第八章傅里葉變換

第八章傅里葉變換1第1頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月積分變換簡介1、何為積分變換？

所謂積分變換，實際上就是通過積分算，把一個函數變成另一個函數的一種變換.第2頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2、積分變換的產生

數學中經常利用某種運算先把復雜問題變?yōu)楸容^簡單的問題，求解后，再求其逆運算就可得到原問題的解.原問題原問題的解直接求解困難變換較簡單問題變換后問題的解求解逆變換第3頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

如，初等數學中，曾經利用取對數將數的積、商運算化為較簡單的和、差運算；

再如，高等數學中的代數變換，解析幾何中的坐標變換，復變函數中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況.

基于這種思想，便產生了積分變換.其主要體現在：

數學上：求解方程的重要工具；能實現卷積與普通乘積之間的互相轉化.

工程上：是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具.第4頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月第八章傅立葉變換主要內容：1、傅立葉積分公式2、傅立葉變換及其性質

3、卷積第5頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月§1傅立葉級數與積分1、傅立葉級數的指數形式在《高等數學》中有下列定理：定理1（1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.

則在連續(xù)點處，有第6頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：于是第8頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月則（2）式稱為傅立葉級數的復指數形式，具有明顯的物理意義.第9頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2、傅立葉積分

任何一個非周期函數

f(t),都可看成是由某個周期函數

fT(t)當T→+∞時轉化而來的.第10頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w于是第11頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月從而按照積分的定義，（4）可以寫為：或者第12頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月公式（5）稱為函數

f(t)的傅氏積分公式.定理2若

f(t)在(-,+)上滿足條件:

(1)f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

(2)f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,即則（5）在

f(t)的連續(xù)點成立.上述定理稱為傅氏積分定理.第13頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月事實上,根據歐拉公式,有第14頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月所以由(7),得到于是(6)成立.第15頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月§2傅立葉變換1、傅立葉變換的概念

上一節(jié)介紹了：當f(t)滿足一定條件（？）時，在f(t)的連續(xù)點處有：第16頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月簡稱傅氏變換,記為F簡稱傅氏逆變換,記為F還可以將

f(t)和

F(w)用箭頭連接:

f(t)

F(w).第17頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月tf(t)o第18頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月解:根據定義,有這就是指數衰減函數的傅氏變換.第19頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月根據積分表達式的定義,有注意到化簡整理第20頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月---鐘形脈沖函數.解:根據定義,有第21頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月化簡整理如何計算？這里利用了以下結果：第22頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2、傅立葉變換的物理意義

如果仔細分析周期函數和非周期函數的傅氏積分表達式第23頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月由此引出以下術語：

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數,而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).

由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數作傅氏變換,就是求這個時間函數的頻譜.顯然，振幅函數|F(w)|是角頻率w的偶函數,即第24頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然相角頻譜argF(w)是w的奇函數.第25頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求單個矩形脈沖函數的頻譜圖.解：第26頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月請畫出其頻譜圖.頻譜為

以上術語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應用，更深入詳細的理論會在有關專業(yè)課中詳細介紹！第27頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月本講小結：1.掌握傅氏積分定理的條件和結論；2.掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；3.了解傅氏變換的物理意義.第28頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月§3單位脈沖函數2、單位脈沖函數1、單位脈動函數de(t)1/eeOt

在物理和工程技術中,有許多物理現象具有脈沖性質.例如斷電以后的突然來電等;在力學中,機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.研究此類問題就會產生我們要介紹的單位脈沖函數.物理學家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技術中被廣泛地采用.第29頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈沖,現在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數,則由于電流強度是電荷函數對時間的變化率,即所以,當t0時,i(t)=0,由于q(t)不連續(xù),從而在普通導數意義下,q(t)在這一點是不能求導數的.第30頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月如果我們形式地計算這個導數,得

這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度.為此,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數.有了這種函數,對于許多集中于一點或一瞬時的量,例如點電荷，點源,集中于一點的質量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.廣義函數，沒有普通意義下的函數值.第31頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1單位脈沖函數的定義定義對于任何一個無窮次可微的函數f(t),稱滿足2.2單位脈沖函數的性質(1)積分性質證明：第32頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月一些工程書中，δ-函數常用一個長度等于1的有向線段來表示.tOd(t)1(2)篩選性質對于無窮次可微的函數f(t)，有一般地第33頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

這一性質在近代物理和工程技術中有著較廣泛的應用.例1

求單位脈沖函數的傅氏變換.解：可見,單位脈沖函數d(t)與常數1構成了一傅氏變換對；

同理,

d(t-t0)和亦構成了一個傅氏變換對.第34頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換.根據傅氏積分公式，函數f(t)能取傅立葉積分變換的前提條件是它首先應絕對可積，即實際上這個條件非常強，它要求f(t)條件較高，因而一些常見的函數都不滿足這一點.如第35頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月如此以來，較強的條件使得傅立葉變換的應用受到限制.為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數及其傅氏變換應用到其他函數的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換.實際運算時，我們通常用傅氏逆變換來推證.比較典型的有：

u(t)（單位階躍函數）,sint,cost.

同樣可以說,象函數F(w)和象原函數f(t)亦構成一個傅氏變換對.第36頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月例2稱為單位躍階函數.證：首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換.我們用考察逆變換的方法證明.第37頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所以當t<0時,有第38頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月同理當t>0時，有綜上所述，根據(*),有證畢.第39頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月解：由定義，有例3求的傅氏逆變換.特別地故得到第40頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月于是，有例4求正弦函數

f(t)=sinw0t

的傅氏變換.解：第41頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，可得即注：我們介紹δ-函數，主要是提供一個應用工具，而不去追求數學上的嚴謹性.第42頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月§4傅立葉變換的性質

為了能更好的用傅立葉變換這一工具解決各類實際問題，它的一些基本性質必須熟練掌握.為了敘述方便起見,假定在這些性質中,凡是需要求傅氏變換的函數都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質時,不再重述這些條件.1、線性性質FF則F逆變換也具有類似的性質，請寫出相應的性質.第43頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月2、位移性質證明：根據定義，得第44頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月

顯而易見，位移公式的作用是：知道了一個函數的變換，便可由此求出其位移函數的變換！同理可得推論提示：利用歐拉公式和位移性質容易證明.第45頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月3、微分性質證明：根據定義，得

如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,f(t)0,則

第46頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地可推得象函數的導數公式：

一般地，如果

在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,有

則第47頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，設思考題：第48頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月4、積分性質證明：第49頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求解微分積分方程其中<t<+,a,b,c均為常數.解：設則從而第50頁，課件共53頁，創(chuàng)作于2023年2月運用傅氏變換的線性性質,微分性質以及積分性質,可以把線性常系數微（積）分方程轉化為代數方程,通過解代數方程與求傅氏逆