新教材同步備課2024春高中物理第5章拋體運動素養(yǎng)提升課2平拋運動規(guī)律的應用教師用書新人教版必修第二冊

素養(yǎng)提升課(二)平拋運動規(guī)律的應用1．掌握平拋運動的推論并用來解決相關平拋運動的實際問題。2．能熟練運用平拋運動規(guī)律解決斜面上的平拋運動問題。3．掌握平拋中的臨界值極值問題的處理方法。平拋運動的兩個推論推論1：從拋出點開始，任意時刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，如圖所示。證明：推論2：從拋出點開始，任意時刻速度的反向延長線過水平位移的中點，如圖所示。證明：【典例1】如圖所示，一小球自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上，小球與斜面接觸時速度方向與水平方向的夾角φ滿足()A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθD[法一由題圖可知，接觸斜面時位移方向與水平方向的夾角為θ，由平拋運動的推論可知，速度方向與水平方向的夾角φ與θ有關系tanφ＝2tanθ，選項D正確。法二設小球飛行時間為t，則tanφ＝vyv0＝gtv0，tanθ＝y(tǒng)x＝12gt2v0[跟進訓練]1．如圖為一物體做平拋運動的軌跡，物體從O點拋出，x、y分別表示其水平和豎直的分位移。在物體運動過程中的某一點P(x0，y0)，其速度vP的反向延長線交x軸于A點(A點未畫出)。則OA的長度為()A．x0 B．0.5x0C．0.3x0 D．不能確定B[法一由題意作圖，設v與水平方向的夾角為θ，由幾何關系得tanθ＝vy由平拋運動規(guī)律得水平方向有x0＝v0t②豎直方向有y0＝12vyt由①②③得tanθ＝2在△AEP中，由幾何關系得AE＝y(tǒng)0tan所以OA＝x0－x02＝0.5x法二由平拋運動的推論知，物體做平拋運動時速度矢量的反向延長線過水平位移的中點，故OA的長度為0.5x0。]2．如圖所示，在足夠長的斜面上的A點，以水平速度v0拋出一個小球，不計空氣阻力，它落到斜面上所用的時間為t1；若將此球以2v0的速度拋出，落到斜面上所用時間為t2，則t1與t2之比為()A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4B[因小球落在斜面上，所以兩次位移與水平方向的夾角相等，由平拋運動規(guī)律知tanθ＝12gt12v0t與斜面(曲面)相關的平拋運動1．兩類與斜面相關的平拋運動(1)常見的有兩類問題。①物體從斜面上某一點拋出以后又重新落到斜面上，此時平拋運動物體的合位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角。②做平拋運動的物體垂直打在斜面上，此時物體的合速度方向與斜面垂直。(2)基本求解思路。題干信息實例處理方法或思路速度方向垂直打在斜面上的平拋運動(1)畫速度分解圖，確定速度與豎直方向的夾角θ(2)根據(jù)水平方向和豎直方向的運動規(guī)律分析vx、vy(3)根據(jù)tanθ＝vx位移方向從斜面上水平拋出后又落在斜面上的平拋運動(1)確定位移與水平方向的夾角α，畫位移分解圖(2)根據(jù)水平方向和豎直方向的運動規(guī)律分析x、y(3)根據(jù)tanα＝y(tǒng)x2．常見的兩種與曲面相關的平拋運動(1)拋出點和落點都在圓面上。如圖所示，一小球從與圓心等高的半圓形軌道的A點以v0水平向右拋出，落在圓形軌道上的C點。(2)拋出點在圓面外，落點在圓面上。如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。與斜面相關的平拋運動【典例2】如圖所示，一個小球從高h＝10m處以水平速度v0＝10m/s拋出，撞在傾角θ＝45°的斜面上的P點，已知AC＝5m，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：(1)P、C之間的距離；(2)小球撞擊P點時速度。[解析](1)設P、C之間的距離為L，根據(jù)平拋運動規(guī)律xAC＋Lcos45°＝v0th－Lsin45°＝12gt聯(lián)立解得L＝52m，t＝1s。(2)小球撞擊P點時的水平速度vx＝v0＝10m/s，豎直速度vy＝gt＝10m/s小球撞擊P點時速度的大小為v＝v02+vy設小球的速度方向與水平方向的夾角為α，則tanα＝vyv0＝1，α＝45°[答案](1)52m(2)102m/s，方向垂直于斜面向下與曲面相關的平拋運動【典例3】(多選)如圖所示，一個半徑R＝0.75m的半圓柱體放在水平地面上，一小球從圓柱體左端A點正上方的B點水平拋出(小球可視為質點)，恰好從半圓柱體的C點掠過。已知O點為半圓柱體的圓心，OC與水平方向夾角為53°，重力加速度為g＝10m/s2，則()A．小球從B點運動到C點所用時間為0.3sB．小球從B點運動到C點所用時間為0.5sC．小球做平拋運動的初速度為4m/sD．小球做平拋運動的初速度為6m/s[思路點撥]將小球在C點的速度和經(jīng)過的位移沿水平方向和豎直方向分解，然后利用圓的幾何特點結合平拋運動規(guī)律進行求解，注意速度方向與水平方向夾角的正切值等于位移方向與水平方向夾角正切值的2倍。AC[小球做平拋運動，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于C點，根據(jù)幾何關系可知小球在C點時速度方向與水平方向的夾角為37°，設位移方向與水平方向的夾角為θ，則有tanθ＝tan37°2＝38，又水平位移x＝1.6R，tanθ＝y(tǒng)x＝y(tǒng)1.6R，R＝0.75m，解得y＝920m，根據(jù)y＝12gt2得t＝0.3s，根據(jù)水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0[跟進訓練]3．(多選)如圖所示，從半徑為R＝1m的半圓PQ上的P點水平拋出一個可視為質點的小球，經(jīng)t＝0.4s小球落到半圓上。已知當?shù)氐闹亓铀俣萭＝10m/s2，據(jù)此判斷小球的初速度可能為()A．1m/s B．2m/sC．3m/s D．4m/sAD[小球下降的高度h＝12gt2＝12×10×0.42m＝0.8m，若小球落在左邊四分之一圓弧上，根據(jù)幾何關系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4m，則初速度v0＝xt＝0.40.4m/s＝1m/s，若小球落在右邊四分之一圓弧上，根據(jù)幾何關系有R2＝h2＋(x′－R)2，解得水平位移x′＝1.6m，初速度v0′＝x't＝1.60.4m/s＝4m/s。故A、4．(多選)如圖所示，甲、乙兩個小球從同一固定斜面的頂點O水平拋出，分別落到斜面上的A、B兩點，A點為OB的中點，不計空氣阻力。以下說法正確的是()A．甲、乙兩球接觸斜面前的瞬間，速度的方向相同B．甲、乙兩球接觸斜面前的瞬間，速度大小之比為1∶2C．甲、乙兩球做平拋運動的時間之比為1∶2D．甲、乙兩球做平拋運動的初速度大小之比為1∶2ABC[設小球落在斜面上時，速度與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tanα＝gtv0，tanθ＝12gt2v0t＝gt2v0，可知tanα＝2tanθ，因為小球落在斜面上時，位移與水平方向的夾角為定值，可以知道，兩球接觸斜面的瞬間，速度方向相同，A項正確；因為兩球下落的高度之比為1∶2，根據(jù)h＝12gt2得t＝2hg，可以知道甲、乙兩球運動的時間之比為1∶2，則豎直分速度之比為1∶2，因為兩球落在斜面上時速度方向相同，根據(jù)平行四邊形定則可知，兩球接觸斜面的瞬間，速度大小之比為1∶2，B、C兩項正確；因為兩球平拋運動的水平位移為平拋中的臨界、極值問題1．將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，是求解平拋運動的基本方法。2．分析平拋運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設定為極大或極小，讓臨界問題突顯出來，找出產(chǎn)生臨界的條件。3．確定臨界狀態(tài)，并畫出軌跡示意圖。4．注意適當運用數(shù)學知識分析求解有關臨界與極值問題。【典例4】如圖所示，排球場的長為18m，球網(wǎng)的高度為2m。運動員站在離網(wǎng)3m遠的線上，正對球網(wǎng)豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出。(不計空氣阻力，g取10m/s2)(1)設擊球點的高度為2.5m，球被水平擊出時的速度在什么范圍內才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？(2)若擊球點的高度小于某個值，那么無論球被水平擊出時的速度為多大，球不是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高度。[思路點撥]排球被擊出后做平拋運動，若速度過大就會出界，若速度過小就會觸網(wǎng)。[解析](1)如圖所示，排球恰不觸網(wǎng)時其運動軌跡為Ⅰ，排球恰不出界時其運動軌跡為Ⅱ，根據(jù)平拋運動的規(guī)律，由x＝v0t和h＝12gt2x1＝3m，x1＝v1t1 ①h1＝2.5m－2m＝0.5m，h1＝12gt由①②可得v1＝310m/s當排球恰不出界時有x2＝3m＋9m＝12m，x2＝v2t2 ③h2＝2.5m，h2＝12gt2由③④可得v2＝122m/s所以排球既不觸網(wǎng)也不出界的速度范圍是310m/s＜v0≤122m/s。(2)如圖所示為排球恰不觸網(wǎng)也不出界的臨界軌跡。設擊球點的高度為h，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有x1＝3m，x1＝v0t′1 ⑤h′1＝h－2m，h′1＝12gt1x2＝3m＋9m＝12m，x2＝v0t′2 ⑦h′2＝h＝12gt2由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝3215m[答案](1)310m/s＜v0≤122m/s(2)3215平拋運動臨界、極值問題的常見特點(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。(2)如題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些“起止點”往往就是臨界點。(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值也往往是臨界點。[跟進訓練]5．小亮在河岸做拋石子游戲。如圖所示為河的橫截面示意圖，小亮自O點以垂直岸邊的水平速度向對岸拋石子。已知O點離水面AB的高度為h，O、A兩點間的水平距離為x1，水面AB的寬度為x2，河岸傾角為θ，重力加速度為g，不計空氣阻力。(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飛行的時間t；(2)為使石子直接落到水面上，求拋出的速度v0的大小范圍。[解析](1)根據(jù)h＝12gt2得，石子在空中飛行時間t＝2(2)要使小球落到水面上，則水平位移的范圍為x1≤v0t≤x1＋x2解得x1g2h≤v0≤(x1＋x2)[答案](1)2hg(2)x1g2h≤v0≤(x1＋類平拋運動的分析與求解1．類平拋運動類平拋運動是一種勻變速曲線運動。在初速度方向上不受力，初速度保持不變；在與初速度垂直的方向上存在一恒力，區(qū)別于平拋運動中的重力。2．類平拋運動的特點及處理方法受力特點物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直運動特點在初速度v0方向做勻速直線運動，在合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝F處理方法常規(guī)分解將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的勻加速直線運動，兩個分運動彼此獨立、互不影響，且與合運動具有等時性特殊分解對于有些問題，可以過拋出點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將加速度分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y軸方向列方程求解【典例5】如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊(可看成質點)沿斜面左上方頂點P水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，取重力加速度為g，試求：(1)物塊由P運動到Q所用的時間t；(2)物塊由P點水平射入時的初速度v0；(3)物塊離開Q點時速度的大小v。[思路點撥](1)物塊沿斜面做類平拋運動。(2)物塊沿垂直于初速度方向的加速度為gsinθ。(3)物塊沿水平方向的位移為b。[解析](1)物塊做類平拋運動，由mgsinθ＝ma可知，物塊的加速度a＝gsinθ由l＝12at2可得，物塊由P運動到Qt＝2lg(2)由b＝v0t可得物塊的水平射入時的初速度v0＝bgsin(3)由vy＝at，v＝v02+vy[答案](1)2lgsinθ(2)bg類平拋運動問題的求解思路(1)分析物體的初速度與受力情況，確定物體做類平拋運動的加速度，并明確兩個分運動的方向。(2)利用兩個分運動的規(guī)律求解分運動的速度與位移。(3)根據(jù)題目的已知條件與未知條件，充分利用運動的等時性、獨立性、等效性。[跟進訓練]6．如圖所示，質量為m的飛機以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，若飛機在此過程中水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供，不含重力)。今測得當飛機在水平方向的位移為l時，它的上升高度為h。求：(1)飛機受到的升力大?。?2)在高度h處飛機的速度大小。[解析](1)飛機水平速度不變l＝v0t豎直方向加速度恒定h＝12at消去t即得a＝2由牛頓第二定律：F＝mg＋ma＝mg1+(2)在高度h處，飛機豎直方向的速度vy＝at＝2則速度大?。簐＝v02+vy[答案]1mg1+2hv素養(yǎng)提升練(二)平拋運動規(guī)律的應用一、選擇題1．如圖所示，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的()A．b與c之間某一點 B．c點C．c與d之間某一點 D．d點A[當水平速度變?yōu)?v0時，如果去掉斜面，作過b點的水平直線be，小球將落在c點正下方的直線上的e點，連接O點和e點的曲線，和斜面相交于bc間的一點(如圖)，即以速度2v0水平拋出時將落在斜面上的b與c之間的某一點。]2．如圖所示，斜面底端上方高h處有一小球以水平初速度v0拋出，恰好垂直打在斜面上，不計空氣阻力，斜面的傾角為30°，則關于h和初速度v0的關系，下列圖像正確的是()ABCDD[將小球剛要打到斜面上的速度沿豎直和水平方向進行分解，則有tan30°＝v0vy，vy＝gt，x＝v0t，y＝12gt2，由幾何關系得tan30°＝h-yx，解得h＝5v022g，h-v3．如圖所示，從傾角為θ的斜面上某點先后將同一小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上，當拋出的速度為v1時，小球到達斜面時速度方向與斜面的夾角為α1；當拋出速度為v2時，小球到達斜面時速度方向與斜面的夾角為α2，不計空氣阻力，則()A．當v1>v2時，α1>α2B．當v1>v2時，α1<α2C．無論v1、v2關系如何，均有α1＝α2D．α1、α2的關系與斜面傾角θ有關C[小球從斜面某點水平拋出后落到斜面上，小球的位移方向與水平方向的夾角等于斜面傾角θ，即tanθ＝y(tǒng)x＝12gt2v0t＝gt2v0，小球落到斜面上時速度方向與水平方向的夾角為β，有夾角的正切值tanβ＝vyvx＝gtv0，故可得tanβ＝2tanθ，只要小球落到斜面上，位移方向與水平方向夾角就總是θ，則小球的速度方向與水平方向的夾角也總是β，且4．(多選)如圖所示，一個電影替身演員準備跑過一個屋頂，水平地跳躍并離開屋頂，然后落在下一棟建筑物的屋頂上。如果他在屋頂跑動的最大速度是4.5m/s，那么下列關于他能否安全跳過去的說法正確的是(g取10m/s2)()A．他安全跳過去是可能的B．他安全跳過去是不可能的C．如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應大于6.2m/sD．如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應小于4.5m/sBC[由h＝12gt2，x＝v0t，將h＝5m、x＝6.2m代入解得安全跳過去的最小水平速度v0＝6.2m/s，B、C正確，A、D錯誤。5．如圖所示，甲、乙兩小球從豎直平面內的半圓軌道的左端A開始做平拋運動，甲球落在軌道最低點D，乙球落在D點右側的軌道上。設甲、乙兩球的初速度分別為v甲、v乙，在空中運動的時間分別為t甲、t乙，則下列判斷正確的是()A．t甲＝t乙 B．t甲<t乙C．v甲＞v乙 D．v甲＜v乙D[根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，小球在空中運動的時間僅由下落高度決定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，選項A、B錯誤；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，選項D正確，C錯誤。]6．利用手機可以玩一種叫“扔紙團”的小游戲。如圖所示，游戲時，游戲者滑動屏幕將紙團從P點以速度v水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍，紙團恰好沿紙簍的上邊沿入簍并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團進入紙簍中并直接擊中簍底正中間，下列做法可行的是()A．在P點將紙團以小于v的速度水平拋出B．在P點將紙團以大于v的速度水平拋出C．在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出D．在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出C[在P點的初速度減小，則下降到簍上沿這段時間內，水平位移變小，則紙團不能進入簍中，故A錯誤；在P點的初速度增大，則下降到簍底的時間內，水平位移增大，不能直接擊中簍底的正中間，故B錯誤；在P點正上方某位置將紙團以小于v的速度水平拋出，根據(jù)x＝v02hg知，水平位移可以減小，也不會與簍的左邊沿相撞，可直接擊中簍底的正中間，故C正確；在P點正下方某位置將紙團以大于v的速度水平拋出，則紙團可能進簍，但不能直接擊中簍底正中間，故D7．(多選)如圖所示，斜面AB固定在水平地面上，斜面的傾角α＝37°、長度為1m。在頂點水平向左拋出一個小球，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不計空氣阻力，經(jīng)過一段時間后，小球落在水平地面上或者斜面上，對于這一過程，下列說法正確的是()A．若小球的初速度為3m/s，則小球落在水平地面上B．若小球落在水平地面上，則小球在空中運動的時間為0.4sC．若小球落在斜面上，則初速度越大，落點處的速度方向與水平方向的夾角越大D．只要小球落在斜面上，落點處的速度方向與水平方向的夾角就都相同AD[當小球恰好落在B點時，1·cosα＝v0t，1·sinα＝12gt2得t＝35s，v0＝433m/s≈2.3m/s，v>v0，A正確，B錯誤；若初速度小于v8．如圖所示，位于同一高度的小球A、B分別以v1和v2的速度水平拋出，都落在了傾角為30°的斜面上的C點，小球B恰好垂直打到斜面上，則v1、v2之比為()A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．2∶3C[小球A、B下落高度相同，則兩小球從飛出到落在C點用時相同，設為t，對A球x＝v1t，y＝12gt2，又tan30°＝y(tǒng)x，聯(lián)立得v1＝32gt；小球B恰好垂直打到斜面上，則有tan30°＝v2vy＝v2gt，則v2＝33gt，所以v1∶v9．一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖所示。水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h，發(fā)射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h。不計空氣的作用，重力加速度大小為g，若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側臺面上，則v的最大取值范圍是()A．L12g6h＜B．LC．LD．LD[當發(fā)射機正對右側臺面發(fā)射，乒乓球恰好過網(wǎng)時，發(fā)射速度最小。由平拋運動規(guī)律得L12＝v1t，2h＝12gt2，聯(lián)立解得v1＝L14gh。當發(fā)射機正對右側臺面的某個角發(fā)射，乒乓球恰好到達角上時，發(fā)射速度最大。由平拋運動規(guī)律得，L12+L222＝v2t′，3h＝12gt′2，聯(lián)立解得v210．如圖所示，A、B兩質點從同一點O分別以相同的水平速度v0沿x軸正方向拋出，A在豎直平面內運動，落地點為P1；B沿光滑斜面運動，落地點為P2，P1和P2在同一水平面上，不計阻力，則下列說法正確的是()A．A、B的運動時間相同B．A、B沿x軸方向的位移相同C．A、B運動過程中的加速度大小相同D．A、B落地時速度大小相同D[設O點與水平面的高度差為h，由h＝12gt12，hsinθ＝12gsinθ·t22可得：t1＝2hg，t2＝2hgsin2θ，故t1＜t2，A錯誤；由x1＝v0t1，x2＝v0t2可知，x1＜x2，B錯誤；由a1＝g，a2＝gsinθ可知，C錯誤；A落地的速度大小為vA＝二、非選擇題11．如圖所示，水平地面上有一高h＝4.2m的豎直墻，現(xiàn)將一小球以v0＝6.0m/s的速度垂直于墻面水平拋出，已知拋出點與墻面的水平距離x＝3.6m、離地面高H＝5.0m，不計空氣阻力，不計墻的厚度。重力加速度g取10m/s2。(1)求小球碰墻點離地面的高度h1；(2)若仍將小球從原位置沿原方向拋出，為使小球能越過豎直墻，小球拋出時的初速度v的大小應滿足什么條件？[解析](1)小球在碰到墻前做平拋運動，設小球碰墻前運動時間為t，由平拋運動的規(guī)律有水平方向上x＝v0t ①豎直方向上H－h(huán)1＝12gt2 聯(lián)