歷年高考數(shù)學(xué)（理）知識清單-專題19 排列、組合、二項(xiàng)式定理（考點(diǎn)解讀）（原卷+解析版）

1專題19排列、組合、二項(xiàng)式定理考情解讀1.排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏易.2.排列、組合試題具有一定的靈活性和綜合性，常與實(shí)際相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為基本的排列組合模型解決問題，需用到分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想.3.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題比較簡單，但非二項(xiàng)問題也是今后高考的一個熱點(diǎn)，解決此類問題的策略是轉(zhuǎn)化思想.重點(diǎn)知識梳理1．兩個重要公式(1)排列數(shù)公式An(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n).(2)組合數(shù)公式2．三個重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)①C＝C－m(n，m∈N*，且m≤n)；(2)二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝anan－1b1an－2b2+?+Can－k·bk+?n，其中通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)②C＋C＋C+?+C＝2n；③C＋C＋C+?=C＋C＋C+?=2n－1.2高頻者點(diǎn)突破高頻考點(diǎn)一排列與組合例12018年浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【舉一反三】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種【變式探究】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）72【變式探究】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個B．120個C．96個D．72個高頻考點(diǎn)二排列組合中的創(chuàng)新問題例2．用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)【變式探究】設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為()高頻考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)例3．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2)(1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16【變式探究】在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【變式探究】(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()高頻考點(diǎn)四二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例4．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式(+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.【變式探究】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為（A15x4（B）15x4（C20ix4（D）20ix4－a5【變式探究】已知x的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝(－a5A.BC．6D6高頻考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5．(1+)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)A．15B．20C．30【變式探究】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=.【變式探究】二項(xiàng)式(x＋1)n(n∈*＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2)(1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12B．162．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式(+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.2a4（1）求n的值；+b，其中a,be**，求a23b2的值.1.（2018年全國Ⅲ卷理數(shù)）的展開式中的系數(shù)為4A.10B.20C.40D.802.（2018年浙江卷）二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.3.（2018年天津卷）在的展開式中，的系數(shù)為.4.（2018年浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)1.【2017課標(biāo)1，理6】(1+)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為A．15B．20C．302.【2017課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種3.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）4.【2017山東，理11】已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=.1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()（A）24（B）18（C）12（D）92.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為（A15x4（B）15x4（C20ix4（D）20ix43.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）724.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k<2m，a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（A）18個（B）16個（C）14個（D）12個000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016年高考北京理數(shù)】在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）6.【2016高考新課標(biāo)1卷】(2x+)5的展開式中,x3的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）7.【2016高考天津理數(shù)】(x2-)8的展開式中x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)8.【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=.6專題19排列、組合、二項(xiàng)式定理考情解讀1.排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏易.2.排列、組合試題具有一定的靈活性和綜合性，常與實(shí)際相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為基本的排列組合模型解決問題，需用到分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想.3.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題比較簡單，但非二項(xiàng)問題也是今后高考的一個熱點(diǎn)，解決此類問題的策略是轉(zhuǎn)化思想.1．兩個重要公式(1)排列數(shù)公式An(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n).(2)組合數(shù)公式2．三個重要性質(zhì)和定理(1)組合數(shù)性質(zhì)①C＝C－m(n，m∈N*，且m≤n)；(2)二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝anan－1b1an－2b2+?+Can－k·bk+?n，其中通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr.(3)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)②C＋C＋C+?+C＝2n；③C＋C＋C+?=C＋C＋C+?=2n－1.高頻考點(diǎn)突攻7高頻考點(diǎn)一排列與組合例12018年浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCA4；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCCA3.綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為CCA4+CCCA3＝720＋540＝1260.【舉一反三】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有C種方法，然后進(jìn)行全排列A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C根A=36種方法。故選D?！咀兪教骄俊坑脭?shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有A種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為3A=72，故選D.【變式探究】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個B．120個C．96個D．72個【解析】由題意，首位數(shù)字只能是4，5，若萬位是5，則有3×A＝72個；若萬位是4，則有2×A個=48個，故40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個．選B.【答案】B高頻考點(diǎn)二排列組合中的創(chuàng)新問題例2．用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從85個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)【解析】分三步：第一步，5個無區(qū)別的紅球可能取出0個，1個，?,5個，則有(1＋a＋a2＋a3＋a4+a5)種不同的取法；第二步，5個無區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出，則有(1＋b5)種不同取法；第三步，5個有區(qū)別的黑球看作5個不同色，從5個不同色的黑球中任取0個，1個，?,5個，有(1＋c)5種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故選A.【答案】A【變式探究】設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為()【解析】易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三種情況討論．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|=1，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個讓其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10種情況；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個讓其都等于1或都等于－1或一個等于1、另一個等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40種情況；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個讓其都等于1或都等于－1或兩個等于1、另一個等于－1或兩個等于－1、另一個等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80種情況．由于10＋40＋80＝130，故答案為D.【答案】D高頻考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)例3．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2)(1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為C+2C=4+8=12，故選A.【變式探究】在(1-2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】60.【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式Tr+1=C(-2)rxr可知，x2的系·數(shù)為C(-2)2=60?！咀兪教骄俊?x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()【解析】Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1項(xiàng)為CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系數(shù)為CC＝30.【答案】C高頻考點(diǎn)四二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)例4．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式(+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.【答案】165【解析】由題意，(+x)9的通項(xiàng)為Tr+1=C()9-rxr(r=0,1,2…9)，當(dāng)r=0時，可得常數(shù)項(xiàng)為T=C()9=16；若展開式的系數(shù)【變式探究】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為（A15x4（B）15x4（C20ix4（D）20ix4【答案】A【解析】二項(xiàng)式(x+i)6展開的通項(xiàng)Tr+1=Cx6-rir，令6-r=4，得r=2，則展開式中含x4的項(xiàng)為Cx4i2=-15x4，故選A.【變式探究】已知－5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝()A.BC．6D6 x－a55－rr553【解析】x的展開式通項(xiàng)Tr＋1＝Cx2(－1)rar·x－2＝(－1)rarCx2－r，令2－r＝2 x－a55－rr553∴T2aCx，∴-aC＝30，∴a6，故選D.【答案】D高頻考點(diǎn)五二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5．(1+)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)A．15B．20C．30【答案】C【變式探究】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=________.【答案】－2rCa5一2【變式探究】二項(xiàng)式(x＋1)n(n∈*＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n＝()【解析】由題意易得：C－2＝15，C－2＝C＝15，即＝15，解得n＝6.【答案】C真題感悟1．【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2)(1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16【答案】A2．【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式(+x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是.【答案】165T2a4（1）求n的值；+b，其中a,be**，求a23b2的值.3a42452解法一：解法二：(1)5+C()42C()3+C()4C()5.5x(1)51.（2018年全國Ⅲ卷理數(shù)）的展開式中的系數(shù)為A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由題可得令。-=4,則r=2，所以，故選C.2.（2018年浙江卷）二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.【答案】7【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為…,令得r=2，故所求的常數(shù)項(xiàng)為3.（2018年天津卷）在的展開式中，的系數(shù)為.【答案】【解析】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：…,令可得：r=2，則的系數(shù)為：.4.（2018年浙江卷）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).1.【2017課標(biāo)1，理6】(1+)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為A．15B．20C．30【答案】C【解析】因?yàn)?1+)(1+x)6=1.(1+x)6+.(1+x)6，則(1+x)6展開式中含x2的項(xiàng)為1.Cx2=15x2，.(1+x)6展開式中含x2的項(xiàng)為.Cx4=15x2，故x2前系數(shù)為15+15=30，選C.2.【2017課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A．12種B．18種C．24種【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有C種方法，然后進(jìn)行全排列A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有CxA=36種方法。故選D。3.【2017天津，理.14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）【答案】10804.【2017山東，理11】已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=.【答案】41.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()（A）24（B）18（C）12（D）9【答案】B【解析】由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短路徑的條數(shù)為6，再從F處到G處最短路徑的條數(shù)為3，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6x3=18，故選B.2.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為（A15x4（B）15x4（C20ix4（D）20ix4【答案】ACx4i2=15x4，故選A.3.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位