離心率的多種妙解方式（十四個題型）-高考數(shù)學復習題型練習（解析版）

考向35離心率的多種妙

解方式

展典題居於

經(jīng)典題型一：建立關(guān)于?和C的一次或二次方程與不等式

經(jīng)典題型二：圓錐曲線的定義

經(jīng)典題型三：利用正弦定理

經(jīng)典題型四：利用余弦定理

經(jīng)典題型五：內(nèi)切圓問題

經(jīng)典題型六：橢圓與雙曲線共焦點

經(jīng)典題型七：利用最大頂角e

經(jīng)典題型八：基本不等式

經(jīng)典題型九：已知?PK范圍

經(jīng)典題型十：Pl=兒尸鳥

經(jīng)典題型十一：中點弦

經(jīng)典題型十二：坐標法

經(jīng)典題型十三：四心問題

經(jīng)典題型十四：利用雙曲線漸近線的斜率

22

（2022?全國?高考真題（理））橢圓C:1+馬=l（4>b>0）的左頂點為A,點P,。均在C上，且關(guān)于y軸

aO

對稱.若直線AP,A。的斜率之積為:，則C的離心率為（）

A.立B.叵C.?D.-

22*23

【答案】A

【解析】［方法一］：設(shè)而不求

設(shè)Pa,y∣),則Q(TI,X)

川_1

貝岫如得：-

—-x-?-+--a--~F74

22b2(a2-x2)

由?^+?^=L得短l

?2(α2-√)

b21

所以。2=1,sπι'l?=4

22

-xl+a4

￡=、「X=在，故選A.

所以橢圓C的離心率e

a?a~2

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點為B,連接PB,由橢圓的對稱性知：kpll=-kAQ

故女”""Q=kpilι--kAQ=--,

由橢圓第三定義得：kPA-kAQ=--,

,,b21

故F=_

a24

所以橢圓C的離心率故選A.

（多選題）（2022.全國.高考真題（理））雙曲線C的兩個焦點為6,入，以C的實軸為直徑的圓記為。，過七

3

作。的切線與C交于M,N兩點，且CoSNKA^=g,則C的離心率為（）

A.@B.-C.—D.—

2222

【答案】AC

【解析】［方法一］：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在X軸，設(shè)過月作圓。的切線切點為B,

3

所以O(shè)B_L耳N,因為CoSNGNE=j>0,所以N在雙曲線的左支，

∣0B∣=a,∣O制=c,∣FjB∣=b,i?Z.F↑NF2=a,由即CoSa=?∣,則Sina=

35

∣NA∣=∣Ω,∣NF2∣=^

|NR|-|NF；|=2?

5f??,?、

-a-?—a-2b=2a

2（2）f

?,√5

2b=a,..e=——

2

選A

情況二

3

若M、N在雙曲線的兩支，因為COSNKNE=g>0,所以N在雙曲線的右支,

所以IOBl=",?θFt?=c,∣ηB∣=b,設(shè)NENE=α,

33,4

由COS/耳Ng=g,即COSa=w,則Sina=w，

35

∣NA∣=-Β,∣NE2∣=-6Z

∣Nξ∣-∣NF,∣=2^

35

—a+2h——a=2a,

22

所以力=34,即2=』，

a2

所以雙曲線的離心率e=C=Jl+4=巫

aVa22

選C

［方法二］:答案回代法

A選項e=@

2

特值雙曲線

2

^--∕=ι,.?.η(-√5,o),ι%(√5,o),

過Fl且與圓相切的一條直線為y=2(x+√^),

'兩交點都在左支N(-?∣君,-'|行),

.?.∣NF,∣=5,∣Nξ∣=l,∣F?E∣=2√5,

3

則COSNKN馬=g,

C選項e=巫

2

22

特值雙曲線,一］=ι,??.耳卜√15,O}E(√T5,o),

過Fl且與圓相切的一條直線為y=∣(x+J行)，

；兩交點在左右兩支，N在右支，??.Nθ^g,j∣Jif］,

.?.∣NF,∣=5,∣Nξ∣=9,∣ηF,∣=2√i3,

3

則COSN片Ng=-,

［方法三］：

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在X軸，設(shè)過大作圓。的切線切點為G,

若M,N分別在左右支，

3

因為。GJ_N耳，且CoSNKNE=M>0,所以N在雙曲線的右支，

∣∣

X0G=fl,?OF?=C,?GFi?=b,

設(shè)HNF]=a,KRN=β,

在AK幅中,有篇=蕉歷2c

sina

陷即_______

∣N"H=?g_________=?

sin(α+y0)-siny0Sinasin(α+尸)-sin/Sina

'sinacosβ+cosasin-sinβSina

而COSa=°,sin=—,cosβ=-,故Sina=3,

同理有“粵=邛乩不=N,其中戶為鈍角，故cos∕J=-2,

sinβsιn(α+p)SInaC

,,IN用TN用2chπac

siny0-sin(α+∕7)Sinasinβ-sinacosβ-cosasinβsinα

代入COSa=?∣,siny0=-tSina=。，整理得至Ij：-■=?,

5c54?+la4

故α=2?,故e=Jl+(2)

故選：AC.

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

22

2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系.耳月為橢圓二+/=i(α>∕7>θ)的左、右焦點，P為橢圓上

的任意一點，歸用—c,α+c];耳,名為雙曲線二一/=l(">0,b>0)的左、右焦點，尸為雙曲線上的

任一點，?PFi?≥c-a-

3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系.j月為橢圓W+*=ι的左、右焦點，P為橢圓上的動點，

a2b1

若“PF.，則橢圓離心率e的取值范圍為sing≤e<?-

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5、利用判別式建立不等關(guān)系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

二、函數(shù)法：

1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變,量的函數(shù)關(guān)系式;

2、通過確定函數(shù)的定義域：

3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.

三、坐標法：

由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關(guān)系.

匹典題型歲l?

經(jīng)典題型一：建立關(guān)于“和C的一次或二次方程與不等式

1.（2022?甘肅?瓜州一中高三期中（文））若掰是2和8的等比中項，則圓錐曲線/+工=1的離心率是（）

m

A.B或小B.√5C.BD.B或與

2222

【答案】A

【解析】①是2和8的等比中項，.?.〃?=4或6=Y,

當機=4時，方程為r2+L=i,表示橢圓，

4

/.a=2,Z?=l,c=?∣a2-b2=?/?,「?居心率為,

2

當〃=ZY時，方程為V—21=1,表示雙曲線，

4

/.a=1,Z?=2,c=Jq2+L?=逐，..離心率為y/5,

故選：A

22

2.（2022?全國?高三專題練習）設(shè)橢圓C=∣τ+}=l（α＞方＞0）的左、右焦點分別為耳，鳥，點M，N在C

上（M位于第一象限），且點M,N關(guān)于原點。對稱，若PWNI=衍閭，2&|M閭=IN閶，則C的離心率為

（）

?√2r1r6√2-3n3√2-3

4277

【答案】C

【解析】依題意作下圖，由于IMM=忻閭，并且線段MMKK互相平分,

.?.四邊形Mf；NE是矩形，其中N犀W鳥=],IN4I=PW用，

設(shè)IMEl=%,貝用=2a—x,

根據(jù)勾股定理,∣MGF+∣ME∣2=區(qū)/?,^2a-x）2+x2=4c2,

整理得X2-2cιx+2?2=0,

22

由于點M在第一象限，x=a->∕a-2b>

由2夜阿聞=IN局，^?MN?=3?MF2?,即3,-"2—2層）=2C,

整理得7c2+6αc-9∕=0,即7e2+6e-9=0,解得e=拽二2.

22

3

?（2。22?安徽省定遠縣第三中學高三階≡習）橢圓C：》上9折的左、右焦點分別為小F2,

經(jīng)過點Fl的直線與橢圓C相交于A,B兩點,若?AB鳥的周長為16,則橢圓C的離心率為（）

A.姮B.—C.?D.3

4424

【答案】A

【解析】山題可知4q=16,即α=4,

所以橢圓C的離心率e=巫三?=巫.

44

故選：A.

2

4.（2022?江蘇?南京市金陵中學河西分校高三階段練習）設(shè)雙曲線C:Y-g=l的左、右焦點分別為B,F2,

P是C上一點，且片若△尸耳工的面積為4,則雙曲線C的離心率為（）

A.√2B.2C.3D.√5

【答案】D

2

【解析】由題意，雙曲線C-春?=1,可知α=l,

]^?PF2?=m,?PFt?=n,可得何-H=2,

又因為耳尸，名尸，若aP4居的面積為4,所以;如7=4,且>+"2=zk2,

聯(lián)立方程組，可得￠2=5,所以雙曲線的離心率為e=￡=5.

故選：D.

22

5.（2022?河南省葉縣高級中學模擬預測（文））已知雙曲線C:三-'=l（α>0力>0）的右焦點為F,P為C

右支上一點，P與X軸切于點F,與y軸交于48兩點，若AAPB為直角三角形，則C的離心率為（）

A.53B.叵逅C.四+1D.√3+l

22

【答案】B

【解析】不妨設(shè)點P在X軸的上方，因為PF_LX軸，將P點的橫坐標XP=C?代入5-￥=1,

ab

得力=I=IP目.

由題意可知NAPB=90°,K∣Λ4∣=∣PB∣=∣PF∣,則有IpFl=0c,即以=缶,

則e，=且避

a2

故選:B.

經(jīng)典題型二：圓錐曲線的定義

?22

6?（2022?四川?高三階段練習（理））已知雙曲線C?-?v=l（α>0,。>0）的左、右焦點l分別是"，

a-?

F2,過右焦點尸2且不與X軸垂直的直線交C的右支于A,B兩點,若AEJ.4B,且∣A5∣=2∣A用，則C的離

心率為（）

A.√2B.1+0C.√3D.l+y/j

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)IgI=加，則I傷∣=m-24.

又∣M=2∣M∣,所以忸閭=w+24,所以忸制="z+44.

又AFaAB,所以忸耳I=J^7,由"z+4α=晶，得

m=（石+l）α=IA周，則IAEl=巾-2α=（右T4,而歸q=2c,則4c?=（石+1『/+（百/,化簡

得Y=3后,所以e=￡=退.

22

7.（2022?浙江?高三開學考試）已知分別為橢圓C:=r+4=l（a＞/，＞0）的左、右焦點，過FI的直線與C

ab

交于p,Q兩點，若IP￡|=2|PKl=5山。，則C的離心率是（）

A.3B.3C.D.旦

5443

【答案】D

因為IP周=ZpEl=司用2|,令忸α=f,

所以IP用=5f,I尸用=∣r,由橢圓的定義可知IP周+儼段=2α=5f+∣f=晟f,

所以，=/,所以|「耳|=＞，I*=|。,忻0=/‘同|=|尸耳|+出。|=/+。=備,

由橢圓的定義可知∣Q6∣+∣。用=2α=∣O圖=^l”,

在，P。8中，|。用2=口呼+歸圖2,所以/Qp^

在AP4瑪中,I伍I=2c,所以I隼聯(lián)=閨呼+歸段2

所以3/+&a2=4c2n￡=2ne=￡=@

99cr9a3

所以C的離心率是且.

3

故選：D.

8.（2022?內(nèi)蒙古包頭.高三開學考試（文））已知耳（-，,0）,鳥90）是橢圓后的兩個焦點,P是E上的一點,

若尸斗尸鳥=0,且￡匕%=/,則E的離心率為（）

A,也C√2D,正

5B?T22

【答案】C

2

【解析】由題意得：PF1YPF2,W??FtPf+?F2Pf=?FtF2f=4c,

由橢圓定義可知：忻H+優(yōu)H=M,

2

所以（忻耳+厄P∣）2=442,^?Ftpf+?F2pf+2?PFt?-?PF2?=4a,

所以|「/訃|「用=2∕-2C?2,

又Sκ咤=g∣P用?∣P周=c0所以/-02=C2,即片=202

故E的離心率為￡=變.

a2

故選：C.

22

9.（2022?全國?高三專題練習）設(shè)雙曲線十方=IQO/>0）的左、右焦點分別是”K，過點K的直

線交雙曲線右支于不同的兩點M、N.若AMNK為正三角形,則該雙曲線的離心率為）

A.√6B.√3C.√2d-T

【答案】B

【解析】不妨設(shè)點Ma，x）、N（X2,%），則4、々€（4—）,

所以，IMKl=J（XI+cj+才=JX；+2CXl+c?+勺工：—二=

+”,同理可得IPKl=詈

=-x1+a=-+a,

由題意可得IM耳I=IM；|,即號+α=?^+α,所以，X=X2,

因此，雙曲線關(guān)于X軸對稱，故點〃、N關(guān)于X軸對稱,

將X=C代入雙曲線方程可得捺-￡=1,解得y=±g,則IMM=子，

由雙曲線的定義可得IMKI=IM周+2α=2α+%

因為AMNK為等邊三角形，則IM用=PwNHP2α+-≈-,則從=2/,

aa

因此，該雙曲線的離心率為e=￡=也二=√L

aa

故選：B.

經(jīng)典題型三：利用正弦定理

>>?>

10?（2022?全國?高三專題練習）已知片，尸2分別為橢圓E:￡+g=l（a>匕>0）的兩個焦點，P是橢圓E上

的點，PF^PF2,且sin?P7V；3sin?PF1F2,則橢圓E的離心率為（）

A.典B.巫C.在D.更

2424

【答案】B

【解析】由題意及正弦定理得：IPKI=斗PKl,

令I(lǐng)PEl=3|尸閭=3",則3"+”=2α,9rt2+√=4c2,可得，2=它，

所以橢圓的離心率為：C=CL而.

e^a~?7~~

故選：B

22

11.（2022?全國?高三專題練習）過橢圓.+1=1（。>6>0）的左、右焦點「，鳥作傾斜角分別為聿和W的

兩條直線4，4.若兩條直線的交點尸恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（）

L叵B.√3-l

2

r>/3—1

D.

.22

【答案】C

V閭=IWl=IpKl=?PF?+?PF?

【解析】在APfJ6中,由正弦定理可得12

SinZFlPF2~SinZPF2Fl-SinZPFlF2~SinZPF2Ft+sinNPFIF?

所以忻用一

SinZFlPF2

'∣P^∣+∣∕,∕?∣SinNPE耳+sinNPGK，

「一一…一.百、/C2c忻閭SinZFlPEtsin3000-1

所以該橢圓的離心率e=—=—=■；---；~F—r=--------------

2----------=-----------o------------o=---------,

a2a?PFl?+?PF2?sinZPF2F1+sinZPF,F2sinl20+sin302

故選：C.

22

12.（2022?江蘇?揚州中學高三開學考試）已知柳圓，+方=Igo/>0）的左、右焦點分別為K（-c,O）,

g（c,0）,若橢圓上存在點尸（異于長軸的端點），使得CSinNpaE=αsinNPEZ,則該橢圓離心率0的取值

范圍是.

【答案】（夜一1,1）

【解析】由己知，得e=￡=SIn力?,由正弦定理，得I^=Snl/1鬻,

asin/-PrxF1?PF2?SInN尸百名

所以"局∣PF∣=2a后-?PF2?=西2a一1

由橢圓的幾何性質(zhì)，知α-c<∣PKlCa+c,

2aa-c2aa+c

所以西τ1>F且西τt<

所以e>=?e<-,

1+e?-e

ape2+2e-?>0h.e2+[>0,

結(jié)合0<e<l,可解得ee(√∑-l,l).

故答案為：（應(yīng)-1,1）.

經(jīng)典題型四：利用余弦定理

22

13.（2022?全國?高三專題練習）橢圓C:*■+親?=K">匕>。）的左、右焦點分別為6，F(xiàn)2,過點片的直線/

交橢圓C于A,B兩點，若|￡居I=IA6則橢圓C的離心率為（）

A.-B.立C.好D.-

7233

【答案】D

【解析】因為IGEI=IAKI=2c,由橢圓定義知IA瑪=2α-2c,

又AFl=2gB,所以|34|二。一。，再由橢圓定義∣5g∣=2α-（α-c）=α+c,

因為NA66+N3￡K=π,所以CoSZA6耳=-cosZ.BFxF2,

IA不2+|手下AF1-?BF?-+?FF?2-?BF^

所以由余弦定理可得2tt22

2?AFt?-?FtF2?2?BFl?-?FlF2?

(2a-2c)2+(2C)2-(2C)2(a-c)2+(2c)2-(a+c)2

即----------------------=------------------------,

2(2?-2c)?2c2(a-c)?2c

化簡可得/+3c2-4αc=O,即3/-4e+1=O，

解得e=；或e=l(舍去).

故選：D

22

14.(2022?河北廊坊?高三開學考試)已知橢圓C:'+/=l(a>6>0)的左、右焦點分別為「，鳥，P為C

7

上一點，且CoSN耳尸瑪=j若6關(guān)于4尸工平分線的對稱點。在C上，則。的離心率為.

【答案】B

3

【解析】設(shè)月關(guān)于N4P鳥平分線的對稱點為。，

則P，B，。三點共線，

設(shè)|尸周=小,則IPQl=機，

7

又CoSN耳尸舄二§,所以在J勿；Q中，由余弦定理有：

If；β∣2=WJ2+/M2-2m2×?=W2,即IEQl=三

由橢圓定義可知IP周+∣P0+∣M="?+”?+與=4"，可得”?=Ia

31

所以附|=鏟|尸局=5。

在APK心中，由余弦定理可得：

I4用2=PF：+PF；-2PF?■PF2COsAFxPF2,

即A?=2^+4.2-2χ3ɑ2χZ=3α2所以c?=!/

444933

G

所以e=￡=3一

a

0

故答案為：3一

15.（2022?全國?高三專題練習）橢圓C:=+與=l（a>6>0）的左、右焦點分別為耳，工，過點￡的直線/

ab

交橢圓C于A,B兩點，若∣6E∣=∣A^∣,AFx=2Fβ,則橢圓C的離心率為（）

A.?B.立C.正D.-

7233

【答案】D

【解析】因為析LIHAKI=2c,由橢圓定義知∣4=J=2α-2c,

又AF]=2尸出,所以IBKI=α-c,再由橢圓定義18瑪∣=2α—（α-c）="+c,

因為NA6片+NBFJ瑪=π,所以CoSNAEB=-cosZBF1F2,

|/^『+|手下|2一|4工|2=

所以由余弦定理可得

2?AFl?-?FtF2?-2?BF,?-?FtF2?

(2a-2c)2+(2C)2-(2C)2(a-c)2(2c)2-(a+c)2

即ππ-----------------------=----------+---------------

2(2α-2c)?2c2(a-c)-2c

化簡可得42+3c?2-4αc=0,即3e2-4e+l=0,

解得e=g或e=l(舍去).

故選：D

經(jīng)典題型五：內(nèi)切圓問題

22

16.（2022?重慶南開中學高三階段練習）已知橢圓C:*?+親?=ig>b>0）的左、右焦點分別是K,F2,斜

率為T的直線/經(jīng)過左焦點耳且交C于A,5兩點（點A在第一象限），設(shè)ZM耳鳥的內(nèi)切圓半徑為弓，ABFE

的內(nèi)切圓半徑為弓，若上=3,則橢圓的離心率e=.

【答案】更

4

【解析】如圖所示，由橢圓定義可得IMI+∣A6∣=勿，I班1+忸閭=肛

設(shè)AAfJ&的面積為S∣,ABEE的面積為S?,因為，=3,

r2

11

--

2?2

所以==--L=-A=3,即y=-3%,

11t

-52-×r

22ιyB

設(shè)直線/：x=2y-c,則聯(lián)立橢圓方程與直線/,可得

.m=（W=S+二1-破2=。，

4b2c3-?4

所以，yA+yB=

-16C?216

令“=—-=2>1,則2+

^ri為為2222

&九β+4?5a-4c4_5_>

e2

2-H4165√5

當;—時，有—=------=>e2=—ne=—

34-W164.

e2

故答案為：4

22

17.（2022?全國?高三專題練習）己知點耳（一3,0）,鳥（3,0）分別是雙曲線C：?-2L=i（a>o,。>0）的左、

ab

右焦點，M是C右支上的一點，與y軸交于點P,MPK的內(nèi)切圓在邊PK上的切點為。，若IPa=2,

則C的離心率為.

3

【答案】?【解析】設(shè)，〃尸尸2的內(nèi)切圓與M6，加尸2的切點分別為A,B,

由切線長定理可知∣M4∣=∣M8∣,∣R4∣=∣PQ∣,忸閭=|。閭，

又IPKl=IP閭,

所以IM用TMKl=IM4∣+MH+∣P用—（∣M8∣+忸周）

=?P(^+?PF2?-?QF2?=2?PQ?

由雙曲線的定義可知∣Mξ∣-∣M閭=2”,

所以閘=α=2,又c=3,

C3

所以雙曲線的離心率為°F=5?

YV2

18.(2022?全國?高三專題練習)已知6,K是雙曲線十七=l(a>0,b>0)的左、右焦點，尸為曲線上一點,

4"=60。，ZV5Kg的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e,貝"=.

12

【答案】y

【解析】由題意,設(shè)PX=PK=〃，因為/耳尸瑪=60。,故(Ze)?=M+/-2mcos60,即

4c2=(m-n)2+mn,根據(jù)雙曲線的定義有4廿=4/+〃?〃，故砂=4〃.所以的面積為

S=-ZTinsin60o=?βb2.又+4mn=4a2+?6h2,故二+〃=2，。2+3U.故內(nèi)切圓半徑廠滿足

S=Iw+"+2c)r=√?,解得r=/也我.又APR/的外接圓半徑R滿足2R==?7,故R=雪,

2y∣c2+3b2+csin6°3

,2>∣3c4√3?2

由題意?一=即c√?前=66-2,所以￠2(,2+3從)=(6從-cP。故5c』2從，故

7c2+3b2+c

5c2=12c2-12a2,解得e?=不

12

故答案為:—

22

19.(2022?全國?高三專題練習)已知雙曲線C:「-E=l(α>0),耳解分別為其左、右焦點，若點P在雙曲

a8

線的右支上，且耳鳥的內(nèi)切圓圓心的橫坐標為1,則該雙曲線的離心率為.

【答案】3

【解析】設(shè)的內(nèi)心為/,過/作/H_Lx軸于H.

由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知；IMiTPKl=Im閭=2。①.

又∣“6∣+∣"E∣=2<^,IH周=1+c③,

由①②?得：a=?.

:?C=址+及=3，故離心率e=￡=3.

a

故答案為：3

22

20.(2022?全國?高三專題練習)已知雙曲線.=1,(a,b>O)的左右焦點記為"，F(xiàn)1,直線/過工且

與該雙曲線的一條漸近線平行，記/與雙曲線的交點為P,若所得的內(nèi)切圓半徑恰為《，則此雙曲

線的離心率為.

【答案】2

【解析】由題意可知K(-c,O),g(c,0),

設(shè)雙曲線一條漸近線方程>=2χ,

y=-(χ-c)

聯(lián)立方程組2"，-

尸T

序X-V-i

22

消去y可得2CX=1+C2,解得X=

2c

-Z?3

cr÷(

???點的坐標為

P2c

設(shè)∣PfJ∣=m,?PF2?=nf

由三角形的面積可得制〃+2c)=*c吟,

化簡可得加+〃=9-2c①，

又m-n=2a②,

由①②解得n=-a-c,

2a

設(shè)直線尸耳的傾斜角為8,過點P作軸，垂足為A,則tan?=。,

a

.八

/.sinθ=b-,

bs

在RtA48，Sine=3羋一，

2----a-c

2a

b3

.b_2ac

?,∑^3P'

----a-c

2a

2

整理可得26+αc一∕=o,^e-e-2=0,

解得e=2,e=-l（舍去）.

故答案為：2.

21.（2022?全國?高三專題練習）已知點F為雙曲線0-1=1（。>0,6>0）的左焦點，A為直線/:y=^x在第一

象限內(nèi)的點，過原點O作OA的垂線交E4于點8,且B恰為線段AF的中點，若ABO的內(nèi)切圓半徑為

絲思S>20）,則該雙曲線的離心率大小為_________.

4

【答案】√I3

【解析】如圖所示,^?0^=n,?0B?=m,

山題意知，點A在漸近線y=2χ上，點B在直線y=-^x上，

ab

“口A/。b、?ba、

可信A（—/?,—/?）,B（—tn,—ιri）,

cccc

?-2?-nι=-n-c

因為8為線段AF的中點，且尸（-。,0）,所以CC,解得機=*〃=。，

Lab

vi`-m--n

[cc

所以IoAI=α,∣OB∣=?∣,則∣ΛB∣=加葉+畫=亞+9,

因為MO的內(nèi)切圓半徑為”也，

4

所以2'=|。川+|0用-亞+%,即2X與%=d+∣-Ja2+?

b2,

化簡得/=12/,即4=12,所以離心率為e=￡=Jl+（21=

二?/r?.

a"ci?a

故答案為：√13.

經(jīng)典題型六：橢圓與雙曲線共焦點

22.(2022?全國?高三專題練習)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點K,F2,P是它們的一個交點，且

1

ZFPF=-記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，%則當——取最大值時，S的值分別是()

i23fe?e2

A.正，誣B.在C.烏√6D.叵,√3

222234

【答案】A

22r22

【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為：夕+￡=1(“>〃>0),c=√7≡p^.?-?=1,

C=Ja；+b；.

設(shè)IPfJl=m，歸周=〃.則加+〃=2a,m-n=2a]9.?.m=a+q,n=a-a},

因為/片尸鳥=(,

所以CoS至=1+/一(2c)：L

32mn2

即(a+q)2+(a-q)2-4c2=(a+aj(a-q).

13

.?.a1+3a；-4c2=0,I.—+—=4,

e?e2

...4≥2*授,則信，當且僅當q=4，q=*時取等號.

故選：A.

23.(2022?江蘇?常熟中學高二階段練習)對于以耳，尸2為公共焦點的橢圓E和雙曲線。，設(shè)P是它們的一

_11

個公共點，，，S分別為它們的離心率,若4PE=6θ°,則：+一的最大值為（）

eIe2

3√34√3

abrD.

-Z?I4~3~

【答案】D

222,2

【解析】設(shè)橢圓方程是$+/1,雙曲線方程是十y

M

由定義可得IPBl+∣PF2∣=2?PFI?-?PF2?=2a2,

.??PF∣?=al+a2f?PF2?=a∣-a2,

在AFiPFz中由余弦定理可得,

(2C)2=(&/+〃2)2+2+2(。/+。2)(4/-。2)COS60°,

即4c?2=cz∕2+3tZ22,

13

4=—+—,

<%

113>(1×l÷ψx^)

由柯西不等式得（I+-）（-+—）2—(-+—)2

ee

3∣2el√3e2。%

即+?2$4=印

即_L+_L≤攣，當且僅當e/=避

e2=√5時取等號.

e1e233

故選D.

24.（2022.重慶一中高二期中（文））已知橢圓和雙曲線有共同的焦點片、F1,P是它們的一個交點,

ZF1PF2=GO,記橢圓和雙曲線的離心率分別為q、e2,則e；+e；的最小值是.

【答案】1+3

2

2222

【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為W+3=l（q>4>0）,?-?=l（α2>0,?>0）,設(shè)兩曲

q4a2?

線的焦距為2c（c>0）,

m=a]+a2

^?PFy?=m,?PF2?=n^m>n)9則zn+ι=2q,m-n=2a2,所以,

n=%-a2

tn~2+/T2-4Λc^11

cos60=

2mn2

22-22

化為(q+?)÷(a1-fl2)4c=(4+a2){ax-?)，??一+3a；-4c=O,

?=#+%+￡|斗+烹+詈）*（4+2⑹=1+*，

當且僅當q=√?時，取等號，則e；+e；的最小值是1+乎.

故答案為….

25.（2022?內(nèi)蒙古?霍林郭勒市第一中學高二階段練習（文））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點耳,玲，它們

的離心率分別為q,e?,P是它們的一個公共點，且NFjP6=彳.若eg=6,則02=

y∕6+y∕2

【答案】

【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為q，雙曲線的半實軸長為生，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義:

'?PFi?^PF2?=2ai

解得+a

IP6I=?12IPf21=-?2,

?PFi?-?PF,?=2a2

設(shè)WEI=2c,NF?PFz=g則：

在^尸耳瑪中由余弦定理得,4c~