第四章過渡過程的經(jīng)典解法

第四章過渡過程的經(jīng)典解法第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電容和電感元件電容元件電感元件電容、電感的串聯(lián)和并聯(lián)第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電容元件電容在實際電路中很常見，它主要分為獨立電容元件和器件的寄生電容，獨立電容元件由不同的電介質(zhì)構(gòu)成，通常有云母、陶瓷、氧化膜、及其它電介材料（如氧化鋁等）如圖4.1-1所示，器件的寄生電容通常出現(xiàn)PN結(jié)上，如MOS管、BJT，實際上在電路中只要有電荷儲存與釋放的功能就存在電容。電容的用途也非常廣泛。

第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法

圖4.1-1電容元件示意圖

第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電感元件

第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電容、電感的串聯(lián)和并聯(lián)

第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法一階電路一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的完全響應(yīng)一階電路的三要素分析法第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法一階電路的零輸入響應(yīng)對于一階電路，可用一階微分方程來描述，設(shè)電路的輸出響應(yīng)為，電路的初儲能（）用起始狀態(tài)（為常數(shù)）表征，即第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法零輸入響應(yīng)及其求解方法

由圖（a）可知，開關(guān)轉(zhuǎn)換后初瞬，即時，電容初始電壓為即得這就是電容兩端在時的電壓。因而電阻中電流由開關(guān)轉(zhuǎn)換前的零值一躍而為開關(guān)轉(zhuǎn)換后的初瞬值。而充電到的電容減小到零，電流也隨之從減小到零。第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法由開關(guān)轉(zhuǎn)換后得電路圖（b），根據(jù)KVL得又（非關(guān)聯(lián)參考方向）得微分方程為初始條件為一個一階齊次微分方程，它的解為指數(shù)函數(shù)，設(shè)它的特征方程為第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法特征根為所以有故有注意，在時（即開關(guān)轉(zhuǎn)換時）是連續(xù)的，沒有躍變。可立即求得第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法討論零輸入響應(yīng)：在給定電容電壓初始值的情況下，電容C越大，電容中儲存的電荷量越多，放電需要的時間越長；電阻R越大，放電電流越小，放電需要的時間也越長。因此電容電壓和電流衰減的快慢，取決于電路參數(shù)R和C的乘積。另外由于電路中的零輸入響應(yīng)是隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)中的指數(shù)必須是無量綱的，因此乘積具有時間的量綱，以表示故稱為該電路的（指開關(guān)轉(zhuǎn)換后）的時間常數(shù)。電容電壓和電流衰減的快慢取決于電路的時間常數(shù)。第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法以電壓為例，當(dāng)時，有當(dāng)時，有

可見當(dāng)時，電壓已下降到初始電壓值的1.84%以下，一般已可以近似認(rèn)為衰減到零（理論上，僅當(dāng)時，）。實際上，由于過時曲線上的點作衰減曲線的切線，必交于時間軸上的點如圖所示。因而越小，與衰減越快；越大，與衰減越慢。第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法另一種典型的一階電路為RL電路，下面就來研究它的零輸入響應(yīng)。設(shè)在時電路圖如（a）所示，開關(guān)K1與b端相接，開關(guān)K2打開，電感L由電流源供電，由于為常數(shù)，即這就是圖（a）中電感電流和電感電壓的開關(guān)轉(zhuǎn)換前的穩(wěn)態(tài)值。第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法轉(zhuǎn)換后，由圖（b）可得而又由VCR得有初始條件有可解得其中為圖（b）電路的時間常數(shù)。第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電感電壓為、波形如下圖所示，它們都是隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)曲線。第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)對于一階電路，設(shè)電路激勵信號為，電路的起始狀態(tài)為。則該非齊次微分方程的零初始條件的解，就叫作電路的零狀態(tài)響應(yīng)，用表示。第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法

下面通過具有零起始狀態(tài)的RC電路，來討論一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)及其求解方法。如圖4-2-5所示。先從電路概念上定性討論開關(guān)轉(zhuǎn)換后的變化趨勢。在轉(zhuǎn)換前C被開關(guān)K短路，所以，，，電路處于初始穩(wěn)態(tài)。在開關(guān)轉(zhuǎn)換后初瞬，電容電壓不會躍變，即，電容如同短路，又因，可知在時，。顯然，在時電流源電流全部流向電容C，對電容C充電，即第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法這時，電容電壓將發(fā)生變化，其變化率為 以后，電容電壓由零逐漸增長，流過電阻R上的電流隨之增長。由于總電流恒為，使得電容器的充電電流以逐漸減小，直至最后時，全部電流流過電阻，，電容器如同開路，充電停止，電容電壓不再變化，即

電路達到了另外一種穩(wěn)態(tài)。第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法現(xiàn)在來定量計算零狀態(tài)響應(yīng)，在開關(guān)轉(zhuǎn)換后，根據(jù)KCL可得電路方程為整理得（4.2.10）初始條件為 方程式（4.2.10）是一個一階非齊次線性微分方程，其完全解由對應(yīng)的齊次方程通解和非齊次微分方程的特解組成，即第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法首先由齊次方程求通解?？汕蟪鐾ń鉃?，（4.2.11b）然后由非齊次方程求特解。 激勵為常量，特解設(shè)為常數(shù)，即，并將其代入式（4.2.10）可得

即得：（4.2.11c）所以，原方程的全解為第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法最后由初始條件確定全解中的系數(shù)，當(dāng)時，，可得故 由此可得電路的零狀態(tài)響應(yīng)為

這里

、波形如圖4-2-6所示。第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法另一種求解零狀態(tài)響應(yīng)的典型電路是電壓源通過電阻對具有零初始條件的電感在時充電如圖4-2-7（a）所示。即電路零狀態(tài)響應(yīng)的意義可用圖4-2-7（b）表示。第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法一階電路的完全響應(yīng)對于一階電路，可以表示為則該非齊次常微分方程的非零初始條件的解，就叫作電路的完全響應(yīng)。完全響應(yīng)的解為：第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法下面舉例說明一階電路完全響應(yīng)的求解方法。由圖4-2-8可知，開關(guān)轉(zhuǎn)換后，按KCL可得方程為：

（4.2.15a）初始條件為（4.2.15b）方程式（4.2.15a）的解為（4.2.16a）第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法代入初始條件有所以完全響應(yīng)為（4.2.16b）由式（4.2.15b）可見，當(dāng)時，即得零輸入響應(yīng)（4.2.16c）如果，即得零狀態(tài)響應(yīng)（4.2.16d）所以式（4.2.15b）也可寫為（4.2.16e）第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法響應(yīng)可改寫的為圖4-2-9所示響應(yīng)可改寫的為圖4-2-10所示第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法一階電路的三要素分析法

設(shè)一階電路，在電路中動態(tài)元件的初始儲能和恒定輸入激勵信號共同作用下的完全響應(yīng)為，則電路的完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)或自由響應(yīng)強迫響應(yīng)由此可見，電路的完全響應(yīng)由、、三個要素決定，只要求出這三個要素，即可求得一階電路在恒定輸入信號激勵下的完全響應(yīng)。第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法二階電路線性RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)線性RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)線性RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)一般二階電路的響應(yīng)第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法線性RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)對圖4-3-1所示電路列出KVL方程（4.3.1）

若取電流作為要討論的零輸入響應(yīng)，則將上式對求導(dǎo)一次，并注意到則有（4.3.2）給定的初始條件是（4.3.3）（4.3.4）第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法將代入式（4.3.1），得（4.3.5）以式（4.3.4）和（4.3.5）為初始條件的微分方程（4.3.2）的解便是零輸入響應(yīng)。令此解為（4.3.6）于是有（4.3.7）和（4.3.8）將它們代入式（4.3.2），則式（4.3.2）的特征方程為（4.3.9）第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法特征根為（4.3.10）特征根又稱為固有頻率。若令（4.3.11）（4.3.12）則特征根又可寫成（4.3.13）（4.3.14）二階齊次常微分方程的通解即零輸入響應(yīng)為（4.3.15）第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（1），即的情況兩個固有頻率和為不等負(fù)實根，電容器在全部時間內(nèi)一直是在放電。電容器的這種單向放電稱為非周期性（非振蕩性）放電或者稱為過阻尼放電。

第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（2），即的情況 兩個固有頻率和為相等的負(fù)實數(shù)，即。響應(yīng)為電阻值稱為臨界電阻。電感器電壓電容器電壓第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（3），即的情況 兩個固有頻率和為一對共軛復(fù)數(shù)。則有（4.3.30a）和（4.3.30b）響應(yīng)為（4.3.31）待定常數(shù)和可根據(jù)給定的初始條件式（4.3.4）和（4.3.5）求出。將及代入式（4.3.31），得（4.3.32）第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法將對求導(dǎo)，有

再將初始條件及代入，得

（4.3.33）由式（4.3.32）和（4.3.33）可解得（4.3.34）

（4.3.35）第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法于是（4.3.36）根據(jù)可求出電感器的電壓（4.3.37）其中

（4.3.38）（4.3.39）（4.3.40）第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法根據(jù)KVL可知從，和的表達式中都含有可以看出，，和的放電情況是一種周期性（振蕩性）的衰減放電，或稱欠阻尼放電。第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法結(jié)論： （1）當(dāng)電路的固有頻率位于平面的負(fù)實軸上，電路的零輸入響應(yīng)是衰減非周期性（非振蕩性）的，或是過阻尼型的（其中包括臨界阻尼型的）。 （2）當(dāng)電路的固有頻率位于左半平面內(nèi)，但不在負(fù)實軸上，電路的零輸入響應(yīng)是衰減周期性（振蕩性）類型的，或是欠阻尼型的。 （3）當(dāng)電路的固有頻率位于平面的虛軸上，電路的零輸入響應(yīng)是無衰減周期性（振蕩性）類型的；或是無阻尼型的。再定義一個表征電路固有特性的輔助參數(shù)（品質(zhì)因數(shù)）第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法線性RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)1、線性串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)列出電路的KVL方程為第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法則將代入上式，得出

（4.3.47）給定的初始條件為（4.3.48）（4.3.49）其中（4.3.50）根據(jù)階躍函數(shù)的定義，式（4.3.47）在時可以寫成（4.3.51）第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法電路在階躍電壓輸入下，經(jīng)過相當(dāng)長時間之后，電路達到穩(wěn)態(tài)，電容器的端電壓維持恒定，因此及由式（4.3.51）可知，穩(wěn)態(tài)分量（4.3.53）暫態(tài)分量是二階齊次微分方程（4.3.54）的解。設(shè)此解為：（4.3.55）將它代入式（4.3.54），可得特征方程為第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法特征方程的根，即電路的固有頻率為（4.3.56）若令和則式（4.3.56）又可以寫成（4.3.57）（4.3.58）于是，可求得電容器端電壓的暫態(tài)分量（4.3.59）將式（4.3.53）和（4.3.59）代入式（4.3.52），便有（4.3.60）將初始條件代入式（4.3.60），得（4.3.61）第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法將式（4.3.60）對求導(dǎo)，又有在將初始條件代入上式，得（4.3.62）由式（4.3.61）和（4.3.62）可定出常數(shù)和，即，將其代入式（4.3.60），可得到的表達式：（4.3.63）同時可求出第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法根據(jù)及的相對大小，也可以分為（），（），（）和（）四種情況。（1），即的情況第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（2），即的情況 有進而又可根據(jù)和導(dǎo)出第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（3），即的情況此時電路的固有頻率為一對共軛復(fù)數(shù)：（4.3.69）（4.3.70）將式（4.3.69）和（4.3.70）代入式（4.3.63），便有（4.3.71）

根據(jù)關(guān)系式，式（4.3.71）可以寫成下列形式：（4.3.72）第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法若令，則上式中的和又可以分別表示為，于是，式（4.3.72）又可寫成（4.3.73）

根據(jù)和可導(dǎo)出

（4.3.74）

（4.3.75）第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法（4），即的情況 此時因，而，電路的兩個固有頻率是一對共軛虛根，即和因為，此時的將，和的值代入式（4.3.73），（4.3.74）和（4.3.75），可得（4.3.76）（4.3.77）（4.3.78）

第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法2、線性定常串聯(lián)電路的沖激響應(yīng)它應(yīng)是滿足微分方程（4.3.79）和初始條件為（4.3.80）（4.3.81）的解。根據(jù)式（4.3.79）可知應(yīng)是一個連續(xù)函數(shù)。又有（4.3.82）和（4.3.83）第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法現(xiàn)在來確定沖激電壓源為圖4-3-13上的電路所建立的初始狀態(tài)。根據(jù)式（4.3.82）和（4.3.80），有（4.3.84）對方程（4.3.79）兩邊進行到的積分，有第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法即（4.3.85）將式（4.3.81），（4.3.82）和（4.3.83）代入上式，可得出

即（4.3.86）式（4.3.84）和（4.3.86）即為初始狀態(tài)。這樣，時電路的微分方程為（4.3.87）和初始條件及第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月過渡過程的經(jīng)典解法齊次微分方程（4.3.87）和初始條件可等效于具有由式（4.3.80）和（4.3.81）所給定初始條件的非齊次常系數(shù)線性微分方程（4.3.79）；即可通過解齊次微分方程（4.3.87）來求沖激響應(yīng)。對于方程（4.3.87），其解可以寫成（4.3.88）式中固有頻率是特征