山東省煙臺(tái)市師范學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省煙臺(tái)市師范學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列an中，a1=2，q=2，Sn=126，則n=（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出Sn，讓其等于126列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化簡(jiǎn)得：2n=64，解得：n=6．故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．2.已知a=，b=log2，c=，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a參考答案： C【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】判斷a、b、c與1，0的大小，即可得到結(jié)果．【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故選：C．3.設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于 A．

B．或2

C．2

D．參考答案：A略4.某一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3位同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學(xué)證明這個(gè)問題，不同的選法種數(shù)有（）種．A.8 B.15 C.18 D.30參考答案：A【分析】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，解決問題分成兩個(gè)種類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果．【詳解】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，解決問題分成兩個(gè)種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來證明，有3種方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是看清楚完成這個(gè)過程包含兩種方法，看出每一種方法所包含的基本事件數(shù)，相加得到結(jié)果．5.有200人參加了一次會(huì)議，為了了解這200人參加會(huì)議的體會(huì)，將這200人隨機(jī)號(hào)為001,002，003，…，200，用系統(tǒng)抽樣的方法(等距離)抽出20人，若編號(hào)為006,036,041,176,196的5個(gè)人中有1個(gè)沒有抽到，則這個(gè)編號(hào)是（

）A.006 B.041 C.176 D.196參考答案：B【分析】求得抽樣的間隔為10，得出若在第1組中抽取的數(shù)字為6，則抽取的號(hào)碼滿足，即可出判定，得到答案.【詳解】由題意，從200人中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人，所以抽樣的間隔為，若在第1組中抽取的數(shù)字為006，則抽取的號(hào)碼滿足，其中，其中當(dāng)時(shí)，抽取的號(hào)碼為36；當(dāng)時(shí)，抽取的號(hào)碼為176；當(dāng)時(shí)，抽取的號(hào)碼為196，所以041這個(gè)編號(hào)不在抽取的號(hào)碼中，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的抽取方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.下表是某廠1—4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.5由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程式＝－0.7x＋a，則a等于()

A．10.5

B．5.15

C．5.2

D．5.25參考答案：D7.一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是()A．異面

B．平行

C．相交

D．不確定參考答案：B略8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D取，則，但，故；取，則，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要條件，選D.9.設(shè)x、y、z＞0，，，，則a、b、c三數(shù)（

）A.都小于2 B.至少有一個(gè)不大于2C.都大于2 D.至少有一個(gè)不小于2參考答案：D【分析】利用基本不等式計(jì)算出，于此可得出結(jié)論.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，若a、b、c三數(shù)都小于2，則與矛盾，即a、b、c三數(shù)至少有一個(gè)不小于2，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查反證法的基本概念，解題的關(guān)鍵就是利用基本不等式求最值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10.已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第19項(xiàng) D.第11項(xiàng)參考答案：B解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由解得：，即是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).本題選擇B選項(xiàng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(文)函數(shù)f(x)=ax3-x在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：a≤0

略12..函數(shù)的最小值為________.參考答案：4略13.函數(shù)f（x）=x﹣3lnx的單調(diào)減區(qū)間為．參考答案：（0，3）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)小于0求x的范圍即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣3lnx，x＞0，∴f'（x）=1﹣=，令＜0，則0＜x＜3，故答案為：（0，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．14.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時(shí)，左邊為__________．參考答案：等式的左邊是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，觀察當(dāng)時(shí)，等式左邊等于,故答案為.15.袋中有個(gè)球，其中有彩色球個(gè)．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的順序依次從袋中取球，每次取后都放回，規(guī)定先取出彩色球者為獲勝．則甲、乙、丙獲勝的概率比為

.（以整數(shù)比作答）參考答案：9:6:416.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程=bx+a必過點(diǎn)．參考答案：（1.5，4）【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】要求y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過的點(diǎn)，需要先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)，求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均值，得到樣本中心點(diǎn)，得到結(jié)果．【解答】解：∵，=4，∴本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（1.5，4），∴y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過點(diǎn)（1.5，4）故答案為：（1.5，4）17.若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2處有極值，則a=

，b=

．參考答案：﹣，﹣【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程，求出a，b的值．【解答】解：f′（x）=+2bx+1，由已知得：?，∴a=﹣，b=﹣，故答案為：﹣，﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值的意義，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取1個(gè)球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)X的分布列．參考答案：解：X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X＝1)＝，第2次取到白球的概率為P(X＝2)＝×＝，第3次取到白球的概率為P(X＝3)＝××＝，第4次取到白球的概率為P(X＝4)＝×××＝，第5次取到白球的概率為P(X＝5)＝××××＝，所以X的分布列為X12345P

19.某醬油廠對(duì)新品種醬油進(jìn)行了定價(jià)，在各超市得到售價(jià)與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：?jiǎn)蝺r(jià)x（元）55.25.45.65.86銷量y（瓶）9.08.48.38.07.56.8

（1）求售價(jià)與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？相關(guān)公式：，．參考答案：（1）．（2）6.75元【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）求得利潤(rùn)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤(rùn)（利潤(rùn)=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價(jià).【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以，，從而回歸直線方程為．

（2）設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為元，依題意得當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)單價(jià)定為6.75元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)．【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的計(jì)算，考查實(shí)際應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20.已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），拋物線的焦點(diǎn)到直線l：y=2x+2的距離為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)R（x0，2）在拋物線C上，過點(diǎn)Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A，B，若直線AR，BR分別交直線l于M，N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）可以得到拋物線的焦點(diǎn)為，而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，而由p＞0即可得出p=2，從而得出拋物線方程為y2=4x；（Ⅱ）容易求出R點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），可設(shè)AB：x=m（y﹣1）+1，，直線AB方程聯(lián)立拋物線方程消去x可得到y(tǒng)2﹣4my+4m﹣4=0，從而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可寫出直線AR的方程，聯(lián)立y=2x+2即可得出，而同理可得到，這樣即可求出，從而看出m=﹣1時(shí)，|MN|取到最小值，并且可得出此時(shí)直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，，得p=2，或﹣6（舍去）；∴拋物線C的方程為y2=4x；（Ⅱ）點(diǎn)R（x0，2）在拋物線C上；∴x0=1，得R（1，2）；設(shè)直線AB為x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；AR：=；由，得，同理；∴=；∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，，此時(shí)直線AB方程：x+y﹣2=0．【點(diǎn)評(píng)】考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程的關(guān)系，過定點(diǎn)的直線方程的設(shè)法，以及直線的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要清楚函數(shù)的單調(diào)性．21.某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響．已知學(xué)生小張只選甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示小張選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積．（Ⅰ）求學(xué)生小張選修甲的概率；（Ⅱ）記“函數(shù)

為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率；（Ⅲ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)學(xué)生小張選修甲、乙、丙的概率分別為、、；依題意得——4分，所以學(xué)生小張選修甲的概率為0.4——5分（Ⅱ）若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則=0

…………6分（Ⅲ）依題意知，

————10分，則的分布列為02P∴的數(shù)學(xué)期望為

…………12分22.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)Q的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B，且3+=，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意得=，+=1，a2=b2+c2．解出即可得出；（Ⅱ）由題意得點(diǎn)Q（2，0），設(shè)直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為+=1（