.學以致用1.如圖，BD是平行四邊形ABCD的一條對角線，E是CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于F.(1)求證：BC=CF.(2)當DB=DF時,求證：四邊形ABCD是矩形．學以致用2.如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且AD⊥BA交BC延長線于D，CF⊥BC交BA的延長線于F,連接EF．(1)求證：AC是△BCF的中線；(2)求證：四邊形CDEF是矩形；(3)已知AC=6，BC=4，求AE的長．學以致用3.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥AC于點F，連接EF．（1）四邊形PECF的形狀是______；（2）線段EF的最小值為______．學以致用4.如圖，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于點O，且O是AC、BD的中點．求證：四邊形ABCD是矩形．學以致用5.如圖，在平行四邊形ABCD中，角線AC、B