湖北省襄陽市棗陽光武高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖北省襄陽市棗陽光武高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由解析式判斷圖像可通過定義域，奇偶性與特殊值用排除法求解。【詳解】，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，故排除C,D，所以排除B故選A.【點(diǎn)睛】由解析式判斷函數(shù)圖像的一般方法1、求定義域2、判斷奇偶性3、取特殊值4,、求導(dǎo)，判斷增減性2.已知△ABC是邊長為a的正三角形，那么△ABC平面直觀圖△A′B′C′的面積為（

）(A)

（B）

(C)

(D)參考答案：A考點(diǎn)：平面圖形直觀圖的畫法規(guī)則及運(yùn)用.3.在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)奇偶性與單調(diào)性判斷選擇.【詳解】在定義域內(nèi)是奇函數(shù),但不是減函數(shù)，在區(qū)間和上都是減函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù),但不是減函數(shù)，在區(qū)間和上都是減函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)（因?yàn)椋?，綜上選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是（

）． A． B． C． D．參考答案：A作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段軸，所以在原圖形中對應(yīng)的線段平行于軸且長度不變，點(diǎn)和在原圖形中對應(yīng)的點(diǎn)和的縱坐標(biāo)是的倍，則，所以．故選．5.過點(diǎn)P(-,1),Q(0,m)的直線的傾斜角的范圍為[，]，則m值的范圍為（

）A.m2

B.-2

C.m或m4

D.m0或m2.參考答案：C略6.在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝2，M是斜邊BC的中點(diǎn)，則向量在向量方向上的投影是

(

）A．1

B．－1

C．

D．－參考答案：D7.不等式對于一切實(shí)數(shù)都成立，則

（）

A

B

C

D

或參考答案：B略8.設(shè)向量，均為單位向量，且||，則與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.用反證法證明某命題時(shí)，對結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．都是奇數(shù)

B．都是偶數(shù)C．中至少有兩個(gè)偶數(shù)

D．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)參考答案：D略10.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為(

)A． B．2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由離心率公式即可得到所求值．【解答】解：設(shè)M在雙曲線﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，則M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用任意角的三角函數(shù)的定義求得M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推測，m–n+p=

.。參考答案：962略12.若函數(shù)f（x）=x+（x＞2）在x=a處取最小值，則a=．參考答案：3考點(diǎn)：基本不等式．專題：計(jì)算題．分析：將f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等號成立的條件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4當(dāng)x﹣2=1時(shí)，即x=3時(shí)等號成立．∵x=a處取最小值，∴a=3故答案為：3點(diǎn)評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，注意“一正、二定、三相等”，屬于基礎(chǔ)題．13.過點(diǎn)（﹣2，3）且與直線x﹣2y+1=0垂直的直線的方程為

．參考答案：2x+y+1=0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】根據(jù)與已知直線垂直的直線系方程可設(shè)與直線x﹣2y+1=0垂直的直線方程為2x+y+c=0，再把點(diǎn)（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直線方程與直線x﹣2y+1=0垂直，∴設(shè)方程為2x+y+c=0∵直線過點(diǎn)（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直線方程為2x+y+1=0．故答案為：2x+y+1=0．14.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線x=﹣2的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡方程為．參考答案：y2=12x【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線x=﹣3的距離，由拋物線的定義可得P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線的拋物線，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，即可算出點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離比它到直線x=﹣2的距離大1，∴將直線x=﹣2向左平移1個(gè)單位，得到直線x=﹣3，可得點(diǎn)P到點(diǎn)（3，0）的距離等于它到直線x=﹣3的距離．因此，點(diǎn)P的軌跡是以（3，0）為焦點(diǎn)、x=﹣3為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴拋物線的方程為y2=12x，即為點(diǎn)P的軌跡方程．故答案為：y2=12x15.．已知x,y取值如下表：從散點(diǎn)圖中可以看出y與x線性相關(guān)，且回歸方程為＝0.95x+a，則a＝＿＿＿參考答案：略16.已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=1200，則AB與平面ADC所成角的正弦值為

參考答案：17.過點(diǎn)作一直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為弦的中點(diǎn)，則所在直線的方程為

；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.觀察下列等式：；；；；，…………(1)猜想第個(gè)等式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.參考答案：(1).(2)證明：(i)當(dāng)時(shí)，等式顯然成立.(ii)假設(shè)時(shí)等式成立，即，即.那么當(dāng)時(shí)，左邊，右邊.所以當(dāng)時(shí)，等式也成立.綜上所述，等式對任意都成立.19.（本小題滿分12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求回歸直線方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）。參考答案：（1），，

……4分∴b=-20，a=-b；∴a=80+20×8.5=250

∴回歸直線方程=-20x+250。

……6分（2）設(shè)工廠獲得的利潤為L元，則L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=

……9分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值。∴該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為元，工廠獲得的利潤最大。

……12分20.如圖，已知橢圓C：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)P（2，1），若直線l與直線OP平行且與橢圓C相交于點(diǎn)A，B．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求三角形OAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由雙曲線的性質(zhì)求出c=，得出a2=b2+c2=b2+6，將P（1，2）代入橢圓方程求得a和b，即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得△OAB面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）雙曲線﹣=1的焦點(diǎn)為（±，0），即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中c=，a2=b2+c2=b2+6，將P（2，1）代入橢圓方程+=1中，得+=1，解得：b2=2，a2=8，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1；（Ⅱ）由直線l平行于OP，且kOP=，設(shè)直線l的方程為y=x+m，由，消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0；設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣2m，x1+x2=2m2﹣4，由l與橢圓C有不同的兩點(diǎn)，則△＞0，即△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2，且m≠0，又|AB|=?=?=?，點(diǎn)O到直線l的距離為d==，∴△OAB的面積為S=?d?丨AB丨=|m|?=≤=2，當(dāng)且僅當(dāng)m2=4﹣m2，即m=±時(shí)取等號，此時(shí)△OAB的面積最大，且最大值為2．21.已知橢圓C：的離心率為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0,1)，且，求直線的方程.參考答案：解：（1）由已知，解得，所以…（2分）

故橢圓C的方程為……………（3分）（2）設(shè)，則中點(diǎn)為由

得，則（5分）直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得……（6分）而所以E點(diǎn)坐標(biāo)為……………………（8分）∵

∴,∴，……………（10分）解得：，滿足，直線方程為或……………（12分）

22.(本小題12分（1）小問5分，（2）小問7分)M是橢圓T：上任意一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓T的右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示，已知的最大值為，最小值為.（1）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.若點(diǎn)N滿足，稱點(diǎn)N為格點(diǎn).問橢圓T內(nèi)部是否存在格點(diǎn)G，使得的面積？若存在，求出G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(提示：點(diǎn)在橢圓T內(nèi)部).參考答案：（1）由橢圓性質(zhì)可知，其中，因?yàn)?，故則，解之得

…………4分故橢圓T的方程為 …………5分

（2）由題知直線AB的方程為，設(shè)直線與橢圓T相切于x軸下方的點(diǎn)（如上圖所示），則的面積為的面積的最大值.此時(shí)，直線AB與直線距離為，而

…………8分而，令，則設(shè)直線