第三章 圓錐曲線的方程（壓軸題專練）（解析版）

第三章圓錐曲線的方程（壓軸題專練）一、選擇題1．如圖，設(shè)直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點，且當時，拋物線的焦點到直線的距離為.過點的直線交拋物線于另一點，且直線過點，則直線過點（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后聯(lián)立方程組并寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線、直線，進而確定正確答案.【詳解】直線，即，依題意，到直線的距離為，所以拋物線方程為，直線，由消去并化簡得，，且，設(shè)，則.由，直線的方程為，所以，即，則，故，所以，所以，直線的方程為，即，則，故，所以，也即直線過定點.故選：A.【點睛】方法點睛：求拋物線的標準方程的方法有：根據(jù)焦點或準線來求、根據(jù)拋物線的定義來求、利用待定系數(shù)法來求、通過已知條件列等量關(guān)系式，化簡后得到拋物線的標準方程.求解直線和拋物線的交點，可通過聯(lián)立方程組來求解.2．已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可得，結(jié)合離心率可得，在中，利用余弦定理可得，進而結(jié)合橢圓性質(zhì)可知：當為橢圓短軸頂點時，取到最大值，分析求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，又因為，可得，由直線與軸的交點的坐標為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當為橢圓短軸頂點時，取到最大值，此時，且，則，所以，即.故選：A.

.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于找到的兩種表達方式，構(gòu)造了關(guān)于的方程，從而得解.3．如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（

）

A．2 B．C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知條件依次求得兩點的坐標，由此可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓標準方程為，雙曲線的標準方程為，則，由，，所以，所以橢圓方程可化為，由，兩式相減得，，則，根據(jù)對稱性可知關(guān)于原點對稱，關(guān)于軸對稱.則，直線的方程為.將代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以雙曲線方程可化為，由消去并化簡得，設(shè)，解得，所以，所以.故選：B【點睛】本題中，涉及圓和雙曲線、圓和橢圓、直線和雙曲線等圖象的“交點”，求交點的坐標，主要是通過聯(lián)立方程組來進行求解，要注意運算的準確性，另外也要注意運算的速度.在雙曲線和橢圓中，的關(guān)系是不相同的.4．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與x軸交于，B兩點，與y軸正半軸交于點A，線段與C交于點M．若與C的焦距的比值為，則C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標，代入雙曲線方程后可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設(shè)，因為在軸的正半軸上，在軸的負半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，解得或，又因為，則，則，.故選：D.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在圓錐曲線上等合理構(gòu)建.5．定義：若直線將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在兩側(cè)的點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．已知雙曲線（a，b為常數(shù)）和其左右焦點，P為C上的一動點，過P作C的切線分別交兩條漸近線于點A，B，已知四邊形與三角形有相同的“等線”．則對于下列四個結(jié)論：①；②等線必過多邊形的重心；③始終與相切；④的斜率為定值且與a，b有關(guān)．其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③【答案】D【分析】對于①，利用導數(shù)的幾何意求出過點的切線方程，再與漸近線方程聯(lián)立可求出的橫坐標，然后與比較可得答案，對于②，由“等線”的定義結(jié)合重心的定義分析判斷，對于③④，由多邊形重心的定義可知四邊形，其重心H必在與重心連線上，也必在與重心連線上，重心設(shè)為，則即為直線GH，然后由重心的性質(zhì)可證得∥，從而可得結(jié)論.【詳解】解：①：設(shè)，當時，設(shè)，則由，得，所以，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為點在雙曲線上，所以，得，，所以，所以，所以，所以，同理可求出當時的切線方程為，當時，雙曲線的切線方程為，滿足，所以過P點切線方程為，漸近線方程為聯(lián)立兩直線方程得，故有，故②：設(shè)多邊形頂點坐標為，其中設(shè)“等線”方程為，則到等線的距離為：又因為等線將頂點分為上下兩部分，則有從而整理得即等線必過該多邊形重心．③④：考察重心，設(shè)，則重心．對于四邊形，其重心H必在與重心連線上，也必在與重心連線上，則即為直線GH．設(shè)與重心分別為，則，所以∥，因為為的重心，所以，所以∥，所以三點共線，因為在上，所以∥，過，因為直線為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得，所以直線方程，由①的求解過程可知該方程為切線方程，所以③正確，④錯誤，故①②③正確．

故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的性質(zhì)和導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查新定義，解題的關(guān)鍵是對“等線”定義的正確理解和重心的找法，考查計算能力，屬于難題.6．已知O為坐標原點，M為拋物線C：上一點，直線l：與C交于A，B兩點，過A，B作C的切線交于點P，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）（1）；（2）若點，且直線AM與BM傾斜角互補，則；（3）點P在定直線上；（4）設(shè)點，則的最小值為3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷（1），（2），分別求出點處的切線方程，聯(lián)立切線方程求點的坐標，即可判斷（3），設(shè)，利用兩點間距離，結(jié)合二次函數(shù)求最值，即可判斷（4），【詳解】對于（1），設(shè)，由，得，由，所以，所以，所以（1）正確，對于（2），因為，直線AM與BM傾斜角互補，所以，所以，所以，所以，且，所以，且解得，所以（2）正確，對于（3），設(shè)點在軸上方，在軸下方，設(shè)，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時在點處的切線的斜率為，在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，方程化簡為，，兩式相除化簡得，所以（3）正確，對于（4），設(shè)，由于，所以，當時，取得最小值，所以（4）錯誤，故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線切線方程的求法，解題的關(guān)鍵是直線方程代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后逐個分析，考查計算能力，屬于較難題.二、填空題7．已知點在拋物線上，為拋物線的焦點，圓與直線相交于兩點，與線段相交于點，且．若是線段上靠近的四等分點，則拋物線的方程為．【答案】【分析】設(shè)，表示出，利用拋物線定義、點在拋物線上以及圓的弦長的幾何性質(zhì)列出關(guān)于的方程，即可求得p，即得答案.【詳解】由可知，設(shè)，則，則，故，即①；又點在拋物線上，故②，且，即③，②聯(lián)立得，得或，由于，故，結(jié)合③，解得，故拋物線方程為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合拋物線的定義以及圓的弦長的幾何性質(zhì)，找出參數(shù)間的等量關(guān)系，從而列出方程組，即可求解.8．已知、為橢圓的左、右焦點，點為該橢圓上一點，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓定義并利用余弦定理可得，再根據(jù)正弦定理可知外接圓半徑，由等面積法可知內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)面積比即可計算出離心率.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：

利用橢圓定義可知，且；又，利用余弦定理可知：，化簡可得；所以的面積為；設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；由正弦定理可得，可得；易知的周長為，利用等面積法可知，解得；又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，所以，即可得，所以；離心率.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓焦點三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑問題，通常利用正弦定理計算外接圓半徑，由等面積法公式可計算出內(nèi)切圓半徑，即可實現(xiàn)問題求解.9．已知A、B是橢圓與雙曲線的公共頂點，P是雙曲線上一點，PA，PB交橢圓于M，N．若MN過橢圓的焦點F，且，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由直線斜率公式結(jié)合點在曲線上可得，再由正切的和角的公式得到，結(jié)合雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】由題意可知：如圖，設(shè)，可得直線的斜率分別為，因為點在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點，可得直線的斜率，因為點在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關(guān)于軸對稱，又因為橢圓也關(guān)于軸對稱，且過焦點，則軸，令，則，因為，，則，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.10．已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率．【答案】/0.5【分析】設(shè)直線的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,弦長公式及中點坐標公式,求得中點坐標坐標,求得垂直平分線方程,當時,即可求得點坐標,代入即可求得,即可求得,即可求得和的關(guān)系,即可求得橢圓的離心率.【詳解】因為傾斜角為的直線過點，設(shè)直線的方程為:,,線段的中點,聯(lián)立，化為，，，的垂直平分線為:,令,解得,.,,則,橢圓的離心率為,故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點睛：運算能力是關(guān)鍵；本題考查簡橢圓的簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,直線的垂直平分線的求法,屬于較難題.11．已知橢圓的兩個焦點為．點為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，的面積，則的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】作出輔助線，根據(jù)題意得到四邊形為矩形，故，求出，再根據(jù)，利用勾股定理得到，得到，再根據(jù)上存在關(guān)于坐標原點對稱的兩點，使得，得到，得到，得到離心率.【詳解】連接，由題意得，，又，所以四邊形為矩形，故，所以，故，又，由勾股定理得，即，，故，即，故，解得，又上存在關(guān)于坐標原點對稱的兩點，使得，故，所以，即，所以，，解得，綜上，的離心率的取值范圍是.

故答案為：【點睛】方法點睛：離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)的常見方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點，且點A在x軸下方.設(shè)，，的內(nèi)切圓的半徑分別為，，.若橢圓C的離心率為，且，則直線l的斜率為.【答案】【分析】依題意可得橢圓方程表示為，設(shè)直線為，，，，根據(jù)面積公式及橢圓的定義得到，再由，即可得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到、，代入解得.【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，，，則橢圓方程可以表示為，設(shè)直線為，，，，由，消去整理得，顯然，所以，，則，由，由，由，又，所以，所以，又，所以，又，，所以，所以，，所以，所以，則或（舍去），所以直線的斜率為.

故答案為：【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.三、解答題13．已知雙曲線：，雙曲線與共漸近線且經(jīng)過點

(1)求雙曲線的標準方程．(2)如圖所示，點是曲線上任意一動點（第一象限），直線軸于點，軸于點，直線交曲線于點（第一象限），過點作曲線的切線交于點，交軸于點，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由題意設(shè)：，將代入解方程即可得出答案.（2）設(shè)，，，設(shè)，表示出點坐標，代入：方程，即可求得，進一步求出的坐標，而，而，代入化簡結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）由題意設(shè)：，將代入得到，∴曲線：．（2）設(shè)，，，，則（*）設(shè)，則，解得：，代入：方程，得，結(jié)合（*）式可知由于，則，所以．所以是、的中點，．因為四邊形是矩形，，，所以為四邊形的中心，所以，在與中，，分別以為底時，高相同，所以，則，因為過雙曲線上一點的切線方程為，所以直線的方程為：即，因為，所以，令，所以，，，令，，令，．當且僅當，即，，時，取得最小值．【點睛】關(guān)鍵點睛：建立的面積與的表達式至關(guān)重要，可利用，的坐標和三角形面積公式，以為橋梁得出與的表達式，最后根據(jù)基本不等式可求得面積的取值范圍.14．已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若為雙曲線的左焦點，過點作直線交的左支于兩點.點，直線交直線于點.設(shè)直線的斜率分別，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知條件，列方程組求，可得雙曲線標準方程；（2）設(shè)直線的方程與雙曲線聯(lián)立方程組，設(shè)兩點坐標，表示出直線，得點坐標，表示出，結(jié)合韋達定理，證明為定值.【詳解】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）雙曲線的左焦點為，當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，舍去；當直線的斜率不為0時，設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，易得，由于過點作直線交的左支于兩點，設(shè)，，所以，，由直線，得，所以，又，所以，因為，所以，且，所以，即為定值.【點睛】方法點睛：解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．15．已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可求解；（2）利用韋達定理結(jié)合，可得，再利用弦長公式和點到直線的距離公式表示出三角形的面積，進而可求解.【詳解】（1）設(shè)點坐標為，化解可得：.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，消去可得：，所以，即，則，，，把韋達定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.16．如圖，是拋物線對稱軸上一點，過點M作拋物線的弦AB，交拋物線于A，B.

(1)若，求弦AB中點的軌跡方程；(2)過點M作拋物線的另一條弦CD，若AD與y軸交于點E，連接ME，BC，求證：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由,設(shè)其方程為,聯(lián)立方程后,結(jié)合韋達定理及中點公式,可得弦中點的軌跡方程;（2）用兩點式求得的方程為:，的方程為:,由,都經(jīng)過點,故,進而求得,根據(jù)直線平行的充要條件得到.【詳解】（1）設(shè)方程為,聯(lián)立得，則,設(shè)中點,則,因此弦AB中點的軌跡方程為.（2）證明:設(shè)，，其中均為正數(shù)，用兩點式求得的方程為:,的方程為:,因為,都經(jīng)過點,故,的方程為:,與軸交點為，，而，【點睛】本題考查的知識點是直線與圓雉曲線的綜合應(yīng)用,拋物線的簡單性質(zhì),聯(lián)立方程,設(shè)而不求,韋達定理,是解答此類問題的關(guān)鍵.17．橢圓的離心率是，點是橢圓上一點，過點的動直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求面積的最大值；(3)在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，.【分析】（1）由離心率及過點列方程組求解.（2）設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立，將表達為的函數(shù)，由基本不等式求最大值即可.（3）先討論直線水平與豎直情況，求出，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點，證得三點共線得到成立.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解得，橢圓C的方程為.（2）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，因為直線恒過橢圓內(nèi)定點，故恒成立，，故，令，所以，當且僅當，即時取得等號，綜上可知：面積的最大值為.（3）當平行于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，所以點在軸上，可設(shè)的坐標為；當垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，如果存在點滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標為；當不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，由（2）知，又因為點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，又，，則，所以，則三點共線，所以；綜上：存在與點不同的定點，使恒成立，且..

【點睛】方法點睛：直線與橢圓交于，當且僅當時，取得最大值.18．已知拋物線經(jīng)過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．(1)若，證明：直線過定點．(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）將點代入拋物線方程求出，直線與拋物線聯(lián)立方程組，由，利用向量數(shù)量積和韋達定理，求出，可得直線所過定點.（2）設(shè)兩條直線與的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長，由和，求的值.【詳解】（1）證明：將點代入，得，即．聯(lián)立得，

由，設(shè)，，則，．因為，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過定點．（2）聯(lián)立得，則且，即，，設(shè)，同理可得．

因為直線在的右側(cè)，所以，則，即．所以，即，解得，因為，所以滿足條件的存在，.【點睛】方法點睛：解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率