2022-2023學(xué)年北京市高一（非馬班）上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一（非馬班）上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試題

（含解析）

一、單選題

1.設(shè)集合”={x|x41},8={x|2,21},則ZcB等于（）

A.{x|x<0}B,{x|x<l}C.{x|x>0}D.{x|0<x<l}

【答案】D

【分析】首先解指數(shù)不等式得到8={x|xN0},再求4c8即可.

【詳解】fi={x|2r>l}={x|x>0},^={x|x<l},

則HnB={x|04xVl}.

故選：D

2.若點(diǎn)尸。,-2）在角a的終邊上，則sina=（）

A.-2B.--C.--D.—

255

【答案】C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求解即可得到答案.

【詳解】。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，|0尸|=#+（_2）2=瓜

-2_-2_26

根據(jù)三角函數(shù)的概念可得,sina=

畫(huà)T7T一丁.

故選：C.

3.計(jì)算：2log36-log34=()

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可求得.

【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得

36,

2log36-log,4=log,36-log34=log3—=log,9=log33

故選：B

JT

4-為了得到函數(shù)ksin（2x+R的圖象，可以將函數(shù)…M2x的圖象（）

A.向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平吟個(gè)單位長(zhǎng)度

4

C.向左平移J個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象變換的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式進(jìn)行判斷即可.

7TTT

【詳解】因?yàn)閥=sin（2x+：）=sin[2（x+"）],

48

TTTT

所以由函數(shù)V=sin2x的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)y=sin（2x+f）的圖象，

84

故選：C

5.已知”=愴12,6=[080,25,。=4"',則°,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>h>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到a>1,b<0,0<c<l,即可得到答案.

【詳解】a=lgl2>lgl0=l,即

b-log025<Iog0,1=0,即b<0.

0<4-°5<4°,BP0<c<l.

所以〃>c>b.

故選：C

6.下列函數(shù)中，以2兀為最小正周期，且在區(qū)間（0,：）上單調(diào)遞增的是（）

A.y-sin2xB.y=sin^x-^C.y=cos（x+：JD.y=tan2x

【答案】B

【分析】逐項(xiàng)分析各選項(xiàng)中函數(shù)的最小正周期以及各函數(shù)在區(qū)間（o,：）上的單調(diào)性，可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)y=sin2x的最小正周期為與=n,故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)尸sin（x-：）的最小正周期為2兀，當(dāng)時(shí)，

因?yàn)閥=sinx在[-：,（））上單調(diào)遞增，所以y=sin（x-￡j在（0,：）上單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=cos（x+：）的最小正周期為2兀，當(dāng)時(shí)，x+

因?yàn)?cosx在仔3上單調(diào)遞減，所以…os（x+：）在醫(yī)）上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y=tan2x的最小正周期為故D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.下列區(qū)間包含函數(shù)/(x)=2'+x-4零點(diǎn)的為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)尸2’在(7,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)，=丫-4在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

函數(shù)/(x)=2'+x-4在(-如+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(-1)=2T—5<0,/(0)=1-4<0,/(1)=2-3<0,/(2)=2>0,/(3)=7>0,

所以/(1)/(2)<0,函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

故選：C.

8.若函數(shù)/(x)=cos(3x+s)是奇函數(shù)，使得|/(x)|取到最大值時(shí)的一個(gè)x值為()

A.-7B.0C.-D.-

643

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求出夕,再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸使得I/(x)|取到最大值，計(jì)算即可.

【詳解】若函數(shù)〃x)=cos(3x+*)是奇函數(shù)，所以s=

所以|/(x)|=cos(3x+］+A7t)=卜詒3*,

當(dāng)I/(x)I取到最大值時(shí),(x)|=|sin3x|=1,sin3x=±1,即3x=1+kn,keZ,可得x=>"#eZ,

當(dāng)氏=T時(shí)，x=~-.

6

故選:A.

9.己知實(shí)數(shù)a,6，則“a=(2左+1)兀一⑸左wZ”是“cosa=-cos夕”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分性、必要性、余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

［詳解］當(dāng)a=(2攵+1)兀_/,左wZ時(shí)，cosa=cos［(2Z+1)兀一夕］=cos(兀一￡)=-cos/3,

當(dāng)cosa=-cos/時(shí)，cosa=-cosp=cos(兀一4)=>a=2kit土(式一/3)(kGZ),

=>a=（2%+1）兀一夕（左￡Z）,或a=（2左-1）兀+夕（左￡Z）,

所以“a=（2k+1）兀-4,女￡Z”是“cosa=-cos夕”的充分不必要條件,

故選：A

10.已知函數(shù)/(x)=sin"x+cos"x(〃eN),則下列說(shuō)法正確的是()

①〃=1時(shí)，/(x)的最大值為近；

②〃=2時(shí)，方程"X)=2sinx+1sinx|在［0,2可上有且只有三個(gè)不等實(shí)根；

③〃=3時(shí)，/(x)為奇函數(shù)；

④〃=4時(shí)，Ax)的最小正周期為

A.①②B.①③C.②④D.①④

【答案】D

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題①，結(jié)合平方關(guān)系，正弦函

數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式求方程的解，判斷命題②，根據(jù)奇函數(shù)的定義及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)判斷命

題③，根據(jù)三角恒等變換及余弦型函數(shù)的周期公式判斷命題④，由此可得正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(x)=sin"x+cos"x("eN'),

所以當(dāng)”=1時(shí)，/(x)=sinx+cosx=0sin(x+g),此時(shí)函數(shù)/(x)的最大值為虛，命題①為真命題;

當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)=sin2x+cos2x=\,方程/(x)=2sinx+1sinx|可化為2sinx+1sinx|=1,

當(dāng)04x4兀時(shí)，3sinx=l,故sinx=",由正弦函數(shù)性質(zhì)可得方程sinx="在［0,可上有兩個(gè)解，

當(dāng)兀<X<2兀時(shí)，原方程可化為sinx=l,方程sinx=l在(0,2兀］上無(wú)解，

所以方程/(x)=2sinx+1sinx|在［0,2捫上有且只有兩個(gè)不等實(shí)根；命題②為假命題；

當(dāng)〃=3時(shí)，/(x)=sin3x+cos3x,=+(cos：)

/卜彳卜sin3(q)+cos3(q)=0,所以卜-一￡|，所以“X)不為奇函數(shù)，命題③為假命

當(dāng)〃=4時(shí)，/(x)=sin4x+cos4x=l-2sin2xcos

IT

所以/(X)的最小正周期為命題④正確:

故選：D.

二、填空題

H.函數(shù)/(力=尼。-1)+-4的定義域?yàn)?

x—2

【答案】(1,2)。(2,m)

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出函數(shù)有意義時(shí)滿(mǎn)足的不等式，求得答案.

...11>0

【詳解】函數(shù)/X=lg+—二需滿(mǎn)足Gn，

x-21%-2工0

解得x>l且xw2,

故函數(shù)y(x)=lg(x-l)+—二的定義域?yàn)?1,2)52,+8),

故答案為：(1,2)0(2,+^)

12.已知sin6=',貝！|sin(?i+e)=.

3------------

【答案】-1

【分析】直接運(yùn)用正弦的誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】sin(7t+0)=-sin0=--,

故答案為：-§

13.已知函數(shù)/(》)=*"經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3),則不等式/(x2-x+l)<l的解集為.

【答案】a|0<x<l}

【分析】首先代入求出yiij/(x2-x+i)</(i),利用函數(shù)單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.

【詳解】由題意得9"=3,解得。=；，故〃幻=￡,

則/卜27+1)<1即為/(/-》+1)<41),

根據(jù)〃x)=/在[0，+8)上為單調(diào)增函數(shù)，則有04/—X+1<1,

解得0<x<l,故解集為{x[0<x<l},

故答案為：{x|0<x<l}.

蛆+#0>0),若/(x)4/圖對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則。的最小值為

14.設(shè)函數(shù)/(x)=sin

【答案】1

【分析】由條件確定當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)取得最大值，代入即可求。的集合，從而得到。的最小值.

【詳解】由條件/(幻4/(三)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，可知，是函數(shù)的最大值，

當(dāng)x=g時(shí)，ft?--+—=—+2hr,keZ,

3362

解得：co=6k+l,kwZ,ty>0,

所以當(dāng)心0時(shí)，①取最小值為1.

故答案為：1

15.已知=給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若/(2)=1,則a=g或2；

②若0<加<〃，且/.(⑼=/'("),則加〃=1；

③不存在正數(shù)h使得g(x)=/(x)-云-1恰有I個(gè)零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)a>1，使得g(x)=/(x)-a'恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②

【分析】對(duì)于①，解|bg〃2|=l即可判斷；對(duì)于②，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得-log“〃2=log“〃,

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷；對(duì)于③，分0<x<l與x>l討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象即可判斷；對(duì)于④，

根據(jù)指對(duì)數(shù)的圖象即可判斷.

【詳解】對(duì)于①，若"2)=1,則|log“2|=l,解得a=；或2,故①正確；

對(duì)于②，若0<加<〃，且/("?)=/("),則-log.胴=log,,n,

則log”機(jī)+log?n=logo(mn)=0,解得〃?〃=1,故②正確；

對(duì)于③，當(dāng)0<x<l,易知y=Ax+l與歹=/(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)上f+00時(shí)，y=Ax+l與N=/(x)的圖象在(1,+8)上沒(méi)有交點(diǎn)，

此時(shí)g(x)=/(x)-履T恰有1個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；

…八??f-logx,0<x<1

對(duì)于④，當(dāng)空1時(shí)，/(x)=log?^="n',

[log?x,x>l

易知y="與y=/(x)的圖象在(0,1)上有一個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)閥=優(yōu)與/(X)=log”X的圖象關(guān)于N=X對(duì)稱(chēng)，且沒(méi)有交點(diǎn),

故g(x)=/(x)-優(yōu)恰有1個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.

故答案為:①②.

三、解答題

16.已知二次函數(shù)/(x)=x2-mx+l,其中機(jī)>0.

⑴若/(x)的最小值為0,求"?的值；

(2)若"X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)X"?,求證：(%—/)+8>4

x,+x2

【答案】(1)5=2

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到/5)加=1-?=0,再解方程即可.

(2)首先根據(jù)題意得到也=〃?+_!,再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.

x,+x2m

【詳解】(1)/(%)=%2一加x+1=

因?yàn)?(X)min=1一；-=0，機(jī)>0，解得，77=2.

(2)因?yàn)?(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉衣2，所以垃2一4>0,

又因?yàn)椤?>o,所以加>2.

因?yàn)閄]+々=加，X\X2=1，

所以(X「XJ+8=(N+XJ-4X/2+8=4三/J,

Xj+x2再+x2mm

4

當(dāng)且僅當(dāng)加=二，即加=2時(shí)等號(hào)成立，

m

因?yàn)闄C(jī)>2,所以(占一々)+8>4,即證.

X1+x2

17.已知函數(shù)/(x)=2sin((yx+s)(0>O,O</<m)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距

離為￡

2

(1)求/&)的解析式；

(2)求/(x)單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心.

【答案】⑴〃x)=2sin|2x+-7T

6

⑵/(X)的增區(qū)間為1-。+%萬(wàn),?+版J,(ReZ),對(duì)稱(chēng)中心為卜力容0"叼

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)所過(guò)點(diǎn)，建立方程，結(jié)合周期的性質(zhì)以及公式，可得答案；

(2)利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)稱(chēng)性，可得答案.

【詳解】⑴由函數(shù)/(x)=2sin(s++＞0,0＜夕的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),/(O)=2sin0=l,則

sin^=-,由0＜°＜三，則8=工，

226

由相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為:，則函數(shù)/(X)的周期r=2x1="=紅，解得。=2,

220)

故/(x)=2sin(2x+,

(2)由⑴可知，/(x)=2sin(2x+?),

令-%+2k?i＜2x+2Qr(kGZ),解得一g+左乃＜x＜孑+左不，化￡Z),

則函數(shù)/(X)的增區(qū)間為1-q+%%,A+覬),仕ez)；

令2x+g=m(%eZ),解得》=-2+竺QeZ),則函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心為”,。］,(丘Z).

6122I122J

18.已知函數(shù)/(x)=/x-2優(yōu)-1,其中。＞0且

(1)已知〃x)的圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，寫(xiě)出此定點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)若0=2,求/(x)的最小值；

⑶若/(X)在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,求。的值.

【答案】(1)(0,-2)；

⑵-2；

(3)3.

【分析】(1)求出/(0)即可得出結(jié)果；

(2)由已知/a)=22，-2x2,-l,令f=2，，f＞0,可得/(。=(，-1)2-2,即可求出最小值；

(3)令"=則/(")=“2-2”-1.分類(lèi)討論當(dāng)0＜。＜1以及。＞1時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出

〃=/在［0,1］上的值域.進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值，根據(jù)已知得到方程，求解即可得出

a的值.

【詳解】⑴因?yàn)?(O)=d-2xa。-1=-2,所以定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2).

(2)當(dāng)°=2時(shí)，/(X)=22I-2X2X-1.

令f=2*,/>0.

則/⑺當(dāng)/=1,即x=0時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值-2.

(3)令〃=",則f(u)=u2-2u-l.

①當(dāng)0<a<l時(shí)，可知〃=/在［0,1］上單調(diào)遞減，所以

又根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)aWwWl時(shí)，〃")=/一2“-1單調(diào)遞減,

所以在處取得最大值f{a^a2-la-\.

由已知可得，a2-2a-l=2,解得。=-1或。=3.

因?yàn)樗詢(xún)蓚€(gè)數(shù)值均不滿(mǎn)足；

②當(dāng)。>1時(shí),可知"=優(yōu)在上單調(diào)遞增，所以14』.

又根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，/(")="2-2"-1單調(diào)遞增,

所以/(")="2-2"-1在處取得最大值/(。)=/-2。-1.

由已知可得，a2-2a-l=2,解得〃=3或a=-l(舍去)，所以"3.

綜上所述，。=3.

19.已知函數(shù)/(x)=-2sin2(：-x)+2石.

(1)求并求/(x)的最小正周期；

(2)求/a)在區(qū)間-2TT,夕571上的最大值和最小值，并求相應(yīng)的x值.

612

【答案】=T=兀

⑵“途時(shí),X喑時(shí)，/(X)而「2.

【分析】(1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)即可求解;

(2)整體替換法先計(jì)算區(qū)間內(nèi)是否含有極值，若有則為最值，若無(wú)則最值在端點(diǎn)處取得.

【詳解】⑴/（X）=-2sin2-xj+273cos2x-^>

=cos--2x+VJcos2x-l=sin2x+VJcos2x-1=2sin2x+--1,

0=2sin（2xri）-1=2cosr1=0'

-27i2n

I=—=—=it.

①2

（2）由⑴知/卜）=25出（2》+三）-1,

717r7T

令2x+—=—+2%兀，得x=--Fkit,%GZ,

3212

當(dāng)左=0時(shí)，，

7C

/（X）=2sinI2x4--I—1=1,

，\/max12

令2工+1=一'|'+2而,得工=一工+如女GZ,

一一、_,兀5兀

與區(qū)間無(wú)交集，

612

又/=2sin0-1=-1,

-1=-2<-1,

故X哈時(shí)，〃x)M=l…喑時(shí)，/(丈「2

20.如圖，在函數(shù)/(x)=logzx圖像任取三點(diǎn)/(〃,/(4)),8(bJ(b)),C(cJ(c)),滿(mǎn)足“21,b=a+2,

c=b+2,分別過(guò)AB、C三點(diǎn)作x軸垂線(xiàn)交x軸于。、E、F.

(2)用a表示/8C的面積S,并求S的最大值.

【答案】(1)5+價(jià);

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】對(duì)于(1),由題可得|/。|=1，|叫=\DE\=2,\AB\=y/5.,據(jù)此可得答案;

對(duì)于(2),設(shè)AC與BE交點(diǎn)、為P,則S=；忸4.忸川，據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)由題可得，|/。|=log22=1,曰=2,BE=log24=2.

\A^\=J(忸￡|-|月4『+|042=石，則梯形ADEB的周長(zhǎng)為5+75;

(2)設(shè)AC與BE交點(diǎn)為P,則S=g忸?|.尸卜

又=log2a,|CF|=1。&@+4),且,4D〃BE〃CF,E為DF中煎,貝U

2

由梯形中位線(xiàn)定理得|?目=1[log2a+log2[a+4)]=log2y/a+4a(若a=1,|尸耳變?yōu)槿切?/p>

中位線(xiàn)，結(jié)論不變.)，

_______/\

則|閉=忸@一|尸q=log,(〃+2)—log.Ja?+4==log,/"+

\\la2+4aJ

K，JS

4M-M=21陰=院215TH=i°g2(iw，

其中aNl.因/+4a=(a+2)2-4,則函數(shù)y=a2+4a在口,+<?)上單調(diào)遞增，

■4449

得當(dāng)〃之1時(shí)，/+4〃25n0<-.....<-=>1<1+-.....<

a+4a5a+4a5

當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)取等號(hào).又函數(shù)V=log2X在(。，+8)上單調(diào)遞增，則小,+,4,)<log2M-

-Ia'+4aJ15J

當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào).

即居C的面積S=log?11+24,1，其中a*l；

Ia+4a)

當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),力6c的面積有最大值log2

21.已知整數(shù)加，〃之3,集合％={（%戶(hù)2,…，七）1升e{0,l},i=l,2,…對(duì)于X”中的任意兩個(gè)元素

A=(al,a2,---,all),8=([也,…也)，定義4與8之間的距離為"(48)=才|4-4|.若

z=l

A?A2,-,AmeX?Rd(Al,A2)=d(A2,A3)=-=d(Am_l,Am),則稱(chēng)是4,心…是X”中的一個(gè)等距

序列.

⑴若4=(1,0,0,0),4=。,1,0,0),4=(0,1,1,0),4=(0,1,1,1：,判斷4,4,4,4是否是Z中的一個(gè)等距

序列？

（2）設(shè)4,B,C是＞3中的等距序列，求證：44。）為偶數(shù);

⑶設(shè)4,4,…,4是入6中的等距序列，且4"=叫.、°）,1（4,4）=5.求機(jī)的最

6個(gè)16個(gè)0

小值.

【答案】（1）4,4,4,4不是超中的一個(gè)等距序列

（2）見(jiàn)解析

（3）7

【分析】（1）算出析4,4）與d