山西省呂梁市2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題（含答案）

山西省呂梁市2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.下列長度的三條線段不能組成三角形的是（）

A.2,3,6B.5,8,10

2.下列四個(gè)圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（

B.x4-X4—%16

C.(_})7+廬=反D.(m2)3-m4—m9

4.如圖，A,B是池塘兩側(cè)端點(diǎn)，在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)。，測得04的長為6米,OB的長為6米，ZO=

60°,則A,B兩點(diǎn)之間的距離是（)

A.4米B.6米C.8米D.10米

5.如圖，衣架框內(nèi)部可以近似看成一個(gè)等腰三角形，記為等腰三角形力BC,若4B=4C=26cm,D是BC

的中點(diǎn)，乙4BC=30。，則4。的長為（）

A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm

6.“春江潮水連海平，海上明月共潮生”，水是詩人鐘愛的意象，經(jīng)測算,一個(gè)水分子的直徑約為

0.0000000004m,數(shù)據(jù)0.0000000004用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4XIO一11B.4X10T0C.4XIO-D.0.4X10-9

7.如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為%軸，平面鏡所在點(diǎn)的豎

線為y軸（鏡面厚度忽略不計(jì)）建立平面直角坐標(biāo)系，某時(shí)刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（-1,5,1）,則此時(shí)對應(yīng)

的虛像S'的坐標(biāo)是（）

A.(1.5,-1)B.(1,1.5)C.(1,-1.5)D.Q.5,1)

8.下列分式中與三法的值相等的分式是()

人y

A也B0%+yx—y

a，x-yx+yr--x-yD.x+y

9.如圖，△ABC三△ABC',過點(diǎn)C作CDIBC',垂足為。，若乙4BA=55。，則NBC。的度數(shù)為()

A.25°B.35°C.45°D.55°

10.如圖，在四邊形力BCD中，^ABC=60°,BQ平分/ABC,乙BCD>乙CBD,BC=24,P,Q分別是

BD,BC上的動點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ取得最小值時(shí)，BQ的長是()

B.10C.12D.16

11.分解因式：3a2—3=.

12.如圖，與。M相交于點(diǎn)4與。N相交于點(diǎn)B,OP1AB,垂足為P.現(xiàn)要證明△40PBOP,若只

添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是.(不作輔助線，寫出一個(gè)即可)

13.若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1：5,則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4B的坐標(biāo)分別是(—3,0),(0,2),△OA/B'=AAOB,若點(diǎn)才在X

軸的正半軸上，則位于第四象限的點(diǎn)B’的坐標(biāo)是.

15.若關(guān)于%的方程卜春無解,則m的值為-------

三'解答題

16.計(jì)算：(1)21+2，+(?！?)°.(2)(%+3y)(3x—y)+3y2.

17.如圖，已知△4BC,。是ZB延長線上一點(diǎn)，BD=CB,DE||BC,DE=BA,連接BE,求證：BE=

CA.

18.如圖，在△ABC中，AB=AC.

（1）在/C上求作一點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸到A,B兩點(diǎn)之間的距離相等.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕

跡，標(biāo)明字母）

(2)連接BF,若41=50°,求NFBC的度數(shù).

19.在學(xué)校開展的“勞動創(chuàng)造美好生活”主題活動中，八(1)班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)，同

學(xué)們計(jì)劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植，已知吊蘭的單價(jià)比綠蘿的單價(jià)多5元，且用200元購買綠蘿的盆數(shù)與

用300元購買吊蘭的盆數(shù)相同.

(1)求購買綠蘿和吊蘭的單價(jià)各是多少元？

(2)若購買綠蘿的數(shù)量是吊蘭數(shù)量的兩倍，且資金不超過600元，則購買吊蘭的數(shù)量最多是多少盆?

20.如圖

(1)證明角平分線具有的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.為了更直觀、清楚地表達(dá)題

意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號表示已知和求證.如圖1,已知：OC平分N40B,點(diǎn)P在。C

上，PD1OA,PE1OB,垂足分別為。，E.求證：PD=PE.

(2)如圖2,在AOAB中，OP平分N40B,交AB于點(diǎn)P,2。1。4于點(diǎn)￡1,PE1OB于點(diǎn)E,OA=OB=

6,若SACMB=15,求PD的長.

21.動點(diǎn)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是動中求靜，運(yùn)用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思

想靈活解決問題.如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm,點(diǎn)P在線段BA上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(點(diǎn)P

不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2cm/s；點(diǎn)Q在線段CB上從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合)，

點(diǎn)Q運(yùn)動的速度為3czn/s,設(shè)點(diǎn)P,Q同時(shí)運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts.

(1)在點(diǎn)P,Q運(yùn)動過程中，經(jīng)過幾秒時(shí)APBQ為等邊三角形?

(2)在點(diǎn)P,Q運(yùn)動過程中，若某時(shí)刻APBQ為直角三角形，請計(jì)算運(yùn)動時(shí)間t.

22.有足夠多的長方形和正方形卡片(如圖1),分別記為1號，2號，3號卡片.

3

1

3

3

圖3

(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個(gè)正方形,請用2種不同的方法表示陰影部分的面積

(用含m,n的式子表示).

①方法1：;方法2：；

②請寫出(m+n)2,(m—n)2^4nm三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：

(2)若|a+b—6\+\ab-4\=0,求(a—b)?的值.

(3)如圖3,選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個(gè)長方形(無縫隙不重疊)，請

畫出該長方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，分解因式：m2+3mn+2n2=.

23.綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，ZB4C=

90。，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)。上，得到4MDN,將4MDN繞點(diǎn)

。旋轉(zhuǎn)，射線DM,CN分別與邊4B,AC交于E,9兩點(diǎn)，如圖1所示.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)E,F分別是AB,4C的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是.

(2)類比探究：如圖3,當(dāng)E,F不是AB,4C的中點(diǎn)，但滿足BE=4F時(shí)，判斷ADEF的形狀，并說明理

由.

(3)拓展應(yīng)用：①如圖4,將NMON繞點(diǎn)。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線。M,DN分別與4B,C4的延長線交于E,F兩

點(diǎn)，滿足BE=AF,ADEF是否仍然具有(2)中的情況？請說明理由；

②若在ZMDN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM,CN分別與直線ZB,C4交于E,尸兩點(diǎn)，滿足BE=4F,若

AB=a,BE—b,貝!]4E=A（用含a,b的式子表不）.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、2+3<6,所以不能構(gòu)成三角形，故符合題意；

B、5+8>10,所以能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

C、4+4>7,所以能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

D、3+4>5,所以能構(gòu)成三角形，故不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用三角形三邊的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、不是軸對稱圖形，選項(xiàng)不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，選項(xiàng)不符合題意；

D、是軸對稱圖形，選項(xiàng)符合題意，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項(xiàng)判斷即可。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：A、（-2a）2=4a2,故本選項(xiàng)符合題意；

B、%4?%4=%8,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、（_｝）7+廬=一反，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、（m2）3-m4=m6-m4——m10>故本選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：A.

【分析】利用積的乘方、同底數(shù)哥的乘法、同底數(shù)幕的除法逐項(xiàng)判斷即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由題意得：。4=OB=6m,

VZO=60°,

...△04B是等邊三角形，

'.AB=OB=6m；

故答案為：B.

【分析】先證明△是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得AB=0B=6mo

5.【答案】C

【解析】【解答】解：-??△ABC是等腰三角形，。是3C的中點(diǎn)，

???AD1BC,

???乙ADB=90°,

???乙ABC=30°,

1

??.AD=^AB,

??,AB=AC=26cm,

???AD—13cm,

故答案為：c.

【分析】利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得4。=^AB=13cm.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：0.0000000004=4XIO」"，

故答案為：B.

【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的定義及書寫要求求解即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由平面鏡成像可知，S與S,關(guān)于y軸對稱,

■??5(-1.5,1),

.?.S'(1.5,1),

故答案為：D.

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)的特征：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案。

8.【答案】B

-x+y=(T)(—x+y)=(T)(r+y)=x-y

【解析】【解答】解:-x-y(-l)(-x-y)x+y

故答案為：B.

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：三△ABC',

：.^ABC=^A'BC,

：.^ABA'+乙ABC=AA'BC+乙CBC',

：.^ABAr=乙CBC'=55°,

VCD1BCZ,

:?乙CDB=90°,

:?乙BCD=180°-90°一乙CBU=35°；

故答案為：B.

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)可得乙484=乙CBU=55。，再利用角的運(yùn)算求出/風(fēng)力=180°-90°-

乙CBU=35唧可。

10.【答案】C

【解析】【解答】解：作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q',

???PQ=PQ'

???CP+PQ=CP+PQ',

當(dāng)C、P、Q‘三點(diǎn)共線，且CQ，_L4B時(shí)，CP+PQ有最小值,

止匕時(shí)4PQB=(PQ'B=90°,

在Rt△BPQ和Rt△BPQ'中,

[PQ=PQ,

(BP=BP

???Rt△BPQ=RtABPQ鼠HL),

??.BQ=BQ，,

???乙ABC=60°,

???乙BCQ，=30°,

???BQr=^BC,

???BC=24,

.?.BQ=BQ'=12,

故答案為：C.

【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q‘，當(dāng)C、P、Q'三點(diǎn)共線，且時(shí)，CP+PQ有最小值，利用

“HL”證明RtABPQ三RtABPQ',可得BQ=BQ',再結(jié)合ZBCQ'=30。，可得BQ'==12。

IL【答案】3(a+l)(a-1)

【解析】【解答】3a2-3=3(a2-l)=3(a+1)(a-1).

故答案為：3(a+1)(a-1).

【分析】先提取公因式3,再對余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.

12.【答案】AP=BP(答案不唯一)

【解析】【解答】添加AP=BP,理由如下：

\"OPLAB,

：.^APO=Z.BPO=90°

在△48和4BOP中，

AP=BP

/.APO=乙BPO

.OP=OP

：.△AOPSABOP(SAS)

故答案為：AP=BP.(答案不唯一)

【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。

13.【答案】1800°

【解析】【解答】解：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)為x,則與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為5x,

???x+5x—180°,

???x=30°,

這個(gè)多邊形的每個(gè)外角是30。，

???該正多邊形的邊數(shù)為360。+30°=12,

???該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為(12-2)X180°=1800°,

故答案為：1800。.

【分析】先求出正多邊形的外角，再求出正多邊形的邊數(shù)，再利用多邊形的內(nèi)角和公式求解即可。

14.【答案】(3,-2)

【解析】【解答】解：：點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(一3,0),(0,2),

：.0A=3,0B=2,^AOB=90°,

'：AOA'B'三△AOB,

/.OA'=04=3,AB=OB=2,Z-B'A'0=90°,

?.?點(diǎn)B'在第四象限,

點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（3,-2）,

故答案為：（3,-2）.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得。4=。4=3,AB=0B=2,^B'A'O=90°,再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的定

義及第四象限的點(diǎn)坐標(biāo)特征可得點(diǎn)目的坐標(biāo)是（3,-2）。

15.【答案】0或4

【解析】【解答】解：原方程可化為2（2x+l）=mx,即（m-4）x=2,

:方程絆絆無解，

/.m-4=0或x=0或x二—

當(dāng)m-4=0即m=4時(shí),方程（m-4）x=2無解，即原分式方程無解，

當(dāng)x=0時(shí)，m無解，

當(dāng)x二-±時(shí)，m=0,

綜上，m的值為0或4,

故答案為：0或4.

【分析】先將分式方程化為整式方程（m-4）x=2,再根據(jù)方程無解可得m-4=0,求出m的值；再將x=0

或X=—：分別代入整式方程求出m的值即可。

16.【答案】⑴解:2-1+23+（7T-1）°

1

”+8+1

=畛

（2）解：（%+3y）（3第一y）+3y2

=3x2—xy+9xy—3y2+3y2

—3x2+8xy.

【解析】【分析】（1）先利用負(fù)指數(shù)幕、0指數(shù)幕和有理數(shù)的乘方化簡，再計(jì)算即可；

（2）先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法展開，再計(jì)算即可。

17.【答案】證明：??,DE||BC,

Z.BDE=乙ABC,

在和△48。中，

BD=CB

Z.BDE=乙ABC,

、DE=BA

/.△EDB三△ZBC(SAS),

BE=CA.

【解析】【分析】先利用“SAS”證明△￡7用/ABC,再利用全等三角形的性質(zhì)可得BE=CA.

18.【答案】(1)解：所作的點(diǎn)F如圖所示：

(2)解：由(1)作圖可知：MN垂直平分48,

：.AF=BF,

??,乙4=50°,

1an。一/a

：-^ABF=^A=50°,乙ABC=\=65%

C./-FBC=^ABC-/.ABF=15°.

【解析】【分析】(1)根據(jù)要求作出圖象即可；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得4尸=BE再利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求出乙48尸=

乙4=50°,^ABC=18。；"=65°,最后利用角的運(yùn)算求出NFBC的度數(shù)即可。

19.【答案】(1)解：設(shè)購買綠蘿的單價(jià)為x元，則購買吊蘭的單價(jià)為(％+5)元，由題意得：

200=300

x一％+5'

解得：x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)％=10時(shí)，貝1)%(%+5)。0,

?,?％=10是原方程的解，

x+5=15,

答：購買綠蘿的單價(jià)為10元，購買吊蘭的單價(jià)為15元；

(2)解：設(shè)購買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購買綠蘿的數(shù)量為27n盆，由(1)及題意得:

10x2m+15m<600,

角軍得：m<寫°,

???m是整數(shù)，

??.m取最大值為17；

答：購買吊蘭的數(shù)量最多為17盆.

【解析】【分析】(1)設(shè)購買綠蘿的單價(jià)為x元，則購買吊蘭的單價(jià)為(久+5)元，根據(jù)題意列出方程竽=

塞，再求解即可；

(2)設(shè)購買吊蘭的數(shù)量為m盆，則購買綠蘿的數(shù)量為2m盆，根據(jù)題意列出不等式10X2TH+15機(jī)工

600,再求解即可。

20.【答案】(1)證明：???。。平分

：.^AOC=乙BOC,

■:PD1OA,PE1OB,

：2PDO=乙PEO=90°,

VOP=OP,

:?>PDO=^PEO(AAS),

：.PD=PE；

(2)解：????！钙椒忠?。3,PD1OA,PE1OB,

：.PD=PE,

^^0AB=15，

111

,,SXOAB=S^AOP+SABOP=2。/,PD+2OB,PE=工(JJA+OB),PD=15?

VOA=OB=6,

：.6PD=15,

：.PD=2.5.

【解析】【分析】(1)先利用“AAS”證明△PD。三APE。，再利用全等三角形的性質(zhì)可得尸。=PE；

(2)利用三角形的面積及割補(bǔ)法可得SAOM=S^A0P+S^B0P=：。4-PD+^OB?PE=■|(OA+OB)?

PD=15,再結(jié)合04=OB=6,求出PC=2.5即可。

21.【答案】(1)解：設(shè)經(jīng)過X秒時(shí)APBQ為等邊三角形，

???BP—BQ,

,??點(diǎn)P運(yùn)動的速度為2cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動的速度為3cm/s,BC=6cm

**,2x—63%,

6

??.經(jīng)過］秒時(shí)，APBQ為等邊三角形；

(2)解：①當(dāng)ZBPQ=90。時(shí)，如圖，

BQC

???△ABC是等邊三角形,

???乙ABC=60°,

???(BQP=30°,

1

???BP=^BQ，

1

?**2t=2(6—3t)9

??。一7，

②當(dāng)4BQP=90。時(shí)，如圖,

???△ABC是等邊二角形，

???乙ABC=60°,

???(BPQ=30°,

??.BQ—2BP，

1

?e?6—3t=^x2t,

???t=5,

綜上所述，APBQ為直角三角形時(shí)，"別當(dāng)

【解析】【分析】(1)設(shè)經(jīng)過久秒時(shí)APBQ為等邊三角形，根據(jù)題意列出方程2x=6-3x,再求出x的值即

可；

(2)分類討論：①當(dāng)NBPQ=90。時(shí)，②當(dāng)NBQP=90。時(shí)，再分別畫出圖象并列出方程求解即可。

22.【答案】(1)(m—幾)2；(m+n)2—4mn；(m—n)2=(m+n)2—4mn

(2)解：v\a+b—6\+\ab—4|=0,|a+b-6|>0,\ab-4|>0,

,?,a+b—6=0,ab—4=0,

即Q+b=6,ab—4,

A(a—b)2=(a+b)2—4ab

=36-16

=20,

???(〃一切2的值為20；

(3)(m+n)(m+2n)

【解析】【解答】(1)解：①方法1：圖2中陰影部分是邊長為(小—切，因此面積為(血―")2,

方法2：圖2陰影部分也可以看作從邊長為(m+n)的正方形減去4個(gè)長為小.寬為葭的長方形面積，因此

有(TH+n)2—4mn,

故答案為：(m—九)2,(m+n)2—4mn；

②由①得(TH—n)2=(m+n)2—4mn,

故答案為：(m—n)2=(m+n)2—4mn；

(3)解：1張1號，2張2號，3張3號卡片的總面積為TH?+2n2+3mn,而1張1號，2張2號，3張3

號卡片可以拼成長為(TH+271),寬為(租+71)的長方形，如圖所示：

所以有m2+2n2+3mn=(m+2n)(m+n),

故答案為：m2+2n2+3mn=(m+2n)(m+n).

【分析】(1)①利用不同的表達(dá)式表示出陰影部分的面積即可；

②根據(jù)①的結(jié)論可得(租-n)2=(m+n)2-4mn；

(2)先利用非負(fù)數(shù)之和為。的性質(zhì)求出a+b=6,ab=4,再將其代入Q-人猿計(jì)算即可;

2

(3)根據(jù)題意畫出圖象可得zu?+2n+3mn=(m+2n)(m+n)o

23.【答案】(1)DE=DF；DE±DF

(2)解：△DEF是等腰直角三角形，理由如下：

連接4D,如圖所示：

VZB71C=90°,AB=AC,D為的中點(diǎn),

AzF=ZC=^DAF=45°,AD=BD,AD1BC,

〈BE=AF,

：.△BED三△ZFD(SZS),

:?DE=DF,乙ADF=LBDE,

V^ADE+^BDE=90°,

：.^ADE+^ADF=90°,

：.EDIDF,

.??△DEF是等腰直角三角形；

(3)解：①△DEF仍然具有(2)中的情況，理由如下:

連接/D,如圖所