求概率的三種方法及求不規(guī)則物體的體積

PAGEPAGE2求概率的方法在新課標(biāo)實施以來，中考數(shù)學(xué)試題中加大了統(tǒng)計與概率部分的考察，體現(xiàn)了“學(xué)以致用”這一理念．計算簡單事件發(fā)生的概率是重點，常用的方法有:列舉法、列表法、畫樹狀圖法，這三種方法應(yīng)該熟練掌握，先就有關(guān)問題加以分析．一、列舉法圖1例1：（05濟(jì)南）如圖1所示，準(zhǔn)備了三張大小相同的紙片，其中兩張紙片上各畫一個半徑相等的半圓，另一張紙片上畫一個正方形．將這三張紙片放在一個盒子里搖勻，隨機(jī)地抽取兩張紙片，若可以拼成一個圓形(取出的兩張紙片都畫有半圓形)則甲方贏；若可以拼成一個蘑菇形(取出的一張紙片畫有半圓、一張畫有正方形)則乙方贏．你認(rèn)為這個游戲?qū)﹄p方是公平的嗎？若不是，有利于誰？．圖1分析：這個游戲不公平，因為抽取兩張紙片，所有機(jī)會均等的結(jié)果為：半圓半圓，半圓正方形，正方形半圓，正方形正方形．所以取出的兩張紙片都畫有半圓形的概率為．取出的一張紙片畫有半圓、一張畫有正方形的概率為，因為二者概率不等，所以游戲不公平．說明:本題采用了一種較為有趣的試題背景，重在考查學(xué)生對概率模型的理解、以及對不確定事件發(fā)生概率值的計算．本題用列舉方法，也可以用畫樹狀圖，列表法．二、畫樹狀圖法例2：（06臨安市）不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為eq\f(1,2)．（1）試求袋中藍(lán)球的個數(shù)．（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都是白球的概率．解析：⑴設(shè)藍(lán)球個數(shù)為個，則由題意得，答：藍(lán)球有1個．（2）樹狀圖如下：∴兩次摸到都是白球的概率=．說明:解有關(guān)的概率問題首先弄清：①需要關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果．②無論哪種都是機(jī)會均等的，要對實踐的分析得出概率通常用列表或畫樹狀圖來寫出事件發(fā)生的結(jié)果，這樣便于確定相關(guān)的概率．本題是考查用樹狀圖來求概率的方法，這種方法比較直觀，把所有可能的結(jié)果都一一羅列出來，便于計算結(jié)果．三、列表法54B768A3圖2例3：（06晉江市）如圖2，是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個裝置，裝置A、B的轉(zhuǎn)盤分別被平均分成三部分，裝置A上的數(shù)字是3、6、8；裝置B上的數(shù)字是4、5、7；這兩個裝置除了表面數(shù)字不同外，其他構(gòu)造均相同，小東和小明分別同時轉(zhuǎn)動A、54B768A3圖2解析：（方法一）畫樹狀圖：3345745846577開始小明勝小明勝小明勝小東勝小東勝小明勝小東勝小東勝小東勝由上圖可知，所有等可能的結(jié)果共有9種，小東獲勝的概率為，小明獲勝的概率為，所以游戲不公平．（方法二）列表法如下:轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)盤B3684小明勝小東勝小東勝5小明勝小東勝小東勝7小明勝小明勝小東勝由上表可知，所有等可能結(jié)果共有9種，小東獲勝的概率為，小明獲勝的概率為，所以游戲不公平．說明：用樹狀圖法或列表法列舉出的結(jié)果一目了然，當(dāng)事件要經(jīng)過多次步驟（三步以上)完成時，用這兩種方法求事件的概率很有效．求不規(guī)則物體的體積——轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用一、教材分析：教材在學(xué)習(xí)了圓柱的表面積、體積的計算方法后，安排了這節(jié)應(yīng)用課，要求學(xué)生根據(jù)條件計算瓶子的容積。由于瓶子是不完整的圓柱，學(xué)生遇到了無法“直接計算容積”的難題。教學(xué)時我借助愛迪生巧求燈泡容積的故事，引導(dǎo)學(xué)生將瓶子容積轉(zhuǎn)化成可以直接計算的兩個圓柱的容積，從而得到形狀不規(guī)則的瓶子的容積。在解決問題的過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會“轉(zhuǎn)化”的思想方法的意義和應(yīng)用。二、學(xué)情分析：在五年級學(xué)習(xí)長方體和正方體時，學(xué)生通過動手操作計算過不規(guī)則物體的體積。本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生將舊知識遷移到新的問題當(dāng)中。學(xué)會根據(jù)條件，運用轉(zhuǎn)化的方法間接地計算出不規(guī)則物體的容積。三、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：1、熟練運用公式計算不規(guī)則物體的體積。2、能應(yīng)用圓柱的體積公式解決一些實際問題。過程與方法：經(jīng)歷圓柱體積公式的運用過程，體驗將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)換成規(guī)則物體，從而計算出體積的數(shù)學(xué)方法。情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化的巧妙美，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點：運用圓柱體積公式解決實際問題。突破方法：組織學(xué)生獨立思考、質(zhì)疑并提問。教學(xué)難點：把不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圓柱。突破方法：通過引導(dǎo)討論、小組交流、歸納總結(jié)的方法來突破。四、教學(xué)過程：課前交流（讓學(xué)生學(xué)會換個角度思考問題，活躍思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。）1、自主訓(xùn)練（故事導(dǎo)入，初悟轉(zhuǎn)化）有一次，愛迪生把一只燈泡（還沒有制成成品）交給他的助手阿普頓，讓他計算出這只燈泡的容積。阿普頓是普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生，又去德國深造過，數(shù)學(xué)知識相當(dāng)不錯，他拿著這只小燈泡，打量了好半天，找來了皮尺，上下左右量了尺寸，畫了剖面圖，立體圖，還列了一大堆算式，一個小時過去了，愛迪生跑來問他算出來的結(jié)果，阿普頓汗流浹背的慌忙回答說：“算出了一半?！睈鄣仙哌M(jìn)一看，在阿普頓面前好幾張白紙上，寫滿了密密麻麻的算式。這時愛迪生微笑著說了一句話，阿普頓恍然大悟，連忙跑到實驗室去，不到一分鐘，就準(zhǔn)確的測出了燈泡的容積。同學(xué)們，你能猜出愛迪生說了一句什么話嗎？（生：···）是的，愛迪生讓阿普頓把燈泡裝滿水，再把水倒進(jìn)圓柱形的量杯里，這樣就求出了燈泡的容積。這個故事滲透了一個重要的數(shù)學(xué)思想“轉(zhuǎn)化”，今天這節(jié)課我們也嘗試運用轉(zhuǎn)化的策略求不規(guī)則物體的體積。2、合作訓(xùn)練（動手實踐，提煉轉(zhuǎn)化）（1）對照比較，自主學(xué)習(xí)=1\*GB3①對照比較，認(rèn)知沖突師：瞧！這是什么？（生：咖啡和水）。是的，這是楊老師最喜歡喝的咖啡和人體不可缺少的水，據(jù)說咖啡的攝入量一天不能超過200ML,而你們一天最少都要喝2000ML的水，如果我們想知道咖啡罐能容納多少咖啡？瓶子里能裝多少水？就得求出它們的什么呢？（生：容積）是的！你們會求它們的容積嗎？（生思考后回答：裝咖啡的罐子是圓柱，所以只要量出圓柱的底面直徑和高就可以算出它的容積，而礦泉水瓶子不是一個規(guī)則的立體圖形，我們無法直接測量求算。）=2\*GB3②打開課本，自學(xué)例7師：咖啡罐的容積我們可以根據(jù)圓柱的體積公式求出來，對于礦泉水瓶這樣的不規(guī)則物體的容積可以怎么求？（生：···）書本上也給我們提供了這類不規(guī)則物體體積的求算方法，請大家打開課本第27頁自學(xué)例7，完成自學(xué)提示卡。（課件出示）自學(xué)提示卡1、閱讀與理解這個瓶子不是一個完整的圓柱，我們可以嘗試轉(zhuǎn)化成（圓柱）來計算。2、分析與解答因為瓶子的（容積）是一定的，瓶子里（水的份量）是一定的，所以正放和倒置時，瓶中空余部分也是（相等的）。正立時水的體積與倒置時瓶中空余部分都是（圓柱形）的，我們可以把計算瓶子容積的問題轉(zhuǎn)化成計算兩個圓柱的容積問題。數(shù)量關(guān)系式如下：瓶子的容積=（正立時水的體積+倒置時無水部分的體積）（2）合作探究，展示交流=1\*GB3①小組合作探究師：通過自學(xué)課本，相信大家對于求這類不規(guī)則物體容積有了自己的想法，下面分小組動手操作，交流討論求不規(guī)則瓶子容積的方法。（課件出示）=2\*GB3②展示探究成果師：哪個小組愿意將你們的探究結(jié)果跟大家分享一下？生：···）=3\*GB3③回顧反思，歸納總結(jié)在合作探究中，我們發(fā)現(xiàn)：因為瓶子的（容積）是一定的，瓶子里（水的份量）是一定的，所以正放和倒置時，瓶中空余部分也是（相等的）。正放時水的體積與倒置時瓶中空余部分都是（圓柱形）的，我們可以把計算瓶子容積的問題轉(zhuǎn)化成計算兩個圓柱的容積問題。瓶子的容積=正放時水的體積+倒置時空余部分的容積（課件出示）仔細(xì)觀察，把正放時水的體積和倒置時空余部分的容積合在一起就是瓶子容積，也就是一個圓柱體，所以瓶子的容積=瓶子底面積x（正放時水的高度+倒置時空余部分的高度）=4\*GB3④即時練習(xí)（課件出示）（學(xué)生獨立練習(xí)，請學(xué)生板演，并講述解題過程）師總結(jié)：這個瓶子的容積是508.68毫升，你們一天最少需要喝2000多毫升的水，說說看，你們每天大約要喝這樣幾瓶水？3、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（知識運用，鞏固內(nèi)化）師：老師的兒子也是六年級學(xué)生，聽說我來給大家上課，十分興奮，所以特意寫了一封信給大家，想看嗎？（課件出示）給146班同學(xué)的一封信親愛的同學(xué)們：大家好！我叫伍陽瑀輝，是金慈六年級148班的學(xué)生，得知媽媽來給你們上課，我有很多的問題想和你們交流，好嗎？近來，媽媽為我制定了鍛煉計劃“登山”。昨天登山時，我攜帶了滿滿一瓶水，回家后，媽媽問我喝了多少毫升的水？我馬上拿來尺子開始測量，我把瓶蓋擰緊后倒置放平，無水部分高10cm,內(nèi)直徑是6cm，運用轉(zhuǎn)化的方法很快算出我喝了（282.6）毫升的水。我不禁驕傲地說：“天上飄來五個字，這都不是事”。4、拓展訓(xùn)練（思維開拓，內(nèi)化提升）（課件出示）媽媽聽了，隨手拿來一瓶碘酒，對我說：“臭小子！千萬別得意，這個瓶子的容積是32.4cm3，你能算出瓶內(nèi)碘酒的體積嗎？”我接過瓶子開始測量，當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)碘酒高8cm；瓶子倒放時，空余部分的高為2cm。要求碘酒的體積？似乎有點難度，同學(xué)們，你們能求出來嗎？通過幾番思考，我算出了碘酒的體積為（25.92）毫升。經(jīng)過這事兒，我明白了數(shù)學(xué)是“學(xué)無止境”的。好了，就交流到這兒吧！祝大家學(xué)習(xí)愉快！5、全課總結(jié)同學(xué)們，學(xué)習(xí)這一課后你有什么收獲呢？是的，在實際問題中，我們要求算的物體體積往往不是規(guī)則的立體圖形，這時就需要我們善于觀察，利用轉(zhuǎn)化的策略發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建更簡單直觀的規(guī)則立體圖形，幫助我們解決生活中的復(fù)雜問題。板書設(shè)計：五、教學(xué)反思教材在學(xué)習(xí)了圓柱的表面積、體積的計算方法后，安排了這節(jié)應(yīng)用課，要求學(xué)生根據(jù)條件計算瓶子的容積。為了上好本節(jié)課，我本著“依據(jù)教材又不拘泥教材”的原則，對教材進(jìn)行了處理。教學(xué)中，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究中尋求瓶子容積的方法，運用轉(zhuǎn)化策略解決問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程，建立數(shù)學(xué)模型，形成數(shù)學(xué)經(jīng)驗。反思本課的教學(xué)主要體現(xiàn)了以下幾點：1、借助故事情境，初悟轉(zhuǎn)化思想課前談話時，我以香港小學(xué)一年級入學(xué)考試題活躍學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，孩子們最初信心滿滿，十幾秒過去后，能準(zhǔn)確得出答案的并不多，在部分孩子的提示下才恍然大悟，讓孩子們體會原來打破常規(guī)思維方式，換個角度去思考就會豁然開朗。緊接著我及時出示“愛迪生與燈泡”的故事，讓孩子們猜一猜愛迪生巧求燈泡容積的方法，在激發(fā)興趣的同時初步感悟轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)入新課，埋下伏筆。2、建立數(shù)學(xué)模型，滲透轉(zhuǎn)化思想學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究時，我先讓他們談一談求瓶子容積的方法，孩子們有了愛迪生巧求燈泡容積的鋪墊，嘗試運用轉(zhuǎn)化策略去思考，各抒己見，方法多樣，但由于條件的限制，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，此時，我及時提示，讓他們自學(xué)課本，自主探究求瓶子容積的方法。自學(xué)課本后，孩子們恍然大悟，這時，我及時給予他們合作交流的空間，在小組內(nèi)交流自己的想法。這樣，讓學(xué)生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中體會數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、形成與發(fā)展的過程，獲得積極的情感體驗，感受數(shù)學(xué)的力量，同時掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，建立了求瓶子容積的模型:瓶子的容積=正放時水的體積+倒置時空余部分的容積瓶子的容積=瓶子底面積x（正放時水的高度+倒置時空余部分的高度）考慮到部分學(xué)生對求瓶子容積的第二種簡便算法的理解有難度，我利用多媒體課件，運用轉(zhuǎn)化的方法，將正立時圓柱形的有水部分和倒置后圓柱形的無水部分拼接在一起，形成一個大圓柱。這樣形象直觀的演示，學(xué)生更能理解瓶子的容積=瓶子底面積x（正放時水的高度+倒置時空余部分的高度）表示的具體意義了。3、練習(xí)層層遞進(jìn)，強(qiáng)化應(yīng)用意識數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，為體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活味兒，我密切聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)了與學(xué)生生活環(huán)境、知識背景密切相關(guān)的、又是學(xué)生感興趣的練習(xí)情境“給146班同學(xué)的一封信”。學(xué)生聽了老師兒子給他們的信，頗感興趣。學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，找到了解決問題的方法，并將自己的解題思路說給全班同學(xué)聽，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。4、有待改進(jìn)之處=1\*GB3①在學(xué)生自主學(xué)習(xí)時，我處理的有點急,沒有給學(xué)生充分思考的時間。在今后的教學(xué)中我要特別關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，優(yōu)化課堂教學(xué)，對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?。?shù)學(xué)知識的教學(xué),必須抓住各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系,遵循教材特點和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。通過想象、實際操作，從經(jīng)歷和體驗中思考，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法；貼近學(xué)生生活實際，創(chuàng)設(shè)情境，解決問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識“從生活中來到生活中去”的理念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對科學(xué)知識的求知欲，使學(xué)生樂于探索，善于探究。=2\*GB3②教師的評價語言還可以更豐富些。在課堂教學(xué)中，評價語言是非常重要，它總是伴隨在教學(xué)的始終，貫穿于整個課堂，缺乏激勵的課堂就會像一潭死水，毫無生機(jī)。而精妙的評價語言就像是催化劑，能使課堂掀起層層波瀾，讓學(xué)生思維的火花時刻被點燃。教師準(zhǔn)確、生動、親切的評價語言大大調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，讓學(xué)生在激勵中學(xué)、自信中學(xué)、快樂中學(xué)，讓教師與學(xué)生零距離地接觸，我想學(xué)生的心理更能感覺到更大的鼓舞。六、案例研討播種轉(zhuǎn)化，凝結(jié)創(chuàng)新——“求不規(guī)則物體的體積”案例分析黎倩倩一、案例背景小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“要重視從學(xué)生的生活實踐經(jīng)驗和已有的知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)。”這就要求數(shù)學(xué)教師結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識，通過設(shè)計富有情趣和意義的活動，使學(xué)生切實體驗到身邊存在著“大數(shù)學(xué)”，用數(shù)學(xué)解決生活中的許多實際問題，進(jìn)一步對數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主創(chuàng)新能力?！肚蟛灰?guī)則物體的體積》是六年級內(nèi)容，在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓柱的表面積、體積的計算方法后，安排了這節(jié)應(yīng)用課，要求學(xué)生根據(jù)條件計算瓶子的容積。二、案例評析（一）自主訓(xùn)練（故事導(dǎo)入，初悟轉(zhuǎn)化）【評析：把數(shù)學(xué)與兒童生活實際聯(lián)系起來，可以讓學(xué)生看到生活中處處充滿數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)起來也親切、自然。在故事中進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的欲望?！浚ǘ┖献饔?xùn)練（動手實踐，提煉轉(zhuǎn)化）【評析：有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，不能單純地依靠模仿與記憶。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要形式，因此，我們必須讓學(xué)生在操作中感知事物，在頭腦中產(chǎn)生表象，以動促思，真正做到學(xué)生動手，教師參謀，使學(xué)生能在課堂上“活”起來。而學(xué)具操作可以促進(jìn)學(xué)生由無意識記向有意識記轉(zhuǎn)化和發(fā)展。學(xué)具操作，對提高小學(xué)學(xué)生無意識記和有意識記的同步發(fā)展十分有利。由于學(xué)生對操作實踐活動有濃厚的興趣，激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和旺盛的求知欲，他們對新鮮有趣的東西，能集中注意力去想它，從各方面去了解、解決它，以形成比較鮮明的深刻的印象，并且喜歡尋根問底，弄個水落石出，從而極大地促進(jìn)了有意識記的發(fā)展。學(xué)生在玩中學(xué)，學(xué)中玩，課堂教學(xué)氣氛活躍，提高了課堂40分鐘教學(xué)的效益和質(zhì)量。]】2、動手操作，合作探究【評析：合作學(xué)習(xí)是以學(xué)習(xí)小組為基本組織形式，合作學(xué)習(xí)是以系統(tǒng)教學(xué)動態(tài)因素的互動合作為動力資源的一種教學(xué)活動，它以達(dá)到特定的共同目標(biāo)為導(dǎo)向而設(shè)計、確定和管理的教學(xué)環(huán)節(jié)，合作學(xué)習(xí)也是以團(tuán)體成績依據(jù)的一種教學(xué)活動。以小組的方式來達(dá)到生生、師生互動，對教學(xué)的動態(tài)因素進(jìn)行互動與反饋，達(dá)到一種良好的效果。自主、合作、探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，在課程改革全面推開的今天，必須乘著課改的東風(fēng)，致力于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生在自主探索中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?！浚ㄈ┻_(dá)標(biāo)訓(xùn)練（生活應(yīng)用，鞏固內(nèi)化）【評析：在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅通過上面所獲得的知識驗證了正確的轉(zhuǎn)化思維方法，閃爍著學(xué)生創(chuàng)新思維的火花，而且使學(xué)生產(chǎn)生了原來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動權(quán)掌握在自己手中的體驗，感受到了成功的喜悅?！浚ㄋ模┩卣褂?xùn)練（思維開拓，內(nèi)化提升）【評析：數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。在教學(xué)中，教師應(yīng)經(jīng)常讓學(xué)生運用所學(xué)知識去解決生活中的實際問題，使學(xué)生在實踐數(shù)學(xué)的過程中及時掌握所學(xué)知識，感悟到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值所在，從而增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看周圍的事物，想身邊的事情，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)問題，在學(xué)生眼中不再是簡單的數(shù)字，而是富有情感、貼近生活、具有活力的東西。因此，課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練要面對生活實踐，為學(xué)生營造一種寬松平等而又充滿智力活動的氛圍，使學(xué)生受到創(chuàng)新性思維的訓(xùn)練?！咳?、案例分析（一）“轉(zhuǎn)化”——激發(fā)求知欲，訓(xùn)練思維的積極性。思維的惰性是影響發(fā)散思維的障礙，而思維的積極性是思維惰性的克星。所以，培養(yǎng)思維的積極性是培養(yǎng)發(fā)散思維的極其重要的基矗在教學(xué)中，教師要十分注意激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和對知識的渴求，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學(xué)習(xí)和思考，有效地激發(fā)了學(xué)生尋求新方法的積極情緒。我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中還經(jīng)常利用“障礙性引入”、“沖突性引入”、“問題性引入”、“趣味性引入”等，以激發(fā)學(xué)生對新知識、新方法的探知思維活動，這將有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和求知欲。在學(xué)生不斷地解決知與不知的矛盾過程中，還要善于引導(dǎo)他們一環(huán)接一環(huán)地發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題。（二）“轉(zhuǎn)化”——轉(zhuǎn)換角度思考，訓(xùn)練思維的求異性。發(fā)散思維活動的展開，其重要的一點是要能改變已習(xí)慣了的思維定向，而從多方位多角度——即從新的思維角度去思考問題，以求得問題的解決，這也就是思維的求異性。從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，小學(xué)生在進(jìn)行抽象的思維活動過程中由于年齡的特征，往往表現(xiàn)出難以擺脫已有的思維方向，也就是說學(xué)生個體（乃至于群體）的思維定勢往往影響了對新問題的解決，以至于產(chǎn)生錯覺。所以要培養(yǎng)與發(fā)展小學(xué)生的抽象思維能力，必須十分注意培養(yǎng)思維求異性，使學(xué)生在訓(xùn)練中逐漸形成具有多角度、多方位的思維方法與能力。（三）“轉(zhuǎn)化”——一題多解、變式引伸，訓(xùn)練思維的廣闊性。思維的廣闊性是發(fā)散思維的又一特征。思維的狹窄性表現(xiàn)在只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云。反復(fù)進(jìn)行一題多解、一題多變的訓(xùn)練，是幫助學(xué)生克服思維狹窄性的有效辦法。可通過討論，啟迪學(xué)生的思維，開拓解題思路，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生通過多次訓(xùn)練，既增長了知識，又培養(yǎng)了思維能力。教師在教學(xué)過程中，不能只重視計算結(jié)果，要針對教學(xué)的重難點，精心設(shè)計有層次、有坡度，要求明確、題型多變的練習(xí)題。要讓學(xué)生通過訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑，使思維的廣闊性得到不斷發(fā)展。要通過多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)入廣闊思維的佳境。（四）“轉(zhuǎn)化”——轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練思維的聯(lián)想性。聯(lián)想思維是一種表現(xiàn)想象力的思維，是發(fā)散思維的顯著標(biāo)志。聯(lián)想思維的過程是由此及彼，由表及里。通過廣闊思維的訓(xùn)練，學(xué)生的思維可達(dá)到一定廣度，而通過聯(lián)想思維的訓(xùn)練，學(xué)生的思維可達(dá)到一定深度。例如有些題目，從敘述的事情上看，不是工程問題，但題目特點確與工程問題相同，因此可用工程問題的解題思路去分析、解答。讓學(xué)生進(jìn)行多種解題思路的討論時，有的解法需要學(xué)生用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，才能使解題思路簡捷，既達(dá)到一題多解的效果，又訓(xùn)練了思路轉(zhuǎn)化的思想。“轉(zhuǎn)化思想”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的