2023-2024學年河北省石家莊市高二年級下冊期中數學質量檢測試題（含答案）

2023-2024學年河北省石家莊市高二下冊期中數學質量

檢測試題

一、單選題

1.(4+%+%)(4+2+4+a)展開后，共有多少項？()

A.3B.4C.7D.12

【正確答案】D

【分析】根據多項式的乘法運算法則即可求解.

【詳解】根據多項式的乘法運算法則分兩步,

第一步，在第一個因式中選一項，有C；=3種方法;

第二步，在第二個因式中選一項，有C；=4種方法;

根據乘法分步原理可得，展開后共有3*4=12項,

故選?D

2.在(/-dj的展開式中f的系數是()

A.-20B.-15C.20D.15

【正確答案】D

【分析】結合二項式展開式的通項公式求得正確答案.

【詳解】由題意τ=2

r+lCrGJ'?(-?)'=(T)'?C"i

令3―6=6=r=4,

則系數為(T『?C；=15.

故選：D

3.若函數/(x)=αr3-灰在x=l處有極值為2,則。、匕的值分別為()

a-?a=?。二T

A.B.C.D.

b=-3b=3b=3

【正確答案】D

∕,(l)=0

【分析】由已知可得出"?/°,可求得〃、匕的值，再結合極值點的定義檢驗即可.

"1)=2

【詳解】因為/(x)="3-bx,則f(x)=3α√-。,

/、,∕,(l)=3α-?=0fα=-l

因為函數F(X)=加-法在X=I處有極值為2,則,(1)=j=2，解得|=-3'

此時，∕,(X)=-3X2+3,由/")>0可得—l<xvl,由/'(X)<0可得X<T或X>1,

所以，函數/(χ)在(-1,1)上單調遞增，在(l,y)上單調遞減，

函數/(x)在X=I處取得極大值，合乎題意.

故選：D.

4.小張接到4項工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項，則不

同的安排方式共有()

A.36種B.24種C.18種D.12種

【正確答案】A

【分析】應用分步計數乘法原理，再結合排列組合數即可求出不同的分配方案的種數.

【詳解】由題意可得，一天完成兩項工作，其余兩天每天完成一項工作，據此可得，只要把

工作分成三份：有C：種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有

C：xA；=36種.

故選：A.

5.函數/(x)=x-∕'(胃COSX,則()

A.—B.—C.π*D,上衛(wèi)

3333

【正確答案】A

【分析】求出函數的導函數，再令X=E求出廣(2)，即可得到函數解析式，再代入計算可

得.

【詳解】因為/(x)=x-d?sx,所以解(X)=I+f∕sinx,

所以所以r圖=2,

所以函數/(x)=x-2COSX,/(巳)=]-2CoS方=S』.

故選：A

6.一個質地均勻的正四面體，四個面分別標以數字1,2,3,4.拋擲該正四面體兩次，依

次記下它與地面接觸的面上的數字.記事件A為“第一次記下的數字為奇數”，事件B為“第

二次記下的數字比第一次記下的數字大1”,則下列說法正確的是()

A.P(A)=∣B.事件4與事件B互斥

C.尸(BlA)=；D.事件4與事件8相互獨立

【正確答案】C

【分析】分別求出P(A),P(B),P(AB),P(44)進行判斷即可.

7173?1

【詳解】由題意得P(A)=[=P(B)=七=三，P(AB)=三=3,

'‘42'，4x416''4×48

,、，、，、/,、P(AB)1

VP(AB)≠P(A)P(B),.?.事件4和事件B不相互獨立，網用人)=10Z="

故選：C.

7.若函數f(x)=(χ2+αr+2)?e，在R上既有極大值也有極小值，則實數〃的取值范圍()

A.(-2,2)B.(-∞,-2)I(2,+∞)

C.-)D.[-2,2]

【正確答案】B

【分析】求出函數的導函數尸(x),由分析可得y=d+(α+2)x+α+2<0有解，利用A>0

即可求得實數。的取值范圍.

【詳解】由/(x)=(Y+0r+2)?e,,

可得./"(X)=(2x+α)?e*+(Y+ax+2)?e*=[丁+(a+2)x+α+2]?e”,

e*>0恒成立，y=f+(α+2)x+α+2為開口向上的拋物線，

若函數/(x)=(∕+6+2)?e/在R既有極大值也有極小值，

則y=χ2+(<∕+2)x+a+2<0有解，所以A=(α+2)°-4(α+2)>O,

解得αV-2或α>2.

故選：B

8.已知定義域為R的奇函數y=∕(χ)的導函數為y=r(χ),當χ>0時,v,(χ)+∕(χ)>θ,

若α=/⑴,?=Gog3?Wlog3?^),c=fln∣Wln∣^),則()

A.a<c<bB.h<c<aC.c<a<hD.a<b<c

【正確答案】C

【分析】根據Λf(χ)+"χ)>o構造函數g(x)=獷(X)，利用函數g(x)的奇偶性、單調性比較

大小.

【詳解】令函數g(χ)=M^(χ),則g'(χ)=/(X)+M''(χ)，

因為定義域為R的y=∕(χ)是奇函數，/(-%)=-/(%),

函數g(χ)的定義域為R,定義域關于原點對稱，

所以g(-x)=(-x)f(-x)=g(X)，

所以函數g(χ)為偶函數；

當x>0時，因為?V'(χ)+f(χ)>O,即g'(x)>O,

所以g(x)在(0,+8)上為單調遞增,

=g(-2)=g(2),

因為O=Inl<ln2<lne=l,所以ln2<l<2,

根據g(x)在(0,+8)上單調遞增,

所以g(ln2)<g⑴<g⑵.即c<α<b.

故選：C.

二、多選題

9.下列式子正確的有()

A.(e、)=3e2

C.(x4)=；?D.(ln(∕nr))=—,(∕w>θ)

【正確答案】CD

【分析】利用基本初等函數的導數和導數的運算法則，逐一對各選項進行求導判斷即可得出

結論.

【詳解】對于選項A,(e3),=0,所以選項A錯誤；

對?8B,削=W諛.

對于選項C,[6)'=H[=Il=所以選項C正確；

對于選項D,(ln(∕m?))'=(ln"7+lar)'=0+-=:,所以選項D正確；

故選：CD.

10.如圖所示是y="χ)的導數y=∕'(χ)的圖象，下列結論中正確的有()

A./(X)在區(qū)間(-3,1)上是增函數

B.X=-I是“X)的極小值點

C./(X)在區(qū)間(2,4)上是減函數，在區(qū)間(-1,2)上是增函數

D.χ=2是"x)的極小值點

【正確答案】BC

【分析】根據函數得出導函數的符號，進而得出函數的單調性，再結合函數

的極值的定義即可求解.

【詳解】根據圖象知當Xe(T2)(4,收)時，∕,(x)>0,函數單調遞增；

當xe(-3,T)(2,4)時，∕,(x)<O,函數單調遞減.故A錯誤，故C正確；

當a-1時，f(x)取得極小值，x=-l是/(x)的極小值點，故B正確；

當x=2時，/(x)取得是極大值，，=2不是f(x)的極小值點，故D錯誤.

故選：BC.

11.有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是()

A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數為480

B.6人站成兩排，且甲乙不在同一排，則不同的站法種數為432

C.6名同學分配到AB,C工廠參加實踐活動，每個工廠2人，則有90種不同的安排方法

D.6名同學分別去三個展館參觀，則不同的方法有6種

【正確答案】ABC

【分析】A選項，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項，利用倍縮法求解；C

選項，先進行平均分組，再進行全排列，得到答案；D選項，分步乘法計數原理.

【詳解】A選項，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進行全排列，

有A：=24種排法，

再將甲、乙兩人插空，有A：=20種排法，則共有24x20=480種不同的排法，故A正確；

B選項，甲、乙在前、后排各有C；種方法，其余4人全排列，2C；C；A：=432,故B正確；

C2C2C2

C選項，6名同學平均分成三組到A8,C工廠參觀(每個工廠都有人)，則有弋-A；=90

種不同的安排方法，故C正確；

D選項，6名同學分別去3個展館參觀，分6步，每步3種不同方法，共有變種方法，故D

不正確.

故選：ABC.

12.(l+2x)”展開式中，下列說法正確的有()

Q15-1

A.偶數項二項式系數和為2"B.奇數項的系數和為^~-

2

C.第8項與第9項的二項式系數相等D.第9項的系數最大

【正確答案】BC

【分析】利用二項式定理展開式的性質判斷AC,通過賦值法奇數項的系數和判斷B,列不

等式求最大項的系數，判斷D.

【詳解】對于A：展開式奇數項二項式系數之和故A錯誤；

對于B：設(l+2x)"=t?+α∣x+/χ2++4x",

令X=I得%+α∣+%++α∣s=3”,

令尸一］得t?_q+出-_α∣5=T,

兩式相加得+α∣＞故正確；

/+a2+4=?2?B

對于C：第8項二項式系數為C%,第9項二項式系數為C1,

C1=C：5,故C正確;

D：二項展開式的通項為M=/2由聲:知;二，即

卜15，一。152

2x15!>15!

r!×(15-r)!^(r-l)!×(15-r+l)!2x(15f+D≥,得空WY必

“15!2x15!

>r+l≥2×(15-r)33

r!×(15-r)!^(r+l)!×(15-r-l)!

所以r=10,即第11項系數最大，故D錯誤.

故選：BC.

三、填空題

13.在如圖所示的四個區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個區(qū)域只能種植一種花卉，且相

鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有種(用數字作答)

【正確答案】240

【分析】直接利用分步乘法計數原理即可求出結果.

【詳解】由分步乘法計數原理得5x4x3x4=240種，

故240.

14.(2+[)(l+x)6展開式中/的系數為

X

【正確答案】45

【分析】利用組合數和二項展開式的通項公式即可求出結果.

【詳解】(2+-U(∣+x)6展開式中：

X

若(2+4■)提供常數項2,則(1+"提供含有V的項，可得展開式中Y的系數,

若(2+4)提供了2項，則(1+X)6提供含有/的項，可得展開式中/的系數,

X

由(i+χ)6通項公式a=CK,可知

當r=2時，可得展開式中Y的系數為2或=30,

當r=4時，可得展開式中χ2的系數為C：=15,

(2+4?)Q+X)6展開式中'的系數為:30+15=45.

X

故45.

15.隨機變量X的分布列如下表所示：

X1234

P0.1m0.32m

則P(X≤2)=

3

【正確答案】03##正

【分析】根據給定的數表，利用分布列的性質求出，*，再利用互斥事件的概率公式計算作答.

【詳解】由分布列的性質得，O.l+m+O.3+2m=l,解得m=0.2,

所以尸(X≤2)=尸(X=1)+P(X=2)=O.1+O.2=O.3.

故0.3

16.如圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數字，若六個三角形上的數字之和為36,

則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數字之和為二項式(3x-l)5的展開式的

各項系數之和.現從01，2,3,4,5中任取兩個不同的數字標在另外兩個三角形上，則恰好使該

圖形為“和諧圖形”的概率為.

［分析］先求得二項式(3x7)5的展開式的各項系數之和為32.然后在05—共6個數字中任

選兩個共有和為4的只有(0,4),(1,3)兩種情況，由此得出該圖形為“和諧圖形”的概率.

【詳解】令X=I代入(3x7)5得2$=32,即二項式(3x7)5的展開式的各項系數之和為32.

從O,1,2,3,4,5中任取兩個不同的數字方法有：C：=M=I5共15種,

ZXI

其中和為36-32=4的有(0,4),(1,3)共兩種,

所以恰好使該圖形為“和諧圖形''的概率為12,

四、解答題

17.現有0,1,2,3,4,5六個數字

(1)可組成多少個沒有重復數字的偶數；

(2)組成沒有重復數字的五位數，從小到大排列21350是第多少個數字？

【正確答案】(1)848

(2)155

【分析】(1)先對組成幾位數討論，再對末位元素進行分類討論，再利用排列、組合即可求

出結果；

(2)通過對萬位、千位、百位、十位元素進行分類討論，再利用排列、組合即可求出結果；

【詳解】(1)當組成的數是一位數時，一位偶數有C；=3個；

當組成的數是二位數時，

可分兩類：末位是0時有A；=5個，末位是2或4時有C；A：=8個，二位偶數共有13個；

當組成的數是三位數時，

可分兩類：末位是0時有A；=20個，末位是2或4時有C；C；A；=32個，三位偶數共有52

個；

當組成的數是四位數時，

可分兩類：末位是0時有A；=60個，末位是2或4時有C；C；A；=96個，四位偶數共有156

個；

當組成的數是五位數時，

可分兩類：末位是0時有A：=120個，末位是2或4時有C；C；A：=192個，五位偶數共有

312個;

當組成的數是六位數時,

可分兩類：末位是。時有A；=120個，末位是2或4時有C；C：A：=192個，六位偶數共有312

個；

綜上，組成的沒有重復數字的偶數的個數為3+13+52+156+312+312=848.

(2)萬位是1的五位數有A；=120個，

萬位是2、千位為0的五位數有A：=24個，

萬位是2、千位為1、百位為0的五位數有A；=6個，

萬位是2、千位為1、百位為3、十位為0或4的五位數有2A；=4個，

因此，在21350的前面共有154個數字，所以21350是第155個數.

18.在5道試題中有3道代數題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放

回.求：

(1)第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率；

(2)在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

【正確答案】(1)?;(2)?.

【分析】(1)設事件A表示“第1次抽到代數題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，然后利

用古典概型公式代入求解出P(A)與P(AB);(2)由(1)的條件，代入條件概率公式即可

求解.

【詳解】解：(1)設事件A表示“第1次抽到代數題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，

則P(A)=M?=：,所以第1次抽到代數題且第2次抽到幾何題的概率為P(AB)=需=點

(2)由(1)可得，在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到兒何題的概率為

3

P(AB)=)=I

P(BIA)=K

P(A)

5

19.對于的展開式，若所有二項式系數的和為512

⑴求n；

(2)展開式的常數項是第幾項；

(3)求展開式有多少個有理項？并寫出X升塞排列的第二個有理項.

【正確答案】(1)9

⑵第7項

、C，144

(3)5個，η=(-2)2C^=-

【分析】(1)直接利用二項展開式的二項系數和即可求得結果；

(2)利用二項展開式通項公式Co*9,即可求出常數項為第七項；

(3)先利用二項展開式通項公式7^=(_2)(。苧"，再由，=2以0≤∕≤8,keN),得出結

果.

【詳解】⑴由已知得2"=512,所以〃=9.

12?)'=(-2)V聲，其中

(2)因為的展開式的通項為:

0≤r≤9,r∈N,

由幸-9=0,得r=6,即r=6時為常數項，常數項為第7項.

(3)由二項展開式的通項公式4“=(-2ycjχW"，

當r=0或2或4或6或8時，展開式的項為有理項，共5個，

144

X升幕排列的第二個有理項為4=(-2尸C；XF=

20.若直線y=H+l-ln2是曲線曲X)=InX+2的切線,

⑴求〃；

⑵當XeJ2],求y=2x+2-f(x)的最大值與最小值.

4

【正確答案】(1)2；

(2)最大值為4-In2,最小值為1+In2.

【分析】(1)設切點為打題，%),求得/'(%)=；且/(x0)=Inx1,+2,寫出切線方程，結合題

?

意列出方程組，即可求解;

2Y—1

(2)由題意得到g(x)=2x-lnx,求得g，(X)=言1,得出函數g(x)的單調性和最小值，

結合g⑵>g+)，再求得g(x)最大值，即可求解.

【詳解】(1)由函數/(x)=lnx+2,可得r(χ)=L

X

設切點為P(X°，%)，可得/'(不)==且/(?)=InX0+2,

?

所以曲線/(x)=lnx+2在點P的處的切線方程為y='(x-x0)+lnxo+2=-!-x+lnj?+l,

?o?()

又因為V=履+l-ln2是曲線AX)=InX+2的切線，

k=-

可得J?,

Inx0+1=1-In2

解得k=2；

1?r_1

(2)因為g(x)=2x+2-∕(x)=2X-InX,所以F(X)=2-：=^^,

令g'(x)<O,解得O<x<g;令g'(x)>O,解得x>；,

又因為x∈[,2],所以函數g(x)在上單調遞減，在七,2]上單調遞增，

所以g(x)最小值為gg)=l+ln2,

又由g(J=g+ln4,g⑵=4-ln2,可得g⑵>g(；),所以g(x)最大值為4-ln2,

故g(x)最大值為4-ln2,最小值為l+ln2.

21.某花店每天以每枝5元的價格從農場進購若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售,

如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

(1)若花店一天購進18枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量〃(單位：

枝，”eN)的函數解析式；

(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量〃16171819202122

頻數IO201616151310

①若花店一天購進18枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數學期望

及方差；

②若花店計劃一天購進18枝或19枝玫瑰花，你認為應購進18枝還是19枝？請說明理由.

【正確答_案】⑴宣[1出0n-9酒0,π<,18(,心)、

QAQ

(2)①數學期望86；方差學；②花店一天應購進19枝玫瑰花

【分析】(1)根據賣出一枝可得利潤5元，賣不出一枝賠本5元，即可建立分段函數；

(2)①分別求出〃=16,〃=17,“218時，X的取值，對應表中頻率得出對應的概率，得

出分布列代入期望與方差公式即可求解；②同理求出一天購進19枝玫瑰花的利潤的期望，

兩者比較即可.

【詳解】⑴當天需求量〃≥18時，利潤y=90,

當天需求量〃<18時，利潤y=10,-90,

所以當天的利潤y關于當天需求量"(單位：枝，w∈N)的函數解析式為：

>,=U[1nO≥∕2-91O8,∕I<18，(,."")?

⑵①"=16時,X=10×16-90=70,P(X=70)=0.1；

〃=17時，X=10×17-90=80,P(X=8())=0.2；

"≥18時，X=90,P(X=90)=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7；

所以X的分布列為：

X708090

P0.10.20.7

所以期望E(X)=70x0.1+80x0.2+90x0.7=86,

所以方差；?2=∣×[(70-86)2+(80-86)2+(90-86)2]=^

②由①知當一天購進18枝玫瑰花時，當天的利潤的數學期望為E(X)=86,

設當一天購進19枝玫瑰花時，y表示當天的利潤,

"=16時，y=10×16-95=65,∕,(y=65)=0.1,

"=17時，y≈10×17-95=75,P(Y=75)=0.2；

〃=18時