第5章微波傳輸線

5.1引言

5.2TE模和TM模傳輸線

5.3TEM模傳輸線第5章微波傳輸線在電磁波的低頻段，可以用平行雙導(dǎo)線來(lái)引導(dǎo)電磁波，而當(dāng)頻率提高后，平行雙導(dǎo)線的熱損耗增加，同時(shí)因向空間輻射電磁波而產(chǎn)生輻射損耗，這種損耗隨著頻率升高而加劇。所以，如果能把傳輸線設(shè)計(jì)成封閉形式，顯然可以降低輻射損耗，這樣平行雙導(dǎo)線就演變成同軸線結(jié)構(gòu)。顯然，同軸線具有與雙導(dǎo)線同樣的雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，其引導(dǎo)的電磁波也應(yīng)是同樣類型。5.1引言同時(shí)在電磁場(chǎng)部分我們也了解到，由于趨膚效應(yīng)，高頻電磁波將不能在導(dǎo)體內(nèi)部傳播，那能不能將導(dǎo)體做成中空形式呢？事實(shí)證明，中空導(dǎo)體也是可以導(dǎo)引電磁波的，這就是波導(dǎo)，顯然波導(dǎo)傳輸線是單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，其引導(dǎo)的電磁波與雙導(dǎo)體傳輸線引導(dǎo)的應(yīng)有所不同。

早期微波系統(tǒng)依靠波導(dǎo)和同軸線作為媒介，前者有較高的功率容量和極低的損耗，但體積龐大而價(jià)格昂貴；后者具有很寬的帶寬，但因?yàn)槭峭膶?dǎo)體，制作復(fù)雜的微波元件非常困難。平面?zhèn)鬏斁€提供了另一種選擇，首先出現(xiàn)的是帶狀線，它由同軸線發(fā)展而來(lái)，同屬于雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，故引導(dǎo)的電磁波類型是相同的；后來(lái)ITT實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出微帶線，將封閉形式、結(jié)構(gòu)對(duì)稱的帶狀線發(fā)展為不對(duì)稱開放結(jié)構(gòu)，其傳播的電磁波應(yīng)與帶狀線的略有不同。這兩種傳輸線天生具有小體積，易于平面集成的優(yōu)勢(shì)，故目前發(fā)展極快，前景可用無(wú)可限量來(lái)描述。任何電磁現(xiàn)象的解釋均離不開麥克斯韋方程組，導(dǎo)行波傳輸線也不例外。第一部分講述的是自由空間電磁波的傳播規(guī)律，那么本章講述的則是電磁波在封閉或半封閉空間的傳播規(guī)律。

在前一章中我們用路的方式掌握了長(zhǎng)線的理論，而本章中將用場(chǎng)的方式來(lái)研究微波傳輸線。為了便于研究，對(duì)如圖5-2-1的波導(dǎo)系統(tǒng)作如下假設(shè)：

(1)波導(dǎo)是無(wú)限長(zhǎng)的規(guī)則直波導(dǎo)，其截面形狀可以任意，但沿軸向處處相同；

(2)波導(dǎo)內(nèi)壁是理想導(dǎo)體，即σ=∞；

(3)波導(dǎo)內(nèi)填充均勻、線性、各向同性的無(wú)耗介質(zhì)，即ε、μ均為1，σ=0；

(4)波導(dǎo)內(nèi)無(wú)源，即J=0，ρ=0，波導(dǎo)內(nèi)的電磁場(chǎng)為時(shí)諧電磁場(chǎng)。5.2TE模和TM模傳輸線圖5-2-1截面為任意形狀波導(dǎo)系統(tǒng)5.2.1波導(dǎo)系統(tǒng)場(chǎng)解法

時(shí)間因子為ejωt的時(shí)諧電磁場(chǎng)沿z軸正向傳播，在直角坐標(biāo)系下，其電場(chǎng)和磁場(chǎng)可寫為

(5-2-1a)

(5-2-1b)無(wú)源區(qū)的麥克斯韋方程可以寫為

(5-2-2a)

(5-2-2b)將式(5-2-2)每個(gè)矢量方程對(duì)坐標(biāo)(x，y，z)分別展開，各自的三個(gè)分量可以簡(jiǎn)化如下

(5-2-3a)(5-2-3b)(5-2-3c)(5-2-3d)(5-2-3e)(5-2-3f)利用Ez、Hz及以上六個(gè)方程可以求得四個(gè)橫向分量如下：

(5-2-4a)

(5-2-4b)

(5-2-4c)

(5-2-4d)其中

k2c=k2－β2=ω2με－β2

(5-2-5)

稱為截止波數(shù)，采用這一名稱的原因和意義將在后續(xù)內(nèi)容中講述。為填充在波導(dǎo)內(nèi)的材料的波數(shù)，真空中記為

(5-2-6)矢量波動(dòng)方程(矢量亥姆霍茲方程)可寫為

(5-2-7a)

(5-2-7b)

將上式的E、H矢量用分量表示，則這上述方程就可變?yōu)殛P(guān)于Ex、Ey、Hx、Hy、Ez、Hz的六個(gè)標(biāo)量的波動(dòng)方程，其形式完全相同。其中Ez、Hz的波動(dòng)方程為

(5-2-8a)

(5-2-8b)式中

(5-2-9)

稱為橫向拉普拉斯算子。5.2.2矩形波導(dǎo)

1.TE波

其特征是Ez=0，Hz≠0。設(shè)Hz(x，y)=X(x)Y(y)，

其中，X(x)僅為x的函數(shù)；Y(y)僅為y的函數(shù)。代入(5-2-8b)式得

對(duì)任何x、y，為使上式成立，只有左邊兩項(xiàng)分別等于常數(shù)，即圖5-2-2矩形波導(dǎo)

(5-2-10a)

(5-2-10b)

(5-2-10c)

其中，kx、ky是待定的常數(shù)。這是二階常系數(shù)的全微分方程，其解為

或

(5-2-11)將式(5-2-11)代入式(5-2-8)可得橫向分布函數(shù)的全部分量如下：

(5-2-12a)

(5-2-12b)

(5-2-12c)

(5-2-12d)利用邊界條件確定待定常數(shù)，在圖5-2-2所示坐標(biāo)下，矩形波導(dǎo)的邊界條件可寫成

(5-2-13a)

(5-2-13b)

(5-2-13c)

(5-2-13d)將式(5-2-13a)代入式(5-2-12d)中得到cos(kxx+φx)sinφy

=0，欲使該式成立，必有sinφy=0，選取

φy=0

(5-2-14a)

將式(5-2-13b)代入式(5-2-12d)中得到cos(kxx+φx)sin

kyb

=0，欲使該式在任何x下均成立，則要求sinkyb=0可得

(5-2-14b)類似地，從式(5-2-13c)和式(5-2-13d)可得

φx=0

(5-2-14c)

(5-2-14d)

將式(5-2-14b)及式(5-2-14d)代入式(5-2-10c)，得

(5-2-15)將所得出的各常數(shù)代入式(5-2-12)中并乘以因子e－jβz便可得矩形波導(dǎo)中TE波在傳輸狀態(tài)下的復(fù)數(shù)解。其中，常數(shù)D取決于源激勵(lì)條件，暫不能確定。其復(fù)數(shù)解為

(5-2-16a)

(5-2-16b)

(5-2-16c)

(5-2-16d)

(5-2-16e)

(5-2-16f)

2.TM波

TM波的Hz=0，按上述思想，讀者可自行解得TM波分布函數(shù)全部場(chǎng)分量的復(fù)數(shù)解為

(5-2-17a)(5-2-17b)(5-2-17c)(5-2-17d)(5-2-17e)(5-2-17f)波導(dǎo)中TE、TM波的場(chǎng)分量表達(dá)式式(5-2-16)和式(5-2-17)盡管貌似復(fù)雜，但其物理意義卻很明確：①在z向無(wú)限長(zhǎng)的理想波導(dǎo)中，沿該方向傳播的場(chǎng)應(yīng)具有形如e－jβz的行波特征；②在z=常數(shù)的橫截面內(nèi)，由于四周導(dǎo)體邊界的存在，場(chǎng)沿x和y方向必呈駐波規(guī)律分布，故場(chǎng)隨x或y的變化規(guī)律非sin即cos，函數(shù)形式的取舍決定于各場(chǎng)分量在波導(dǎo)四壁處的取向。其中，m代表場(chǎng)量在波導(dǎo)寬邊a上駐波的半周期數(shù)，而n代表場(chǎng)量在波導(dǎo)窄邊b上駐波的半周期數(shù)。將一組m、n值代入式(5-2-16)、式(5-2-17)就可得到波型函數(shù)的一組場(chǎng)方程，而一組場(chǎng)分量方程就代表一種TE、TM波的模式(波型)，分別用符號(hào)TEmn、TMmn表示。TEmn模中的m、n可任意組合但不能同時(shí)為0；TMmn中的m、n也可任意組合但都不能為0。

可見如果取a>b，則TEmn的最低模式是TE10模，稱為主模，其余模式包括TMmn模的最低模式TM11統(tǒng)稱為高次模。TE模有時(shí)也稱為H模，因?yàn)槠鋫鞑シ椒ㄓ兄挥写艌?chǎng)分量；同樣TM模有時(shí)也稱為E模。

3.矩形波導(dǎo)的傳輸特性

1)波導(dǎo)的傳輸條件

由式(5-2-6b)得β2=k2－k2c，則有：

(1)當(dāng)k<kc時(shí)，β為虛數(shù)，則e－jβz=e－|β|z表示波沿z方向按指數(shù)律衰減，因而波不能沿波導(dǎo)傳播，此時(shí)稱為截止?fàn)顟B(tài)；

(2)當(dāng)k>kc時(shí)，β為實(shí)數(shù)，則e－jβz表示波沿z方向傳播，此時(shí)稱為傳輸狀態(tài)。故此，矩形波導(dǎo)可以存在無(wú)限多個(gè)模式，但只有k>kc時(shí)波才能傳播，故kc成為波能否沿波導(dǎo)傳播的依據(jù)，稱其為“截止波數(shù)”，稱與之相對(duì)應(yīng)的頻率為“截止頻率”，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為“截止波長(zhǎng)”。將式(5-2-15)代入式(5-2-5)有

(5-2-18a)

(5-2-18b)上式表明，波導(dǎo)的傳輸條件不僅與波導(dǎo)的尺寸a和b有關(guān)，還與m、n及工作頻率f有關(guān)。只有f>fc，波才能在波導(dǎo)中傳播，所以波導(dǎo)具有高通濾波器的特性。對(duì)于同一波導(dǎo)系統(tǒng)和同一工作頻率的電磁波，有的模式可以傳輸，有的模式卻被截止；而同一模式(即m、n不變)和同一工作頻率f的電磁波，只能在一定尺寸的波導(dǎo)中傳輸，在其他尺寸的波導(dǎo)中卻處于截止?fàn)顟B(tài)，不能傳輸。這種情況可用圖5-2-3說(shuō)明。圖5-2-3BJ-32(a×b=7.2cm×3.4cm)模式圖

例5-2-1

用BJ-32波導(dǎo)作傳輸線，當(dāng)工作波長(zhǎng)為6cm時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸哪些波型？

解

由式(5-2-18a)給出截止波長(zhǎng)計(jì)算式為

知，對(duì)于最小幾個(gè)m和n值得到的λc值為

TE10：λc=2a=14.4cm；TE20：λc=a=7.2cm，

TE01：λc=ab=6.8cm

TE11，TM11：

TE21，TM21：

2)相速vp和波導(dǎo)波長(zhǎng)λg

相速是指某一頻率的導(dǎo)行波其等相位面沿傳播方向移動(dòng)的速度。

(5-2-19a)

如果波導(dǎo)內(nèi)的介質(zhì)是空氣，將代入上式可得

(5-2-19b)波導(dǎo)波長(zhǎng)λg是指某一頻率的導(dǎo)行波其等相位面在一個(gè)周期內(nèi)沿軸向移動(dòng)的距離，即

(5-2-20a)

將式(5-2-19b)代入上式，則有

(5-2-20b)

3)群速vg

群速是指一群波(其中包含不同頻率的若干個(gè)波)的傳輸速度?？捎靡粋€(gè)最簡(jiǎn)單的調(diào)幅波為例加以說(shuō)明。設(shè)在色散系統(tǒng)中有兩個(gè)頻率和相位常數(shù)均相差不大的波沿軸向傳播，這兩個(gè)波分別為

E1(z；t)=E

cos(ωt－βz)

E2(z；t)=E

cos［(ω+δω)t－(β+δβ)z］

其中

δω<<ω，δβ<<β

其疊加場(chǎng)為

其中，

表示合成波包絡(luò)的變化情況。由

的值取常數(shù)可求得波包移動(dòng)速度為

(5-2-21a)

將β2=k2－k2c代入上式得

(5-2-21b)

由式(5-2-19b)和式(5-2-21b)得

vpvg=c2

(5-2-22a)若波導(dǎo)內(nèi)填充相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻線性各向同性無(wú)耗介質(zhì)，則vp與vg的關(guān)系為

(5-2-22b)

此處，為均勻介質(zhì)中的光速。

4)波阻抗η

波阻抗定義為橫向電場(chǎng)與橫向磁場(chǎng)的比值。真空中有

(5-2-23a)

(5-2-23b)

例5-2-2

以BJ-32波導(dǎo)作傳輸線，當(dāng)工作波長(zhǎng)為10cm時(shí)，求vg、vp

、λg和η。

解

由例5-2-1知此時(shí)為單模傳輸，則λc=2a=14.4cm，由式(5-2-19b)知

由式(5-2-21b)知

由式(5-2-20b)知

由式(5-2-23a)知

4.矩形波導(dǎo)的主模——TE10模

1)場(chǎng)結(jié)構(gòu)

對(duì)于TE10波，將m=1、n=0代入式(5-2-16)中，然后乘以時(shí)間因子ejωt取其實(shí)部得得其場(chǎng)方程為

(5-2-24a)

(5-2-24b)

(5-2-24c)

(5-2-24d)為了能形象且直觀地了解場(chǎng)的分布，通常用電力線和磁力線的疏密來(lái)表示場(chǎng)的強(qiáng)弱。

在某一瞬時(shí)，波導(dǎo)在橫截面(xOy面)上，電場(chǎng)強(qiáng)度Ey只與x有關(guān)而與y無(wú)關(guān)，沿寬邊a隨x按正弦規(guī)律變化，在x=0及x=a處為零，在x=a/2處具有最大值，沿窄邊b無(wú)變化。對(duì)于磁力線，因磁場(chǎng)只有Hx分量且與y無(wú)關(guān)，故磁力線是一些沿y軸方向均勻分布的平行于x軸的線，由于Hx沿x軸按正弦律變化，即在x=a/2處Hx最大，越向兩側(cè)邊就越??；相反，Hz在x=a/2處為0，越向兩側(cè)邊就越大，這將使磁力線逐漸向z方向偏轉(zhuǎn)。圖5-2-4(a)給出該面電力線和磁力線的分布圖。圖5-2-4TE10的場(chǎng)結(jié)構(gòu)在垂直縱截面(yOz面)上，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量Ey和Hz與y無(wú)關(guān)，即沿y方向均勻分布，而沿z軸方向?yàn)橹芷谛宰兓?，但橫向場(chǎng)(Ey，Hx)與縱向場(chǎng)Hz之間有90°的相差，在橫向場(chǎng)最大處縱向場(chǎng)分量最小，反之亦然,其場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖5-2-4(b)所示。

在水平縱截面(xOz)面上，電力線與該面相垂直，而磁場(chǎng)既有Hx又有Hz，合成的磁力線猶如橢圓形，如圖5-2-4(c)所示。

綜合圖5-2-4(a)、(b)、(c)可得出TE10波電磁力線的立體透視圖，如圖5-2-5所示。圖5-2-5TE10的場(chǎng)結(jié)構(gòu)立體圖用同樣的方法，可得到其他任何波型的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。然而，在矩形波導(dǎo)中，只要得到了TE10波、TE11波和TM11波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)，就可根據(jù)m、n的物理意義畫出其他高次型波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。例如TE20波由兩個(gè)TE10波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)沿a邊拼接而成，如圖5-2-6(a)所示。TE01波和TE10波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)相同，僅將a和b互換即可。而TE0n波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)由n個(gè)TE10波沿b邊拼接而成，TE21波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)TE11沿a邊拼接而成，如圖5-2-6(b)、(c)所示。TM21波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)由兩個(gè)TM11波沿a邊拼接而成，如圖5-2-7所示。圖5-2-6矩形波導(dǎo)的TE波圖5-2-7矩形波導(dǎo)的TM波

2)壁電流分布

有電流(傳導(dǎo)電流或位移電流)存在就會(huì)有磁場(chǎng)產(chǎn)生，反過(guò)來(lái)，當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)有電磁波傳播時(shí)，時(shí)變磁場(chǎng)也將會(huì)在波導(dǎo)壁上感應(yīng)出高頻電流，稱為“壁電流”。當(dāng)波導(dǎo)材料是作為理想導(dǎo)體考慮時(shí)，僅在波導(dǎo)內(nèi)壁表面有高頻電流流過(guò)。通常用電流線描述壁電流分布。

波導(dǎo)管內(nèi)表面壁電流的大小和方向均由表面處的切向磁場(chǎng)分量決定，用矢量公式表示為

Js=n×Ht(A/m)

(5-2-25)根據(jù)各種模式的磁場(chǎng)分布圖便能畫出相應(yīng)模式的壁電流分布圖，據(jù)此得到的TE10模壁電流分布圖如圖5-2-8所示。因TE10模在波導(dǎo)的上、下兩寬壁表面磁力線分布相同，n方向相反，故上下寬壁表面上的壁電流方向相反；波導(dǎo)左右兩側(cè)壁表面磁力線方向相反，n方向也相反，故兩側(cè)壁表面上的壁電流方向相同。由圖5-2-8可看出，波導(dǎo)上下寬壁的壁電流(為傳導(dǎo)電流)是斷開的，必須由波導(dǎo)內(nèi)時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生的位移電流與之連接以保證全電流的連續(xù)性。圖5-2-8TE10波的壁面電流分布了解管壁上的電流分布，對(duì)處理一些技術(shù)問(wèn)題和設(shè)計(jì)波導(dǎo)元件具有指導(dǎo)意義。例如，當(dāng)需要在波導(dǎo)壁上開縫，而又要求不影響原來(lái)波導(dǎo)的傳輸特性或不希望波導(dǎo)向外輻射時(shí)，開縫必須選在不切割管壁電流線的地方，并使縫盡量窄。在波導(dǎo)寬壁中心線上開縱向窄縫，或在側(cè)壁上開橫向窄縫均屬于此種情況，如圖5-2-9中的a縫和b縫。相反，如希望波導(dǎo)傳輸?shù)哪芰肯蛲廨椛?例如裂縫天線)，或?qū)⒉▽?dǎo)的能量通過(guò)波導(dǎo)壁的開縫耦合到另一個(gè)波導(dǎo)去，則開縫的位置應(yīng)切斷電流線，圖5-2-9中的c縫即屬于此種情況。圖5-2-9矩形波導(dǎo)的開縫

5.矩形波導(dǎo)的傳輸功率與功率容量

據(jù)坡印廷定理，行波條件下的TE10模通過(guò)的功率為

(5-2-26)若用波導(dǎo)內(nèi)介質(zhì)的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度Eb代替式(5-2-26)中的Em，便得到矩形波導(dǎo)中TE10模在行波狀態(tài)下可以通過(guò)的最大功率，表示為

(5-2-27)

式中Pc也稱為波導(dǎo)的功率容量。圖5-2-10矩形波導(dǎo)功率容量與波長(zhǎng)的關(guān)系由圖可見，當(dāng)λ=λc=2a時(shí)，Pc＝0，此時(shí)波被截止；當(dāng)λ/λc<0.5時(shí)，雖然Pc較大，但有可能出現(xiàn)高次模；當(dāng)λ/λc>0.9時(shí)，Pc急劇下降。為保證只傳輸TE10波，應(yīng)選取0.5<λ/λc<0.9為工作區(qū)，即工作波長(zhǎng)和寬邊尺寸a應(yīng)滿足下列關(guān)系式

a<λ<1.8a

(5-2-28)

6.矩形波導(dǎo)的損耗與衰減

實(shí)際波導(dǎo)壁是電導(dǎo)率σ為有限的良導(dǎo)體，高頻電流在這種良導(dǎo)體壁上通過(guò)時(shí)會(huì)產(chǎn)生功率損耗，若波導(dǎo)中填有介質(zhì)，還會(huì)引起介質(zhì)損耗。這就引起了導(dǎo)行波的衰減。

當(dāng)傳輸系統(tǒng)中有損耗時(shí)，導(dǎo)行波的傳播常數(shù)為復(fù)數(shù)，即γ=α+jβ，這時(shí)的行波場(chǎng)為

E=Eme－αze－jβz

H=Hme－αze－jβz

經(jīng)單位長(zhǎng)度后，場(chǎng)強(qiáng)減小了e－α倍，功率減小了e－2α倍，損耗在單位長(zhǎng)度波導(dǎo)上的功率為

PL=P0－P0e－2α

(5-2-29)

其中，P0為波導(dǎo)輸入端的功率。當(dāng)α很小時(shí)，e－2α≈1－2α，代入式(5-2-29)得

(5-2-30)通常用理想導(dǎo)體情況下求得的壁面電流(式(5-2-25))進(jìn)行計(jì)算α，它流經(jīng)表面電阻為Rs的良導(dǎo)體時(shí)產(chǎn)生的功率損耗由四個(gè)側(cè)壁面產(chǎn)生，即

其中

應(yīng)用上面兩式可求得空氣填充時(shí)TE10波的導(dǎo)體衰減常數(shù)為

(5-2-31)

圖5-2-11給出了銅質(zhì)矩形波導(dǎo)TE10波的導(dǎo)體衰減常數(shù)與頻率的關(guān)系。由圖可見，當(dāng)材料(Rs)、寬邊a一定時(shí)，αc與b和λ有關(guān)，b越小αc越大，由dαc/(dλ)=0可求出αc為最小時(shí)的λ值,當(dāng)λ接近截止頻率時(shí)，衰減急劇上升。因此，波導(dǎo)的工作波長(zhǎng)不能選擇在截止波長(zhǎng)附近。

圖5-2-11矩形波導(dǎo)TE10波的導(dǎo)體衰減常數(shù)理論曲線

7.矩形波導(dǎo)截面尺寸的選擇

對(duì)于工作在TE10模的矩形波導(dǎo)，其截面尺寸的選擇，主要依據(jù)以下要求來(lái)考慮：

①必須保證單模工作，有效抑制高次模的干擾；②損耗和衰減盡量小，以保證較高的傳輸效率；③功率容量大；④尺寸盡可能小。

對(duì)于b≤(a/2)的波導(dǎo)而言為保證單模傳輸，要求

0.5λ<a<λ

綜合上述幾個(gè)條件，矩形波導(dǎo)的尺寸一般選擇為

(5-2-32)5.2.3圓波導(dǎo)

圓波導(dǎo)是橫截面為圓形的空心金屬管，如圖5-2-12所示，在圓波導(dǎo)內(nèi)也不能存在TEM波只能存在TE波和TM波。分析圓波導(dǎo)采用圓柱坐標(biāo)系較為方便，求解過(guò)程與矩形波導(dǎo)類似。將復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組中兩個(gè)旋度關(guān)系式展開為分量式，經(jīng)過(guò)與類似上節(jié)的推導(dǎo)，不難得出圓波導(dǎo)中場(chǎng)分布函數(shù)橫向分量的表示式為圖5-2-12圓波導(dǎo)的坐標(biāo)(5-2-33a)

(5-2-33b)

(5-2-33c)

(5-2-33d)

及標(biāo)量波動(dòng)方程

(5-2-34)

應(yīng)用分離變量法求解，即設(shè)

Ez(ρ，φ)=R(ρ)Φ(φ)

(5-2-35a)

Hz(ρ，φ)=R(ρ)Φ(φ)

(5-2-35b)

1.TM波

將式(5-2-34)在柱坐標(biāo)系展開為

(5-2-36)

將式(5-2-35a)代入上式并應(yīng)用分離變量法得

(5-2-37)上式左邊為ρ的函數(shù)，右邊為φ的函數(shù)，由于ρ和φ是獨(dú)立變量，故要維持此式成立，唯有兩邊等于同一常數(shù)，設(shè)其為m2，于是式(5-2-37)便被分離成兩個(gè)方程，即

(5-2-38a)

(5-2-38b)

式(5-2-38b)中Φ(φ)的通解為

Φ(φ)=A1cosmφ+A2

sinmφ=A

cos(mφ－φ0)

(5-2-39)對(duì)式(5-2-38a)作變量替換，令u=kcρ，化為

這是以u(píng)為自變量的m階貝塞爾方程，其通解為

R(ρ)=B1Jm(u)+B2Ym(u)

(5-2-40)

其中，Jm(u)是m階貝塞爾函數(shù)；Ym(u)是m階諾依曼函數(shù)(第二類貝塞爾函數(shù))，兩者統(tǒng)稱為“柱諧函數(shù)”。柱諧函數(shù)不是初等函數(shù)，可以表示為適當(dāng)?shù)臒o(wú)窮級(jí)數(shù)，在數(shù)學(xué)手冊(cè)中可找到其曲線或函數(shù)表示。圖5-2-13給出了前幾階柱諧函數(shù)的曲線。圖5-2-13柱諧函數(shù)曲線貝塞爾函數(shù)Jm(u)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)于圖5-2-13中Jm(u)函數(shù)曲線與u軸的一系列交點(diǎn)。對(duì)這些零點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)um1，um2，…，umn，…；umn稱為m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)，它們是下面方程的一系列根。

Jm(umn)=0(m=0，1，2，…；n=1，2，3，…)

(5-2-41)現(xiàn)在我們根據(jù)以下條件來(lái)確定式(5-2-40)中的待定系數(shù)。

(1)有限條件：波導(dǎo)中任何地方的場(chǎng)量必須是有限值。但在軸心ρ=0處，式(5-2-40)右方第二項(xiàng)為負(fù)無(wú)窮，這當(dāng)然沒有物理意義，故必有B2=0。

(2)單值條件：波導(dǎo)中同一位置處的場(chǎng)量必須是單值的。圓柱坐標(biāo)φ方向以2π為周期，(ρ，φ)與(ρ，φ+2π)代表橫截面上的同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的場(chǎng)量為同一值，即

Ez(ρ，φ)=Ez(ρ，φ+2π)

代入式(5-2-39)得到

cos(mφ－φ0)=cos(mφ+2πm－φ0)

(3)邊界條件：波導(dǎo)壁假定為理想導(dǎo)體，其上的切向電場(chǎng)為零。因此，在ρ=a處有

Ez(a，φ)=AB1Jm(kca)cos(mφ－φ0)=0

則Jm(kca)=0，即kca必須是Jm(u)的零點(diǎn)，與式(5-2-41)比較得kca=umn，或

(5-2-42)其物理意義是，為了滿足ρ=a邊界上Ez=0的條件，貝塞爾函數(shù)的某一零點(diǎn)必須正好在ρ=a處。因此n的意義為TM波的縱向電場(chǎng)沿圓柱徑向出現(xiàn)零點(diǎn)的次數(shù)(包括ρ=a處，但不包括ρ=0處)。有了kc便可按式(5-2-18)求出各模式的截止波長(zhǎng)為

(5-2-43)則縱向場(chǎng)可表示為

(5-2-44)

其中，D=AB1。將式(5-2-44)及Hz=0的條件代入式(5-2-33)并乘以因子e－jβz便可得到圓波導(dǎo)中TM波橫向場(chǎng)分量的分布函數(shù)為(5-2-45a)

(5-2-45b)

(5-2-45c)

(5-2-45d)表5-2-1給出了部分貝塞爾函數(shù)的根與相應(yīng)波形的λc值。表5-2-1部分TM波型的umn及λc值

2.TE波

TE波與TM波的解法類似，讀者自行求解，現(xiàn)給出圓波導(dǎo)中TE波的復(fù)數(shù)解為

(5-2-46a)

(5-2-46b)

(5-2-46c)

(5-2-46d)(5-2-46e)

(5-2-46f)表5-2-2給出了vmn的一部分值及所對(duì)應(yīng)的λc值。表5-2-2部分TE波型的vmn及λc值圓波導(dǎo)中TE波的截止波數(shù)kc與截止波長(zhǎng)λc分別為

(5-2-47)與矩形波導(dǎo)相同，圓波導(dǎo)的傳輸條件也為λ<λc。截止波長(zhǎng)λc如式(5-2-43)和式(5-2-47)所示。根據(jù)上兩式及表5-2-1和表5-2-2可畫出如圖5-2-14所示的圓波導(dǎo)模式圖。由模式圖可見，TE11波是圓波導(dǎo)的最低模式，其λc=3.41a；其次是TM01波，其λc=2.61a。當(dāng)滿足2.61a<λc<3.41a時(shí)，圓波導(dǎo)只能傳輸單模TE11波。圖5-2-14圓波導(dǎo)模式分布圖

例5-2-3

求a=0.5cm的聚四氟乙烯(εr=2.08)圓波導(dǎo)的前兩個(gè)傳輸模的截止頻率。

解

同一頻率電磁波在介質(zhì)中工作波長(zhǎng)為，由圖5-2-14知前兩個(gè)傳輸模為TE11和TM01，由式(5-2-47)和式(5-2-43)知TE11

3.圓波導(dǎo)的三種主要模式

圓波導(dǎo)常應(yīng)用TE11、TE01和TM01三個(gè)模式。這些模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)和管壁電流分布有著不同的特點(diǎn)，所以它們應(yīng)用的場(chǎng)合也不同。下面分別加以討論。

1)TE11模

此時(shí)m=1，n=1，v11=1.841，λc=3.41a。將這些值代入式(5-2-46)可得TE11模各場(chǎng)分量的表示式，由此可畫出其場(chǎng)結(jié)構(gòu)及壁面電流分布，如圖5-2-15所示。圖5-2-15圓波導(dǎo)TE11波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)及壁面電流分布由于TE11波容易發(fā)生極化簡(jiǎn)并，圖5-2-16給出了圓波導(dǎo)中TE11模的兩種簡(jiǎn)并模式的場(chǎng)分布。其中，圖5-2-16(a)為水平極化，圖5-2-16(b)為垂直極化，它們理應(yīng)屬兩種不同的模式，但因其λc相同，故傳播特性完全一樣。而TE11的單模傳輸要求舍一，在這里靠波導(dǎo)尺寸的選擇是無(wú)濟(jì)于事的；而且即使在激勵(lì)時(shí)設(shè)法只激起其中的一種極化模，在傳播過(guò)程中若遇到不均勻性仍可能會(huì)轉(zhuǎn)化為另一種極化模。兩種不同極化模式的并存表現(xiàn)為TE11波極化面的旋轉(zhuǎn)，如圖5-2-16(c)所示，這是傳輸模所不希望的情形。圖5-2-16圓波導(dǎo)TE11波的極化簡(jiǎn)并示意圖

2)TE01模

對(duì)TE01模式，此時(shí)m=0，n=1，v11=3.832，λc=1.64a。

代入式(5-2-46)可得TE01模各場(chǎng)分量的表示式，由此可得出其場(chǎng)結(jié)構(gòu)和管壁電流分布如圖5-2-17所示。圖5-2-17圓波導(dǎo)TE01波的場(chǎng)分布及壁面電流

3)TM01模

對(duì)TM01模式，此時(shí)m=0，n=1，u11=2.405，λc=2.61a。

將其代入式(5-2-45)可得其場(chǎng)分量的表示式，由此可畫出其場(chǎng)結(jié)構(gòu)及壁面電流分布，如圖5-2-18所示。圖5-2-18圓波導(dǎo)TM01波的場(chǎng)分布及壁面電流分布5.3.1同軸線

同軸線由兩根共軸的圓柱導(dǎo)體所組成，如圖5-3-1所示。按其結(jié)構(gòu)可分為硬同軸線和軟同軸線兩種。硬同軸線外導(dǎo)體為金屬管，一般為圓形，內(nèi)導(dǎo)體是一根銅棒或銅管,線中一般不填充介質(zhì)，但為了支持內(nèi)導(dǎo)體并保持與外導(dǎo)體同心，可每隔一段距離置入介質(zhì)環(huán)。硬同軸線可根據(jù)具體要求自行設(shè)計(jì)。軟同軸線外導(dǎo)體由金屬絲編織而成，外覆塑料管，內(nèi)導(dǎo)體由單根或多根(相互絕緣的)導(dǎo)線組成，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充以低損耗的介質(zhì)材料(如聚四氟乙烯、聚乙烯等)，這種同軸線可以自由彎曲。5.3TEM模傳輸線圖5-3-1同軸線的結(jié)構(gòu)

1.TEM波

對(duì)于TEM波，其傳播方向上沒有電磁場(chǎng)分量即Ez=Hz=0。由式(5-2-14)可知，為了使其他場(chǎng)分量不為0，必須有

這意味著任何頻率的電磁波均能沿同軸線以TEM波的形式傳播，故TEM波是同軸線的主模。此時(shí)波動(dòng)方程變成拉普拉斯方程，即

(5-3-1)將式(5-3-1)在圓柱坐標(biāo)系中展開，并考慮同軸線的邊界條件為：在ρ=a(a為外導(dǎo)體內(nèi)徑)和ρ=b(b為內(nèi)導(dǎo)體半徑)處，有Eφ=Hρ=0，因而可解得TEM波的場(chǎng)分量表示式為

(5-3-2)

圖5-3-2表示TEM波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。

圖5-3-2同軸線中TEM型波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)由Er和Hφ可求得同軸線內(nèi)導(dǎo)體上的軸向電流和內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓分別為

(5-3-3)

對(duì)于非磁性媒質(zhì)，μr=1，則同軸線的特性阻抗為

(5-3-4)傳播常數(shù)與相速分別為

(5-3-5a)

(5-3-5b)

2.TM波和TE波

當(dāng)同軸線的尺寸與波長(zhǎng)相比足夠大時(shí)，同軸線中可存在高次波型：TM波和TE波。傳輸TM波和TE波的同軸線也稱為同軸波導(dǎo)。分析同軸波導(dǎo)的方法與圓波導(dǎo)相似。在圓柱坐標(biāo)系下，應(yīng)用分離變量法求解場(chǎng)的縱向分量Ez或Hz，再由橫向分量(Er、Hφ、Hr、Hφ)與縱向分量的關(guān)系式求出各場(chǎng)分量。然而，由于邊界條件除了考慮同軸外導(dǎo)體外，還需考慮內(nèi)導(dǎo)體，故在求其傳輸條件時(shí)需求解一個(gè)超越方程才能求出kc或λc的值。同軸線中TM波的最低次波型是TM01模，其截止波長(zhǎng)為

λc≈2(b－a)

(5-3-6)

TE波的最低次波型是TE11模，其截止波長(zhǎng)為

λc≈π(b+a)

(5-3-7)

圖5-3-3給出了幾種高次波型的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。圖5-3-3同軸線中的高次波型的場(chǎng)結(jié)構(gòu)

3.傳輸功率和損耗

在行波狀態(tài)下，同軸線傳輸TEM波時(shí)的平均功率為

若以Uc表示同軸線的擊穿電壓，同軸線在行波狀態(tài)下通過(guò)的最大功率可以這樣來(lái)求：設(shè)擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為Ec，由式(5-3-3b)知，擊穿將首先發(fā)生在同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面r=a處，此時(shí)E0=Ec。最大場(chǎng)強(qiáng)輻射值為

(5-3-9)(5-3-8)將上式代入式(5-3-8)中再利用式(5-3-4)便可求得

(5-3-10)

式中，d、D分別為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體的直徑，已取εr=1。為計(jì)算同軸線中TEM波的衰減系數(shù)，必須先算出長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一段同軸線的衰減功率PL。由式(5-3-3a)知，內(nèi)外導(dǎo)體表面的切向(φ方向)磁場(chǎng)分別為

內(nèi)導(dǎo)體

外導(dǎo)體由坡印廷定理得

將上式和式(5-3-11)一起代入式(5-2-30)中并利用式(5-3-4)的關(guān)系便可得空氣填充時(shí)同軸線中TEM波的導(dǎo)體衰減常數(shù)ac為

(5-3-11a)

在有介質(zhì)填充的同軸電纜中，由介質(zhì)的非理想性所引起的介質(zhì)衰減系數(shù)ad為

(5-3-11b)

例5-3-1

求空氣同軸線導(dǎo)體損耗最小和功率容量最大的尺寸關(guān)系，及此時(shí)的特性阻抗。

解

由式(5-3-11a)知，當(dāng)(固定b不變)時(shí)，

得，由式(5-3-4)知此時(shí)的特性阻抗為

。

由式(5-3-10)知，當(dāng)

(固定b不變)時(shí)，

得，由式(5-3-4)知此時(shí)的特性阻抗為

。5.3.2帶狀線

帶狀線又稱為三板線，這種電路的優(yōu)點(diǎn)是平面結(jié)構(gòu)，在精度要求不高的情況下可用類似制作低頻電路板的方式獲得，易于設(shè)計(jì)與調(diào)試。其結(jié)構(gòu)如圖5-3-4所示，由兩塊相距為b的接地板，與中間的寬度為W，厚度為t的矩形截面導(dǎo)體帶構(gòu)成。導(dǎo)體帶與接地板之間可以是空氣或填充其他介質(zhì)。帶狀線可看做是由同軸線演變而來(lái)的，如圖5-3-5所示，因此它傳輸?shù)闹髂Ｊ荰EM波，對(duì)其傳輸特性可以用靜態(tài)場(chǎng)方法進(jìn)行分析。表征帶狀線傳輸特性的主要參數(shù)有：特性阻抗Z0，相速度vp，波導(dǎo)波長(zhǎng)λg，衰減常數(shù)α和功率容量等。圖5-3-4帶狀線結(jié)構(gòu)圖5-3-5同軸線到帶狀線的演變由長(zhǎng)線理論可知，如果帶狀線單位長(zhǎng)度的分布參數(shù)用R0、G0、C0、L0表示，當(dāng)R0<<ωL0和G0<<ωC0時(shí)，可得到帶狀線的特性參數(shù)為

相移常數(shù)

(5-3-12a)

波導(dǎo)波長(zhǎng)(5-3-12b)

相速(5-3-12c)

特性阻抗(5-3-12d)

1.特性阻抗

由式(5-3-12)知，只要確定單位長(zhǎng)度的分布電容C0即可求出帶狀線的特性阻抗Z0。如圖5-3-6所示，帶狀線的分布電容可以看做由兩部分組成：①不考慮邊緣效應(yīng)時(shí)，中心導(dǎo)體與接地板之間的單位長(zhǎng)度平板電容Cp；②中心導(dǎo)體帶邊緣與接地板之間的單位長(zhǎng)度的邊緣電容Cf。則有

C0=2Cp+4Cf

(5-3-13a)圖5-3-6帶狀線的分布電容平板電容Cp可用平板電容公式得出

(5-3-13b)

邊緣電容Cf一般用保角變換得出，這里不作敘述，僅給出科恩(Cohn，Seymour)的計(jì)算結(jié)果。

(1)寬條帶情況。

(5-3-13c)

(2)窄條帶情況。

須對(duì)式(5-3-13c)中W作一修正，并用修正后的W′代替原來(lái)的W。W′值為

(5-3-13d)

2.帶狀線尺寸的選擇

TE波最低的模式為TE10波，它的場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖5-3-7所示。由圖可見，沿中心導(dǎo)體寬度W場(chǎng)的分布有一個(gè)駐波，而沿截面的高度b場(chǎng)的分布保持不變，故其截止波長(zhǎng)為圖5-3-7帶狀線TE10波的場(chǎng)結(jié)構(gòu)

TM波的最低模式為TM01波，其電磁場(chǎng)在高度b上有一個(gè)駐波分布，而沿導(dǎo)體帶的寬邊W上無(wú)變化，其截止波長(zhǎng)為

設(shè)，λc(TM01)，則帶狀線的尺寸應(yīng)滿足

5.3.3微帶線

微帶線結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、重量輕、加工方便，可用于光刻制作，容易與其他無(wú)源微波電路和有源微波電路器件集成，是目前平面電路和微波集成電路使用最多的一種平面型傳輸線。標(biāo)準(zhǔn)微帶線結(jié)構(gòu)如圖5-3-8所示，它是由介質(zhì)基片一側(cè)的導(dǎo)體帶和基片另一側(cè)的接地板所構(gòu)成，是一種半開放結(jié)構(gòu)。常用的介質(zhì)基片材料為Al2O3瓷、石英或藍(lán)寶石等低損耗介質(zhì)。接地板是銅板或鋁板，導(dǎo)體帶常用金、銀、銅等良導(dǎo)體做成。微帶線導(dǎo)帶厚度較薄，又有介質(zhì)基片，故與同軸線和波導(dǎo)相比，損耗最大，Q值最低，功率容量最小。圖5-3-8微帶線結(jié)構(gòu)