等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向20等比數(shù)列

1(2021年甲卷理科第7題)等比數(shù)列｛““｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S,,?設(shè)甲：q>0.乙：｛5“｝是遞增數(shù)

列，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲不是乙的充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】4=7,4=2時(shí)，｛S,,｝是遞減數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件；任“｝是遞增數(shù)列，可以推出

“向=S可以推出q>0，甲是乙的必要條件?故選：B.

2.(2021年甲卷文科第9題)記S“為等比數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和.若邑=4,S,=6,則$6=

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】由題意可知，α∣+%=4,0t+α4=2,因?yàn)椋?,｝是等比數(shù)歹U，所以％+必=L從而$6=4+2+1=7.

3.(2022年乙卷理科第8題，文科第10題)已知等比數(shù)列｛《,｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42,則%=

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

[解析]設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝首項(xiàng)4,公比4

由題意，R+%+%=168,即M+q+qg68,即M(I+q+∕)=168

2

[a2-?=42[44(1-/)=42[a1<7(l-^r)(l+q+q)=42

解得，q=g4=96,所以4=4/=3

4.(2021年上海第8題)已知等比數(shù)歹Ijq=3也=%，%的各項(xiàng)和為9,則數(shù)列也｝的各項(xiàng)和為.

【答案】-

5

-----=9Q—-b=a=2?—

【解析】因?yàn)?的各項(xiàng)和為9,4=3,所以1-4,解得”3,所以2^I"

ɑb218

即數(shù)列的各項(xiàng)和為3=匚l/—-4-T

1*2]__0

9

5.(2022新課標(biāo)2卷第17題)已知｛““｝為等差數(shù)列，他,｝是公比為2的等比數(shù)列，且%-4=%-4=U-%

(1)證明：％=fel;

(2)求集合伙也=%+%,啜弧500｝中元素的個(gè)數(shù).

【答案】(I)見解析；(2)9.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,J公差為d

由%—仇=6-4，知q+d-28∣=4+2d-44,故d=2b∣

由o2_H="_q,知4+d—2?∣=84一(α∣+3d),

故O1+4-26∣=44-(6+3d)；故q+d-2?∣=d-α∣,整理得q=b∣,得證.

(2)由(1)知d=2b∣=2q,由4=qrι+α∣知：hl-2*^'=at+(??—1)?√+?,

即印?2'-'=仿+(/M-1)?2?1+bl>即21=2m>

因?yàn)猷↖n500,故2融IlOo0,解得2疑10

故集合｛k?bk=am+0l,BgiJn500｝中元素的個(gè)數(shù)為9個(gè).

1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件.利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+φ則a,n-an

=ap?aj,可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè)而不

求思想的運(yùn)用.

3.解決等比數(shù)列基本運(yùn)算問題的兩種常用思想

(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個(gè)量0,〃，q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量0

和4，問題可迎刃而解；

(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q=l時(shí)，｛斯｝的前n項(xiàng)和S(I=W∣;

1.等比數(shù)列的單調(diào)性

當(dāng)q>l,0>0或0<4<1,α∣<0時(shí)，｛斯｝是遞增數(shù)列；

當(dāng)q>l,α∣<0或OVq<l,α∣>0時(shí)，｛斯｝是遞減數(shù)列；

當(dāng)q=l時(shí)，｛”“｝是常數(shù)列.

2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

當(dāng)g1時(shí)，可以看成函數(shù)y=cr,是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列僅“｝各

qv

項(xiàng)所對應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y=cq,的圖象上.

3.等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S.=4+3?C"T+B=0,公比q=C.(A,B,C均不為零)

wr-------------------------?~~SM≡?

1.在等比數(shù)列中，易忽視每一項(xiàng)與公比都不為0.

2.在求等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和時(shí)，易忽略q=l這一特殊情形.

1.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”已知Sl=-2,S3=-6,且公比q≠l,則G=()

A.-2B.2C.-?8D.-2或一8

【答案】C

Sι-aι--2,

【解析】依題意知L解得4=-2(q=l舍去)，故43="1/=-2x(-2)2=-8

[S3=0+a?q+a↑q1=—6,

2.等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”，且4叩為2,的成等差數(shù)列.若αι=l,則S4=()

A.16B.15C.8D.7

【答案】B

【解析】設(shè)公比為夕，由題意得442=4〃]+&3，即44ιq=4〃ι+αq2,又⑶#）,所以4q=4+q2,解得夕=2,

1X（1—24）

所以S4=::=15,故選B.

1—2

3.己知在等比數(shù)列｛斯｝中，的=7,前三項(xiàng)之和§3=21,則公比9的值是（）

1

A-

B.2

【答案】C

α∣q2=7,

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，a〃=7,53=21,符合題意；當(dāng)*時(shí)，,0（1—三）得4=一".綜上，q的值是

121，

ILq

1或一；,故選C.

4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和為S”若S2=3,S4=15,則公比4=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

（。1+〃2=3,

【解析】因?yàn)镾2=3,S4=15,S4—Sz=12,所以]_

[tz?十〃4—12,

兩個(gè)方程左右兩邊分別相除，得爐=4,

因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以q=2,故選D.

2

5.在等比數(shù)列｛如｝中，a3,05是方程x+6x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則管的值為（）

A.一省^B.-√2C.√2D.一也或

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因?yàn)镾,G5是方程N(yùn)+6x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以“3?M5=α8=2,

的+。15=—6,所以43<0，?15<0>?9—?3^6<0,則。9=—也,所以"f=氏=?=一√Σ

6.設(shè)單調(diào)遞增等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”，若z+n4=i0,a2a3a4=64,則正確的是（）

A.S"=2'Li-1B.a“=2"C.S,+ι-S"=2"+ιD.S,,=2,,-l

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

因?yàn)椤?。3。4=64,所以出=64,解得6=4.

41

又〃2+。4=10，所以一+4q=10,即2爐一5q+2=0,解得夕=2或q=5.

又等比數(shù)列｛?。龁握{(diào)遞增，所以q=2,α∣=l,所以%=2"I

\—2"

所以"κ=2"T,S,,+LS,=2"+J-(2I)=2"?

因此只有選項(xiàng)D正確，故選D.

7.（多選）已知數(shù)列｛4,,｝是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）

?,???B.｛l0g2曷｝C.｛??+??+1｝D.｛an+an+?+an+2｝

【答案】AD

【解析】當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛知｝的通項(xiàng)公式為an=l時(shí)，log?曷=0,數(shù)列｛log2底｝不是等比數(shù)列，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛%｝

的公比4=一1時(shí)，斯+α.+∣=0,數(shù)歹∣J｛斯+斯+∣｝不是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義知卜口｛斯+斯+i+斯+2｝

都是等比數(shù)列.故選AD.

8.（多選）已知數(shù)列｛如｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且?+/=#，則的的值可能是（）

。3。7

88

A.2B.4CqDq

【答案】ABD

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛小｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以?3>0,?7>0,a5>0.

（當(dāng)且僅當(dāng)===時(shí)，等號(hào)成立），得45》.因此符合題意的選項(xiàng)為ABD.故選ABD.

\。3J

9,已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，。2=1，。5=—《，若&=一!，則左=

oO

【答案】5

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為“，因?yàn)?2=1，45=-=所以q3=T解得q=一；,所以0=-2,由

-2[1-∏∕]11

Sk=7TT=-?，解得k=5.

1-H

10.設(shè)等比數(shù)列｛”“｝滿足"1+。2=4,“3—0=8.則通項(xiàng)公式an=.

【答案】3Λ^1

【解析】設(shè)｛斯｝的公比為q,則斯=αq"J

ci?+。q=4,

由已知得，解得41=1,9=3.所以｛小｝的通項(xiàng)公式為斯=3"1

a?qαι=8.

11.在等比數(shù)列｛斯｝中，?2—4,0o=16,則他和a∣o的等比中項(xiàng)為.

【答案】±8

【解析】設(shè)。2與Go的等比中項(xiàng)為G,因?yàn)椤?=4,α∣o=16,所以G2=4X16=64,所以G=±8.

12.在等比數(shù)列｛斯｝中，若045=16,“4=8,則恁=.

【答案】32

【解析】因?yàn)椤?的=16,所以出=16,所以。3=±4.又。4=8,所以q=±2.

所以t?=44^2=8x4=32.

13.在等比數(shù)列｛〃”｝中，α∣=6,“2=12—43.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S“為｛%｝的前〃項(xiàng)和，若Sm=66,求利

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

因?yàn)?=6,42=12—43,

所以6q=12—6q2,解得q=—2或q=l,

π

所以α,,=6×(-2)^'或an=6.

(2)①若a“=6x(—2)"I

,,6×[1-(-2)"]

則rS”=-1-----?----------i=2[l-(-2)n],

由S"=66,得2[1—(一2)",]=66,解得m=5.

②若斯=6,q=?,則｛斯｝是常數(shù)列，

所以S"=6"=66,解得∕n=ll.

綜上，機(jī)的值為5或11.

14.在數(shù)列｛d｝中，點(diǎn)(兒，7；)在直線y=一$+1上，其中7“是數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和.

求證：數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(小，T“)在直線y=—%+1上，所以〃=一/+1.①

所以著L1=一步-1+1("≥2).②

①②兩式相減，得兒=一彌+；"ι(“≥2).

3I1

所以的"=于"-1，所以兒=引Ll.

12

由①，令〃=1,得加=一/+1,所以加=守.

所以數(shù)列｛兒｝是以2(為首項(xiàng)，1；為公比的等比數(shù)列.

一、單選題

1.(2022?上海奉賢?二模)若α,b,c,d成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：①a+b2+c,c+d；②ab,bc,cd；

③a-2-c,c々，必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

【答案】B

【解析】若。，b,c,d為1,-1,1,-1,則4+6S+c,c+d不為等比數(shù)列，①不符合；

由。，h,c,d必非零且公比為夕，則必be,?/也非零且公比為q2,②符合；

若。，b,c,d為1,1,1,1,貝∣Ja-46-c,c-d不為等比數(shù)歹Ij,③不符合；

故選：B

2.(2022?陜西西安?一模(理))2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝

利！為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，接續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該企

業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達(dá)到20%.每年年底扣除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩

余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資金達(dá)到800萬元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至

多為()(單位：萬元，結(jié)果精確到萬元)(參考數(shù)據(jù)：1.24B2.07,1.25^2.49)

A.83B.60C.50D.44

【答案】B

【解析】設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為X萬元，則

1年后投入再生產(chǎn)的資金為：500(1+20%),2年后投入再生產(chǎn)的資金為：

[500(1+20%)-x](l+20%)-x=500(1+20%)2-(1+20%)x-X,

L

5年后投入再生產(chǎn)的資金為：

500(1+20%)5-(1+20%)4x-(l+20%)3x-(l+20%)2x-(l+20%)X-X=800

i?5-!

Λ--------X=500×1.25-800,.*.X≈60.

1.2-1

3.(2022?四川涼山?三模(理))下列選項(xiàng)中，P是4的充分不必要條件的是()

A.一ABe中，p?A>B,^:sinA>sinB

B.p?b1=ac,4：〃也C成等比數(shù)列

C.S”是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，pz數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，q：數(shù)列黑，S2m-5zπ,SM-S2,〃成等比數(shù)列

3

D.α∈R,p:tana=2,q：cos2a=——

【答案】D

【解析】對A,.ABC中由正弦定理—二=占，且a,"sinAsinB均為正數(shù)可知，若A>5則“>。，

sinAsinB

sinA>sinB,反之也成立，P是q的充要條件；

對B,若”,3,c成等比數(shù)列則/=αc,但當(dāng)α=6=c=0時(shí)∕√=%；,且α,6,c不成等比數(shù)列，故P是q的必要

不充分條件；

對C,數(shù)列。“=(-1)"時(shí)｛4｝為等比數(shù)列時(shí)，但S4-S2,56-5」不成等比數(shù)列，故P不是4的充分不必

要條件；

對D,當(dāng)tanα=2時(shí)，cos2a=CoS,αsin,α=1tan,α=_?,但當(dāng)ss2α=-?∣時(shí)，tanα=-2也成立，故

cos^a+sin^al+tan^a55

P是4的充分不必要條件

4.(2022?全國?模擬預(yù)測(文))設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前—項(xiàng)和為S“，q=9,ai=l.記

T,,=ala2(〃=1,2,),下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛%｝的公比為‘B.S,,≥y

C.Z,存在最大值，但無最小值D.TX=(√5)J'""T

【答案】C

【解析】因?yàn)?=9,?=1,

所以正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比q滿足/=￡=",且4>0,

所以q=；,故A錯(cuò)誤；

1

9χLfY'

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得，$L⑶.

“1-q~1-1

3

因?yàn)閘-(gj<l,所以S,,<g,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)閝=4∕i=9χ(g)=3』，

”(2+3-")-/+5"

所以7；=4%?=32×3'××33^n≈32+'++3^Π=32≈32(

易知二!產(chǎn)≤3,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知0<3字≤27，

所以工,存在最大值，但無最小值，故C正確;

τnan=3空X3』=3空e=3中=（百廣3，，+6故D錯(cuò)誤；

5.（2022?江西省豐城中學(xué)模擬預(yù)測（理））記數(shù)列｛3"1中不超過正整數(shù)”的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為知設(shè)數(shù)列｛4｝的

前n項(xiàng)的和為S,,,貝IJS3t（k∈N,）等于（）

A.（k-g卜+2kB.。-；卜"+憶+1

C.滬+7”∣

【答案】B

［解析］q=1嗎=1嗎=2,%=2，,”8=2,69=3,

當(dāng)"e［3"τ,3")時(shí)，α,,=k,4ι="+l,所以S?,=1x2+2x6+3x18++?(3*-3*^l)+Λ÷l

=2×30+4×3'+6×32++2k-3t-'+k+?,

記4=2X30+4X3∣+6X32++2??3*-1,37；=2×3l+4×32+6×33++2h3",

1λ

兩式相減得-27；=2x30+2x3'+2x3?++2×3*--2??3*=2×≥^-2??3,

1-3

化簡得Z=I所以

6.（2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q,｝、｛也,｝、｛，,,｝滿足

-ljcnn+—!—(n>3),

4=A=J=Lq,=a”+i-a”，<π÷2=~7"n(≡)'Sn=—+—++—(-n>2)

?`瓦??4-〃

則下列有可能成立的是（）

A.若｛αj為等比數(shù)列,則吭2＞仇伍

B.若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，則S2022??

C.若｛%｝為等比數(shù)列，則W022＜/22

D.若｛c,,｝為遞增的等差數(shù)列，則52。22＞金22

【答案】B

【解析】因?yàn)?=〃=c∣=1，%=",,+∣-4,

.*.c1=a2-alf即/=4+G=2,

若｛%｝為等比數(shù)列，則m｝的公比為q=蟲=2,.?.an=T-?cn=an^-an=T-2"T=2"^',

a?

bhC2w+,

由g+2=請"?%,可得TiL=3=R=4,.?."=4"τ="3故AC錯(cuò)誤；

b

nbl,C112

若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，C1=L公差d>0,

.?AA,?,÷c3c4c5C+2

由3若％貝今十l=ZI

',仿b2b3bnclc2c3cll

c,?+d(11

---≡—=------------------

cdcc

n+l?,l,.n+ι

又c,,=1+(〃-1)d,q,=a,,.-4,,,a,,=(?-?.l)+(?.l-??_2)++(a2-al)+at,

.(n-2)(n-l),P

?+----------------d>又"≥3,4“一〃>n0,

Tll111

貝----+---→+-----≥-----=

ana-7>

o3-3a4-4n~33d

.?.當(dāng)〃≥3時(shí)，不等式S“<7；恒成立,

故$2022<4）22,故B正確，D錯(cuò)誤.

二、多選題

7.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛%｝的公比為4,且<?2=∣，記｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，前〃項(xiàng)積為

T11,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)0<q<l時(shí)，｛S,,｝遞減B.當(dāng)4>0時(shí)，S4043≥4043

C.當(dāng)4>1時(shí)，Tn≥T2022D.當(dāng)—1<”0時(shí)，Tn≥T2022

【答案】BCD

【解析】對于A中，因?yàn)?<"l,/22=1，所以4>0,所以｛S,,｝遞增，所以A錯(cuò)誤.

對于B中，當(dāng)q>°時(shí)，S4043=六r+∕j5^+L+:+l+q+L+q">">+q2g

沖+2倍.產(chǎn)+L+2

~+l=4043,

q

當(dāng)且僅當(dāng)4=1時(shí)等號(hào)成立，所以B正確.

對于C中，當(dāng)勺>1時(shí)，｛4｝遞增，因?yàn)?022=1，所以當(dāng)〃≤2O21時(shí)，??<1；

當(dāng)">2022時(shí)，απ>l,所以當(dāng)a=2021或“=2022時(shí)，7；最小，

所以（；金22,故C正確.

對于D中，當(dāng)T<4<0時(shí)，｛可｝是擺動(dòng)數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，｛同｝遞減，

因?yàn)?>22=1，所以當(dāng)"=2021或"=2022時(shí),端最大,｛0,,｝的前2022項(xiàng)中有IOll項(xiàng)為正，IOll項(xiàng)為負(fù),

所以7I=4）22<0,所以∕≥322恒成立,所以D正確.

8.（2022?湖北武漢?二模）數(shù)列｛q｝共有M項(xiàng)（常數(shù)M為大于5的正整數(shù)），對任意正整數(shù)鼠M,有

4+?！?0,且當(dāng)凡3時(shí)，4=/.記｛4,,｝的前〃項(xiàng)和為5“，則下列說法中正確的有（）

1023

A.若S”，礪，則M，，20

B.｛凡｝中可能出現(xiàn)連續(xù)五項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列

C.對任意小于M的正整數(shù)PM,存在正整數(shù)仃，使得4+%=5p-S,

D.對｛4｝中任意一項(xiàng)耳，必存在4M,（s≠r）,使得外,4必按照一定順序排列可以構(gòu)成等差數(shù)列

【答案】BCD

【解析】對于A,根據(jù)條件可知，數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)為，首尾對稱性兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，如果中間數(shù)為1

個(gè)，則必為0.下面對Λ/討論.

當(dāng)M為偶數(shù)（數(shù)列｛%｝各個(gè)數(shù)非零），

，所以M≤20.

2)1024

2

當(dāng)M為奇數(shù)（數(shù)列｛q｝"等二°），（S）ux=S四=S四≤-,解得M≤21,故A錯(cuò)誤;

對于B,顯然滿足，如Wq°一W'—1，故B正確；

對于C,通過數(shù)列具有對稱性知，對任意小于"的正整數(shù)PM有，S0-S,的值是該數(shù)列中的一項(xiàng)或兩項(xiàng),

當(dāng)值為一項(xiàng)時(shí)，因?yàn)槿我庑∮贛正整數(shù)PM,故該項(xiàng)必定為中間項(xiàng)，數(shù)列為=￡剛好具備相鄰兩項(xiàng)差為該

數(shù)列的某一項(xiàng)；如果為兩項(xiàng)，顯然直接找出其兩項(xiàng)即可，故C正確;

對于D,考慮到數(shù)列￡，」11毋口11_1-?1

~4~2,曬足牙一產(chǎn)=產(chǎn)=〃產(chǎn)，

當(dāng)"≤[時(shí)，all+am,n=2all+2.當(dāng)”>當(dāng)時(shí)，由對稱性，也成立,

11IC

例zl：---1--=—=2×

“488?

故選：BCD

三、填空題

9.(2022?山東青島?二模)將等差數(shù)列中的項(xiàng)排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第〃行共有2'i個(gè)數(shù)，若4=2,

且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42,則an=.

Cl4C16

【答案】2n

【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)樵摂?shù)陣第〃行共有2"τ個(gè)數(shù)，則前4行共有l(wèi)x(l-24)=]5個(gè)數(shù),

1-2

所以第5行第6列數(shù)為％=42,則"=等?=分=2,所以q,=2+("-l)x2=2".

21—121—1

故答案為：2〃.

10.(2021?四川成都?三模(理))已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sn滿足S,,=2向-m,數(shù)列出｝滿足〃=Iog2a,,,

其中“wN",給出以下命題：

①〃?=1；

②若S,,>〃-4對〃eN*恒成立，則

③設(shè)A"）=%+—,〃eN",則/（，?）的最小值為12；

④設(shè)C,,=七二‘廣'""，〃eN*若數(shù)列｛5｝單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為

其中所有正確的命題的序號(hào)為.

【答案】②④

【解析】由｛4｝為等比數(shù)列，其前"項(xiàng)和5,,=2"”-〃?=2-2"-機(jī)，則m=2,故①不正確；

由S,,=2"+∣-2,可得α,=2",則N=",若q>%-4對"∈N*恒成立,

Yl—4

即/2-4=，＞下一對77∈N"恒成立,

H—4n-3n-4_-n+5

令=，則/(〃+1)-/5)=^r7iτ

當(dāng)l≤w≤4時(shí),/(n+l)>∕(n);

當(dāng)〃=5時(shí)，/(5)=/(6),

當(dāng)M≥6時(shí),/(n+l)<∕(n),則/⑺maχ=∕(5)=∕(6)g,

則f>[,故②正確；

32

3636

由/5)=〃〃+一,"∈N',令/=2",則y=f+一

an1

當(dāng)r=4,〃=2時(shí)，y=13,當(dāng)r=8,〃=3時(shí)y=i2.5

則fWmin=/(3)=12.5,故③不正確；

由同單調(diào)遞增,

λ3λ<3

—<—-"3）,故④正確.

則22=>?,15，貝IMe

λ>--

C5>C44

故答案為：②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和=—

（2）證明數(shù)列的單調(diào)性一般采用作差（或作商）的方式；

（3）數(shù)列作為特殊函數(shù)，特殊在定義域上，定義域不連續(xù).

11.（2022?廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列｛〃｝的前項(xiàng)

和∕=3"T-3數(shù)列｛q,｝滿足G=2,c2=3,ci=bi,且￡用=￡,+可；下列幾個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論的

編號(hào)為.

①％=3；②%+〃；>/+%;③S￡,2<S；+|；?—+—++—≥-j??

?I??c”rιI?

【答案】③④

【解析】對于①，當(dāng)"=1時(shí)，b,=τι=l-k,

1n22

當(dāng)〃N2時(shí)，bn=Tn-Tn,l=(r-k)-(3--?)=2.3-,

,

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以，61=l-fc=2?3-?所以，k=；,①錯(cuò)；

對于②，因?yàn)镃3=4=6,al=c2-cl=1fa2=c3-C2=3.

又因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以，公差d=-2,則q=l+2(∕L1)=2〃—L

所以，S”(1+2"T)=/

2

設(shè)/(”)=《+￡=(2"-l)2+4?9*2,則/("+l)=(2"+iy+4?9"T,

所以，/(∕7+1)-∕(∏)=8H+32?9I-2>0,即y(")<∕("+l),②錯(cuò)；

對于③，S(IS“+2-S3=〃2(〃+2)2_(〃+1)4=[〃(〃+2)-("+1)2]｛W("+2)+("+1)[=

-(2√+4/1+1)<0,③對；

對于④，因?yàn)閏"+|=czι+2"-l,

當(dāng)∕ι≥2時(shí)，%=C]+(令-G)+(C?-6)++(c'"-C"τ)=2+l+3++(2/?—3)

(1+2〃-3)(〃一1)/、2

=2+A---------JX—l=^n-↑y+2,

2

當(dāng)九=1時(shí)，q=2滿足?t=（〃一l）+2,

所以，C∏=(?-1)2+2(Λ∈N*).

111111

-------------------=-------------------≥--------=-----------

2

cn(〃—I]+2n+n+3-3nrΓ+nnn÷l*

n

④對.

77+1

故答案為：③④.

12.(2022?全國?長郡中學(xué)模擬預(yù)測)公比為。的等比數(shù)列｛%｝滿足：%=lnq°>O,記<=q4必……4,

則當(dāng)4最小時(shí)，使北≥1成立的最小〃值是

【答案】17

【解析】｛4,,｝是等比數(shù)列，α9=Ina10>O,/.a9>O,ΛI(xiàn)O>1,

又Y%=InaK)=In(%?q)=ln%+lnq,?nq=a9-?na9,

設(shè)函數(shù)/(x)=XTnX,f(χ)=?l,當(dāng)X>l時(shí)，/'(x)>0,

O<x<l時(shí)，f(x)<O,.?.在Fl時(shí)，f(x)取極小值1,

88,,lπ9

?nq≥?,q≥e,由題意即q=e,a9=?,al=e^,an=e^.e^=e^,

n(π-17)_

86π9n17

Tn=aλa2ay?=e^7^?^e^=>'≥，

'?n的最小值是17.

故答案為：17.

13.(2022?山東青島?二模)已知等比數(shù)列｛q,｝為遞增數(shù)列，“∣=l,q+2是4與%的等差中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)若項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛"｝滿足：bi=b,,^i(i=l,2,3,…，〃)我們稱其為〃項(xiàng)的“對稱數(shù)列”.例如：數(shù)列

1,2,2,1為4項(xiàng)的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1,2,3,2,1為5項(xiàng)的“對稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列｛c,｝為2/-1(/≥2)項(xiàng)的

“對稱數(shù)列“，其中G，。3,…，C”是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列｛￡,｝的最大項(xiàng)等于《?記數(shù)列｛q｝的前2女-1

項(xiàng)和為Sg,若$21=32,求

【答案】(IM=2-(2)k=4或％=5

【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛”“｝的公比為4，由題意知：?+?=2(α,+2),

所以q+d=6,解得4=2或q=_3(舍)，所以a“=《。一=2".

(2)由題知：q=%=8,CI,C2,C3，…，。是以8為末項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以G=Cl+2伏-1)=8,解得G=Io-2k,

l

所以c∣+c2+C3+L+ck=&I；C)=k(9-k),

=

所以^2k-?CI+C'+L÷Ck+L+C2Jt-I

=(Cl+c2+L+q)+(q?+q.+l+L+?.l)-c*.

=2Z(9-4)-8=18%-242-8

所以32=18Z-2公一8,即公一94+20=0,解得出=4或左=5.

14.(2022?天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝滿足q,,∣-q,=l,其前5項(xiàng)和為15；數(shù)列他,｝是

等比數(shù)列，且A=2,4b2,2?,“成等差數(shù)列.

⑴求｛%｝和他｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S,,,證明：S,,?S,,+2=S,t1-?π+2(n∈N*);

n2π-l.

⑶比較ZaAw和∑(T'-ai的大小(〃wN)

Z=IZ=I

n2n-?

n

【答案】(IM=〃，bn=2；(2)證明見解析(3)2q"+ι?>∑(-1)'^W

/=II=I

【解析】(1)因?yàn)棣?τ-2=l,所以數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，

因?yàn)椋?｝的前5項(xiàng)和為15,所以“a；%)=5%=15,

所以4+2=3,解得α∣=l,所以6=〃.

設(shè)等比數(shù)列｛"｝的公比為4,依題意，4b2+b4=4b3,又々=2,

可得/-4q+4=0,解得4=2,所以〃,=2".

⑵由(1)得S=20-2)=2'用_2,

"1-2

所以陳-5“彳2=(*-2)2—(*-2乂2*一2)

2n+4+2+4n+2

=(2-4?2"+4)-Q2"一5.2/2+4)=2=bn+2,

故SJS"+2=S,：+「*2(〃eN)

⑶記W,,

/=I

τ

,,=岫“+a2b,l^+?2+???+”吁也+a,h

=1.2"+2?2〃τ+3?2'T+…+(〃-l).22+z^?2∣①

24=1.2"M+2?2"+3?2"T+…+(/i-l)"+""②

②-①得T=2旬+T+2〃T÷?.?+23+22-2n=2n+2-2〃一4，

n≤1ΞΞJ-2∕I=

1-2

2(-lf'α;=l2-22+32-42+---+(2n-3)2-(2n-2)2+(2n-l)2

i=l

=一[1+2+3+4+…+伽-3)+(2"-2)]+(2"_1)2=-(2"-2心2”-1)+(2〃-1)2=2/-〃,

〃2n-?

所以之始皿-￡(-1),^'a；=2n+2-2n2-n-4,

/=IZ=I

“

?v2

4限l

_∕α

當(dāng)"=1時(shí)，7

Σ'-

1Σ(

泊Y-

以2O

Σa-/>

當(dāng)〃=2時(shí)，4

I∑l(

τ(-。1

f=l

"Y

a生1247>O

Z-,/

當(dāng)〃=3時(shí)，∑(τ

EI

當(dāng)〃≥4時(shí)，因?yàn)?川=c≡+,+c>+l+Ct,+-+C：;；+C、+C：：；

(+2C

≥21+/?+1H——----=/?*■+3∕ι÷4,

I2J

n2n-?

所以￡邛“+T-E(T)I≥2(π2+3n+4)-2√-n-4=5M+4>0,

(=1?=1

,a

綜上，∑?-i>∑(-ι)^i?

ι=I/=1

【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列的求和方法和有關(guān)和式的大小比較，涉及到二

項(xiàng)式系數(shù)和，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要注意數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，比較大小時(shí)要注意二項(xiàng)式展開式

的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用.

[3題練）

1.(2020全國I文10)設(shè)｛q｝是等比數(shù)列，且q+a2+/=1,4+/+&=2，則&+。7+/=()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則4+%+%=4（l+4+∕）=L

2

a2-?-a3+Q4=%q+ad+a4=αq(l+q+q)=q=2,

β515

:.%+07+6=Qa5+ayq+qg7=alq｛?+q-?-q^=q=32,故選D.

S

2.(2020全國∏文6)記S,,為等比數(shù)歹∣j｛α,,｝的前"項(xiàng)和.若%—。3=12,%-4=24,貝!|j=()

A.2"-IB.2-2l^nC.2-2n^lD.2,~n-1

【答案】B

42

(alq-ala=12[q=2

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由%-%=12,/一的=24可得：=H.

511

[aiq-a^=24.=I

.?.%=a4-=2'i,S,=%U—I")=≥≤=2"—1,因此々=?!?=2-2~,故選B.

?-q1-2an2

3.(2020全國∏理6)數(shù)列｛a〃｝中，ax=2,afn+n=aman,若以+1+以+2+…+做+10=2於一,則2=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

[解析]在等式am+n?aman中，令相=1,可得an+l=aιlal=Ian,：.-=2,

所以，數(shù)列｛風(fēng)｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則α,,=2x2"τ=2",

,?ak+?+4+2++ak+W

.?,2k+'=25.則A+l=5,解得A=4.故選：C.

4.（2019?新課標(biāo)ΠI,理5）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和為15,且％=3%+4q，則生=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q（4>0）,則由前4項(xiàng)和為15,且%=3%+4q,有

儲(chǔ)產(chǎn)+卷+*=15,邛=1y=4,故選C

%T=3%爐+4%[q=2

5.（2017?新課標(biāo)∏,理3）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍

加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下

一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【答案】B

ɑd2j

【解析】設(shè)塔頂?shù)膓盞燈，由題意｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，.?.S7='-=381,