內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市英才學(xué)校高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市英才學(xué)校高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取高二年級20名學(xué)生某次考試成績（百分制）如下表所示：序號1234567891011121314151617181920數(shù)學(xué)成績9575809492656784987167936478779057837283物理成績9063728791715882938177824885699161847886若數(shù)學(xué)成績90分（含90分）以上為優(yōu)秀，物理成績85（含85分）以上為優(yōu)秀，則有多少把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系（

）A．95%

B．97.5%

C.99.5%

D．99.9%參考數(shù)據(jù)公式：①獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量的值的計(jì)算公式：參考答案：C2.高二（2）班男生36人，女生18人，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽出人，若抽出的男生人數(shù)為12，則等于（

）A．16

B．18

C．20

D．22參考答案：B3.已知函數(shù)，則（

）A.4

B.5

C.10

D.9參考答案：C4.若a>b，則下列各式中正確的是

（

）

A． B．

C．

D．參考答案：B5.某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分如圖所示，則甲、乙兩運(yùn)動員得分的中位數(shù)分別是（）A．26

33.5 B．26

36 C．23

31 D．24.5

33.5參考答案：A【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】由莖葉圖知甲的數(shù)據(jù)有12個(gè)，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)，乙的數(shù)據(jù)有13個(gè)，中位數(shù)是中間一個(gè)數(shù)字36．【解答】解：由莖葉圖知甲的數(shù)據(jù)有11個(gè)，中位數(shù)是中間一個(gè)數(shù)字26．乙的數(shù)據(jù)有12個(gè)，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)=33.5．故選：A．6.設(shè)10≤X1<x2<X3<X4≤，x5=，隨機(jī)變量，取值X1、X2、X3、X4、X5的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值、、、、的概率也均為0.2，若記、

分別為、的方差，則（

）

A.

>

B．=

C．

<

D．，與的大小關(guān)系與x1，、X2、X3、X4的取值有關(guān)參考答案：A

7.570角所在的象限是(

)A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角參考答案：C8.已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為A.

B.

C.

D.參考答案：D9.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足≥0，則必有

(

)

(A)＜ (B)≤

(C)≥

(D)＞參考答案：C10.函數(shù)y＝f（x）在定義域（－，3）內(nèi)的圖像如圖所示．記y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y＝f￠（x），則不等式f￠（x）≤0的解集為（

）A．[－，1]∪[2，3）

B．[－1，]∪[，]C．[－，]∪[1，2）D．（－，－]∪[，]∪[，3）參考答案：A因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）在區(qū)間[－，1]和[2，3）內(nèi)單調(diào)遞減，所以不等式f￠（x）≤0的解集為[－，1]∪[2，3）。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.底面邊長為，高為的正三棱錐的全面積為

．參考答案：12.設(shè)x，y都是正數(shù)，且，則3x+4y的最小值

參考答案：13.數(shù)據(jù)－2，－1，0，1，2的方差是____

參考答案：214.已知Φ，則直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為________

參考答案：

215.的逆矩陣為

.參考答案：16.以正方形ABCD的相對頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

；設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn),若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為

；經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則線段AB的長等于__________．參考答案：，，7；17.如圖所示，在正方體中，M、N分別是棱AB、的中點(diǎn)，的頂點(diǎn)P在棱CC1與棱C1D1上運(yùn)動，有以下四個(gè)命題：①平面；②平面平面；③在底面ABCD上的射影圖形的面積為定值；④在側(cè)面上的射影圖形是三角形.其中正確命題的序號是

.參考答案：②③略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本大題滿分12分）如圖，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且位于軸上方，過點(diǎn)P作x軸的平行線交橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，連接，（1）若存在點(diǎn)P，使為平行四邊形，求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）若存在點(diǎn)P，使為菱形；①求橢圓的離心率；②設(shè)、，求證：以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B．參考答案：（1）設(shè)，則，∵，∴，由；（2）①，，∵，∴；②以為直徑的圓方程為，下證滿足方程，即…（＊），∵，∴，∴，∴（＊）成立，∴以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B．19.已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是9和1(1)

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

若橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之積為m，求當(dāng)m取最大值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦距為2c.

解得,b=3

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|·|PF2|()2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5時(shí)，取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)是短軸端點(diǎn)，略20.已知函數(shù)．（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，試求a的取值范圍；（Ⅲ）記g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)，求出導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間，即為函數(shù)的增區(qū)間，求出導(dǎo)數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間．（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）＞2（a﹣1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a﹣1），從而求得a的取值范圍．（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的符號求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，得到，解出實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)椋?，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2）．（Ⅱ）

，由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，．因?yàn)閷τ?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．則．由解得．所以，a的取值范圍是

．（Ⅲ）依題得，則．由g'（x）＞0解得

x＞1；

由g'（x）＜0解得

0＜x＜1．所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．

所以，b的取值范圍是．21.(本題滿分14分)

已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．參考答案：由得，……….7分又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．……….9分⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為令，得，將代入整理，得．

②…………….12分由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．……….14分22.（本題滿分14分）惠州市在每年的春節(jié)后，市政府都會發(fā)動公務(wù)員參與到植樹活動中去．林管部門在植樹前，為保證樹苗的質(zhì)量，都會在植樹前對樹苗進(jìn)行檢測．現(xiàn)從甲乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，量出的高度如下(單位：厘米)甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46(1)根據(jù)抽測結(jié)果，完成答題卷中的莖葉圖，并根據(jù)你填寫的莖葉圖，對甲、乙兩種樹苗的高度作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(2)設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為，將這10株樹苗的高度依次輸入如圖程序框圖進(jìn)行運(yùn)算，問輸出的S大小為多少？并說明S的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義．參考答案：解：(1)莖葉圖如圖．……...4分統(tǒng)計(jì)結(jié)論：①甲種樹苗的平均高度小于乙種樹苗的平均高度