江西省萬安中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

江西省萬安中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

L“2<x<3"是‘'x>?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知i是虛數(shù)單位，Z=」-,則復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為

3-1

1133

A.--LB.-LC.--D.—

10101010

3.一個(gè)棱柱是正四棱柱的充要條件是（）

A.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形

B.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面

C.底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直

D.每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱

4."BO的內(nèi)角4SC的對邊分別為α,b,c,若C=%,c=√7/=3”，則”席的面

3

積為（）

A.3√3b2-√Jc,0D,2+6

~44

5.在邊長為1的正方形"'c0中，若須=￡BC=B,AC=E,則|萬-3+同等于（）

A.0B.1C.2D.&

6.在平行四邊形/BCZ）中，AC與BD交于點(diǎn)、O，E是線段Oz）的中點(diǎn)，ZE的延長線

與。交于點(diǎn)尸.若在=Z,石=B，則麗=（）

試卷第11頁，共33頁

匕+L?

A.B.ɑ-?eC.—ci4—hD.

412412124

7.在V43C中，〃，b,C分別為內(nèi)角4B,。的對邊,

l+sinficos^-∣?-C)=Sin2J+—(cos28+cos2C),若b+c=85,則粗如面積的最大

值為()

A.述B.12√Jc.16D.16上

3

8.己知函數(shù)/(x)=COSg-je]eos[?+X)+2“SinX+6的值域?yàn)閇-I']，則"+'-

()

A.—B.2C.”或3D,U或2

444444

二、多選題

9.命題"Vχe[l,2],χ2-α≤θ"是真命題的一個(gè)充分條件是()

B

A?α>4-α≤4

cD

?α≥5-a<5

10.給出下列命題，其中正確的是()

A.復(fù)數(shù)z=『1對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

B.若z=W，貝IJZ為實(shí)數(shù)

C若Z]，z2為復(fù)數(shù)，且z：+z；=0，則4=Z2=O

D?復(fù)數(shù)z=α+磯〃力∈R)為純虛數(shù)的充要條件為Q=O

11.已知向量)=(1,2),?=(-4,2)?則()

試卷第21頁，共33頁

A.(5-6)±(a+?)θ∣5-fe∣=∣5+fe∣

C.加一。在"上的投影向量是VD.BI=W

12.已知,an。2,且Sine+cos。=JJ(Sin。一Cosθ)tang(-W9<5),函數(shù)

/(x)=2sinxcosx-sin(2x+^)),則卜列結(jié)論中正確的是()

A.點(diǎn)1年,0)是函數(shù)/U)圖像的一個(gè)對稱中心

B.直線X=與是函數(shù)/(x)圖像的一條對稱軸

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間「_竺__］上單調(diào)遞減

.26.

D.若Xj0間,則函數(shù)/(X)的值域?yàn)長正且

L2」252

三、填空題

13.V/8C中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為。，b-c，已知2sin24=3cos/,

α=√3,b=B則8=-------

14.如圖，某貨輪在A處看燈塔8在貨輪的北偏東75。，距離為12√^nmile,貨輪由A

處向正北航行到Z)處時(shí)，再看燈塔￡在北偏東］20。，則A與。間的距離為——nmiιe?

試卷第31頁，共33頁

15.在《九章算術(shù)》中，將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱為“羨

除”.現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，D4,平面/8FE，四邊形4SFE,CDEF均為等腰梯形,

四邊形/88為正方形，/8=2，后/=6，點(diǎn)尸到平血/8Cz)的距離為

16.在銳角Mg中，若SinJ=4sin8sinC'則tan√ltan8tanC的取小值--,

四、解答題

47r53TT

17.已知Sina=W，ae(^p7r)，cos^=--,βe(π,~),

(])求cos(α-S)；

(2)求sin(α+P);

18.己知銳角V/8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為“，b,c,已知

2ccosC=bcosA+acosB.

(1)求角C的大?。?/p>

Q)若C=Hh求VN8C的周長的取值范圍.

19.在V/8C中，點(diǎn)分別在邊BC和邊力8上，且。C=2BO,BE=2AE,AD交

CE于點(diǎn)P，設(shè)沅=或BA^b-

試卷第41頁，共33頁

H

(1)試用"，B表示加；

(2)在邊力C上有點(diǎn)b,使得就=5而，求證：B,P,F三點(diǎn)共線.

20.已知函數(shù)/(χ)=sin^2x÷-^-^+cos^y-2x^?

(I)求函數(shù)/(x)在卜-生,包］上的單調(diào)區(qū)間；

66

⑵若作D小一部；，求CoS(2夕+總的值.

21.已知函數(shù)/⑴=CoS%+2SinXCoSX-Sini4χ?

⑴求/(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)χe∣^0,C^∣時(shí),求/U)的最大值和最小值以及對應(yīng)的X的值.

2

22.給定常數(shù)定義在R上的函數(shù)〃χ)=3in(*2xj+αsinr?

⑴若/(X)在R上的最大值為2,求。的值；

(2)設(shè)“2」,〃為正整數(shù).如果函數(shù)P=∕(x)在區(qū)間(°，常)內(nèi)恰有2022個(gè)零點(diǎn)，求”的值.

2

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

I.A

【詳解】試題分析：若2<χ<3成立，則x>0一定成立；反之若χ>o成立，則2<x<3不

一定成立；因此"2<x<3”是:>0”的充分而不必要條件；

考點(diǎn)：充分必要條件；

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】z=J-=i（3+i）=L+3i.

?-?101010

???復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為--L

10

故選：A

3.C

【分析】由正四棱柱的定義及幾何特征，結(jié)合充要條件的概念，依次判斷即可.

【詳解】若底面是正方形，有相對的兩個(gè)側(cè)面是矩形，另外兩個(gè)側(cè)面是不為矩形的平行四

邊形，則棱柱為斜棱柱，故A不滿足要求；

若底面是正方形，有相對的兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，另外兩個(gè)側(cè)面不垂直于底面，則棱柱為

斜棱柱，故B不滿足要求；

若底面是菱形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直則底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，此

時(shí)棱柱為正四棱柱，反之也成立，故C滿足要求；

若卷個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D不滿足要求.

故選：C.

4.A

【解析】由余弦定理求出0/關(guān)系，再結(jié)合6=30可求得α,3再用三角形面積公式

S=SinC計(jì)算出面積.

2

答案第11頁，共22頁

【詳解】由余弦定理得：COSC=1+1二c'=二+憶7=8$工」

2abIab32

又b=3a'

所以1而一7=3%...α=l

S*="SinCfiχ3Xq=呼

224

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.利用余弦定理求得°/的關(guān)

系，并結(jié)合已知求得“力的值是關(guān)鍵，三角形的面積公式

S=LQz)SinC=-acsinB=—besinA.

222

5.C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可?

【詳解］|￡_加+曰=所_瓦+園=阿+就+西=胸+畫=2畫=2.

故選：C

6.C

【分析】由VABE:VDEF,根據(jù)題意得到竺=竺;="=L利用而△律結(jié)合向

ABAEEB34

量的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】如圖所示，在平行四邊形45CQ中，可得Y4BE:YDEF，

因?yàn)椤笆蔷€段°。的中點(diǎn)，可得竺=二=匹=1，

ABAEEB3

答案第21頁，共22頁

----I-1-----1----I-------I_I_

所以EF=上NF=上QO+DF)=±(NZ)+2∕2)=±α+±6.

4443124

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角公式與正弦定理與余弦定理化簡可得/=寧，再根據(jù)

基本不等式結(jié)合面積公式求解最值即可

【詳解】由l+sin8cos(T∣-C

=sin2/+5(CoS28+cos2C)，

1+sin3sinC=sin2J+l-sin25-sin2Cf

所以sin?β+sin2C-sin2A=-sinBsinC,即從+c2-a2=-be9

所以cos/="+/-"；*=」，因?yàn)榧?<，所以H=與.

2bc2bc2

因?yàn)閎+c=8√J,所以8G≥2癡，所以6c≤48,當(dāng)且僅當(dāng)z,=c=46時(shí)等號成立，所以

SAARC=Lcsin/≤'x48x^^=12Λ∕3?

fBC222

故選：B.

8.C

【分析】由題可得/(x)=-sin2χ+2αsinx+b+g,令'"sinx"∈,設(shè)

答案第31頁，共22頁

g(∕)=-Z2+2^+6+∣,貝∣Jg(f)e［T4］,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即求.

π

【詳解】V/(x)=cosXIcosI?+XI÷2t/sinX+ft，

.β./(x)=；(COS2x-sin2x)+2asinx+6=-sin2x+2asinx+6+^

令，=SinX,FTl],設(shè)g(f)j2+2w+H；,貝W(<HT4],

當(dāng)α≤-l時(shí)，g(f)在［-1,1］上單調(diào)遞減,

，用牛伶

g(l)=--÷2α÷?=-l

當(dāng)α≥l時(shí)，g(f)在［7,1］上單調(diào)遞增,

“+6=巨

g(-l)=------2α+6=-l

2,解得4

g(l)=-?+2α÷6=4

-l<a<Og(')max=g⑷=∕+b+g=4

當(dāng)時(shí),無解,

g(，)min=g6=2a+b-；=-l

USaCIg(入x=g(α)=∕+6+:=4

當(dāng)時(shí)，■2，無解.

g(%M=g(T)=-2α+6-5=-l

綜上，α+?=-s?α+fe=—.

44

答案第41頁，共22頁

故選：C.

9.AC

【分析】先求得命題“Wxe[1,2]，χ2-q≤o"是真命題時(shí)。的范圍，再由充分條件的定義

得出選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)命題"Wxe[L2],x2-α≤0"是真命題時(shí)，只需α≥,xe[1,2].又

yRd在[1,2]上的最大值是4，所以“≥4?因?yàn)椤?5="24，α>4=>α>4,

故選：AC.

IO.AB

【分析】求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式推理判斷B；舉例說明判斷

C；利用純虛數(shù)的定義判斷D作答.

【詳解】對于A,復(fù)數(shù)z=i7對應(yīng)的點(diǎn)(Tl)在第二象限，A正確；

對于B,設(shè)z=α+6i,α,6eR,由Z=I得α+bi=α-bi,解得6=0,α∈R,即z=α是實(shí)數(shù)，

B正確；

對于C,令z∣=l,z2=i，滿足z；+z；=1+F=0，而ZlXo/2*0，C錯(cuò)誤；

對于D,復(fù)數(shù)z=α+M(α,∕>eR)為純虛數(shù)的充要條件為"0力#0,D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.BC

【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)表示的加減法運(yùn)算，數(shù)量積的計(jì)算公式，模的計(jì)算公式，投影

向量的計(jì)算公式，分別判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A：”不=(5,0)，5+6=(-3,4),則伍-方?伍+很)=-15，所以(2-6)與

(萬+私不垂直，故A錯(cuò)誤;

22,

對于B：5-6=(5,0),3+5=(-3,4)，貝Um-Bl=疹萬=5'?a+b?^√(-3)+4=5

答案第51頁，共22頁

所以Ia-Bl=Ia+故B正確：

b-a=(-5,0)b-aG(b-a)?aa-5--

對于c：,所以在上的投影向量是一同—同=彳"=一"，故C正

確；

對于D：p∣=√l2+22=√5,∣?∣=√(-4)2+22=2√5,所以,卜忖，故D錯(cuò)誤，

故選：BC.

12.AC

【分析】先利用弦化切的思想，求出tan,，由此求出P的值，然后利用三角恒等變換化簡

函數(shù)/(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】：因?yàn)閠anθ=2,由Sine+cose=VJ(sin6-COsθ)tan∕，

_zsin0+cos0tan0+12+1∏r

可r得ntanw=-=-----------------=-7=-------------=-=--------=√3

VτJ(Sin，一COSe)√3(tan0-1)√f3(2-l)

而—烈夕＜—,所以￠=工,

223

于是/(x)=2sinxcosx-sin(2x+(P)=sin2x_sin

??1???/??1.??/??

=sin2x—sin2x------cos2x=-s?n2x------cos2x

2222

■f?吟

=sm2x—.

I?j

/圉吧SinJxL=sinπθ=,點(diǎn)仔,0)是函數(shù)小)圖像的一個(gè)對稱中心，

答案第61頁，共22頁

直線X=與不是函數(shù)/(x)圖像的對稱軸，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

ππn_LCπ4兀2兀

x∈時(shí)，2%——∈--，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，所以

2,^^633333

/(x)在區(qū)間生:-一］上單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確；

_26.

當(dāng)0≤Y時(shí)，W-?x-y≤y,一當(dāng)sin(2χ-1≤l,

則/(χ)的值域?yàn)長在J,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2，

故選：AC

13.

4

【分析】化簡得到(2C°SZT)(COSN+2)=0,A=%,再利用正弦定理計(jì)算得到答案.

【詳解】2sin2A=3cos√4,即2cos?4+3cos4-2=0，(2cosA-l)(cosJ+2)=0,

c°s"2≠0,故os/=LN=9,sin8-四一包，"(“，故人人

2a24

故答案為：--

4

【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

14.24

【分析】利用正弦定理直接解三角形.

【詳解】如圖，可知乙4￡)8=60°，ZB=120°-75°=45o

答案第71頁，共22頁

*乙ABDA4十:+∕>?E4B力。_AB

在中t，由正弦1定理得：SinNB=SinZJOB'

所以/O=;id?Fgdn/8=詈g=24

T

故答案為：24.

15?12+12√2

【分析】先證得點(diǎn)F到平面ABCD的距離為尸到Al§的距離，再根據(jù)平面幾何性質(zhì)求各表

面面積，即得結(jié)果.

DC

1≡1/……

因?yàn)椤?J,平面/BFE，D4u平面/8CD,所以平面4BCD工平面4BEF'

過尸作尸于根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得

01/80,尸Ol平面Agc0,

所以點(diǎn)尸到平面abcd的距離為f到ab的距離，

因此等腰梯形/詆的高為2,

腰但將隹PA6

答案第81頁，共22頁

因?yàn)樗倪呅?BCO為正方形，且力8=2

DE=AD2+AE2=2√3

等腰梯形CDEF的高為K(E7一嚀=2后,

所以該羨除的表面積為2χ2+gχ(2+6)χ2+gχ(2+6)χ2√∑+2χgχ2χ2√∑=12+12√∑

故答案為：12+12√∑

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直判定與性質(zhì)定理、幾何體表面積，考查基本分析論證與求解能

力，屬基礎(chǔ)題.

16.16

【分析】結(jié)合三角形關(guān)系和已知可得SinBCoSC+cosBsinC=4sin5sinc，進(jìn)而得到

tan8+tanC=4tan8tanC,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值.

【詳解】解：因?yàn)閟in∕=sin(π?-Z)=Sin(8+C)=sin5cosC+cos8sinC

SirL4=4SinBSinC

所以sinBcosC+cos8sinC=4Sin8sinC,

因?yàn)閆UBC為銳角三角形，

所以cosC>0,cosB>09

所以tanB+tanC=4tan8tanC,

又因?yàn)閠an力=-tan(π-A)=-tan(B+C)=--------------------

1-tantanC

所以tan4tanBtanC=--?n'+tanCBtanC

1-tantanC

答案第91頁，共22頁

2

4(tanfitanC)----------------------

1-tanβtanC

?tanBtanC=/.?.>—tan5>O,tanC>O,tanB+tanC八

令，由為銳角z可r得zs，tanJ=-------------------->0,

1-tantanC

所以l-tanBtane<0，得f>l

4z24

所以tarL4tan^tanC=-

I-Z1_1，

因?yàn)橛?）ι得，—-≤"-<0,

所以taMta同anC的最小值為16

故答案為：16

【點(diǎn)睛】此題考查了三角恒等式的變化技巧和函數(shù)單調(diào)性的知識，有一定的靈活性，屬于

難題.

3316

17.(1)-----;(Z)-----?

6565

【分析】（1）由所給條件求出cosa、sin/?,利用兩角差的余弦公式求解即可；（2）利

用兩角和的正弦公式求解.

【詳解】(1)sinα=-,α≡(-,π),..cosa=-->

525

?.?cosβ=一--,β∈(πi-),sinβ=,

答案第101頁，共22頁

(2)∣?(1)得sin(α+夕)=gx(-?^)+(一∣?)χ(-j∣?)=[.

【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和與差的正弦、余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)-

3

(2)(√21+√7,3√7]

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，然后由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式變形后可昨C角;

(2)由正弦定理把α+6用A角表示，并由兩角和與差的正弦公式化簡，由銳角三角形得

A的范圍，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)得α+b取值范圍，從而得周長范圍.

,o,*,_八、,---,.?zp,abc”、、2ccosC=bcos"+αcos8

【r詳解7】（1）由正r弦+定τ理m得：—r=-代入

s?nAsinBsinC

?*?2sinCcosC=Sin8cos4+sinZcos6=sin（力+8），乂4+B=冗-C，

?,?2sinCcosC=sinC,而°<0<九'則SiIlCH0'

cosC=?,故C=二.

23

abc√72√21

（2）由正弦理得：Sin/sin8sinCG3，

2

,2√21.42√2T.D2√21.）2√2T.（2ππ八c行?）

a+b=-------Sm4+--------SmB=--------sinJ+--------Sm-------A=2√7sinA+—,

333313yl<6）

因?yàn)閂/8C為銳角三角形，所以o5<g,0<2<二，

22

答案第Ill頁，共22頁

兀7Γ7Γ

由內(nèi)角和為，則//<孑，

62

所以*%sin[∕+k)≤l，則√H<2"sin(z+:)≤2√7,

VABC周長為4+6+6="7+。+人

故VMC的取值范圍為(歷+√7,3√7].

—14-

19.(↑)BP=-a+-b

77

（2）證明見解析

【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解;

（2）利用向量的線性運(yùn)算及共線向量基本定理即可求解.

【詳解】（1）設(shè)EP='EC,由題意麗=20=2不，

33

2

所以反=麗+第=N-—b^P=BE+^EP=~BE+tEC=-b+t?a=ta+-(?-t}b①,

3

設(shè)而=呵由麗=/十，共滋+而從中,

BP=BD+DP=^(\-k)a+kb?,

21

由①、②得，ta+-(?-t)h=-(?-k)a+kb,

答案第121頁，共22頁

，=;（一）1

7

所以解得

k=%

7

__14-

所以8尸=一方+—6；

77

(2)由"=得簫=』就』

55、

，，———.14-

所以8尸=8/+//=；1+16,

__7__

所以BF=-BP,

5

因?yàn)辂惻c麗有公共點(diǎn)8,

所以8,P,廠三點(diǎn)共線.

r_述.

20.（1）遞增區(qū)間為-生,工7π5π,遞減區(qū)間為πl(wèi)π(2)

,,

61212^"6^12l2^3

【解析】（I）化簡函數(shù)的解析式為/（x）=sin2x+g,根據(jù)Xe瑞，得到

2x+ge[0,2π],結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（2）由夕結(jié)合sin（2夕+總=；＜5,得到20+∕∣j,π）,利用三角函數(shù)的基本

關(guān)系式，即可求解.

【詳解】（I）山題意得/（x）=Sinl2x+g^+cos（ι-2x）=4?cos2x-gsin2x+sin2x

答案第131頁，共22頁

?/??lπ.?

——cos2x+—sin2x=sin2,x+-

22

π5π

因?yàn)閤∈所以2x+今∈[θ,2兀],

6,^6

令?！?x+箸晨解得,中石

令警X+]≤?y,解得Xeπ7π

12,ll2

7π5π

令一≤2x+-<2π,Wxe

23

所以函數(shù)/（x）在「_巴?匚上的單調(diào)遞增區(qū)間為-歹一，空L

.66._612jL126

單調(diào)遞減區(qū)間為「處J.

1212

（2）由（1）知/（夕=Sin（24+彳）=§

因?yàn)槿fU,所以2夕+詈

又因?yàn)閟in（2/?+t）=；<5，所以2夕+f至（5,兀），

所以

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的化簡求值的規(guī)律總結(jié)：

1、給角求值：一般給出的角是非特殊角，要觀察所給角與特殊角的關(guān)系，利用三角變換轉(zhuǎn)

化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

2、給值求值：即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于

答案第141頁，共22頁

‘'變角"，使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系；

3、給值求角：實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”即通過求角的某個(gè)三角函數(shù)值來求角(注意角

的范圍).

21.(1)"；(2)當(dāng)Xq時(shí)J(X)取得最小值T;當(dāng)X=?時(shí)J(X)取得最大值及.

Zo

【分析】(1)利用降基擴(kuò)角公式先化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)型，再求解最小正周期；

(2)由定義域，先求oχ+w的范圍，再求值域.

【詳解】(1)/,(X)=^cos2x+sin2x)(cos2X-sin2x)+sin2x

=cos2x+sin2x

=V2sin^2x+-^-j

所以/(x)的最小正周期為生=7T?

2

(2)由χ∈θ,?，得x=2x+工∈-,-π，

L2]4|_44」

當(dāng)2χ+工=』〃，即X=1時(shí)，A”取得最小值「I

442

當(dāng)2x+gq,即Xq時(shí)，/U)取得最大值夜.

【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，之后