四川省綿陽(yáng)市某校2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)

期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

L命題uVxGR,sinx<xn的否定是（）

A.3xeR,sinx>xB.R,siar>x

C?VXGR,sinx<xD?VXGR,sinx>x

2.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=3-i,則復(fù)數(shù)z是

A-2+iB-2-iJCl-2zD5l+2z

3.函數(shù)/（x）=ex-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（)

A''{IIT)c.(L+oo)D.(O,e)

4.4名男生2名女生排成一排，要求兩名女生排在一起的排法總數(shù)為（）

A.48B.96C.120D.240

5.已知命題，：Vx<1,log^x>0J命題夕：3x0eR?工：之2與，則下列命題中為真命

題的是（）

夕

A.B-([P)A(F)

C.pv(「q)D.pzq

6.函數(shù)/（x）=sinx+xcosx的圖象大致是（）

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

7.已知函數(shù)負(fù)x）的導(dǎo)函數(shù)/G）,且滿足關(guān)系式/@）=/+3葉，（2）+[11*則/'（2）的值

等于（）

99

A.2B.—2C.-D.--

44

8.如圖，正方體力8CD_/￡CQ]中，。是ZQ的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論:

①P8//0C；②PB〃平面BRC

③尸818（；④PB_L平面4G。

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

9.已知函數(shù)/(x)=2x+lnx-2在區(qū)間[L2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)"的取值范圍為

()

A.(一8,-3]B.[_3,+OO)C.(-QO,-10][-10,4-oo)

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

10.如圖所示，在平行六面體中，M為4G與8Q的交點(diǎn)，若德

B.匕+4+)

22

1-1-

D.——〃+—b7+c

22

11.第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)舉行期間，安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國(guó)家高山滑雪館,

國(guó)家速滑館，首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人

都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的方案種數(shù)為（）

A.18B.16C.14D.12

a

12.已知。=0生3，b0=Q號(hào)r，-scin-Osm1u.l,則h，。C,的大小關(guān)系正確的是（）

TI71

A?a>b>cB.c>a>b0'a>c>bh>a>c

二、填空題

13.函數(shù)〃x）=41nx-3x2的圖象在x=l處的切線方程為一.

14.在（2x+_lj的展開式中，含1項(xiàng)的系數(shù)為一

15.由數(shù)字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個(gè)數(shù)

為一

16.若對(duì)區(qū)間。上的任意x都有工（幻4/（幻4人（x）成立，則稱/（x）為工㈤到右㈤在

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

2

區(qū)間。上的“任性函數(shù)”，已知ft(x)=}nx+x,fAx)=-+3x,若"x)=x+。是

X

/(X)到啟X)在L上的，，任性函數(shù)"，則”的取值范圍是

三、解答題

17.設(shè)命題P：實(shí)數(shù)x滿足卜_“8_3“)<0,其中〃>0,命題外實(shí)數(shù)x滿足

4<2X<8-

(1)若°=1，且pAg為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若q是P的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(》)=辦3+辰2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)加(1，4),且在--2取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)。，方的值；

(2)若函數(shù)/卜)在區(qū)間(加，，"+1)上單調(diào)遞增，求加的取值范圍.

19.如圖，在直三棱柱48C-44G中，4BLBC，AB=BC=BB、=2,D，E分別

為48,CG的中點(diǎn).

(1)判斷直線與平面48?的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)求異面直線ABy與BE所成角的余弦值.

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

20.設(shè)函數(shù)/(x)=—』+(2x+lnx(aG&).

(1)當(dāng)。=—1時(shí)，求函數(shù)段)的單調(diào)區(qū)間；

a

(2)若函數(shù)段)在「11,13上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

1_3」

21.如圖，四棱錐尸-48CD中，PD1ABCD-ABX.AD,ABPDC，

DC=AD^PD^\,AB=2,E為線段尸/上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊48上且CF.

(1)若E為尸么的中點(diǎn)，求四面體BCE尸的體積；

(2)在線段尸'上是否存在點(diǎn)“，使得叱與平面,FC所成角的余弦值是逅？若存在,

3

求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=e-ox-2,其導(dǎo)函數(shù)為了，(?

(1)求函數(shù)/(x)=e*_ar-2的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃=],左為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x_k)f'(x)+x+l>0，求發(fā)的最大值.

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】全稱量詞命題否定為存在量詞命題即可.

【詳解】命題uVxeR,sinx<xv的否定是uR,sinx>x，??

故選：A

2.C

【詳解】依題意=?-叩-?=寧=1_2.

1+i(l+i)(l-i)2

3.A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】/(*)=4-質(zhì)，函數(shù)定義域?yàn)?°，+00),/-(x)=e--(x>0),

X

令r(x)<°,得o<x<］所以函數(shù)/a)的單調(diào)遞減區(qū)間是［o,￡］.

故選：A.

4.D

【分析】相鄰元素運(yùn)用捆綁法解決即可.

【詳解】第一步將兩名女生看作一個(gè)整體與4名男生全排列，第二步將兩名女生內(nèi)部排列,

即：A；A；=240?

故選：D.

5.A

【分析】先確定命題2國(guó)的真假，再根據(jù)真值表逐一判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】當(dāng)X<1時(shí),log3X<log31=0

故命題P：”<1,是假命題；

當(dāng)工=2時(shí)，無(wú)=藝,

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

故命題q：3x0GR>x；22與是真命題;

所以Pvg為真命題，J,)人(「4,pv(「g)，P”均為假命題

故選：A

6.A

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及圖象的特征逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】因?yàn)?(-X)=^-(-x)2sin(-x)-xcos(-x)=--^-x2sinx-xcosx=-/(x).所以函數(shù)

/卜)為奇函數(shù)，故排除C、D；

2xcosx>0

當(dāng)時(shí)，lxsinx>0,,所以故排除B.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再令丫人一_乙2即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x)=x2+30'(2)+Inx，

所以f\x)=2x+3f'(2)+-,

X

%-2I

令一，則八2尸4+3/”(2)+5，

QQ

即2"2)=-彳,解得八2尸一了，

24

故選：D

8.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，

則尸(1,0,1),8(2,2,0),麗=(1,2,-1)，。=(0,0,2),C(0,2,0),麻=(0,2,-2)，

不存在實(shí)數(shù)2使得方=2瓦，所以①錯(cuò)誤.

四(2,2,2),函=(2,2,0),西=(2,0,2)，

設(shè)平面2.C的法向量為［=(占出,zJ，

nD,B,=2x,+2y,=0/=1y=z=-ln

則[.函=2.+2]0,令，得][做可設(shè)

PB-n=\-2+l=0,所以而_L>

由于尸8a平面8QC，所以P8〃平面BQC，②正確.

9?西=2-2=0，所以尸8_L8|。③正確，

4(2,0,2),G(0,2,2),葩=(一2,2,0)，

玩而=-2+4=240,所以心與4G不垂直，

4Gu平面4G。，所以必與平面4CQ不垂直，所以④錯(cuò)誤?

故正確的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

9.C

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/'（x）W0在［I2］上恒成立，由此可得。4（-2/-才）而"，根據(jù)二次函

數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.

【詳解】??,/⑴在上2］上單調(diào)遞減，；J，（X）=2+_L+;=至±半MO在-2］上恒成立,

v7XX2X"

即a4-2x2—x在［1,2］上恒成立，

又_2--》2-2乂4-2=-10，，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-oo,-101

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，本題解題

的基本思路是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/（“wo恒成立的問(wèn)題，進(jìn)而采用參變分離的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為二次函數(shù)最值的求解問(wèn)題.

10.D

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到答案.

【詳解】因?yàn)?為4G與8a的交點(diǎn)，所以麗=；瓦不+；而，

==^A.+-'B^A,+-~B^C,=c--'AB+-'AD=--a+-b+c.

,11222222

故選：D

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

11.c

【分析】根據(jù)分到首鋼滑雪大跳臺(tái)的人數(shù)分兩類分別計(jì)算可得.

【詳解】首鋼滑雪大跳臺(tái)只安排1人：先從丙、丁兩人中選擇1人安排到首鋼滑雪大跳臺(tái)

有2種，再將剩余3人分成兩組有C：種，最后將兩組分到高山滑雪館和國(guó)家速滑館有A：種，

所以甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)，且只安排1人的方案共有2C：A；=2x3x2=12

種；

首鋼滑雪大跳臺(tái)安排2人：丙、丁兩人只能安排到首鋼滑雪大跳臺(tái)，然后將甲、乙安排到

高山滑雪館和國(guó)家速滑館有A；=2種.

綜上，滿足條件的方案種數(shù)為12也=14種.

故選：C

12.B

【分析】作差法比較出構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出c>“，從而得出c>a>"

a>h

，'生,0.30.9°.3兀&90.33<俱9a-b>0+i,▽

【詳解】a-h=------r=----j——>-----j-----=0,所以，故，又

/(x)=7csinx-3x則/'(x)=TICOSx-3在上單調(diào)遞減，又/'（。才生0->

,”-文。所以存在與4。，胃使得/'（%）=0,且在x?0，x°）時(shí)，小13,

時(shí)，/'（力<°,即小）=兀.x-3x在xe（O,x。）上單調(diào)遞增，在

在山鵬5單

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

調(diào)遞減，且/，（普三二63，所以與唱，又因?yàn)椤ā悖?°，所以當(dāng)xe（O，x。）時(shí),

/(x)=7rsinx-3x>0；其中因?yàn)槲ⅰ炊証^yfJ-knsinO.l-OJ>0，

,.八i0.3c>a>b

故Asm0.1>—,B即n

n

故選：B

"?2x+y+l=0

【分析】求出/⑴及導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程.

【詳解】因?yàn)?(x)=41nx-3:所以/⑴=41nl-3x/=_3,rq)，_6x,

4

則/<l)=；-6xl=-2,

所以切線方程為y+3=-2（尢-1），即2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+l=0

14.192

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得答案.

【詳解】二項(xiàng)式（2x+gj展開式的通項(xiàng)公式為d（2%廣[['=￡2-/27=0,],2,3,4,5,6,

令6-2，=4'得r=l'

所以展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為C；,2S=192-

故答案為：192.

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

15.42130

【分析】利用排列數(shù)公式求得由數(shù)字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的各種

情況，進(jìn)而得到從小到大排列第88個(gè)數(shù).

【詳解】由數(shù)字0,1,2,3,4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，

1在萬(wàn)位的有A：=24個(gè)，2在萬(wàn)位的有A：=24個(gè)，

3在萬(wàn)位的有A：=24個(gè)，4在萬(wàn)位的有A：=24個(gè)，

則從小到大排列第88個(gè)數(shù)為4在萬(wàn)位的五位數(shù)，

4在萬(wàn)位0在千位的有A；=6個(gè)，4在萬(wàn)位1在千位的有A；=6個(gè)，

4在萬(wàn)位2在千位的有A：=6個(gè)，

則從小到大排列第88個(gè)數(shù)為4在萬(wàn)位2在千位的五位數(shù)，

4在萬(wàn)位2在千位的五位數(shù)從小到大排列依次為

42013,42031,42103,42130,42301,42310,

則從小到大排列第88個(gè)數(shù)為42130.

故答案為：42130.

16-0<a<2^

【分析】由題意可知Inx+x2?x+a4_l+3x,令g（x）=lnx+丁-x,心）」+2x,

Xx

則g（X）maxMa<A（x）min-分別求出g（x）max,A（x）min即可求解

【詳解】由題意，對(duì)區(qū)間。上的任意”都有工（外4"外4人（乃成立，即對(duì)口，［上的任”,

.2.

都有Inx+x?<x+a<—+3x.

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

\nx+x2<x+a=>a>\nx+x2-xf

出zX12，/、2x~-X+11.

g(x)=Inx+x-x=>g(x)=-+2x-1=--------,xe-,1

xx\_2

因此g（x）在X』L1]上單調(diào)遞增，^^U=g（D=lnl+l2-l=0.

2

xxx

+

h(x)=-4-2x=>h\x)=--v2=———-,XG-,1

xxx\_2

Mx）Fi應(yīng)型檔」上單調(diào)遞增,

因此在xe2,T上單調(diào)遞減，

即X=4Z是"（X）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn),

2

+2#=2上

故.心）而

綜上，0<a<2>/2

*.⑴[2,3)

(2)(1,2)

【分析】（1）求出”=1時(shí)的命題P,再解指數(shù)不等式得到命題q,然后由兩個(gè)命題均為真

命題，求解即可；

（2）設(shè)/={x[q<x<3a,a>0}，5={x12<x<3}.將q是P的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為8

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

0A，利用真子集的定義列出關(guān)于°的不等關(guān)系，求解即可.

【詳解】⑴解：由已知(x-a)(x-3a)v0,又a>0,所以avxv3a,

當(dāng)a=l時(shí)，命題p:l<x<3,

由442”《8，即解得2W3

即命題，

因?yàn)镻、9都為真，即!24x43,解得2Wx<3

[l<x<3

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍為[2,3)；

(2)解：設(shè)/={x[a<x<3a,a>0}，B={x\2<x<3}，

因?yàn)?是P的充分不必要條件，所以8：>A,

則有|。<2,解得1<,2,

[3a>3

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍(1,2).

18.(1)a=\,6=3；(2),M>0ijJcw<-3.

【分析】(1)將"的坐標(biāo)代入/(x)的解析式，得到關(guān)于凡6的一個(gè)等式；求出導(dǎo)函數(shù),

根據(jù)/(-2)=0,列出關(guān)于a,b的另一個(gè)等式，解方程組，求出明6的值.

(2)求導(dǎo)解不等式求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，據(jù)題意知(加，加+1)G(-8,-

2]U[0,,列出端點(diǎn)的大小，求出機(jī)的范圍.

【詳解】解：(1)???/⑺的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)一(1,4),

；?a+b=4①式

/"(X)=3ax2+2bx

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

則/，(_2)=0，即一6a+2b=0②式

由①②式解得。=1，43：

(2)/(x)=x3+3x2,/r(x)=3x2+6x>

令f'(x\得'NO或爛-2,

?.?函數(shù)/(x)在區(qū)間5,w+1)上單調(diào)遞增

/.(m,m+\)G(-8,-2]U[0,+oo)

m>0或w+lg-2

m>0或m<-3.

19.(1)直線。石〃平面理由見解析

⑵典

10

【分析】(1)直線OE〃平面，取力用的中點(diǎn)尸，連接。尸，C.F>證明OE〃尸G

即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】(1)直線。E〃平面N8C，證明如下：

取四的中點(diǎn)J連接OJGJ因?yàn)椤?的中點(diǎn)，所以0尸〃叫且。尸彳明，

又“為出的中點(diǎn)，叫"CG,BBt=CC,所以田〃陽(yáng)，且田=；四，所以

DF//ECt'且DF=EQ，所以四邊形。EG尸為平行四邊形，所以DE〃FC\，又。平

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

面Z8|G，F(xiàn)C|U平面/81G，所以直線DE〃平面

（2）因?yàn)?BLBC，由已知得_L平面，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，以8C，BA>8g所

在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

由N8=8C=881=2，得/（0,2,0），5,（0,0,2）1￡（2,0,1）?函=（0,-2,2），=（2,0,1）'

AB,BE0西.明

2=710

設(shè)異面直線與所成的角為則cos0=cos(48”6E

HR2叵x亞-10

20.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為（；,+8）；（2）1,3-容

【分析】3）求得/，（x）,利用導(dǎo)數(shù)，即可由,（力的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

（2）對(duì)一r+ax+lnx=°分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x一膽，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最

X

值，即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】（1）函數(shù)40的定義域?yàn)椋?,+8）,

當(dāng)a——\時(shí)，

答案第111頁(yè)，共22頁(yè)

f(x)=-2x-1+1=-2x、x+l,

xx

令/(x)=0,得x=g(負(fù)值舍去)，

當(dāng)0<x<1時(shí)，/,(x)>0；

2

當(dāng)x>工時(shí)，f(x)<0.

2

的單調(diào)遞增區(qū)間為（o,；）,單調(diào)遞減區(qū)間為［g,+oo

(2)令,/(x)=—f+or+lnx=0,得〃=》一

X

令g(x)=x—叱，其中xG13，

x13

則g\x)=1-匕少=/+lnx-l,

/x2

令g<x)=0,得x=l,當(dāng)gwx<l時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)1〈爛3時(shí)，g'(x)>0,

；.ga）的單調(diào)遞減區(qū)間為l,iL單調(diào)遞增區(qū)間為（1,31,

??gQ)min=g(1)=1,

二函數(shù)./（x）在1,3上有兩個(gè)零點(diǎn),

3

又g(l]=31n3+1,g(3)=3--,31n3+i>3--,

3333

答案第121頁(yè)，共22頁(yè)

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［1,3-當(dāng).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,

涉及分離參數(shù)法，屬綜合中檔題.

21.（1）1

（2）存在，旦

10

【分析】（1）根據(jù)題意，以。為原點(diǎn)，以mh所在直線分別為X，yz軸建立空間

直角坐標(biāo)系。-斗，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求得點(diǎn)E到平面尸8c的距離為d，再計(jì)算體積即可;

（2）設(shè)點(diǎn)廠坐標(biāo)為根據(jù)方,麗得/］,；,。］,進(jìn)而根據(jù)線面角的向量方法求

解即可.

【詳解】（1）解：由題意可得D4OCOP兩兩互相垂直，

所以可以以。為原點(diǎn)，D4,DC,OP所在直線分別為X，yz軸建立空間直角坐標(biāo)系。-平，

如圖所示：

.一(1,0,0),8(120),C(0』,0),尸(0,0,1),￡化02

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...fl,TO),CP=(O,-1,1)；既=e，T,￡|.

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量而=(x,y,z)，

in-BC=-x-=0=(-1,1,1)

-^75?不妨令》=1,二.?

niCP=-y+z=n0

EPBCd

則公\CE廿m\$=

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

又因?yàn)?C=PC=0,依=&，...VPBC的面積為正

2

四面體BC"’的體積為、業(yè)*迫」?

3236

(2)設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1/,0)，?,?3=(1,/一1,0)，05=(1,2,0)-

即聲麗=°，"；

設(shè)荏=4而=(-九。㈤，Ae[o,l]-

.?.而=或+荏

設(shè)平面PFC的一個(gè)法向量[=(°,6,c)，

n-CF=O°=1n=(l,2,2)

a=—h

即,2令得

nCP=O

b-c