初中物理競賽及自主招生專題講義：第3講-功和能-(共2節(jié))含解析

第三講功和能我們解決物理問題時，往往從兩個觀點入手：力的觀點和能量的觀點。力的觀點，即分析物體受力情況與運動情況，運用力與運動的規(guī)律來求解問題；能量的觀點，即從做功與能量轉化、能量守恒的角度來求解問題。本講將介紹功、功率以及機械能的相關知識。第一節(jié)功與功率一、功（一）功的概念如果一個力作用在物體上，且物體沿著力的方向移動了一段距離，我們就說這個力對物體做了功。因此，做功有兩個必不可少的要素：作用在物體上的力、物體沿力方向移動的距離。功的計算公式為，其中為物體沿力的方向移動的距離，也可理解為物體實際前進的距離沿方向的分量。功的單位為焦耳，簡稱焦，符號為，。對于更一般的情況，如圖5.1所示，如果力與物體移動的距離之間有夾角，則可以這樣求解力所做的功：將力分解為沿著移動距離方向的分力和垂直于移動距離方向的分力，由于分力與移動方向垂直，不做功，所以力做的功實際上等于其分力做的功，有。因此：（1）當時，，。（2）當時，，，即力對物體不做功。（3）當時，，，即力對物體做負功，或說物體克服力做功。比如，，我們可以說“力對物體做功”，或“物體克服力做功”。力對物體做正功，表明這個力促進物體的運動；力對物體做負功，表明這個力阻礙物體的運動。例1如圖5.2所示，斜面高度為，長度為，用一個平行于斜面的力把重力為的物體勻速拉到斜面頂端，拉力所做的功為，則斜面對物體的摩擦力大小為多少？摩擦力對物體做的功是多少？分析與解設拉力為，斜面傾角為，則拉力做功為，所以。將重力正交分解，則重力沿斜面向下的分力為，則拉力，解得?？紤]到摩擦力方向與物體移動方向相反，摩擦力做功。（二）變力做功的求解功的計算公式為，只適用于恒力做功，即的大小、方向均不變。當力的大小、方向發(fā)生變化時，不能再簡單地套用公式來求解功的大小。下面介紹幾種常見的求解變力做功的方法。1．等值法所謂等值法，即找到某個與變力做功相同的恒力，求出該恒力做的功，便可得到變力做功的值。例2如圖5.3所示，定滑輪到滑塊頂端的高度為，定滑輪摩擦不計，用恒力作用于細線末端，滑塊在，位置時細繩與水平方向的夾角分別為和。求將滑塊由點拉至點的過程中，繩的拉力對滑塊做的功。分析與解作用在繩子末端的拉力為，則繩子對滑塊的拉力大小也恒為，但是在滑塊移動的過程中，繩子拉力的方向時刻改變，因此不能直接套用功的計算公式來求繩子對滑塊做的功。考慮到繩子不可伸長，繩子只是把拉力做的功“傳遞”給物塊，因此，繩子拉力對物塊做的功等于恒力對繩子端點做的功。由幾何關系，繩端移動的距離等于，拉力做功，即繩子對滑塊做功為。2．圖像法對于恒力做功，在力與距離同向時，除了可以應用公式來求解功外，還可以畫出恒力與物體移動距離的圖像，這是一條平行于橫軸的直線，如圖5.4（）所示，力做的功可以用圖像下方的面積來表示。對于隨距離變化的力，例如5.4（）所示，圖像下方的面積表示變力所做的功。若力與距離的關系滿足或，則圖像下方的面積為三角形、梯形，我們便可以方便地求得變力做功的值。例3用鐵錘把小釘釘入木板，設木板對小釘?shù)淖枇εc釘進的深度成正比，已知鐵錘第一次對釘子做功，將釘子釘進的深度為，如果第二次敲釘子時將釘子釘進的深度又為，問：第二次做功為多少？分析與解如圖5.5（）所示，設釘子所受木板的阻力為，其中為釘入木板的深度，為比例系數(shù)。畫出釘子所受阻力與釘入深度的圖像如圖5.5（）所示，則釘入深度為時，所做的功等于圖像下方0~范圍內的三角形面積，而繼續(xù)釘入深度的過程中，所做的功為圖像下方~范圍內的梯形面積，由幾何知識可得，第二次做功為。例4如圖5.6所示，一長為、質量為的木板，自光滑水平面滑向粗糙區(qū)域。粗糙區(qū)域的動摩擦因數(shù)為，問：木板從開始進入粗糙區(qū)域到木板右端前進的過程中，木板克服摩擦力做的功是多少？分析與解木板在逐漸進入粗糙區(qū)域的過程中，其在粗糙區(qū)域的長度越來越大，對粗糙區(qū)域的壓力也越來越大，所受摩擦力也逐漸增加。為了確定木板所受摩擦力與前進距離的關系，不妨設木板在粗糙區(qū)域內的長度為，對應的質量為，如圖5.7（）所示，則當時，結合木板質量均勻分布，應有，解得，粗糙區(qū)域對長度部分的摩擦力大小為?？梢?，當時，與是正比例關系，當時，取得最大值；當時，木板已經(jīng)全部進入粗糙區(qū)域，摩擦力恒為。據(jù)此畫出整個過程的圖像如圖5.7（）所示，則在木板前進的過程中，圖像下方為一梯形，其面積等于木板克服摩擦力做功的值，即。3．平均力法當力的方向不變、而大小隨距離均勻改變（即在任意相等距離內力的變化量相同，圖像為傾斜的直線）時，可用平均值法求出全過程中力的平均值，將變力做功等效為恒力做功。所謂力的平均值，即若一個恒力在一段距離內做的功與變力在同一段距離內做的功相同，我們就說這個恒力是變力在這一段距離內的平均值。如圖5.8所示，段為變力隨距離變化的圖像，0~距離內變力的功為圖中梯形的面積，圖中與時間軸平行的直線表示物體受恒力作用時的圖像，矩形的面積表示物體在移動距離內恒力做的功。若矩形的面積等于梯形的面積，則根據(jù)平均力的定義，該恒力就等于變力的平均值。當矩形的面積與梯形的面積相等時，容易得出，與全等，此時為的中點，有，則變力的功。例5已知汽車質量為，由靜止開始運動，阻力，牽引力與汽車前進距離滿足，求當車前進時，牽引力做的功。分析與解由題可知牽引力為隨距離均勻變化的變力（一次函數(shù)），則可考慮采用平均力來求解牽引力的功。汽車剛啟動時，牽引力，當汽車前進距離為時，牽引力，平均力，牽引力做的功為。4．微元法在力的大小、方向，位移的方向都發(fā)生變化時，可將整個過程分成個微小的過程，只要每個過程足夠小，就可以認為在微小的位移內，力可以看成恒力，這樣變力做功的問題就轉變?yōu)槿舾蓚€恒力做功的求和問題，這種方法叫做微元法。例6如圖5.9所示，物體沿曲線從運動到，大小恒定的力始終與曲線相切，已知曲線的長度為，則此過程中力做功為多少？分析與解由于力的方向時刻變化，不能用功的計算公式來直接求功?？紤]到力始終與曲線相切，我們可以將曲線分割成段，每一段的長度為，，…，都非常小，因此在每一段微小的距離內，都可認為力與距離同向，有，考慮到，可得?？梢?，大小不變而方向始終與物體運動方向相同（或相反）的力所做的功等于力的大小與路程的乘積。二、功率（一）功率的概念功率是表示物體做功快慢的物理量。物體在單位時間內做功的多少，叫做功率，公式為，功率的單位是“瓦特”，符號為“”，。在一般情況下，功的計算公式為，因此功率也可以用公式來計算，其中，為力與物體速度的夾角，速度可以是平均速度，也可以是瞬時速度，所對應的功率分別是平均功率和瞬時功率。特殊地，當與同向，即時，，則功率可以直接用來計算。例7（上海第30屆大同杯初賽）如圖5.10所示，水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動摩擦因數(shù)為，木箱在與水平夾角為的拉力的作用下做勻速直線運動。從0°逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度始終保持不變，則拉力的功率（）。A．一直減小 B．一直增大C．先減小后增大 D．先增大后減小分析與解判斷一個物理量隨另一個物理量的變化情況，最常見的方法是寫出兩者之間的表達式，再根據(jù)表達式的增減情況判斷。解法一由于木箱的速度始終不變，所以木箱受力平衡，可將拉力在豎直與水平方向上分解，可得始終等于木箱受到的滑動摩擦力，即，解得。拉力的功率。又由于從0°到90°變化，單調遞增，因此逐漸減小。選項正確。當然，由于本題物體的速度恒定，因此我們也可以找到拉力的水平分力的變化情況，根據(jù)來判斷功率的變化情況。解法二如圖5.11所示，畫出物體所受摩擦力與支持力的合力，即全反力，設摩擦角為，則可知與豎直方向的夾角為，方向不變。畫出全反力、重力、拉力所圍成的封閉三角形，可知，當從0°逐漸增大時，拉力先減小后增大，但是拉力的水平分力逐漸減小，所以拉力的功率逐漸減小。選項正確。（二）幾種常見的功率的問題1．利用功率隨時間變化的圖像（圖像）求變力做功若已知變力的功率恒為，則在時間內該力做功為，這樣可以方便地直接求出變力功的數(shù)值。如果功率不恒定，我們也可以畫出功率隨時間變化的圖像，利用圖像下方的面積表示功的多少來求解功。如圖5.12所示，若圖像下方的面積恰為矩形、三角形、梯形等幾何圖形，則可以很方便地求出對應的功。2．利用功率相等求連接體速度的關系設用一段不可伸長、柔軟的細繩或剛性輕桿連接著兩物體，因為繩子、輕桿是不可伸長的，因此在兩物體運動的過程中系統(tǒng)的能量既不會轉化為繩子、輕桿的內能，也不會轉化為繩子或輕桿的勢能，這樣繩子、輕桿只起到轉移機械能的作用，所以這段繩子或輕桿在一段時間內對兩物體做的總功為零。即繩子、輕桿對兩物體在任一時刻做功的功率在數(shù)值上是相同的，或者說繩子、輕桿拉力對其中一個物體做功的功率等于另一個物體克服繩子拉力做功的功率。例8如圖5.13所示，汽車甲以速度拉汽車乙前進，乙的速度為，甲、乙兩汽車都在水平面上運動，求甲、乙兩汽車的速度之比。分析與解設連接甲、乙兩汽車的繩子的拉力大小為，則根據(jù)繩子對乙車做功的功率等于甲車克服繩子拉力所做總功的功率，考慮繩子拉力與速度的夾角，則有，故。3．交通工具的功率問題交通工具，諸如汽車、輪船之類，它們前進時所受的牽引力與速度方向相同，牽引力的功率可以表示為。任何機器都有額定功率，即機器長時間正常工作時所能達到的最大功率。若機器工作時功率超過額定功率，則機器可能會損壞或使用壽命減少。因此，一般機器工作時的功率往往等于或小于額定功率。機器實際工作時的功率，叫做實際功率。汽車等在額定功率下行駛時，功率不變，則，牽引力與速度大小成反比。汽車剛開始啟動時，速度較小，牽引力較大（大于阻力），汽車會逐漸加速，在加速的過程中，牽引力又逐漸減小，當牽引力減小到等于阻力時，汽車受力平衡，速度增加到最大值，此后保持勻速直線運動。因此，汽車達到最大速度的條件是，汽車勻速時速度。例9某汽車發(fā)動機的額定功率，汽車的質量，該汽車在水平公路上行駛時所受阻力為車重的0.1倍，取，問：（1）當汽車在保持額定功率的條件下勻速行駛時，速度是多大？（2）若汽車以的速度勻速行駛，汽車發(fā)動機實際輸出功率為多大？分析與解（1）當汽車勻速行駛時，牽引力等于阻力，即，勻速運動時的速度。（2）當汽車以的速度勻速行駛時，牽引力仍然與阻力平衡，即，則這個速度下的功率為。練習題1．一個人先后用同樣大小的力將不同質量的物體分別在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜面上沿力的方向移動相同的距離（如圖5.14所示），該力在這三個過程中所做的功分別為，，，關于它們之間的大小關系說法正確的是（）。A． B． C． D．2．（上海第2屆大同杯復賽）如圖5.15所示，斜面高度為，長度為，用一個平行于斜面的力把重力為的物體勻速拉到斜面頂端，拉力所做的功為，則斜面和物體間的摩擦力為（）。A． B．C． D．3．（2007青島競賽題）飛機、輪船運動時，受到的阻力并不固定，當速度很大時，阻力和速度的平方成正比，如果要把飛機、輪船的速度增大到2倍，發(fā)動機的輸出功率要增大到原來的（）。A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍4．（上海第7屆大同杯復賽）如圖5.16所示，將兩個質量相同的物體甲和乙，分別沿兩個光滑的斜面（已知）從同一水平面勻速地拉到頂點，則對甲、乙兩物體的用力（、）和做功（、）的判斷正確的是（）。A．，B．，C．，D．，5．（2007青島競賽題）一輛娛樂電瓶車工作時消耗電能的功率為，電能轉化為機械能的效率為80%，電瓶車及人所受的總重力為，行駛時阻力是總重力的0.1倍，則此電瓶車水平勻速行駛所用的時間約為（）。A． B． C． D．以上都不對6．質量為、初速度為零的物體在變化不同的外力作用下沿力的方向都通過距離。以下情況中外力做功最多的是（）A． B． C．D．7．（上海第21屆大同杯初賽）如圖5.17所示，放在水平桌面上的勻質長直木板長度為，質量為，它的右端與桌面平齊，與桌面間的動摩擦因數(shù)為0.2。若在木板左端用一水平推力將其勻速推下桌子，水平推力至少要做功（）。A． B．C． D．8．一放在水平面上的物體，受到水平拉力的作用，在0~內其速度-時間圖像與力的功率-時間圖像如圖5.18所示，則下列說法正確的是（）。A．時，拉力的大小為B．0~內拉力的平均值為C．物體所受摩擦力的大小為D．0~內物體克服摩擦力做的功與拉力做的功相等9．（上海第30屆大同杯初賽）野山鼠擅長打洞，假設野山鼠打洞時受到的阻力與洞的深度成正比，即（為比例常數(shù)），則野山鼠從洞深打到洞深時，需要克服阻力做的功為（）。A． B．C． D．10．（上海第30屆大同杯初賽）如圖5.19所示，位于水平面上的物體在水平恒力的作用下，以速度沿水平面做勻速直線運動；若改為斜向上的恒力作用，讓物體以速度沿水平面做勻速直線運動。已知與的功率相同，則可能有（）。A．，B．，C．，D．，11．（上海第29屆大同杯初賽）如圖5.20所示，輕繩的一端通過定滑輪與質量為、可看成質點的小物體相連，另一端受到大小為的恒力作用，開始時繩與水平方向的夾角為。小物體從水平面上的點被拖動到水平面上的點，，之間的距離為，隨后從點沿斜面被拖動到滑輪處，，之間的距離也為。小物體與水平面及斜面間的動摩擦因數(shù)均為，若小物體從運動到的過程中，對小物體做的功為，小物體在段運動過程中克服摩擦力所做的功為，則以下結果正確的是（）。A．B．C．D．12．（上海第7屆大同杯復賽）如圖5.21所示，斜面長，高。某人用的力沿斜面將重力為的重物在內由推到，則此人做功的功率是________。13．如圖5.22所示，小球在大小不變的拉力的作用下，在水平槽內做速度為的圓周運動。如果圓半徑為，拉力的方向恒與小球瞬時速度方向一致，則在小球運動一周的過程中，拉力所做的功為________，拉力的功率為________。14．如圖5.23所示，長為的輕質桿兩端有兩個小球和，球靠在豎直墻壁上，球與地面接觸。開始時，桿與兩球均處于靜止狀態(tài)，放手后小球下滑，小球右滑，當桿與水平面成角時，兩球的速度，之比是________。15．用大小不變、方向始終與物體運動方向一致的力，將質量為的小物體沿半徑為的固定圓弧軌道從點推到點，圓弧對應的圓心角為60°，如圖5.24所示，則在此過程中，力對物體做的功為________；若將推力改為水平恒力，則此過程中力對物體做功為________。16．質量為的物體放在動摩擦因數(shù)的水平地面上，在水平拉力的作用下，由靜止開始運動，拉力做功和物體位移之間的關系如圖5.25所示。物體從開始運動到前進的過程中，拉力大小為________；已知在前進距離為時速度恰為，則從靜止開始到運動的過程中，拉力的最大功率為________。17．物體受到水平拉力的作用，做功的功率隨時間的變化規(guī)律如圖5.26所示，則物體在0~內，拉力做功的大小為________，拉力的平均功率為________。18．質量為的汽車以恒定的功率從靜止開始啟動，經(jīng)過后達到最大速度為，假設汽車在這一過程中阻力恒定，且阻力，則汽車達到最大速度時發(fā)動機的功率為________，這段時間內發(fā)動機做的功為________。19．（上海第29屆大同杯復賽）無風時，以速度跑步，人所受的空氣阻力，為阻力系數(shù)，為空氣的密度，為在垂直于運動方向上的截面積，阻力功率。已知某人于平地上勻速跑步時，身體為跑步持續(xù)提供的功率，若此人質量，，，空氣密度，且跑步時沒有任何打滑，則此人的跑步速度為________；若肌肉消耗能量做功的效率為25%，則此人跑步消耗________的能量。20．（上海第27屆大同杯復賽）各種比賽常以體重區(qū)分量級，已知運動員肌肉施力的大小與肌肉的橫截面積成正比，假設運動員的形體雖有不同，但密度幾乎相等，且肌肉的伸縮速率也大致相同，則運動員的功率與其質量的關系可以寫成，式中的為一比例常數(shù)，由此可推出的大小為________。參考答案1．C。力對物體做的功等于力的大小與物體沿著該力發(fā)生的距離的乘積，而與其他的因素無關，四個選項中，物體都是在力的作用下沿的方向前進了的距離，因此做功相同。2．B。設斜面傾角為，物體沿斜面勻速運動，受力平衡，則沿斜面方向，拉力滿足，拉力做功為，解得。3．D。設阻力，勻速時，則，可見，發(fā)動機的輸出功率與速度的3次方成正比，當速度加倍時，功率應增大為原來的8倍。4．B。設斜面傾角為，斜面高度為，斜面長度為，則。物體勻速時，沿斜面向上的拉力，則由題意可知；拉力做功為，可見拉力做功，選項正確。5．C。電動車前進時要克服阻力做功，電能轉化為機械能的功率即克服阻力做功的功率，則，，則，行駛所用的時間。6．C。各選項中圖像與坐標軸所圍成的面積表示外力做的功，顯然項面積最大，做功最多。7．B。提示：本題要注意摩擦力與接觸面積無關，當木板中心離開桌面時，木板將翻下桌面。8．ABC。由圖5.18，可知時物體的速度為，拉力的瞬時功率，則拉力，選項正確。0~內，拉力做功，物體在0~內前進的距離，則拉力的平均值，選項B正確。在2~內，物體做速度為的勻速直線運動，則摩擦力，拉力功率為，則，選項正確。在0~內，物體前進的總距離為，物體克服摩擦力做的功，而拉力做的功為功率圖像下方的面積，，因此選項錯誤，本題正確選項為ABC。9．A。畫出阻力與洞的深度的關系如圖5.27所示，則圖像下方到范圍內梯形的面積即表示從洞深打到洞深時需要克服阻力做的功，因此，選項A正確。10．AB。由本節(jié)例7可知，當拉力與水平方向夾角逐漸增大時，拉力的水平分力逐漸變小，因此，大于的水平分力，而兩力功率相等，則必有。當由逐漸增大時，拉力先變小再變大，因此，，均可能存在，本題正確選項為AB。11．BC。物塊從被拉到點時，拉力作用點移動的距離，則拉力做功，選項B正確。由幾何關系，與水平方向的夾角為，物塊從運動到的過程中，滑動摩擦力的大小為，則克服摩擦力所做的功為，選項C正確。12．1。人推物體做功的功率。13．，。由于拉力始終與物體運動方向相同，拉力做功應等于拉力大小與路程的乘積，即，拉力的功率等于拉力大小與速度的乘積，即。14．。設桿對兩球的作用力大小為，球的速度為，球的速度為，由于桿是一不可形變的剛性輕桿，所以桿對兩球做功的瞬時功率大小相等，即，所以。15．；。力大小不變，方向始終沿物體運動方向時，做的功等于的大小乘以運動的路程，弧長為，所以做功為。力為水平恒力時，做的功等于力的大小與沿力方向前進距離的乘積，沿力方向前進的距離等于，兩點水平方向的距離，因此做功為。16．20；。由，可知圖像的斜率為拉力的大小，則在0~范圍內，拉力。同理在1~范圍內，拉力，而物體所受摩擦力，因此物體在0~內做加速運動，拉力的功率逐漸增加，在1~內物體做勻速運動，功率保持不變。但值得注意的是，最大功率出現(xiàn)在物體恰好運動時，而拉力未從變成之前，因此最大功率。17．48，6。圖像下方的面積表示拉力做的功，0~內拉力做功，這段時間內拉力的平均功率為。18．，。汽車達到最大速度時，牽引力等于阻力，即，對應的發(fā)動機功率，這段時間內發(fā)動機做的功。19．5.36；。由題意，人克服阻力做功的功率為，則，人跑步克服阻力做功為，肌肉消耗能量做功的效率，則。20．。設肌肉的橫截面為邊長為的正方形，為方便起見，取長也為的肌肉作為研究對象。肌肉截面積，肌肉的體積，肌肉的質量，則，。肌肉施力的大小，設肌肉伸縮速率為，則肌肉伸縮的功率，因為，，均為恒量，因此可將功率表達式寫為。第二節(jié)機械能自然界中的能量有很多，諸如電能、內能、化學能、核能等。機械能是重力勢能、彈性勢能和動能的總稱。一、重力勢能1．重力做功的特點當物體上升或者下降時，重力就會對物體做功，重力所做的功對應著物體與地球之間能量的變化。如圖5.28所示，我們分別計算物體沿不同路徑從高度運動至高度時，重力做的功。物體沿下落時，有。物體沿下落時，設與水平方向夾角為，則，因為，因此?？梢?，，無論物體沿著豎直方向下落，還是沿著傾斜直線下落，重力所做的功都等于重力大小與下降高度的乘積。這個結論可以用來求解沿下降時重力的功。將曲線分割成無限多的微元段，則每一個微元段可以視為傾斜的直線，微元段的豎直高度分別為，，，…，則綜上可知，重力做功與物體的移動路徑無關，只與物體的初、末位置的高度差有關，可以用來計算重力做的功，其中表示物體在初、末位置的高度差，如果物體有一定的形狀和大小，則表示物體的重心在初、末位置的高度差。2．重力勢能的定義重力做功時，對應著物體能量的變化。這種能量是由于物體與地球之間存在引力作用，而該種引力（重力）做功又與路徑無關，只與初、末位置有關，物體和地球間的這種由相對位置決定的能叫做重力勢能。重力勢能是物體和地球所共有的，為了敘述方便，可以說成是某一物體的重力勢能。重力勢能的計算公式為，在國際單位制中，重力勢能的單位是焦（）。式中是物體重心相對某個參考平面（零勢能面）的高度，選擇不同的參考平面，物體的高度不同，物體的重力勢能也就不同，所以物體的重力勢能具有相對性。但是物體從一個高度運動到另一高度，重力勢能的變化量是絕對的，跟參考平面的選取無關，例如，質量為的物體從房頂落到地面，下落高度為，不論選擇怎樣的參考平面，該物體的重力勢能總是減少。例1（上海第27屆大同杯初賽）兩個完全相同的正方體均勻物塊，分別沿各自虛線切割掉一半，將剩余部分和按照圖5.29所示位置擺放在同一水平面上，兩物塊的重力勢能的比較結果為（）。A．比較大 B．比較大C．一樣大 D．無法判斷分析與解和質量相同，比較它們重力勢能的大小，只需比較兩者的重心高度即可。設原來正方體的邊長為，則的重心高度為。的重心高度等于圖中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底邊中線上，且重心距底邊的距離為的中線長度，因此重心的高度，顯然，選項正確。例2一根質量為、長為的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半掛在桌邊，桌面足夠高，若在鏈條兩端和中央各掛一個質量為的小球，如圖5.30所示。由靜止釋放，當鏈條剛離開桌面時，重力做功為________，系統(tǒng)重力勢能變化量為________。分析與解本題若要計算鏈條與鐵球系統(tǒng)的重心下降高度，則較為煩瑣，現(xiàn)利用“等效法”來處理。畫出鏈條剛離開桌面時的位置如圖5.31所示，并與鏈條的初始狀態(tài)相比較，可見，原來位于鏈條中部和底部的兩鐵球的，相當于后來的，位置，其間的鏈條位置也相當于位置，未發(fā)生變化。整個鏈條下落的過程僅相當于桌面上的鐵球運動到了最低處，以及間的鏈條運動到了處。由此，鐵球下降的高度為，鏈條的重心下降了，則重力做的功為，系統(tǒng)重力勢能減少了。二、彈性勢能彈性勢能是指物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被壓縮的彈簧都具有彈性勢能。彈性勢能用表示，單位是焦耳。對彈簧而言，在彈性限度內，彈簧的彈力與其形變量成正比，即。利用圖像，可以得出彈簧的彈性勢能與形變量的關系。如圖5.32（）所示，設彈簧在原長位置時的彈性勢能為零。向右緩慢拉動彈簧時，彈簧的彈性勢能的大小就等于彈簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力對彈簧所做的功。由于拉力等于彈簧彈力，可畫出拉力隨彈簧形變量的關系，如圖5.32（）所示，當彈簧形變?yōu)闀r，圖下方三角形的面積即為拉力所做的功：，則彈簧的彈性勢能為，其中為彈簧的勁度系數(shù)。三、動能動能是指物體由于運動而具有的能量，大小等于質量與速率平方乘積的一半，即，動能的單位是（焦耳）。注意動能公式中的“”是指速度的大小，即速率，當物體只是速度方向改變時，動能不變。動能沒有方向，不能誤以為物體運動的方向就是動能的方向。由于速度的大小與參考系有關，所以動能也具有相對性。例3某地強風的風速約為，空氣密度（即體積為的空氣質量為），如果把通過橫截面積為的風能全部轉化為電能，則利用上述物理量計算電功率的公式________，產(chǎn)生的電功率的大小約為________。分析與解經(jīng)過時間，有長度為的空氣柱通過截面，如圖5.33所示，則時間內通過截面的空氣柱體積為，空氣柱的質量，空氣柱的動能，由于風的動能全部轉化為電能，得電功率，代入數(shù)據(jù)可得。四、機械能和機械能守恒在物理學中，重力勢能、彈性勢能和動能統(tǒng)稱為機械能。機械能是用來表示物體的機械運動狀態(tài)的物理量，一個物體可能同時具有動能、重力勢能等，物體的機械能就是這些能量的總和。對于一般的單個運動物體，我們考慮其動能和重力勢能比較多，因此通常情況下所說的物體的機械能往往是動能與重力勢能之和。不同形式的機械能之間可以相互轉化，比如物體從高處下落時重力勢能可以轉化為動能，壓縮的彈簧把木塊彈開時彈性勢能轉化為動能等，實現(xiàn)這種相互轉化的條件是做功。當只有重力或者是彈簧的彈力做功時，物體（包括彈簧）的機械能總和保持不變，即機械能守恒。機械能守恒是指動能和勢能相互轉化但總和不變，即勢能的變化量等于動能的變化量。在分析物體機械能轉化情況時，尤其要注意機械能是只在一個物體內轉化，還是在不同的物體之間轉化。例4如圖5.34所示，小球從點自由落下，在點恰與豎立在地面上的彈簧接觸，并在點將彈簧壓縮得最短，計空氣阻力，則下列說法正確的是（）。A．小球從點下落到點的過程中，小球機械能守恒B．小球從點下落到點的過程中，小球機械能守恒C．小球在點速度達到最大D．小球在點時彈簧的彈性勢能小于小球在點時的重力勢能分析與解小球從點下落到點的過程中，不考慮空氣阻力，則只有重力做功，小球的重力勢能減少，動能增加，減少的重力勢能全部轉化為小球的動能，因此，這個過程小球的機械能守恒，選項正確。小球從到的過程中，小球在點和在點速度均為零，小球減少的重力勢能最終并未轉化為小球的動能，而是轉化為彈簧的彈性勢能，因此，小球的機械能減少，減少的那一部分機械能轉化為彈簧的彈性勢能，選項B錯誤。小球到達點時，彈簧還未被壓縮，小球在點還要加速，當彈簧的壓縮量很小時，彈簧對小球的彈力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可見，點并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置（彈力等于重力的位置）應在，兩點之間，選項C錯誤。當小球到達點時，彈簧被壓縮得最短，小球速度為零，小球在點時的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能與小球在點的重力勢能，因此，選項D正確。本題正確選項為AD。例5如圖5.35所示，一根質量分布均勻的木桿豎直立在水平地面上，在木桿傾倒過程中底部沒有滑動，不計空氣阻力。以地面為重力勢能零點，則動能恰好與重力勢能相等時，木桿與水平地面間的夾角為（）。A．15° B．30°C．45° D．60°分析與解木桿在倒地過程中，其機械能守恒。設木桿質量為，長為，則木桿初始狀態(tài)動能為0，重心高度為，重力勢能為，因此初始狀態(tài)下的機械能為，設木桿動能與重力勢能相等時，木桿與水平面的夾角為，則其重心高度為，重力勢能為，此時的機械能為。由桿的機械能守恒，得，即，顯然，。選項正確。五、功和能量變化的關系能量是一個狀態(tài)量，一定的狀態(tài)對應一定的能量；功是一個過程量，物體由一個狀態(tài)變化到另一個狀態(tài)，對應的能量發(fā)生了變化，這一個過程一定涉及做功；做功多少則能量變化多少。功和能的關系是：功是能量變化的量度。1．重力做功和重力勢能變化的關系設一個質量為的物體，如果初狀態(tài)時的高度為（相對于某一位置），重力勢能為；末狀態(tài)時的高度為，重力勢能為，這一過程中，重力做的功。由上式可得：（1）若，表示物體高度下降，重力做正功，，即重力勢能減少；若，表示物體高度上升，重力做負功，，即重力勢能增加。（2）只要始末位置一定，即，一定，不管經(jīng)過哪一路徑，重力做的功就是一定的，即重力做功跟路徑無關。2．外力做功和物體動能變化的關系設一個質量為的物體，初狀態(tài)時的速度為，在恒定的外力的作用下，發(fā)生一段位移，的方向與速度方向相同，末狀態(tài)時的速度為，則有外力做的功，如果物體受幾個力，上述結論仍正確，但是所有外力對物體做的功的代數(shù)和。上式表示：外力對物體做的功等于物體動能的增量。這一結論叫做動能定理。從上式可得：合外力是動力，物體的動能就增加，增加的動能等于動力對物體所做的功。合外力是阻力，物體的動能就減小，物體克服阻力做的功等于物體動能的減少量。例6（上海第27屆大同杯初賽）如圖5.36所示，一個質量為的圓環(huán)在一根固定的水平粗糙直桿上，現(xiàn)給環(huán)一個向右的初速度，如果在運動過程中還受到一個方向始終豎直向上的力的作用，已知力的大?。槌?shù)，為環(huán)的運動速度），物體的動能與速度的關系為，則環(huán)在整個運動過程中克服摩擦力所做的功（桿足夠長）可能為（）。A． B．0C． D．分析與解本題中由于力與速度有關，因此桿對環(huán)的彈力也在發(fā)生變化，則環(huán)受到的摩擦力大小也隨速度變化，直接求解環(huán)克服摩擦力做的功有困難。由于環(huán)運動過程中只有摩擦力做功，則環(huán)克服摩擦力做的功等于其動能的減少量。下面分情況討論環(huán)的運動情況：①若初始時，即，，則桿對環(huán)的彈力，滑動摩擦力為零，環(huán)恰以速度做勻速直線運動，克服摩擦力做功為零。選項正確。②若初始時，即，則桿對環(huán)的彈力，方向垂直于桿向下，環(huán)受滑動摩擦力，因此環(huán)將減速，而隨著環(huán)速度的減小，力逐漸減小，當力減小到時，即環(huán)的速度時，桿對環(huán)的彈力，滑動摩擦力為零，此后環(huán)保持這個速度做勻速直線運動，因此環(huán)克服摩擦力做功為，選項正確。③若初始時，即，則桿對環(huán)的彈力，方向垂直于桿向上，環(huán)受滑動摩擦力而減速，隨著環(huán)速度的減小，力逐漸減小，而彈力逐漸增大，滑動摩擦力逐漸增大，直至環(huán)速度減為零。因此，環(huán)克服摩擦力做功為，選項正確。綜上所述，本題正確選項為。3．外力做功與機械能變化的關系如果除了重力（和彈力）外，還有其他外力對物體做功，則物體的機械能不守恒，機械能和其他形式能之間發(fā)生轉化。若其他力做正功，物體的機械能增加；其他力做負功，物體的機械能減少。用表示重力和彈簧彈力以外的力做的功，，分別表示物體初、末狀態(tài)的機械能，則有，即除重力、彈力以外的其他力做的功等于物體機械能的增加量。例7（上海第30屆大同杯初賽）滑塊以某初速度從固定的粗糙斜面底端向上運動，然后又滑回到斜面底端，若滑塊向上運動的距離中點為，取斜面底端重力勢能為零，則滑塊（）。A．上滑過程機械能減小，下滑過程機械能增大B．上滑過程機械能減小，下滑過程機械能也減小C．上滑至點時動能大于重力勢能D．下滑至點時動能大于重力勢能分析與解設滑塊的質量為，受到的摩擦力為；滑塊上滑的高度為，通過的路程為。根據(jù)能量關系，滑塊在最開始具有的動能為。當滑塊上滑至斜面中點時，具有的重力勢能為；具有的動能為。所以，此時動能大于重力勢能。當滑塊下滑至斜面中點時，具有的重力勢能為；具有的動能為。所以，此時動能小于重力勢能。本題正確選項為。利用功能關系，可以求解變力做的功，即只需要確定變力所做的功等于哪些能量的變化，求出這些能量的增減情況，就可以得出變力做功的值。例8（上海第27屆大同杯初賽）如圖5.37所示，容器的質量為，若從容器的底部通過小孔向容器內注入質量為的水，需要做功為。現(xiàn)將小孔打開，水自然會從小孔流出，與此同時提升容器，使容器內的水面相對地面始終保持原有高度，當容器內的水全部流走時，需要做的功為（）。A． B．C． D．分析與解本題中的變力較為復雜，所做的功也顯然無法用第一節(jié)中求變力做功的幾種方法求解，因此可以考慮利用功能關系來求解。通過小孔向容器內注入質量為的水，需要做功為，設這些水的重心高度為，則水的重力勢能，即。當提升容器，使得水面高度恒為時，實際上相當于將水的重心提高了的高度，因此要對水做功，而容器最終被提升的高度為，因此對容器做的功，所以，提升容器時需要做的總功為，選項正確。練習題1．長為的細繩，一端被固定于點，另一端系住一個質量為的小球，若讓小球從圖5.38中的點下擺至最低位置點，小球的重力勢能減少了（）A． B．C． D．2．下列有關動能的敘述，正確的是（）。A．甲、乙兩物體質量之比為，它們的速度之比為，則兩物體的動能是相等的B．甲、乙兩物體質量之比為，它們的速度之比為，則兩物體的動能之比為4：1C．甲、乙兩物體質量之比為，它們的速度之比為，則兩物體的動能之比為2：1D．甲、乙兩物體質量之比為，它們的速度之比為，則兩物體的動能之比為1：43．（上海第7屆大同杯復賽）一只壘球以某一速度飛向木柵欄，會被木柵欄彈回來，而一輛汽車以相同的速度撞向這一柵欄，木柵欄就會被汽車撞坍，這是因為汽車（）。A．具有較大的勢能 B．具有較大的動能C．具有較大的彈性 D．具有較大的功率4．（上海第9屆大同杯復賽）如圖5.39所示，用傾斜放置的傳送帶將貨物勻速地自低處運送到高處。在這一過程中，貨物的重力勢能不斷增加。這是因為（）。A．靜摩擦力做功 B．重力做功C．支持力做功 D．動能轉化為勢能5．（上海第10屆大同杯復賽）兩輛汽車分別在水平公路和盤山公路上行駛，如果它們的牽引力相同，當它們行駛了相同的路程后，汽車牽引力所做的功分別為和，則（）。A． B．C． D．條件不足，無法比較6．（上海第31屆大同杯初賽）如圖5.40所示，彈簧開始處于原長，在物體由靜止釋放后下降的過程中（）。A．物體的動能與下降的距離成正比B．物體重力勢能的變化量與下降的距離成正比C．彈簧的彈性勢能與下降的距離成正比D．物體的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和先減小，后增大7．（上海第29屆大同杯初賽）將小球豎直上拋，然后又落回到拋出點。小球向上過程的中點為，取拋出點的重力勢能為零。若該球在整個過程所受的空氣阻力大小不變，則小球（）。A．上升過程損失的機械能大于下降過程損失的機械能B．上升過程損失的機械能等于下降過程損失的機械能C．上升至點時的動能大于勢能D．下落至點時的動能大于勢能8．（上海第27屆大同杯初賽）關于功、功率和機械效率相互關系的說法中，正確的是（）。A．機械效率越高，機械做功越快 B．做功越多的機械，機械效率越高C．功率越大的機械，做功越多 D．做功越快的機械，功率越大9．（上海第27屆大同杯初賽）如圖5.41所示，一輕質彈簧一端固定在墻上的點，另一端可自由伸長到點。今使一質量為的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到點，然后釋放，小物體能在水平面上運動到點靜止，已知；若將小物體系在彈簧上，在點靜止釋放，直到最后靜止，小物體通過的總路程為，則下列說法中可能的是（）。A． B． C． D．10．（上海第26屆大同杯初賽）如圖5.42所示，長為的輕桿一端通過光滑鉸鏈鉸在豎直墻上，另一端裝一輕小光滑滑輪，重力的物體通過細線經(jīng)滑輪系于墻上點，平衡時恰好水平?，F(xiàn)將點沿著豎直墻向上緩慢移動少許，重新平衡后輕桿受到的壓力恰好也為，該過程中，外力所做的功至少為（數(shù)點后保留兩位）（）。A． B．C． D．11．某物體速度增大為原來的3倍，則它的動能增大為原來的________倍。灑水車在灑水過程中勻速前進，則它的動能________，重力勢能________（選填“減小”“增大”或“不變”）。12．某物體在離地高處具有的重力勢能，該物體的質量為________，若將該物體移至離地高處，則它的重力勢能增加了________．（取）13．一質量為且分布均勻、邊長為的立方體金屬塊放在水平地面上，以地面為參照平面，則金屬塊的重力勢能為________。14．（上海第8屆大同杯復賽）已知銅的密度大于鋁的密度。把質量相等的實心銅球和實心鋁球靜止地放在同一水平桌面上，如圖5.43所示，則銅球具有的機械能________鋁球具有的機械能；若它們都由圖示位置掉落到水平地面上，則銅球減少的重力勢能________鋁球減少的重力勢能（填“大于”“小于”或“等于”）。15．（上海第17屆大同杯復賽）有報道說：臺灣地區(qū)一家廠商發(fā)明了一種“手機自生能”技術，裝上特制的電池，上下左右搖晃，即可產(chǎn)生電能，每搖一分鐘可通話兩分鐘。如果將手機上下?lián)u動一次，相當于將的重物舉高，每秒約搖一次，則根據(jù)報道可知手機使用時的功率約為________（）。16．如圖5.44所示，邊長為、質量為的正方形均勻木板豎直放置在水平地面上，若以此板的一個頂點為支點，使木板在豎直平面內緩慢繞此支點轉動，它的重力勢能的最大值為________，此過程中外力做的功為________。17．（上海第26屆大同杯復賽）交通運輸中用“客運效率”來反映交通工具的某項效能，即客運效率=人數(shù)×路程/消耗能量。一個人騎電動自行車，消耗100萬焦的能量可行駛30千米，一輛載有4人的普通轎車，消耗3200萬焦的能量可行駛100千米，則電動自行車與這輛轎車的客運效率之比是________。有一種自動充電式電動車，前輪裝有發(fā)電機，發(fā)電機與蓄電池連接。當騎車者用力蹬車或車自行滑行時，自行車就可以連通發(fā)電機向蓄電池充電，轉化成電能儲存起來。某人騎車以500焦的初動能在粗糙的水平路面上滑行，若關閉自動充電裝置，讓車自由滑行，其動能隨位移變化關系如圖5.45中的圖線1所示；若啟動自動充電裝置，其動能隨位移變化關系如圖線2所示，則向蓄電池所充電能是________焦。18．如圖5.46所示，一塊質量為、邊長為的立方體石塊放在粗糙地面上，緩慢地翻動它，使石塊移動距離，對石塊至少要做多少功？如果用水平力推石塊，使石塊勻速移動距離，所做的功跟緩慢地翻動石塊做的功一樣多，則石塊和地面之間的動摩擦因數(shù)為多少？19．（上海第9屆大同杯復賽）某學生用質量不同的滑塊以不同的速度，從地面沿傾角為的光滑斜面往上滑，如圖5.47所示。他記錄了滑塊滑至最高點（此時小球速度為零）的高度，如表5.1所示.表5．1滑塊質量123速度1.02.03.04.05.01.02.03.04.05.01.02.03.04.05.0高度0.050.200.450.801.250.050.200.450.801.250.050.200.450.801.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析，歸納出：（1）小球能夠達到的最大高度跟它在斜面底端的速度和質量有無關系，有何關系，并寫出關系式。（2）若假定小球在地面的重力勢能為0，且重力勢能的大小跟小球離地高度成正比，跟小球質量成正比，則小球在斜面底端的動能與小球在斜面底端的速度、質量有何關系。參考答案1．D。先求出，兩點的豎直高度差。點到點的豎直高度差為，則，間的豎直高度差為，重力勢能的減少量。2．D。提示：動能的表達式為。3．B。壘球和汽車以相同的速度撞向柵欄，汽車能把柵欄撞坍，是因為汽車質量較大，具有較大的動能。4．A。物塊受重力、支持力和靜摩擦力的作用，其中支持力與傳送帶垂直，不做功，重力做負功。由于物塊有相對于傳送帶下滑的趨勢，靜摩擦力方向沿傳送帶向上，靜摩擦力與物塊運動方向相同，使物體勻速上升，重力勢能增加，因此靜摩擦力對物塊做正功是物塊重力勢能增加的原因。5．B。提示：汽