2023年天津高考數(shù)學一模試題分項匯編：平面向量（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2023）與優(yōu)質(zhì)模擬題（天津卷）

專題07平面向量

真題匯總

1.【2018年天津理科08】如圖，在平面四邊形ABCQ中，ADLCD,120°,AB=AD=\.若

點E為邊。。上的動點，則旗?薪的最小值為（）

【答案】解：如圖所示，以。為原點，以。A所在的直線為x軸,

以。C所在的直線為y軸，

過點3做BNLr軸，過點3做8MJ_y軸，

ADLCD,NBAO=120。，AB=AD=\f

：.AN=ABcos600=BN=ABsin600=號,

13

.*.DN=1+1=1,

3

；?BM=*,

，CM=M8tan30°=日，

：.DC=DM+MC=V3,

3>/3廣

：.A(1,0),B(-,—),C(0,V3),

22

設E(0,m),

'.AE=(-1,，"),BE=(-I，m—竽)，0</n<V3.

?Zz_=3,2V3_.>/3,2.33_,V3-.2,21

??AE?BE2%—2~7??一(ITI—^~)4-2-—^)+yg，

當m=亨時，取得最小值為

故選：A.

2.【2018年天津文科08］在如圖的平面圖形中，已知OM=1,ON=2,ZMON=\20°,BM=2MA,CN=2NA,

則盛?0%的值為（）

BMCN

：.——=—=2,...BC〃加V,且BC=3MN,

MANA

又MM=OM2+ON2-20M?ON?cos120°=1+4-2xlx2x(-1)=7,

：.MN=V7；

：.BC=3>/7,

222

?/八小，OM'+MV-ON1+7-42

??C°SN°MN=五環(huán)麗,=豆荻萬=萬

：.BC-OM=|BC|x|OM|cos(.冗-NOMN)=3V7xlx(一令=-6.

解題II：不妨設四邊形OMAN是平行四邊形,

由0例=1,ON=2,NMON=120。，BM=2AL4,CN=2NAf

知BC=AC-AB=3AN-3AM=-30M+30N,

BCOM=(-30M+30N)>0M

=-3OM*2*+3蘇碗

=-3X12+3X2X1XCOS120°

=-6.

故選：C.

3.【2016年天津理科07】已知44臺。是邊長為1的等邊三角形，點。、E分別是邊A3、BC的中點，連接

則品的值為（

0E并延長到點R使得DE=2EF,G?)

1111

AA.一百5B.-C.D.—

488

【答案】解：如圖,

■:D、E分別是邊A3、BC的中點,且DE=2EF,

.3

:,AF?BC=(AD+DF)BC=(-j1B4+|DE)-BC

=(-2BA+《AC)?BC=(-BA+4BC-4BA),BC

3

=+BC=-^BA-BC+^BC2=-\BC\cos600+Jx12

5131

=----

4248

故選c

4.【2016年天津文科07】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點。、E分別是邊A3、3c的中點，連接

OE并延長到點F,使得DE=2EF,則31?盛的值為（）

【答案】解:如圖,

,:D、E分別是邊AB、BC的中點,S.DE=2EF,

：.AF-BC=(AD+DF)-BC=(-^BA+^DE)-BC

=(-抽+部).品?=(-械+.品■一翔).品1

=(-^BA+^BQ-BC=~^BA-BC+^BC2=~1\BA\■\BC\cos60°+I2

5,,1,31

=-4><lxlX2+4=8-

故選：C.

512014年天津理科08】已知菱形ABCD的邊長為2,NBAO=120。,點E、F分別在邊BC,DC1.,BE=XBC,

DF=nDC,若族$=1,CE>CF=-|,則%+]i=()

1257

A.-B.—C.-D.一

23612

【答案】解：由題意可得若族?G=CAB+BE)?(AD+DF)=AB-ADAB-DF+BE-AD+BE-DF

—>—>—>—>—>—>

=2x2xcosl200+4B?p,AB+L4D?A。+L4D?|i4B=-2+4iH-4X+Xux2x2xcos120°

=4人+4廠29-2=1,

??.4入+曲-2卻=3①.

CE,CF=-EC?(-FC)=EC?FC=(1-X)BO(1-g)DC=(1-X)AD-(1-AB

2

=(1-X)(1-p)x2x2xcosl20°=(1-X-口+卻)(-2)=一(，

7

即-人-p+X|i=一可②.

由①②求得X+g=

6.[2023年天津卷14】在A4BC中，44=60°,BC=1,點。為AB的中點，點E為CD的中點，若設荏=&,AC=

b，則荏可用a3表示為;若麻=3前,則荏?方的最大值為.

【答案】-a+-b-

4224

【詳解】空1：因為E為CD的中點，則而+正=6,可得[亞+紅=亞，

MF+EC=AC

兩式相加，可得到2荏=而+而，

B|J2AE=—2+bj則4E--34—b；

242

空2：因為所：=；尻，則2版+麗=6,可得，亞+左=近，

3MF+=4B

得到赤+而+2（而+而）=前+2AB,

即3而=2五+3，即4尸=154-.

于是屈.AF=d+.），（|左+.）=*（2d2+5G?另+2b2）.

記AB=x,AC=y,

則版?i4F="（2五2+5d-b+2石2）=~（2x2+5xycos60°+2y2）=~（2x2+手+2y2）,

在^ABC中，根據(jù)余弦定理：BC2=%2+y2—2%ycos60°=%2+y2—xy=1,

于是荏.而=乂2肛+要+2）=2（等+2）,

由％24-y2—%y=1和基本不等式，%2+y2—xy=1>2xy-xy=xy,

故xy<1,當且僅當％=y=1取得等號，

則久=y=1時，XE-酢有最大值?

故答案為：苗+泅

7.【2022年天津卷14】在A/BC中，石？=d,CB=3，。是AC中點，濡=2配,試用日,3表示而為

若近1DE，則乙4cB的最大值為

【答案】4

226

【詳解】方法一：

DE=CE-CD=^b—AB=CB—CA=B—a,AB1DE=(3b—d)>(b—a)=0，

3宗+彥=4港%cos41cB=普=皤2嘴祟=爭當且僅當向=W同時取等號，而。<

乙4cB<IT,所以乙4cB6(Oj].

o

故答案為：|h—

ZZo

E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(一等，一鄉(xiāng),荏=(l-x,-y),

DE1AB^(雪)。一1)+?=0=(x++V=%所以點A的軌跡是以為圓心，以r=2為半

徑的圓，當且僅當。4與?！毕嗲袝r，最大，此時sinC=￡=；=；,4C=?

CM426

故答案為：|b—5五；

zZo

8.[2021年天津15】在邊長為1的等邊三角形A3C中，。為線段8c上的動點,DE148且交AB于點￡DF//AB

且交AC于點F,則|2旗+而|的值為:(DE+DF)-方的最小值為.

【答案】1卷

【解析】

設BE=x,xG(0,i),,??△ABC為邊長為1的等邊三角形，DE1AB,

Z.BDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=1—2x,

???DF〃AB,??.△DFC為邊長為l-2x的等邊三角形，DE1DF,

(2BE+DF)2=4BF2+4BE-~DF+OF2=4x2+4x(1-2%)xcosO°+(1-2x)2=1,

???|2麗+函=1，

"(DE+DFYDA=(DE+DF)■(DE+IA)=DE2+DF-EA

=(V3x)2+(1-2x)x(1—%)=5x2—3x+1=5(x—^)2+得

所以當“卷時，(屁+而).用的最小值為5

故答案為：1；系

9.【2020年天津卷15］如圖，在四邊形4BCD中,48=60°,48=3,BC=6,且而=疝己ADAB=-|,

則實數(shù)；I的值為,若M,N是線段BC上的動點，且|而|=1,則麗?麗的最小值為.

AD

【答案WT

【解析】

%-AD=ABC,:.AD//BC,/.Z,BAD=180°-zB=120°,

ABAD=ABC?AB=A|BC|?|^|cosl20°

=4x6x3x(-T)=-9A=-1，

解得;I=p

6

以點8為坐標原點，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標系xBy,

vBC=6,.?"(6,0),

V\AB\=3,/.ABC=60。，.X的坐標為4(|,子)，

,又?.?而=］畫則小,苧),設M(x,0),則N(x+l,0)(其中0SXS5),

麗=(T,_%而=(T'一苧)

2

DM-DN=(%-(%-1)+(券)=%2—4%4-y=(x-2)2+y,

所以，當％=2時，萬而?麗取得最小值景

故答案為：士

6Z

【點睛】

10.【2019年天津文科14］在四邊形ABCQ中，AD"BC,AB=26,AD=5,NA=30。，點E在線段CB

的延長線上，且AE=BE,則.

【答案】解："：AE=BE,AD//BC,NA=30°,

在等腰三角形A8E中，/BE4=120。，

又A8=2g,：.AE=2,

T2T

：.BE=一豺。，

^AE=AB+BE,：.AE=AB-^AD

又RD=BA-VAD=-AB+G,

/.BD-AE={-AB+AD}-{AB-1G)

=-AB2+1AB-AD-IAD2

bD

=-AB2+||/W|?\AD\cosA-|AD2

--12+(X5X2V3x—x25

=-1

故答案為：-1.

11.【2019年天津理科14】在四邊形ABCQ中，AD//BC,AB=2遮,AD=5,NA=30。，點E在線段C8

的延長線上，且AE=8E,則訪?族=.

【答案】解：:AE=BE,AD//BC,ZA=30°,

在等腰三角形ABE中，/BE4=120。，

又A8=2g,."E=2,

：.BE=-|/W,

—>T—?—>T7T

\'AE=AB+BE,：.AE=AB-^AD

又訪=BA+AD=-AB+AD,

：.BD-AE=(-AB+而.(6-1而

T7TT2T

=-AB2+^AB-AD-^AD2

=-AB2+l\AB\-\AD\cosA-j/lb2

——12+(X5X2V3x3x25

=-1

故答案為：-1.

12.【2017年天津理科13】在△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.^BD=2DCfAE=XAC-AB(XeR),

且無?族=一4,則入的值為.

【答案】解：如圖所示，

△A8C中，ZA=60°,A8=3,AC=2,

BD=2DC,

：.AD=AB+BD

=AB+^BC

=AB+CAC-AB)

]T2T

又兄-6(XeR),

TT]T2TT

：.ADAE=(-4B+-/C)?(kAC-AB)

33

19—T[T2T

=(一九一暫)AB-AC-^AB2+^XAC2

3333

=x3x2xcos60°-1X32+1XX22=-4,

3333

11

X=l,

3

解得解條.

故答案為：—.

BD

13.【2017年天津文科14】在AABC中，/A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=kAC-AB(XeR),

且元》?￡1=—4,則九的值為

【答案】解：如圖所示，

△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2,

BD=2DC,

：.AD=AB+BD

T2T

=AB+^BC

=AB+^(,AC-AB)

1T2T

=與/B+(4C,

XAE*=MC-AB(XeR),

TT]T2T-?T

：.ADAE=(-AB+-4G?(XAC-AB)

33

12TT[T2T

=(一九一亍)AB*AC—亍AB?+4c之

3333

171o

=(一九一亍)x3x2xcos60°—不x3~+=-4,

333

11

解得入

故答案為：*

14.[2015年天津理科14]在等腰梯形ABCO中，已知A8〃OC,AB=2,BC=\,ZABC=60°.動點E

和廠分別在線段8c和。C上，且晶=&,DF=-^DC,則啟人1的最小值為

【答案】解：由題意，得到AO=BC=CO=1,所以族?於=(AB+BE)?(AD+DF)=(AB+ABCy?

T]T、

(AD+或DC)

=ABAD+ABC-AD+^AB-DC+^BC-DC=2x1xcos600+XIx1xcos60°+x2x1+x1xIxcos120°

=/+號一轉2備+4招(當且僅當。卷時等號成立)；

29

故答案為：—.

18

15.【2015年天津文科13】在等腰梯形A5CD中，已知A3〃DC,AB=2,BC=1,NABC=60。，點七和尸

分別在線段8c和。C上，且加'=4品，DF=^DC,則晶?￡1的值為.

【答案】解：；AB=2,BC=\,ZABC=60°,

；.BG=^BC=g,CD=2-1=1,ZBCD=120°,

■;BE=VC,DF=^DC,

3O

J.AE'AF=(AB+BE)?CAD+DF)=(AB+IBO?(.AD+^DC)

3o

—>—?4—>—?7TT.T1T

=AB-AD+；AB?DC+BDC

63+J3。-6

1221

=2xlxcos60°+X2xlxcos0°4-^Xlxlxcos60°4-^XXlxlxcosl20°

zOD□Oz

故答案為：-

16.【2014年天津文科13】已知菱形ABC。的邊長為2,NBA￡>=120。，點E,F分別在邊BC,DC匕BC

=3BE,DCKDF,若族?第=1,則入的值為.

【答案】解：,:BC=3BE,DC=WF,

：.BE=^BC,DF=M，

3A

—?—?T—1T—>1—?—?—?TT1TT1T

4E=48+BE=48+=48+霜。，AF=ADDF=ADDC=AD+

j□AA

?.,菱形ABC。的邊長為2,ZBAD=120",

A\AB\=\AD\=2,AB^AD=2x2xcosl20°=-2,

'：AE^AF=\,

：.(AB-^-^AD)?(AD-^^AB)=1/W24-|AB24-(l+工)AB-AD=1,

OAoADA

即孑x4+1x4-2(1+=1,

整理得”=

3A3

解得人=2,

故答案為：2.

模擬好題

1.【天津市南開中學2023屆高三高考模擬】若向量五，萬滿足：5=(1,0),3=(1，遮)，則3在日上的投

影向量為()

A.—4a.B.—4aC.—uD.OL

【答案】D

【詳解】3在4上的投影為同一cos值初=Jl2+(V3)2X―可+衿=1,

YVF5^xJ12+(可

所以另在，上的投影為a.

故選：D.

2.【天津市河北區(qū)2023屆高三二?！吭凇鰽BC中，角B,C的邊長分別為b,c,點。為△力BC的外心，若塊+c?=

2b,則沅?加的取值范圍是()

A.[-^,0)B.(0,2)C.卜；，+8)D.卜;，2)

【答案】D

【詳解】取BC的中點。，則OD1BC,所以麗?而=麗?(而+萬5)=麗?而+而?而=阮?而=

(AC-AB)-^(AC+AB)(AC2-AB2)=|(b2-c2)=|[62-(2b-b2)]=b2-b=(b-

因為c2=2b-b2>0,則b(b-2)<0,即0<b<2.

所以一二三瓦?雨<2,

4

BD

故選：D.

3.【天津市十二區(qū)重點學校2023屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考（一）】如圖所示，梯形4BCD中，AD||BC,

為4B的中點，BA-BC=0^BDBA=BD-AD=4,若向量無在向量而上的投影向量的模為4,設M、N分

別為線段C。、4。上的動點，且詼=；1EAN=-^AD,則由?前的取值范圍是（）

A.告+8）111313611161

【答案】D

【詳解】?.?而?瓦=0,,,?B418C,

梯形4BCD為直角梯形，

■■BDBA=（BA+ADy）BA=BA2+AD-JA='BA2=4,

\BA\=2,即84=2,

由前AD=4,同理可得力。=2,

又向量怎在向量而上的投影向量的模為4,所以BC=4,

以B為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，

則E(O,1),4(0,2),D(2,2),C(4,0),

EM=+BC+CM=(0,-1)+(4,0)+A(-2,2)=(4-2A,-1+2A)

EN=EA+AN=(0,1)+春(2,0)=信,1),

所以麗?麗=(4-2兒-4+22)-(^,1)=^+2A-

|1|0<A<1且01可得！<A<1,

9A9

令f(a)=2(a+,)-蔡，則由對勾函數(shù)單調(diào)性知，

當％G良|]時單調(diào)遞減，AG[|,1]時單調(diào)遞增，

故fGDmin=/(§=[，由日知，f(Qmax=M

故麗.麗C心舞，

故選：D

4.【天津市十二區(qū)重點學校2023屆高三下學期畢業(yè)班聯(lián)考(二)】在平面四邊形4BCD中，AD=BC，+

編=:而，瓦？?荷=2.若E、F為邊8￡>上的動點，且也用=乃，則冠?刀的取值范圍為()

\AD\211

A.[泊B.生4—碼C.g,4-V3]D.[i,7]

【答案】A

【詳解】如圖，設4C、80交于。.不妨設E點到8點的距離大于尸點到B點的距離.

由而=阮可知4。=BCHAD//BC,所以平面四邊形4BCD是平行四邊形.

設麗=a，國=b,因為儡+器=3,

所以漁+亞=5元=2（四+而）=上標+1而，

ab22、J22

所以a=b=2,所以平面四邊形ABCD是菱形.

又因為四.而=2，即前-AD=\BA\-\AD\-COS（TT-Z.BAD）=-2X2cosz.BAD=2,

所以cos4BAO=-5因為0。＜/BAD＜180。，所以/BAD=120。，

所以NADS=Z.ABD=4CDB-乙CBD=30°.BD=2OD=2AD-cos300=2x2x—=25/3,

2

因為|EF|=V5,所以歷|+|國=俱

所以荏AF=（AB+BE＞）-（AD+DF＞）

=ABAD+AB-~DF+~BE-AD+~BE-DF

=\AB\'|AD|cosl20°+\AB\■|DF|cos300+[BE\■|^D|cos30°+\BE\■|DF|COS180°

=-2X2x|+2|DF|~+2|fi￡|-y-|BF|?[DF\

=-2+百（|函+|函）-|函何|

=-2+V3-V3-|BF|-|DF|

=i-|函.|DF|

當I星卜|DF|=0,即E點在8處或尸點在。處時，AE■都有最大值1,

因為1|研研2—（嘴㈣）、1-6）J：，

當且僅當|西=|DF|=郛?等號成立，所以荏.而有最小值*

所以的取值范圍為[%1]

故選：A

5.【天津市南開區(qū)2023屆高三二?！吭凇鰽BC中，AC=BC=?ABBC=-2,P為△ABC所在平面內(nèi)

的動點，且PC=1,則|港+而|的最大值為（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】A

【詳解】2C=8C=VLAB-BC=-2,所以耐?近=2，則|畫cosB=&,

222

又因為cosB=|^B|+|BC|-|AC|\AB\

2\AB\\B￡\-2\f29

所以|京|?碧=夜=|而|=2,所以4c=90°,

由PC=1可得，點P的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓,

取4B的中點。，則同+港=2萬，

所以同+而Imax=2|而Imax=2(|C￡>|+1)=2X(|>/T+2+1)=4,

故選：A

6.【天津市耀華中學2023屆高三一模】如圖，在△ABC中，NB4C=*AD=2DB,P為CD上一點,且

滿足i4P=znAC+[AB,若48?AC=4，則|4P|的最小值為()

A.2B.3C.V3D-1

【答案】A

【詳解】設而=XCD,則而=AC+CP=AC^-ACD=AC+X(AD-AC)

=n+A(海-AC)=|AAB+(1-=^AB+mAC,

2_1

3-3,解得m=2="

(m=1-A2

ABAC=\AB\?\AC\cos^=:\AB\-\AC\=4,/.\AB\?\AC\=8,

\AP\=\^AB^2AC)"加+工心+護工

=11畫，;麗r+拉2即不同7+；4，

當且僅當［I畫=及羽時，即當?畫=||祠時，等號成立.

所以，|衣|的最小值為2.

故選：A.

7.［天津市咸水沽第一中學2023屆高考押題卷（一）】如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點，且4B=2,

MC=MD=CD=1.若點N在線段C。（端點除外）上運動，則福.標的取值范圍是（）

B.弓，0C加

D?卜M

【答案】A

【詳解】連接MN,如圖，點N在線段CC（端點除外）上運動,

D

因為MC=MD=CD=1,即AMCD是正三角形,于是?W|而|<1,而M為AB的中點，且|福|=1,

所以福.桶=(NM+MA}(NM-MA}=NM2-MA2=[-^,0).

故選：A

8.【天津市實驗中學2023屆高三考前熱身訓練】在△48C中，乙4=60。，AC=2,BA-BC=V3|R4|,設

AE=XEC，CF=4而,，則族?麗的最大值為（）

D.2

c14

【答案】B

【詳解】在AABC中，44=60。，AC=2,

由余弦定理.，得且嚅票=cos60。,即嗎就典=%于是有|前『+4一|近『=2|近?①.

由市.近=瀉網(wǎng)，得網(wǎng)|瓦|cosB=那明，即畫版|.叫謂每產(chǎn)=6網(wǎng)，于是有網(wǎng)2+

國廣-4=2百同|②.

聯(lián)立①②，得2|畫2=Q+28）|畫，

由|布|豐0<得|南|=1+百，

將廊|=1+百代入①中，得|園=訪

由標=，正，CF=XFB，U>0),知荏=士前,喬=士近，

A+1A+1

所以族?豆=3前.近=—閑||園.cosC=白閑|?國?時瞥工河=二-

(A+1)2(A+1)2Illi(A+1)211112|i4C||BC|M+2A+1

4+6-(1+司=x(3-何=空,

2A+j+2I7A+j+2?

因為入>0,

所以/l+；+2N2[Ti+2=4,

AyjA

當且僅當;l="即4=1時，等號成立，

所以荏.麗=羔三竽.

故當2=1時，荏?裾取得最大值為上更.

4

故選：B.

9.【天津市紅橋區(qū)2023屆高三二?！恳阎庑蜛BCQ的邊長為2,ZLBZD=120°,點E在邊BC上,BC=3BE,

若G為線段OC上的動點，則E?族的最大值為（）

A.2B.8

3

C.-D.4

3

【答案】B

【詳解】由題意可知，如圖所示

因為菱形ABCO的邊長為2,/.BAD=120°,

所以|四|=\AD\=2AB-AD=|荏||而|cosl20°=2x2X(-0=-2,

設麗=4瓦,4W[0,1]，則

AG=AD+DG=AD+ADC=AD+海，

因為BC=3BE,所以就=（近=］而,

AE=AB+BE=AB+^AD,

AG-AE=(AD+AXB)-(AB+g砌=|^4D2+AAB2+(1+令而?AB

=1x22+Ax22+^1+0x(—2)—y2—I，

當4=1時，尼?族的最大值為方

故選：B.

10.【2023屆天津市普通高考數(shù)學模擬卷(三)】己知。為矩形A8CD內(nèi)一點，滿足|函|=5,|OC|=4,|^C|=7,

則麗-OD=.

【答案】-4

【詳解】OBOD=(OA+AB)■(OC+CD)

=OA-OC+OA-CD+AB-OC+AB-CD

^=OAOC-OAAB+ABOC+ABCD

=OAOC+AB(OC-OA)+ABCD

=OA-OC+ABAC+AB-CD

=OA-OC+ABfAC+CD)

=OAOC+AB-AD

=OAOC

=\OA\■\OC\cos<OA,OC>

2\OA\-\OC\

|函2+|西2一|荷2

二2

_25+16-49

=2

故答案為：—4.

11.【天津市武清區(qū)楊村第一中學2023屆高三下學期第二次熱身練】在平面內(nèi)，定點4,B,C滿足|萬^=\DB\=

\DC\,~DA-DB=DB-DC=DC-~DA=-2,動點P,M滿足府|=1,麗=灰則|麗廣的最大值為.

【答案】

T4

【詳解】解：由|而|=\DB\=|DC|,可得。為AABC的外心,

又歷DB=WBDC=DCDA,

可得麗?(用一方)=0,方?(麗-DA)=o.^DB-AC=DC'AB=0,

即有而J.況J.荏，可得。為A4BC的垂心，

則。為A4BC的中心，即A4BC為正三角形，

由方?麗=-2,即有|市||而|cosl20°=—2，

解得|比5|=2，A/1BC的邊長為4cos30°=2遮，

以4為坐標原點，4D所在直線為x軸建立直角坐標系％Oy,

可得B(3,一百),C(3,V3),D(2,0).

由|而|=1,可設P(cosO,sinO),(0<0<2n'),

由麗=而，可得M為PC中點，即有M(土箸，鴦竺)，

則甌2=(3-+件普+同

(3—cos0)2(3>/3+sin0)237—6cos6+6V3sin0

=------------------1----------------------=---------------------------------

444

37+12sin§

4

當sin*)=1,即6=學時,取得最大值，且為］.

故答案為：

4

12.【天津外國語大學附屬外國語學校2022-2023學年高三下學期統(tǒng)練】如圖,Rt44BC中,AB=AC,BC=4,

O為BC的中點，以O為圓心，1為半徑的半圓與BC交于點D,P為半圓上任意一點，則前.前的最小值

為—,

【答案】2-b

【詳解】如圖，以O為坐標原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系,

所以B(—2,0),0(1,0),4(0,2),

設P(x,y)(y>0),且M+y2=1,

所以麗?AD=(x+2,y)-(1,-2)=x+2-2y,

令工=cosa,y=sina,a6[0,n\,

則加?而=cosa-2sina+2=V5cos(a+>)+2，其中：tans=2,ipE(0,^),

所以當a=7T-s時，麗.而有最小值，最小值為：2-展.

故答案為：2—V5.

13.【天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學2023屆高三下學期十二校聯(lián)考(二)】平面四邊形4BCD中，AB//CD,

AB=4,DC=1,AD=2,"AB=6。。,點E在直線BD上，點F在直線4c上，且鋸=4而，CF=

I1CA(A>0,/z>0).AE-DF=4,則;I+〃的最小值為.

【答案】如也1

3

【詳解】過點。作。。14B于。點.

因為AD=2,乙DAB=60°,

所以04=1,0D=V3.OB=AB-0A=3.

如圖，以點。為坐標原點，分別以48,。。所在的直線為x,y軸，建立平面直角坐標系,

則0(0,0),4(-1,0),8(3,0),￡)(0,>/3),C(C,V5),

所以，CA=(-2,-V3).~BD=(-3,V3),AB=(4,0)，DC=(1,0).

所以，fiF=ABD=(-3A,V3A),CF=uCA=(-2/z,-73^),

所以，^4E=AB+6E=(4-3A.V31),OF=DC+CF=(1-2^,-V3g).

因為荏?赤=4,

所以有(4-32)(1-24)+V3AX(一百〃)=4一8〃―32+3川=4,

o3

所以8〃+32=34〃，所以'+[=3，

所以，，+〃=2+〃理+；)號詈+￡+】1)*X2年+抵=學，

當且僅當當=叁，即4=①，4=①2時等號成立.

人〃3L3

故答案為：跡tu.

3

14.【天津市2023屆高三一?！吭凇鰽BC中，已知荏.尼=9,sinB=cosA?sinC,S^ABC=6,P為線段AB

上的點，且加=》?高+廠得，則:+差的最小值為.

【答案】3

【詳解】因為sinB=cos/l-sinC,且sinB=s\n(A+C),

所以sin(A+C)=cosA?sinC,即sinA-cosC+cosA-sinC=cos-4?sinC,

所以sin/?cost=0,

因為A6(0,n),

所以sinAH0,

所以cosC=0,由CE(0,n)得C=p

由荏-AC=9得荏.AC=\AB\-|^4C|"cosA=9,

因為|布1?cos/=\AC\,

所以I屈I.|荷.cosA=|4C|2=9)即|福=3,

由S-BC=^XBCXAC=6)及AC=3得BC=4,

設而=kCA+(l-/c)CB.kG[0,1],

因為存="黃+".贏，

所以高=七南=(1-幻，

XV.

所以尸可+產(chǎn)=[=k+l-/f=1

M^\CA\\CB\

將I涌I=3,I而I=4代入得，|+^=1,即4x+3y=12,

所以。+竺=4+=-+i-1=(-+-)-(-+^)-1=1+^+—,

3yx3yxyyJ、34，4x3y

因為工+募22,當且僅當羽=茅即％=打=2時，等號成立，

所以三+竽=1+?+3,

'x3y4x3y

故答案為：3.

15.【天津市南開中學2023屆高三統(tǒng)練24】在直角梯形4BCD,ABVAD,DC||AB,AD=DC=1,AB=2,

E,F分別為力B,BC的中點，點P在以A為圓心,4D為半徑的圓弧DEM上變動（如圖所示），若麗=4前+〃都,

其中;I,H&R,貝奴；1一〃的取值范圍是.

【詳解】結合題意建立直角坐標，如圖所示:

則4(0,0),E(l,0),0(0,1),C(l,l).8(2,0),P(cosa,sina)<a<Q,

則F(H)，AP=(cosa,sina).麗=(一1,1)，力?=(T(),

'-"AP=AED+nAF^

：.(cosa,sina)=A(-l,l)+/z=(-4+|〃,/l+1),

31

.\cosa=—A+-/z,sina=A4--/z,

.\A=：(3sina—cosa)，〃=((cosa+sina),

2A—(3sina—cosa)—；(cosa+sina)=sina—cosa=V2sin(a一；

兀?一九.3TT,冗一71

??-1WsinIer——1W-f

-V2<V2sin(a—?)W1,故一或<2A-/z<1>即(2A-〃)€[—V2,1].

故答案為:[―魚,1]

16.【天津市咸水沽第一中學2023屆高考押題卷(二)】如圖，在平面四邊形4BCC中，ABLBC,AD1CD,

ABCD=60°,CB=CD=2b.若M為線段BC中點，則而？.麗=；若N為線段BC(含端點)上的動

點，則前?前的最小值為.

【詳解】因為CB=C￡>=2^BCD=60°,所以△BCD為等邊三角形，

因為AB1BC,AD1CD,所以在Rt△CB4和Rt△CBD中，CB=CD,CA=CA,

貝ijRtZkCBA三Rt^CBC,得力B=4D,Z.BCA=^.DCA=30°,

因為在RM。84中，tan30°=則梟=當，得4B=2,又4B=4D,所以4。=2,

以8為原點，以B4所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

8(0,0),4(2,0),D(3,V3).M(0,圾，AM=(-2,A/3)-DM=(-3,0).

則前-DM=(-2)x(-3)+V3x0=6;

設N(0,a),(ae[0,2g])，前=(-2,a)，DW=(-3,a-V3)-

則麗?DN=(-2)x(-3)+a(a-V3)=a2-V3a+6=(a-y)2+?

因為ae[0,2V5],所以0：=當時，麗?麗的最小值為今

故答案為：6；

4

17.【天津市部分區(qū)2023屆高三下學期一?！吭凇鰽BC中，D為4B的中點，CE=2EDf過點E任作一條直

線，分別交線段4C、BC于F、G兩點，設方=a,=3,若用五、石表示CE,則CE=;若CF=

CG=nb(mnH0)，則沉+3九的最小值是.

【答案】"+物—

333

【詳解】如下圖所示：

因為D為48的中點，則而=CA+AD=CA+^AB=CA+^（CB-CA"）=^a+^b,

因為屐=2而,則而=|而=/+笆，

因為CF=ma，CG=nbi則EF=CF-CE=ml—=（m—：）,一1b,

EG=CG-CE=nb—（^a++（n-；）B,

因為E、F、G三點共線，則前〃前，

所以,存在實數(shù)k使得EF=kEG>即（m—§五—[b=k[―1d+（n—g）b],

（m-k

所以,j/3ix3i，消去k可得（6一J（九一J=￡即nm=[（巾+九），

\n~3）~~~3

1,1m+nc

所以,m+；=^7=3.

因為過點E任作一條直線，分別交線段4C、BC于尸、G兩點，同mnKO,

則0<m<l,0<n<1,

由基本不等式可得m+3n=*m+3n)?+￡)=*4+非+9*(4+2jM.=W上

1,1o(1+V3

時，即當｛3+1時，等號成立.

(m=n\n='~T~

因此，m+3n的最小值是經(jīng)遺.

3

故答案為：山.

3

18.【天津市河東區(qū)2023屆高三一模】已知等邊三角形力BC的邊長為1,射線4B、AC上分別有一動點M和N

(點C在點4與N之間)，當4M=CN=g時，而?麗的值為；當4M=2CN時，麗?麗的最小值

為,

【答案】—|

OO，

【詳解】麗=方+宿=[四一元，BN=BA+AN=-AB+^AC,

CM?BN=\-^AB-ACj-(-4B+yc)=--AB2+-AB-AC--AC2

1,7139

=----F-X-----=----；

24228

設網(wǎng)=m,

則由=CA+AM=2mAB-AC，~BN=BA+AN=-AB+(1+m)AC<

CM