2022-2023學(xué)年山東省重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山東省重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知t是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=+，則2是（）

A1+iR1_1r_1+4,1UD----

A.2十22222'22

2.“治國之道，富民為始”共同富裕是社會主義的本質(zhì)要求，是中國式現(xiàn)代化的重要特征，

是人民群眾的共同期盼.共同富裕是全體人民通過辛勤勞動和相互幫助最終達(dá)到豐衣足食的

生活水平，是消除兩極分化和貧窮基礎(chǔ)上的普遍富裕.請你運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識

加以分析，下列關(guān)于個(gè)人收入的統(tǒng)計(jì)量中，最能體現(xiàn)共同富裕要求的是（）

A.平均數(shù)小，方差大B.平均數(shù)小，方差小C.平均數(shù)大，方差大

D.平均數(shù)大，方差小

3.下列命題正確的是（）

A.a//b,buana〃aB.a//a,buana//b

C.a/la,a〃bnb〃aD.aCa,a//b,6ua=a〃a

4.已知向量日=（1,2）,b=（-2,2），c=（4,/c）,若m+B）〃3則上=（）

A.-1B.1C.-16D.16

5.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）

A.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”

B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”

C.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”

D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”

6.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2

次擊中目標(biāo)的概率p.先由計(jì)算器產(chǎn)生。到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1,2,3,4,5表

示擊中目標(biāo)，6,7,8,9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次

射擊的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：

169966151525271937592408569683

471257333027554488730863537039

據(jù)此估計(jì)p的值為（）

A.0.6B.0.65C.0.7D.0.75

7.如圖，用K、A1、々三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且公、/至少有一個(gè)

正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、4、&正常工作的概率依次是09、08、0.8,則系統(tǒng)

正常工作的概率為（）

A.0.960B,0.864C.0.720D,0.576

8.已知四面體ABCD滿足4BJ_BC,BCLCD,AB=BC=CD=2A/-3,且該四面體的體積

為6,則異面直線4。與BC所成角的大小為（）

A.45°B,60°C.45°或60°D.60°或30°

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^,則下列命題為真命題的是（）

A.z的共軌復(fù)數(shù)為"|iB.z的虛部為|

C.|z|=3D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

10.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件4="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正

面朝上”，下列結(jié)論中正確的是（）

A.該試驗(yàn)樣本空間共有4個(gè)樣本點(diǎn)B.PG4B）=；

C.4與E為互斥事件D.A與8為相互獨(dú)立事件

11.下列命題中是真命題的有（）

A.有4B,C三種個(gè)體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的4個(gè)體數(shù)為9,則樣本容

量為30

B.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲

D.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)

據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］內(nèi)的頻率為0.4

12.已知三棱柱48。-48道1的側(cè)棱和底面垂直，且所有頂點(diǎn)都在球。的表面上，側(cè)面

BCGBi的面積為4/至則正確的結(jié)論是（）

A.若BiG的中點(diǎn)為E,則AC1〃平面&BE

B.若三棱柱48C-&B1G的體積為4/耳，則①到平面BCCiBi的距離為3

C.若△力BC是邊長為2的等邊三角形，則4G與平面A41B1B所成的角為方

D.若AB=AC=BC,則球。體積的最小值為竽

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率

是.

14.我國2021年9月至2022年3月的居民消費(fèi)指數(shù)(上年同月=100)分別為100.7,101.5,

102.3,101.5,100,9,100.9,101.5,則這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)是.

15.已知4D是AABC的中線，若〃=120。，AB-AC=-2,則|而|的最小值是.

16.在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=1,將△AC。沿AC折起，連接BO,

得到三棱錐。-ABC,則三棱錐D-4BC體積的最大值為,此時(shí)該三棱錐的外接球的表

面積為?

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知非零向量優(yōu)B滿足m=4|瓦，且伍一2歷1人

(1)求江與3的夾角；

(2)若恒+山=1五，求同的值.

18.(本小題12.0分)

為了調(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，某校組織了高一年級學(xué)生進(jìn)行了物理測試.根據(jù)測試

成績,將所得數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,其

頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求圖中a的值；

(2)試估計(jì)本次物理測試成績的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(3)該校準(zhǔn)備對本次物理測試成績優(yōu)異(將成績從高到低排列，排在前13%的為優(yōu)異)的學(xué)生進(jìn)

行嘉獎，則受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于多少？

19.(本小題12.0分)

在如圖所示的四棱錐F-4BC。中，四邊形4BCD是等腰梯形，AB//CD,Z.ABC=60°,FC1

面ABC。，CB=CD=CF=1.

(1)求證：AC1BF；

(2)若E為CF的中點(diǎn)，問線段ZB上是否存在點(diǎn)G,使得EG〃面ADF?若存在，求出4G的長；

若不存在，請說明理由.

20.(本小題12.0分)

排球比賽實(shí)行“每球得分制”，即每次發(fā)球都完成得分，誰取勝誰就得1分，得分的隊(duì)擁有發(fā)

球權(quán)，最后先得25分的隊(duì)獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分24：24,要繼續(xù)比賽至某隊(duì)領(lǐng)先2分

才能取勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一局排球比賽，已知甲隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率

為|,乙隊(duì)發(fā)球時(shí)甲隊(duì)獲勝的概率為|,且各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，若甲、乙兩隊(duì)雙方X：

X平后，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán).

(1)當(dāng)X=24時(shí)，求兩隊(duì)共發(fā)2次球就結(jié)束比賽的概率；

(2)當(dāng)X=22時(shí)，求甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利的概率.

21.(本小題12.0分)

如圖所示，在三棱柱力BC-中，側(cè)棱力遇，底面4BC,且底面是邊長為2的正三角形,

側(cè)棱長為1,。是4C的中點(diǎn).

(I)求證：B1C〃平面&BD；

(n)求直線4B1與平面&BD所成角的正弦值;

(HI)求二面角A-BD-&的大小.

22.(本小題12.0分)

在A4BC中，acsinB=b2—(a-c)2.

(1)求sinB的值；

(2)求上的取值范圍.

az+c2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=±=/氏)、=4=H，

l+i(l+i)(l-i)222

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化筒即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：方差反映的是一組數(shù)據(jù)的波動情況，方差越大說明數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度越大，

平均數(shù)是整體的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的集中程度的刻畫，所以最能體現(xiàn)共同富裕要求的是平均

數(shù)大，方差小.

故選：D.

根據(jù)平均數(shù)與方差的含義即可求解.

本題考查了平均數(shù)與方差的概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：對于4,a//b,6<2。=(1￡201或(1〃處故A錯誤；

對于B,a//a,bua=a〃b或a與b異面，故B錯誤；

對于C,a//a,a〃/?=b〃a或bua,故C錯誤；

對于D,aa,a//b,bua=a〃a,故。正確.

故選：D.

由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基

礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：???日=(1,2),3=(—2,2)，c=(4,/c),

五+b=(1,2)+(—2,2)—(—1,4)>

又0+石)〃小二一lxk=4x4,解得k=-16.

故選：C.

首先求出a+3的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：對于選項(xiàng)4,“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”為互斥而不對立的兩個(gè)事

件，即選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)8,“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”兩個(gè)事件不為互斥事件，兩事件中都有

“一個(gè)紅球一個(gè)黑球”這一事件，即選項(xiàng)B錯誤；

對于選項(xiàng)C,“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”兩個(gè)事件不為互斥事件，兩事件中都有“都是

黑球”這一事件，即選項(xiàng)C錯誤；

對于選項(xiàng)D,“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”為對立事件，即選項(xiàng)。錯誤，

故選：A.

由互斥事件及對立事件的關(guān)系求解即可.

本題考查了互斥事件及對立事件，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查古典概率，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

首先列舉出至少擊中兩次的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步利用古典概率的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】

解：由題意：射擊中擊中至少兩次的為：

151,525,271,592,408,471,257,333,027,554,730,537,039,

一共有13組，

故至少擊中兩次的概率為2(4)=蔡=0.65.

故選：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，涉及互為對立事件的概率關(guān)系，解題時(shí)注意區(qū)分、分析

事件之間的關(guān)系.

首先記K、4、4正常工作分別為事件人B、C,易得當(dāng)K正常工作與久、&至少有一個(gè)正常工

作為相互獨(dú)立事件，而“4、4至少有一個(gè)正常工作”與“4、&都不正常工作”為對立事件,

易得4、4至少有一個(gè)正常工作的概率；由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，記K、4、&正常工作分別為事件4、B、C；

則P(4)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.8,

①、&至少有一個(gè)正常工作的概率為1一p(B)尸(C)=1-0,2x0,2=0,96：

則系統(tǒng)正常工作的概率為0.9x0.96=0.864；

故選：B.

8.【答案】C

【解析】解：如圖所示：將四面體放入長方體中,

V=xgx2<3x2cxCE=6,解得CE=3,

故DE=VCD2-CE2=V12-9=

以凡4,FC,FG為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

8(2/3,2<3,0)，。(0,2「,0)，D(0,<3,3)或。(0,3/3,3)，

4(2/3,0,0)，

AD=(-2c3c,3)或而=(-2V~3,C3)>BC=(-2c0,0).

設(shè)異面直線AD與BC所成的角的大小為0,0<0<90°,

小。_?通的-12_1

C°S"~\AD\-\BC\~2/3x4<3一2’9=60°;

座也=__12__￡2則

或COS?==45°;

\AD\-\BC\~2cx2A_2，

綜上所述：異面直線AD與BC所成的角的大小為45?；?0。.

故選：C.

將四面體放入長方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到CE=3,建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo),

根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.

本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：因?yàn)閦=愛=(稱：工一?=?歲2=：_7

24-1(2+i)(2-i)2-r55

所以z的共扼復(fù)數(shù)為"+故A正確；

復(fù)數(shù)z的虛部為-"故B錯誤；

|Z|=J(扔+(_|)2=宰，故C錯誤；

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為號,-§,位于第四象限，故。正確.

故選：AD.

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共血復(fù)數(shù)的定義判斷4根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷B,

根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷，

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4,分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則有｛(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反,

反)｝四個(gè)樣本點(diǎn)，故A正確，

對于B,事件4與事件B相互獨(dú)立，貝i」P(AB)=%故8正確，

對于C,D,事件4與事件8相互獨(dú)立，故A與B為相互獨(dú)立事件不為互斥事件，故C錯誤，。正確,

故選：ABD.

根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義以及概率乘法公式可解.

本題考查相互獨(dú)立事件的定義以及概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BD

9

【解析】解：對于4由分層抽樣原理知，樣本容量為n=二3二=18,所以選項(xiàng)A錯誤;

3+1+2

對于B,數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)為3=2x(1+2+3+3+4+5)=3,

眾數(shù)為6,中位數(shù)也是3,所以它們的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)相同，選項(xiàng)B正確;

對于C,甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5；

它的平均數(shù)是3=卷x(5+6+9+10+5)=7,

方差為s2=|x[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=4.4,

這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，所以選項(xiàng)C錯誤；

對于D,由題意知樣本容量為10,樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間口14.5,124.5]內(nèi)的頻數(shù)是4,

所以頻率為0.4,選項(xiàng)。正確.

故選：BD.

A中，由分層抽樣原理求出樣本容量的值；

B中，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)即可；

C中，計(jì)算乙組數(shù)據(jù)的方差，與甲組數(shù)據(jù)的方差比較即可；

。中，由樣本容量、頻數(shù)和頻率的關(guān)系，計(jì)算即可.

本題考查樣本的數(shù)字特征應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】AD

【解析】解：取BC的中點(diǎn)心連接4尸，QF,BE,&B,ArE,

則4/7/4E,BE//C#,又4FC平面&BE,&Eu平面&BE,5P

???4/7/平面&BE,同理GF〃平面々BE,V

而4尸、GFu平面AGF,且AFnCiF=F,

二平面4BE〃平面AC/,匕

AC】//平面力iBE,故A正確；

設(shè)&到直線BiG的距離為m,則V=|m-BjQ-CQ=4，W,

又S矩形BCC1B1=B】Cl,"1=m=2,

???平面AiBiG1平面BCG/,平面n平面BCGBi=Bg,

???占到平面BCC/i的距離為2,故B錯誤；

若4ABC是邊長為2的等邊三角形，

取中點(diǎn)G,連接QG,則GG1平面A&B1B,，「二

連接AG,則4GAG為4G與平面4AB1B所成的角,

在RtZiGG4中，由已知可得CG=C，=則AC】=22+(2/-3)2=4>

sinzAAG=梨=?，

14cl4

則4cl與平面4必當(dāng)8所成的角為arcsin?，故C錯誤；

若AB=AC=BC,三棱柱的底面為等邊三角形，

設(shè)M,N分別是AABC,AABIG的中心，連接MN,

則球心。為MN的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱底面邊長為a,高為九，則ah=4/3，

?；BiN=為避=?a，ON=。,

???外接球的半徑為R=0/=Jy+Y=J亨+苣2J2c=2，

當(dāng)且僅當(dāng)a=，石時(shí)上式等號成立，

???球。的體積7=1兀/?3之券，故。正確.

故選：AD.

取8c的中點(diǎn)F,通過證明平面4BE〃平面AGF,得出4G〃平面4BE判斷4：根據(jù)棱柱的體積公

式，得出△&B1G的邊BiG上的高，得出4到平面BCG/的距離判斷B；由題意找出線面角，求

解即可判斷C；球心在棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，根據(jù)基本不等式計(jì)算球的最小半徑，即可

得出球。的最小體積判定0.

本題考查了棱柱與外接球的位置關(guān)系，考查球的體積與表面積計(jì)算，屬于中檔題.

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查古典概率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

分別求得基本事件的總數(shù)和點(diǎn)數(shù)和為5的事件數(shù)，由古典概率的計(jì)算公式可得所求值.

【解答】

解：一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為6X6=36種，

而點(diǎn)數(shù)和為5的事件為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種，

則點(diǎn)數(shù)和為5的概率為P=白=

故答案為:

14.【答案】100.9

【解析】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為100.7,100.9,100.9,101.5,101.5,101.5,102.3,

由20%x7=1.4,可知這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù)，EP100.9.

故答案為：100.9.

將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，利用I百分位數(shù)的求解方法，計(jì)算結(jié)果即可.

本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】解：-：AB-AC=-2=\AB\\AC\cosA，=120。，

\AB\\AC\=4

■.■\AD\=^(AB+AC),

.-.\AD\2=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC)=^\AB\2+\AC\2-4)

2；(2|布||前4)=1

，|4DImin=1

故答案為：1.

利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式，即可求|而|的最小值.

本題考查向量的數(shù)量積，基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】g

57r

【解析】

【分析】

本題考查了三棱錐體積的最大值和外接球的表面積，屬于中檔題.

注意到三棱錐。-ABC體積最大時(shí)，平面4CD_L平面4BC,可知以B為頂點(diǎn)時(shí)，BC為三棱錐的高，

然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面力CD的距離、△4CD外接圓半徑和球

的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.

【解答】

解：過點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E,

**?BE=B=

由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BCcos1=3,即AC=R,

AB2=BC2+AC2,

???BC1AC,

易知，當(dāng)平面AC。_L平面ABC時(shí)，三棱錐0-ABC體積最大，

此時(shí)，BCJL平面4CD,

易知，NO=y,

??S&ACD=\AD?CDsin^-=

VD-ABC=g*1=泉；

記。為外接球球心，半徑為R,

平面4c0,OB=OC,

■.。到平面4C。的距菌d=5

AC?

又R4CD的外接圓半徑r=高而=1,

???/?2=r2+d2=7?

4

???S=4兀/?2=5〃,

圖2

故答案為：黑為兀.

17.【答案】解：設(shè)向量入族夾角為仇

(1)由0-2&)1E得伍—2b)-6=0，??db—2b2=0?A\a\\b\cos0—2\b\2=0

又；|a|=4|山，二cos?=2，9=§；

⑵由+山=兩邊平方得MF+|瓦2+2|a||h|cos^=21,

又?.,向=4|山，二21|石『=21,.?.曲=1.

【解析】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、向量模的運(yùn)算，屬于中檔題.

設(shè)向量G,B夾角為。，

⑴由伍-2b)1(得伍-2by-b=0可解決此問題;

(2)由|五+b\=兩邊平方,結(jié)合同=4|)可解決此問題.

18.【答案】解：(1)由(0.005+0.010+0.015x2+。+0.030)X10=1,解得a=0.025；

(2)45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,故本次防疫知識測

試成績的平均分為71；

(3)設(shè)受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于x分，因?yàn)椋?0,90),［90,100］對應(yīng)的頻率分別為0.15,0.1,

所以(90-x)x0.015+0.1=0,13,解得x=88,

故受嘉獎的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于88.

【解析】(1)由直方圖區(qū)間頻率和為1求a即可；(2)根據(jù)直方圖求物理測試成績的平均分即可；

(3)根據(jù)直方圖求出成績從高到低排列且頻率為0.13對應(yīng)分?jǐn)?shù)即可.

本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】證明：（1）?；CB=CD,乙CDB=/.CBD,

又AB//CD,：.乙CDB=4ABD,

???4CBD=AABD,又44BC=60。，

???/.ABD=30°,又AD=BC,/.DAB=/.CBA,AB=BA,

ABD=.ti,BAC,乙CAB=乙ABD=30°,

乙4cB=90°,即AC1BC,

???FC_L平面ABC。，F(xiàn)C1AC,AC_L平面BC產(chǎn)，

???AC1BF；

（2）解：線段力B上存在點(diǎn)G,使得EG〃平面4OF,4G=\AB=

4Z

下面證明結(jié)論：

如圖，取DF中點(diǎn)H,連接HE,HA,在線段AB上取點(diǎn)G,使得AG=,4B,連接EG,

由（1）知，在4ABC中，Z.ABC=60°,4CAB=30°,Z.ACB=90°,AB=2BC=2,

所以AG=^AB=I，

因?yàn)锳B〃CD,AB=2BC=2DC=2,

所以4G〃CC,aG=goc=；,

因?yàn)橐詾镈F中點(diǎn)，E為CF的中點(diǎn)，

所以HE〃CD,HE=g,

1

所以4G〃HE,AG=HE=}

所以四邊形AGEH為平行四邊形，

所以4H〃GE,

因?yàn)锳Hu平面力DF,GEC平面ZDF,

所以EG〃平面4DF,

所以線段AB上存在點(diǎn)G,

使得EG〃平面4DF,AG=/

【解析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合幾何關(guān)系證明AC1BC,在根據(jù)線面垂直證明FC1AC,進(jìn)而證明4c1

平面FBC,再根據(jù)線面垂直得結(jié)論；

(2)取DF中點(diǎn)H,連接HE,HA,在線段4B上取點(diǎn)G,使得4G=；AB,連接EG,則證明四邊形4GEH

為平行四邊形，以證明EG〃平面ADF.

本題考查了線面垂直的證明和線面平行定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)根據(jù)題意，X=24后兩隊(duì)共發(fā)2次球就結(jié)束比賽，則這兩個(gè)球均由甲隊(duì)得分,

或均由乙隊(duì)得分，且兩者互斥.

記事件4="X=24后兩隊(duì)共發(fā)2次球就結(jié)束比賽”，因?yàn)楦鞔伟l(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，

所以P(A)=W(i-w)X=布.

即X=24后兩隊(duì)共發(fā)2次球就結(jié)束比賽的概率為第.

45

(2)X=22時(shí)，甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利，則甲以25：22或25：23取得該局勝利.

記事件B=”甲以25：22取得該局勝利"，C="甲以25：23取得該局勝利”，D="X=22時(shí)，

甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利”，

因?yàn)楦鞔伟l(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，且B,C互斥，

firmn/nx2228c/"、"2、222,2〃2、22,22“2、

所以P(B)=3X3X3=27，P(C)=(1-3)X5X3X3+3X(1-3)X5X3+3X3X(1-3)X

2_8

5=45，

P(D)=P(BUC)=P(B)+P(C)=捺8+.8=黑64.

【解析】(1)分析可得：x=24后兩隊(duì)共發(fā)2次球就結(jié)束比賽，則這兩個(gè)球均由甲隊(duì)得分，或均由

乙隊(duì)得分，且兩者互斥.由此結(jié)合互斥事件的概率計(jì)算公式計(jì)算可得答案；

(2)記事件B="甲以25：22取得該局勝利”，C="甲以25：23取得該局勝利”，D="X=22時(shí)，

甲隊(duì)得25分且取得該局比賽勝利”，則P(C)=P(BUC),由互斥事件的概率計(jì)算公式計(jì)算可得答

案.

本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】(I)證明：設(shè)=連接DM,

因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?/p>

所以M為AB1中點(diǎn)，又因?yàn)椤?c中點(diǎn)，

所以O(shè)M〃B]C,

因?yàn)镈Mu平面為BD,BiCC平面&BD,

所以&C〃平面&BD；