2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)（文）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古高二上冊期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足z+2+i=（3-i）（l+2i）,則Z的模為（）

A.5B.3C.75D.石

【正確答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和減法的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由2+2+，=（3-。。+2，）=>2+2+,=3+6，-『+2=>2=5+5，-2-，=3+4，，

所以|z|=JF壽=5,

故選：A

1a

2.如果不等式成立的充分不必要條件是:<x<],則實數(shù)。的取值范圍是（）

13133.13-1

A.—<a<一B.—<a<—C.一<?；騋<—D.—<a^a>—

22222222

【正確答案】B

解不等式|x-a|<l，得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間的包含關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系,

a—14—

可得不等式組，則有:，（注：等號不同時成立），解可得答案

a+l>-

I2

【詳解】由不等式

得：a-l<x<a+l,

由于不等式卜-。|<1成立的充分不必要條件是:

a-\<—

則有；，（注：等號不同時成立）；

a+l>-

2

13

解得一<a<—.

22

故選：B.

本題考查充分、必要條件的判斷及運(yùn)用，注意與集合間關(guān)系的對應(yīng)即可，屬于較易題.

3.函數(shù)/(x)=(x-3)e、的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(-00,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+8)

【正確答案】D

【分析】利用人x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)性.

【詳解】V/(x)=(x-3)e\.?.r(x)=e，+(x—3)e1t=(x—2)e、，

當(dāng)x>2時，"卜)>0,.；危)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+8).

故選：D.

4.若函數(shù)/(x)滿足〃x)=$3-/，⑴x2-x,則/'⑴的值為().

A.1B.2C.0D.-1

【正確答案】C

求導(dǎo)得至U/'(x)=x2-2r(I)x-l,取x=l帶入計算得到答案.

【詳解】〃x)=$3-/rW-x,則/'(x)=x2_2/‘⑴x-1,

則廣⑴=1-2八1)-1,故/'(1)=0.

故選：C.

本題考查了求導(dǎo)數(shù)值，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

5.在AJ8C中，已知sin?4=sin,8+sin?C,且sin"=2sin5cosC,則A4BC的形狀是

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【正確答案】C

【詳解】由sin2/=sin28+sin2C及正弦定理得/=/+。2,故在根8。為直角三角形；又且

sin4=2siitScosC,所以sin(B+C)=sin8cosc+cosBsinC=2sin8cosC,因此

sin5cosC-cos5sinC=sin(S-C)=0,由于3,C為三角形的內(nèi)角，故有8=C,所以A48C

為等腰三角形.綜上可得A48C為等腰直角三角形.選C.

6.正方體的棱長為2,E是棱。。的中點，則平面"GE截該正方體所得

的截面面積為()

A.5B.275C.4y/6D.2促

【正確答案】D

【分析】作出示意圖，設(shè)F為的中點，連接/尸，尸G，EF,易得平面"GE截該正方體所

得的截面為NFCg,再計算其面積.

【詳解】如圖所示，設(shè)尸為54的中點，連接/尸，尸G，設(shè)G為CG的中點，連接EG,GB,

又BGgFaBG=C、F,得4E//CF且4E=C/,則/,E，G，F(xiàn)共面，

故平面AQE截該正方體所得的截面為AFQE.

又正方體ABCD-A^QD,的棱長為2,AF=FCi=EJ=EA,AC,=24，EF=20，

EF1AC,,

故NFGE的面積為S=gx2/x20=2C.

故選:D.

7.橢圓寸+且=1的左右焦點為耳，F(xiàn)2,尸為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，與關(guān)于尸的對

43

稱點、為M,關(guān)于用的對稱點為N,則M耳N的周長為（）.

A.6B.8C.10D.12

【正確答案】D

【分析】根據(jù)對稱關(guān)系可知P乙為△耳MV的中位線，再利用橢圓定義可得2a=4,2c=2,

從而可得“片、的周長.

【詳解】因為耳關(guān)于P的對稱點為〃，關(guān)于行的對稱點為N,

所以「鳥為△耳MN的中位線,

所以MK+MN=2PK+2PB=2(PF[+PF2)=2x2a=^,

FlN=2FlF2=4c=4->f4^3=4,

所以四尸戶的周長為8+4=12.

故選：D.

8.在一次勞動實踐課上，甲組同學(xué)準(zhǔn)備將一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.如圖,

已知矩形的寬為6,高為力，且梁的抗彎強(qiáng)度%『，則當(dāng)梁的抗彎強(qiáng)度力最大時，矩

6

形的寬6的值為（）

C.爭D.存

A.—dB.-d

43

【正確答案】D

I分析】易得沙=再求導(dǎo)分析W的單調(diào)性與取最大值時h的值即可

66

【詳解】由題意，%=，劭2=!”"2-從）=-43+）力，故

66,766

W1,2^1,2電故當(dāng)0<6〈正d時，%'>0,當(dāng)時,

W=—b+—d=—b-\-----db------a

2623?3

\八33

W'<0,故當(dāng)6=也4時〃取最大值.

3

故選：D

9.過拋物線C:y2=4x的焦點作直線/,/交C于M,N兩點，若線段中點的縱坐標(biāo)為

2,則|MN|=()

A.10B.9C.8D.7

【正確答案】C

【分析】設(shè)直線MN的方程為x-l=/y,聯(lián)立拋物線方程得「-4叩-4=0,利用韋達(dá)定理

求出加值，再利用弦長公式即可.

【詳解】由拋物線方程知焦點坐標(biāo)為（1,0）,

設(shè)直線MV的方程為x-l=my,聯(lián)立/=4》得「-4my-4=0,

設(shè)〃(占,%)，N(%,%),則M+%=4〃?，M%=7,

則21±22=2機(jī)=2,解得機(jī)=1,

2

則=，？+1帆_%|=V/M2+1?/（弘+、2）2-4必％=VP+1-"2+4x4=8,

故選：C.

10.已知過點（0,1）的直線與橢圓/+或=1交于A、B兩點，三角形0/8面積的最大值

2

是（）

A.—B.72C.vD.1

22

【正確答案】A

【分析】先設(shè)直線方程再聯(lián)立應(yīng)用弦長公式求弦長，把面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的函數(shù)，求最值即可.

y=kx+\,

【詳解】顯然直線斜率存在，設(shè)過（0」）的直線方程為:y=kx+\,聯(lián)立方程組2

X

消去V,并整理得（2+公卜2+2日-1=0,

設(shè)8（七,%）,則△＞（）恒成立,

—2k—1

%+%=亦，中廣有可

22

\AB\=^Jl+k|xj一到=Jl+%2J/+x2)-4X}X2

=O到直線48的距離為d=工4=

N(2+kJ2+k2"-+1

故選:A.

11.已知點〃是拋物線/=2x上的動點，以點M為圓心的圓被了軸截得的弦長為8,則該

圓被x軸截得的弦長的最小值為

A.10B.2V15C.8D.4石

【正確答案】B

【分析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為M(2/,2a),由圓M被》軸截得的弦長為8,求得r=16+4/，

進(jìn)而得到被x軸截得弦長為/=21而-Ra?=4M一乎+券,即可求解.

【詳解】由題意，點/是拋物線/=2x上的動點，設(shè)圓心的坐標(biāo)為例(2/,2a),

則圓心到X軸的距離為2a,到y(tǒng)軸的距離為2/,

又因為以點"為圓心的圓被V軸截得的弦長為8,

由弦長公式，可得r=4?+(2/y=16+4/，

所以被x軸截得弦長為/=2M-(2a)2=2J16+4/-4。=4卜-孑+%

當(dāng)/=:時，此時弦長取得最小值2后，故選B.

本題主要考查了圓的性質(zhì)，以及圓的弦長公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用圓的性質(zhì)和圓的

弦長公式，借助配方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.

12.已知雙曲線5■-(■=l(a>0,b>0),A、8分別是上下頂點，過下焦點?(0,-c)斜率為2/

的直線/上有一點尸滿足P/8為等腰三角形，且NP/8=120。，則雙曲線的離心率為()

3

A.-B.2C.3D.4

2

【正確答案】D

【分析】依題意首先得到直線/的方程，過點P作尸，軸，垂足為〃，即可表示點P的坐

標(biāo)，再由點P在直線/上，即可得到。、c的關(guān)系，即可求出離心率.

【詳解】解：依題意可得4(0,。)，8(0,-。)，尸(0?),直線/的方程為y=2j琵-C,

過點P作尸軸，垂足為H,因為NPNB=120。，所以N"4P=60。，|<8|=勿，

所以|/P|=2a,則網(wǎng)=a,網(wǎng)=岳,所以尸(缶,2a),

又點尸(白,2“)在直線/上，所以2a=26x缶-c,所以e，=4.

二、填空題

3

13.設(shè)i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)大7對應(yīng)的點位于第象限.

(2-1)------------

【正確答案】一

3912

【分析】化簡復(fù)數(shù)=結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

(2-1)2525

333(3+4i)912.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)>^=「7=

(2-1)3-41(八3—4，1)八0+41)2525

可復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點z(點9，差12)位于第一象限.

故一

14.已知耳、鳥分別是雙曲線》2-4/=4的左、右焦點，點P在該雙曲線的右支上，且

歸耳|+歸用=6,貝IJcos/耳Pg=.

【正確答案】|

【分析】根據(jù)雙曲線得定義可得：|P耳卜|叫|=4,結(jié)合歸用+歸用=6,求得|尸娟尸閭的

值，利用余弦定理，求得cos/%P乃的值

■>

【詳解】由雙曲線f-4/=4,及?_/=1,所以：。=2,。=右.根據(jù)雙曲線的定義:

忸周一|「瑪|=4因為忸耳|+|尸閭=6,則閥|=5,|尸周=1,在三角形尸尸處中,

PF；+PF；-F、F；_25+1-203

2PFX-PF2-2x5x1

故答案為《3

雙曲線與焦點三角形問題，結(jié)合余弦定理，求角的余弦值.

15.已知函數(shù)/(幻=/+叱、在［0』上不單調(diào)，則實數(shù)。的取值范圍為.

【正確答案】(he?)

函數(shù)=e、+“I在［0』上不單調(diào),轉(zhuǎn)化為f\x)=e，-叱工在(0,1)有零點，即a=e?'有解,

研究y=e2,取值范圍即可.

【詳解】函數(shù)“X)在［0』上不單調(diào)，

即r(x)=ex-ae-x在(0,1)有零點，

即/'(X)="_a，"=0oa=/x

當(dāng)xe(0,l),e2*e(l,e2),故

故(中)

本題考查了導(dǎo)數(shù)在含參函數(shù)的單調(diào)性問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,

屬于中檔題.

16.三棱錐S-48C中，平面Z8C1平面SBC,△5BC為等邊三角形，且/8=3,AC=^3,

￡ABC=30°,BC豐AC,則三棱錐S-48C的外接球體積為.

【正確答案】子32萬

【分析】先由題中條件，作出示意圖，在N8C中，用余弦定理求得8C,用勾股定理證得

/8C為直角三角形，再由平面N8C工平面SBC,aSBC1為等邊三角形，證得SE1.平面

ABC,得到三棱錐S-48C的外接球的球心。必在直線SE上，再由08=0S,求得外接球

半徑，得到外接球體枳.

【詳解】解析：作出圖形如圖所示，

在ABC'h,由余弦定理，AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosAABC,

解得BC=2由,或=E（BC^AC,舍）,

又由48=3,AC=>/3,貝IZB?+/c?=&?2,故/8C為直角三角形，

設(shè)8c的中點為E,因為ASBC為等邊三角形,故SEL8C,又平面/8C工平面S8C,

故SE1.平面N8C,又/8C為直角三角形，點E為斜邊8c的中點，

則球心。必在直線SE上，易祗\SE=旦BC=3>BE,

2

故。在SE之間，設(shè)OE=",則8E2+OE2=8。2=s。?，

即3+/=(3-4>，解得4=1,故所求球半徑五=OS=2,球的體積為§萬改=手.

故亍,

本題考查了面面垂直的性質(zhì)，三棱錐的外接球半徑的求法，屬于中檔題.

三、解答題

17.已知拋物線V=2px(p>0)的焦點為尸(4,0),。為坐標(biāo)原點.

(1)求拋物線方程；

(2)斜率為1的直線過點凡且與拋物線交于/,8兩點，求4。8的面積.

【正確答案】⑴F=16x

(2)32應(yīng)

【分析】(1)由題可得與=4,即可求出P；

2

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出恒用，利用點到直線的距離公式求出三

角形的高，最后利用面積公式即可

【詳解】（1）???尸（4,0）,則由拋物線性質(zhì)得］=4,

p=8,/=16x,

即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=16x.

（2）由題意得，拋物線的焦點為尸（4,0）,

斜率為1的直線/的方程為y=x-4,/（x238（々,力），

y?=16x

'.=>X2-24X+16=0,A=242-4X16>0

fy=x-4

所以西+刀2=24,xtx2=16,

/.\AB\=-x2|="5242-4x16=32.

原點。到直線/的距離為d=FL=2雙,

所以/08的面積g倉心22逝=32近

18.在銳角48C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且JL-26sinC=0.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）從條件①6=30,a=4;條件②“=2,月=（這兩個條件中選擇一個作為已知，求ABC

的面積.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】（1）8=g;（2）答案不唯一，具體見解析.

【分析】（1）由題設(shè)條件和正弦定理，化簡得如sinC-2sin8sinC=0,求得sin8=@,

2

即可求解；

（2）條件①：由6=30,a=4,和8=?,根據(jù)余弦定理求得c=2+JT?,結(jié)合面積公式,

即可求解；

條件②：由8=3且4=看，根據(jù)正弦定理求得6=指，進(jìn)而求得sinC的值，結(jié)合面積公式,

即可求解.

【詳解】（1）因為JJc一2bsinC=0,由正弦定理JJsinC-2sin8sinC=0.

因為Ce（0,、）,sinC*0,所以sin8=等.

又因為所以2=

（2）條件①：6=36,“=4;

因為6=36,0=4,由（1）得3=§,

所以根據(jù)余弦定理得/=。2+/-2c-cos8,可得c?-4c-11=0，解得c=2+JiW.

所以N8C的面積S=1c-asin8=26+36,

2

條件②：。=2,4=/；

4

由（1）知8=￡7T且Z=￡TT,

34

根據(jù)正弦定理得一二=」三，所以6=土駕=而，

sin5sm4sinA

因為C=兀一A—B=—,

所以48C的面積S=j6-asinC=3立叵.

22

19.在數(shù)列｛《,｝中，4=：,若函數(shù)/（x）=x'+l在點（1,7（1））處切線過點

（1）求證：數(shù)列［%-共為等比數(shù)列：

（2）求數(shù)列｛《,｝的通項公式和前n項和公式S”.

【正確答案】（1）見解析；（2）%=；?（；『+；，工=言+；.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程得到％,川-。“-1=0,經(jīng)過變形即可得到

（2）由（1）得到數(shù)列｛%｝的通項公式，利用分組求和得到S,

【詳解】（1）因為尸（x）=3》2,所以切線的斜率為左=3,切點（I,2）,

切線方程為y_2=3(x_l)=3x_j_l=0

又因為過點又用此），所以為用-%-1=0,

即3。"]=4+1①

_1

31111

所以如川一萬=_]=3（。用-y=%-5=----丁=-,

即數(shù)列,-；｝為一等比數(shù)列，公比夕=；

（2）由⑴得[對-4為一公比為g=的等比數(shù)列，則

2I32326263

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及由定義判定等比數(shù)列，屬于中檔題.

20.如圖，三棱柱/8C-44G的側(cè)棱與底面垂直，AC=9,8c=12,48=15,AAt=\2,

（2）求證：〃平面C。片.

【正確答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）轉(zhuǎn)化為證明/CL平面

（2）設(shè)CM與QB的交點為E,連結(jié)OE,可得。E///C一再由線面平行的判定定理即可證

得結(jié)果.

【詳解】（1）在直三棱柱NBC-45c中，CG，平面Z8C,所以

又因為/C=9,5C=12,4B=15,則ZC?+5C?=，所以ZC18C,

又CC、cBC=C,所以/C_L平面8CG4,所以ZC18C.

(2)設(shè)CM與QB的交點為￡,連結(jié)DE,

是力8的中點，E是G8的中點，，DE//ZG

?.?OEu平面C。片，平面C￡>q,，NG//平面CD%

21.已知橢圓［+/=l(a>b>())的一個頂點為。(0,-1),離心率為孝.過橢圓右焦點且

斜率為左小#。)的直線加與橢圓相交于兩點A,B,與V軸交于點E,線段力8的中點為P,

直線/過點E且垂直于。尸(其中。為原點).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并求弦AB的長；

(2)證明直線/過定點.

2

【正確答案】⑴二+/=1；2V2(A:+1)；

22^+1

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再與直線用的方程聯(lián)立，求出弦48長作

答.

(2)利用(1)中信息，求出直線0P斜率、點E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線/方程作答.

【詳解】(1)因為。(0,-1)為橢圓捺+，=1(八6>0)的一個頂點，則6=1,由離心率為自

得，

02=二生=4，則有合=2/=2,橢圓方程為二+/=1,其右焦點為(L0),

a222-

fy=k(x-\)

直線〃：?y=k(x-l),k40,由12c2、消去y得：(2爐+1)/-4%、+2%2-2=0,

x+2y=2

設(shè)/(%,M),8(%,%)，則X.+X,=，*x2=,

M作行小戶沙-卬2=kW^，

YI”「2'(2/+1)22k2+12k2+1

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+F=1，弦48的長為2&(