高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件 呂小俊 第3-6章 不定積分 - 微分方程

§3.1

不定積分的概念和性質(zhì)

第三章不定積分CONTENT1

不定積分的概念2

不定積分的性質(zhì)目錄3

直接積分法舉例不定積分的概念Chapter1

一、原函數(shù)的概念

問題1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,是否唯一?3.若原函數(shù)不唯一,其結(jié)構(gòu)如何?一、原函數(shù)的概念存在性唯一性二、不定積分的概念

三、練習(xí)例1

三、練習(xí)例2

三、練習(xí)例3四、不定積分的幾何意義不定積分的性質(zhì)Chapter2

不定積分的性質(zhì)性質(zhì)3可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)加減的情況.

不定積分的性質(zhì)例4直接積分法舉例Chapter3

一、基本積分表

一、基本積分表

二、直接積分法二、直接積分法例5三、直接積分法舉例例6三、直接積分法舉例例7小結(jié)1、不定積分的概念2、不定積分的性質(zhì)3、直接積分法舉例謝謝！

§3.2

換元積分法

CONTENT1第一類換元法目錄2

第二類換元法第一類換元法Chapter1

一、第一類換元法

一、第一類換元法例9求

一、第一類換元法例10

一、第一類換元法第一類換元法也稱為湊微分法

一、第一類換元法例11

一、第一類換元法例12

一、第一類換元法例13

一、第一類換元法例14第二類換元法Chapter2

二、第二類換元法

二、第二類換元法

二、第二類換元法例14

二、第二類換元法

二、第二類換元法例18

二、第二類換元法例20

三、常用積分公式小結(jié)1、第一類換元法2、第二類換元法謝謝！

§3.3

分部積分法

CONTENT1

分部積分公式目錄2

分部積分公式的使用分部積分公式Chapter1

一、分部積分公式

一、分部積分公式分部積分公式的使用Chapter2

二、應(yīng)用例23

注：

二、應(yīng)用例24

二、應(yīng)用例25

二、應(yīng)用分部積分法可以多次使用例小結(jié)：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積,可設(shè)冪函數(shù)為u,而將其余部分湊微分進(jìn)入微分號,使得應(yīng)用分部積分公式后,冪函數(shù)的冪次降低一次.

二、應(yīng)用被積函數(shù)不是兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，也可用分部積分法例26

二、應(yīng)用例27

二、應(yīng)用分部積分法多次使用后，可產(chǎn)生循環(huán)式例28注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積,u,dv可隨意選取,但在兩次分部積分中,必須選用同類型的u,以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式,從而解出所求積分.

二、應(yīng)用分部積分法應(yīng)和其它積分法配合使用例29小結(jié)

分部積分公式：

謝謝！

§3.4

有理函數(shù)的積分

一、有理函數(shù)積分真分式化為部分分式Q(x)因式分解一次因式的乘積二次質(zhì)因式的乘積部分分式部分分式的求法待定系數(shù)法例:賦值法例:如上例混合法例:部分分式的積分部分分式u2+a2duMλu

+k(u2+a2)λduM1u

+k

一、有理函數(shù)積分有理函數(shù)的積分步驟(真分式)

真分式化為部分分式將分母進(jìn)行因式分解確定部分分式的形狀確定部分分式的待定系數(shù)注1.有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)2.有些有理函數(shù)的不定積分需要靈活處理

二、練習(xí)例30

二、練習(xí)例31

謝謝！

§4.1

定積分的概念和性質(zhì)

第四章定積分CONTENT1

引例2

定積分的概念目錄3

定積分的性質(zhì)引例Chapter1

一、曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線,直線及

x

軸所圍成的平面圖形.問題：如何計(jì)算曲邊梯形的面積

A？

一、曲邊梯形的面積1.分割：在區(qū)間

中用

n-1個(gè)點(diǎn)分成

n

個(gè)小區(qū)間,記

將曲邊梯形分成

n個(gè)小曲邊梯形.令每個(gè)小曲邊梯形的底邊長為

一、曲邊梯形的面積2.近似：討論第i個(gè)小曲邊梯形,記面積為,在區(qū)間

上任取一點(diǎn),以

為高作一個(gè)小矩形,矩形的長為,高為,那么曲邊梯形的面積

近似等于矩形面積,即

一、曲邊梯形的面積3.作和：對于大曲邊梯形來說,用同樣的方法,將剩下的

n-1個(gè)小曲邊梯形面積計(jì)算出來,然后作和即為大曲邊梯形的面積,即

4.取極限：當(dāng)分割越來越細(xì),且每個(gè)小區(qū)間的長度越來越小時(shí),上述近似值就越來越接近于精確值

A.記,則當(dāng)

時(shí),所有小區(qū)間的長度

都趨于零,于是

二、收益問題問題：設(shè)某商品的價(jià)格是購買量Q的函數(shù)(其中Q為連續(xù)變量),當(dāng)購買量從

a

變動(dòng)到

b時(shí)的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1個(gè)點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]分成

n

個(gè)小區(qū)間,每個(gè)購買量段

上的購買量為,相應(yīng)的收益為

從而總收益為

二、收益問題2.近似：當(dāng)

很小時(shí),在小區(qū)間

上變化也很小,可近似看作價(jià)格不變,任取一點(diǎn),把

作為該段的近似價(jià)格,因此該段的近似收益為3.作和：將n

段的收益加起來,即得收益R

的近似值4.取極限：當(dāng)分割越來越細(xì),且每個(gè)小區(qū)間的長度越來越小時(shí),上述近似值越來越接近于精確值

R.記,于是

二、收益問題共同點(diǎn)：曲邊梯形的面積和收益問題的計(jì)算,都采取了“分割—近似—作和—取極限”這些步驟,從而轉(zhuǎn)為相同結(jié)構(gòu)和式的極限定積分的概念Chapter2

一、定積分的定義

一、定積分的定義積分和

一、定積分的定義

二、定積分存在定理

三、定積分的幾何意義幾何意義：

三、定積分的幾何意義幾何意義：定積分的性質(zhì)Chapter3

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1、2(線性性質(zhì))

(其中

為常數(shù)).性質(zhì)3(積分可加性)

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果在區(qū)間

上,,則

性質(zhì)5如果在

上,,則

性質(zhì)7性質(zhì)6如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)8如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)9(積分中值定理)設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù),則在區(qū)間

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

c,使得

注：數(shù)

稱為函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值.

幾何解釋

積分中值定理的幾何意義在區(qū)間

上至少存在一點(diǎn)

使以區(qū)間

為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為

的矩形的面積.

練習(xí)例1

練習(xí)例2

小結(jié)小結(jié)小結(jié)謝謝！

§4.2

微積分基本定理

CONTENT1

積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)目錄2

微積分基本定理

引言積分學(xué)要解決的兩個(gè)問題：一是原函數(shù)的求法問題；

二是定積分的計(jì)算問題.

如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分,那將是十分困難的.因此,尋求一種計(jì)算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.

引言

不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個(gè)概念,但是,牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)并找到了這兩個(gè)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓—萊布尼茨公式.從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科——微積分學(xué).積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Chapter1

一、積分上限函數(shù)變上限定積分

二、微積分基本定理

二、微積分基本定理

練習(xí)例3

練習(xí)例4

微積分基本定理Chapter2

一、微積分基本定理注：該定理稱為微積分基本定理.

一、微積分基本定理

練習(xí)例5

練習(xí)例5

練習(xí)例6

練習(xí)例7

小結(jié)謝謝！

§4.3

換元積分法和分部積分法

CONTENT1換元積分法目錄2

分部積分法

積分法換元積分法Chapter1

一、換元積分法

一、換元積分法

一、換元積分法例8

一、換元積分法例9

一、換元積分法例10

二、練習(xí)例11

一、換元積分法換元公式可以反過來使用:

二、練習(xí)重要結(jié)論對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分例12

二、練習(xí)例13分部積分法Chapter2

一、分部積分法

二、練習(xí)例14

二、練習(xí)例15

二、練習(xí)例16小結(jié)1、換元積分法2、分部積分法謝謝！

§4.4

定積分的應(yīng)用

CONTENT1平面圖形的面積目錄2旋轉(zhuǎn)體的體積3在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用平面圖形的面積Chapter1

一、元素法用定積分解決的問題的特點(diǎn):所求量聯(lián)系著一個(gè)基本區(qū)間所求量對區(qū)間具有可加性應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的常用方法元素法元素法的主要步驟:選取積分變量,確定積分區(qū)間求出所求量對應(yīng)于一個(gè)小區(qū)間的元素寫出所求量積分表達(dá)式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不變代變曲線與直線及x

軸所圍曲邊梯形面積元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]面積元素:

一、元素法所求面積:定積分幾何意義

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

三、練習(xí)例17例18

三、練習(xí)較繁！

三、練習(xí)例19

三、練習(xí)例20旋轉(zhuǎn)體的體積Chapter2

一、旋轉(zhuǎn)體的體積求由連續(xù)曲線段繞

x軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積.元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]體積元素:所求體積:

一、旋轉(zhuǎn)體的體積類似地:

一、旋轉(zhuǎn)體的體積類似地:

二、練習(xí)例21

二、練習(xí)例22在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用Chapter3

一、在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用

二、舉例例23

二、舉例例24小結(jié)1、元素法2、平面圖形的面積3、旋轉(zhuǎn)體的體積4、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用謝謝！

第五章多元函數(shù)微積分學(xué)

§5.1空間解析幾何簡介

CONTENT1

空間直角坐標(biāo)系2空間任意兩點(diǎn)間的距離目錄3曲面與方程空間直角坐標(biāo)系Chapter1平面解析幾何空間解析幾何

第一部分：空間直角坐標(biāo)系空間任意兩點(diǎn)間的距離Chapter2平面解析幾何空間解析幾何

第二部分：空間任意兩點(diǎn)間的距離曲面與方程Chapter3例1請寫出空間直角坐標(biāo)系中,球心在原點(diǎn)、半徑為R的球面方程

解

第三部分：曲面與方程平面解析幾何

平面曲線空間解析幾何

空間曲面第三部分：曲面與方程第三部分：曲面與方程例2求三個(gè)坐標(biāo)平面的方程

解

第三部分：曲面與方程例3

解

第三部分：曲面與方程例

一般地，在空間中，三元一次方程

§5.2多元函數(shù)的概念CONTENT1多元函數(shù)的定義2二元函數(shù)定義域的幾何表示目錄3二元函數(shù)的幾何意義多元函數(shù)的定義Chapter1第一部分：多元函數(shù)的定義

第一部分：多元函數(shù)的定義

二元函數(shù)因變量依賴兩個(gè)自變量的函數(shù)關(guān)系因變量自變量使算式有意義的自變量所組成的點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的定義域第一部分：多元函數(shù)的定義例4

例5

第一部分：多元函數(shù)的定義例6

例7

第一部分：多元函數(shù)的定義例8

解二元函數(shù)定義域的幾何表示Chapter2第二部分：二元函數(shù)定義域的幾何表示

第二部分：二元函數(shù)定義域的幾何表示

例例

解

解第二部分：二元函數(shù)定義域的幾何表示

例例

解

解二元函數(shù)的幾何意義Chapter3第三部分：二元函數(shù)的幾何意義

第三部分：二元函數(shù)的幾何意示

例9

解§5.3二元函數(shù)的極限與連續(xù)CONTENT1二元函數(shù)的極限2二元函數(shù)的連續(xù)目錄二元函數(shù)的極限Chapter1平面上兩點(diǎn)之間的距離

第一部分：二元函數(shù)的極限平面上的鄰域

第一部分：二元函數(shù)的極限平面上的鄰域

第一部分：二元函數(shù)的極限定義

或第一部分：二元函數(shù)的極限例10

例11

解第一部分：二元函數(shù)的極限

解例11

解

不存在第一部分：二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的連續(xù)Chapter2第二部分：二元函數(shù)的連續(xù)

§5.4偏導(dǎo)數(shù)與全微分CONTENT1偏導(dǎo)數(shù)2高階偏導(dǎo)數(shù)目錄3全微分4全微分的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)Chapter1第一部分：偏導(dǎo)數(shù)

第一部分：偏導(dǎo)數(shù)

第一部分：偏導(dǎo)數(shù)

例12

第一部分：偏導(dǎo)數(shù)解

例13

第一部分：偏導(dǎo)數(shù)解

高階偏導(dǎo)數(shù)Chapter2第二部分：高階偏導(dǎo)數(shù)

例14

第二部分：高階偏導(dǎo)數(shù)解

全微分Chapter3第三部分：全微分

第三部分：全微分

第三部分：全微分偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微；偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，函數(shù)一定可微總結(jié)

例16第三部分：全微分解

例17第三部分：全微分解

全微分的應(yīng)用Chapter4第四部分：全微分的應(yīng)用

要造一個(gè)無蓋的圓柱形水槽，其內(nèi)半徑為2米，高為4米，厚度均為0.01米，求需用材料多少立方米.例18第四部分：全微分的應(yīng)用解

§5.5復(fù)合函數(shù)的微分法與隱函數(shù)的微分法CONTENT1復(fù)合函數(shù)的微分法2隱函數(shù)的微分法目錄復(fù)合函數(shù)的微分法Chapter1第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法

例19

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法解

例20

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法

解

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法

例21

全導(dǎo)數(shù)

例22

第一部分：復(fù)合函數(shù)的微分法解

隱函數(shù)的微分法Chapter2第二部分：隱函數(shù)的微分法

例23

第二部分：隱函數(shù)的微分法解

所以第二部分：隱函數(shù)的微分法

例24

第二部分：隱函數(shù)的微分法解

所以

§5.6二元函數(shù)的極值CONTENT1二元函數(shù)的極值2條件極值與拉格朗日乘數(shù)法目錄二元函數(shù)的極值Chapter1第一部分：二元函數(shù)的極值

第一部分：二元函數(shù)的極值極值存在的必要條件

例25

解

第一部分：二元函數(shù)的極值第一部分：二元函數(shù)的極值極值存在的充分條件

例26

第一部分：二元函數(shù)的極值解

例27

第一部分：二元函數(shù)的極值解

第一部分：二元函數(shù)的極值解

條件極值與拉格朗日乘數(shù)法Chapter2第二部分：條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

例28

第二部分：條件極值與拉格朗日乘數(shù)法解

所以拉格朗日函數(shù)為

第二部分：條件極值與拉格朗日乘數(shù)法解拉格朗日函數(shù)

§5.7二重積分CONTENT1二元函數(shù)的極值2條件極值與拉格朗日乘數(shù)法目錄二重積分的基本概念和性質(zhì)Chapter1第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

拉長求和“sum”

和的極限“l(fā)imitsofsums”

積分區(qū)域積分符號積分變量被積函數(shù)微分第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)二重積分的性質(zhì)

二重積分的性質(zhì)第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

二重積分的性質(zhì)第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

二重積分中值定理第一部分：二重積分的基本概念和性質(zhì)

二重積分的計(jì)算Chapter2第二部分：二重積分的計(jì)算

第二部分：二重積分的計(jì)算先計(jì)算截面面積

再計(jì)算曲頂柱體體積

第二部分：二重積分的計(jì)算

第二部分：二重積分的計(jì)算先計(jì)算截面面積

再計(jì)算曲頂柱體體積

例29

第二部分：二重積分的計(jì)算解

例30

第二部分：二重積分的計(jì)算解

例31

第二部分：二重積分的計(jì)算解

例32

第二部分：二重積分的計(jì)算

例32

第二部分：二重積分的計(jì)算

例32

第二部分：二重積分的計(jì)算

例32

第二部分：二重積分的計(jì)算

§6.1

微分方程基本概念

第六章微分方程CONTENT目錄1微分方程定義2

微分方程得解例1.

例1.

例2.

例3.

例3.

如含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程為方程中所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程.常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程為偏微分方程.微分方程的階.一階一階二階一階

一般的n階微分方程為或已解出最高階導(dǎo)數(shù)定義

284代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.微分方程的解的分類(1)通解微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解確定了通解中任意常數(shù)以后的解.如方程通解通解特解特解285初始條件用來確定任意常數(shù)的附加條件.如前例,一階方程二階方程的初始條件表示為的初始條件表示為即為初始條件，例4.

§6.2

一階微分方程

CONTENT目錄1可分離變量微分方程3一階線性微分方程2

一階齊次微分方程

轉(zhuǎn)化

可分離變量微分方程解分離變量方程

可分離變量方程形如的一階微分方程叫做可分離變量方程

.兩邊積分,則有即形如的方程都叫做可分離變量方程.可化為已分離變量形式求解.或

分離變量方程的解法:設(shè)y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0

時(shí),說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F’(x)=f(x)≠0時(shí),上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.可分離變量方程，求解步驟：(變量分離法)1、分離變量,得2、兩邊積分,得3、求出通解隱函數(shù)確定的微分方程的解微分方程的隱式通解例5.例5.例6.例6.例7.二、齊次方程形如的方程叫做一階齊次微分方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替

u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例8例8例9例9303一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱為上面方程稱為如線性的;非線性的.齊次的;非齊次的.線性一階

自由項(xiàng)一階線性微分方程特點(diǎn)：右邊是已知函數(shù)，左邊每項(xiàng)中僅含304齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)(C1為任意常數(shù)),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò3052.線性非齊次方程線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況.設(shè)想非齊次方程

待定函數(shù)線性齊次方程的通解是的解是306從而C(x)滿足方程307即一階線性非齊次微分方程的通解為常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法..)()(dd的解是xQyxPxy=+308用常數(shù)變易法解一般的一階線性非齊次方程得到通解公式(10)：注解一階線性微分方程，可以直接利用這個(gè)公式，也可以用常數(shù)變易法.對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解

上式表明

非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和

例10例11例12例12§6.3

可降階的高階微分方程

CONTENT目錄1高階微分方程定義3

型的微分方程4

型的微分方程2

型的微分方程

一、高階微分方程

定義：二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程。一般形式為：

或?qū)τ谟行┨厥獾母唠A微分方程，我們可以通過某種變換降為較低階微分方程加以求解，所以稱為“降階法”。

下面我們介紹三種容易降階的高階微分方程的求解方法：

二、型的微分方程解法：特點(diǎn)：等式右端僅含有自變量x在兩邊積分則