2024屆廣東省六校高三第四次聯(lián)考數學試卷及答案

東莞中學、廣州二中、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀念中學2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題數學命題人：惠州一中數學備課組審題人：惠州一中數學備課組8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.展開式中第項的系數是A.B.C.，則公差D.2.在等差數列中，若，A.B.C.D.3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為A.B.C.D.4.在中，“”是“為鈍角三角形”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5．已知三棱椎PABC，ABC是以AC為斜邊的直角三角形，PAC為邊長是2的等邊三角形，且平面ABC平面PAC，則三棱椎PABC外接球的表面積為162121A．B．C．D．3326．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數．人體的血氧飽和度正常范圍是95%~100%，當血氧飽和度低于90%St)S0eKt描述血氧飽和度St)隨給氧時間tS0為初始血氧飽和度，K為參數．已知S060%，給氧1小時后，血氧飽和度為80%．若使得血氧飽和度達到90%，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（參考數據：269ln310）B．0.5C．0.7A．0.3D．0.9ab0)的左，右焦點分別為F,F，過F的直線與雙曲線C分別x2y27．已知雙曲線C:2b2121a233,B兩點，ABF內切圓的半徑為r|BF2a，raC21的離心率為2133253A．7B．C．D．238．函數f(x)sin3xsin2x在開區(qū)間()的零點個數為A.5B.6C.7D.83小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．給定數集AR，B(0,)，x,y滿足方程2y0，下列對應關系為函數的是xfA.f:AB,yf(x)C.f:AB,xf(y)B.f:BA,yf(x)D.f:BA,xf(y)10．已知為復數，設，，在復平面上對應的點分別為，，，其中為坐標原點，則A.B.C.D.第1頁共4頁11．英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數零點．已知二次函數f(x)有兩個不相等的實根b,c，其中cb．在函數f(x)圖像上橫坐標為1的點處作曲線yf(x)的切線，切線與x軸交點的橫坐標為x；用x代替x，重復以上的過程得到x；一直下去，得到數列{x}．記2213nxnbanln，且a1，xc，下列說法正確的是1nxncecbe1A．1C．a6（其中l(wèi)ne1）B．數列an}是遞減數列11D．數列an}的前n項和Sn2nn132an三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將1到10這10個正整數平均分成甲、乙兩組，每組5個正整數，且甲組的中位數比乙組的中位數小1，則不同的平分方法共有_________種．13．已知圓A:(x2)2y21，圓B:(x2)2y4，直線3x4yt0上存在點P，過點P2向圓A引兩條切線PC和PDC和DP向圓B引兩條切線PE和PFE和F，若CPDEPF，則實數t的取值范圍為_________．14圖，已知銳角ABC外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿ABC三邊翻折后交于點若AB3，則sinPAC_________；若AC:AB:BC6:5:4，則PAPBPC的值為_________．四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）已知橢圓C，拋物線C的焦點均在x軸上，C的中心和C的頂點均為坐標原點O，從C，C上分1別取兩個點，將其坐標記錄于下表中：212122x122223y0222（1）求C和C的標準方程；12（2）若C和C交于不同的兩點,B，求OAOB的值.12第2頁共4頁1615分）如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為正三角形，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，ADCD,AD2BCCD3,PB6．（1）求證：平面平面ABCD；（2）點M為棱PC的中點，求PCD.1715分）31間內，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設每次操作能否成功相互獨立．24（1）隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，求選中的無人運輸機操作成功的概率．（2）操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：該類型設備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作．用初次所選擇的無人運輸機進行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數的期望值．第3頁共4頁1817分）已知函數fxexcosx2，gxsinx．（1）求證：當x，g(x)xf(x)；，（2）若xfxgx恒成立，求實數a的取值范圍．1917分）已知集合A中含有三個元素x,y,z，同時滿足①xyz；②xyz；③xyz為偶數，那么稱集合A具有性質P.已知集合Sn,2}(nnnNnS的非空子集BS中存在三個互不相同的*,4)元素a,b,c，使得ab,bc,ca均屬于B，則稱集合B是集合Sn的“期待子集”.（1）試判斷集合A是否具有性質P，并說明理由.（2）若集合B}具有性質P，證明：集合B是集合S4的“期待子集”.（3）證明：集合M具有性質P的充要條件是集合M是集合Sn的“期待子集”.第4頁共4頁東莞中學、廣州二中、惠州一中、深圳實驗、珠海一中、中山紀念中學2024屆高三第四次六校聯(lián)考試題標準答案及評分標準一、單項選擇題二、多項選擇題2134567891011ABCCABADABDABAD1．A解：展開式的通項公式為則第項的系數為：2．B解：因為則由等差數列的性質可知，．故選A．，，，所以3．C，公差．故選B．解：因為所以，且，所以，即，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：4．C解：為鈍角三角形．所以在中，“”是“為鈍角三角形”的充要條件．5．A解：223，故外接球表面積為S=4πR2=16π易知外接球球心為?PAC外心，故外接球半徑R==．π2sin3336．B解：設使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要t1小時，由題意可得60e80，60eKt90，兩邊同時取自然對數并整理，得K804903K4ln32ln2ln3，Ktln32，603602ln322ln2ln320.691.101.100.69則t1.5，則給氧時間至少還需要0.5小時7．A解：不妨設內切圓與三邊切點分別為P，Q，R∴|AP|=|AR|，|BP|=|BQ|，|?Q|=|?R|22∵點A在雙曲線上∴|AF|-|AF|=2a12又∵|BF|=2a∴|AB|=|AF|12∴|BP|=|F2R|∴|BQ|=|QF2|∵點B在雙曲線上∴|BF|-|BF|=2a21∴|BF2|=4a2024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第1頁共8頁1∴|QF|=|BF|=2a222|IQ|3設內切圓圓心為I，連接IQ、IF，如圖所示∵tan∠IFQ==22|QF2|3ππ∴∠QF2I=6即∠BF2A=3π∴?ABF為等邊三角形∴|AF|=6a，|AF|=4a，|FF|=2c，∠FAF=21212123在?AFF由余弦定理得：|??|2=|??|2+|??|2?2|??|?|??|????∠???1212121212即：4?2=36?2+16?2?24?2=28?2?284∴?===7?8．D解：∵?(?)=???2?????+???2?????????2?=2???????2?+???2??????2????????=????(2???2?+2???2??1?2????)=????(4???2??2?????1)令?(?)=0，則????=0或4???2??2?????1=01±√5即：????=0或????=4由圖像可知，函數f(x)共8個零點515115另法：因為f(x)sin(xx)sin(xx)2sinxcosx22222215由f(x)0，得sinx0，或cosx022所以1x，或x，即x2，或x52，kZ22255因為x311379所以x0，或x,,,,,,共8個零點5555559．ABD解：對于yf(x)2x，對于xA，均有唯一確定f(x)(0,)B，符合函數定義，故選項A正確對于yf(x)2x，對于xB，均有唯一確定f(x))B，符合函數定義，故選項B正確對于xf(y)log2y，取y1A，x0B，不符合函數定義，故選項C錯誤對于xf(y)log2y，對于yB，均有唯一確定f(y)RA，符合函數定義，故選項D正確10．AB解：設，則，，所以，，，對于對于，，，A正確；，所以，B正確對于，，，所以對于而不一定成立，C錯誤，，，與不一定成立，所以不一定平行，D錯誤；故選AB．2024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第2頁共8頁11．AD解：對于A選項，由?1=???1??=1?1???1?????????1得=?，所以?1=，A正確．?1??∵二次函數?(?)有兩個不等式實根b，c∴不妨設?(?)=?(???)(???)∵?′(?)=?(2?????)∴?′(?)=?(2?????)??∴在橫坐標為x的點處的切線方程為：???(?)=?(2?????)(???)令y=0，n???(2?????)??(?)??????????(2??????)???????+1???2?????(2?????)?2?2??+?2(????)2(????)2????2????則??+1=?===∵===?(2??????)2????????+1????????(2?????)???2??+?2?2???+1??????∴??=2??即：??+1=2????+1??????∴{??}為公比是2，首項為1的等比數列．∴??=2??1故BC錯．111??11?2?1?1?21對于D選項，由??+=2??1+()，得??=+2?=2??1+2?2?=2?+1?，故D正確．??21?2122??15分，共15分）1312147234107036；[?,]33412.36解：依題意，甲組的中位數必為5，乙組的中位數必為6所以甲組另外四個數，可從1,2,3,4和7,8,9,10這兩組數各取2個，共有C42C4236107013.[?,]33解：連接圓心和切點，如圖所示：即有∠???=∠???=?PFCADBE?AC=1，BF=2∠???=∠???=∵|??|????=??=1|??|????=??=22|??||??|122222∴=設P(x,y)∵2|??|=|??|∴2(?+2)+?=(??2)+?3010649∴?2+?2+?+4=0化簡得：(?+)2+?2=23108∴P的軌跡為以圓心（?，0為半徑的圓．∵P在直線4?+3?+?=0上331064|?10+?|8310703∴直線4?+3?+?=0與(?+)2+?2=有交點∴≤∴?≤?≤395314．；解：設外接圓半徑為由正弦定理，可知，則，，即，由于是銳角，故的垂心，即，又由題意可知為三角形，故，所以設；，2024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第3頁共8頁則，由于，不妨假設，由余弦定理知，設，，為三角形的三條高，由于，，故則得，所以，同理可得，所以，故答案為：；四、解答題:本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）解：（1）設拋物線C2的標準方程為y22px(p0)y2則2px因為22(22)2412所以點(2,22)在拋物線C2上，且2p4，解得p2…3分…4分所以拋物線C2的標準方程為y24x．23x2y2將點(1,),(2,0)代入橢圓1的標準方程ab0)中22a2b2312a22b2，解得a2b21…6分…7分得12ax2所以橢圓1的標準方程為y2.12（2）根據對稱性，可設,B兩點坐標分別為(x,y),(x,y)00002y4x，消y得x28x20…9分聯(lián)立方程組x22y22解得x432，x43212y2因為x042024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第4頁共8頁所以0324所以OAOB0…11分2y0202x24)24)50362.…………13分2401615分）（1）證明：如圖，取的中點K，連接,，AD2．∵PAD為正三角形，，∴3,且…1分…2分∵2，K,又∵底面ABCD為直角梯形，BC,四邊形BKDC為平行四邊形AD,3又PB6,PK2BK2PB2PKBK.又………………4分………………5分,K,,,∴.∵PK平面PAD,平面PAD平面ABCD………………6分(2)由（1）易知PK平面ABCD，BKAD，如圖，以K為坐標原點,KB,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，…7分1233則(0,0,3),(0,3,0),C(3,0),(，M(PBD)，,,22133CD(0,3,0),PD(3)BM(,,)…………9分222設平面的法向量為n(x,y,z)，3y0n0由得，令x3，則yz1，n(3,0,，……………11分，nx3z00PCD……………12分……………14分33|||n|722sin|n|n|213)2(3)2321(22221∴與平面PCD所成角的正弦值為……………15分.7（方法不唯一，若考生從幾何法入手，依據實際情況酌情給分）17.（15分）1）用事件A表示選擇甲種無人運輸機，用事件A表示選擇乙種無人運輸機，12用事件B表示“選中的無人運輸機操作成功”…………………2分…………………4分則P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)112213115為所求．2422…………………6分8（2）設方案一和方案二操作成功的次數分別為X，Y，則X，Y的所有可能取值均為0，1，2，……………7分13111324222418方案一：PX01，1112024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第5頁共8頁13113311311115242244224222321，PX11113311113224422232，………10分PX1151341所以EX012．………………11分8323232方案二：方法一：選擇其中一種操作設備后，進行2次獨立重復試驗，134121254所以EY22，………………13分2方法二：133111244222325PY1，0111123344121122167PY12121，1C1C13311113PY，22442223257135所以EY012．………………13分3216324所以EXEY，即方案一操作成功的次數的期望值大于方案二操作成功的次數的期望值．………………15分1817分）（1）證明：設Gxxg(x)xsinx，x0則G'x1cosx0，所以Gx在區(qū)間上單調遞增，………2分分……………3所以GxG00，即g(x)x．設F(x)f(x)xe則F'(x)exsinx1由x0時，g(x)x，即sinxxxxxcos2，x0……………4分……………5分所以F'(x)esinx1ex1xx設hxexx1，則hxex1，當x0時，hx，所以函數在區(qū)間上單調遞增，0hx故在區(qū)間上，hxh00，即在區(qū)間上，exx1，…………、6分所以F'(x)exx10所以F(x)在區(qū)間上單調遞增所以F(x)F(0)0，即F(x)x……………7分所以g(x)xf(x)得證．（2）由fxgx在區(qū)間上恒成立，即ecosx2sinxax0在區(qū)間上恒成立，x設xexcosx2sinxax，則x0在區(qū)間上恒成立，而xexsinxcosxa…………8分令mxx，則mxexcosxsinx，由（1）知：在區(qū)間上，exx1sinxcosx，，所以在區(qū)間上函數單調遞增，…………10分0x即mxexcosxsinx①當a時，，2a2002024屆高三第四次六校聯(lián)考數學答案第6頁共8頁故在區(qū)間上函數，所以函數x在區(qū)間上單調遞增，x0x0fxgx在區(qū)間上恒成立．………13分00又2時，02a，②當aπ4a2a2sina2cosa2a2sina2…………15分20故在區(qū)間a2上函數x存在零點x，即x0，00又在區(qū)間上函數x單調遞增，故在區(qū)間0上函數x00，所以在區(qū)間0上函數x單調遞減，，所以在區(qū)間x上x00，與題設矛盾．00由0綜上，a的取值范圍為,2．…………17分（矛盾區(qū)間找點用極限說明扣1分）19.（17分）1）集合A不具有性質P，理由如下：………1分（i）從集合A中任取三個元素x,y,