高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 奇偶性（解析版）

奇偶性

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟

1.函數(shù)奇偶性的概念

偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有/(-x)=∕(x),那么/(x)稱為偶函數(shù).

奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有"-χ)=-"χ),那么/(x)稱為奇函數(shù).

知識點(diǎn)詮釋：

(1)奇偶性是整體性質(zhì)；

(2)X在定義域中，那么r在定義域中嗎？--具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對稱的；

(3)f(r)=∕(x)的等價(jià)形式為：/(X)-/(-X)=O,$?=l(/(x)xθ),

?(-?)=-?(?)的等價(jià)形式為：f(x)+f(-χ)=o,4rv=T(f(X)≠0)；

?(?)

(4)由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0;

(5)若/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有F(X)=0?

2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)

(1)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，

如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).

(2)如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于y軸對稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，

則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟

(D求函數(shù)八幻的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)既

不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對稱，則進(jìn)行下一步；

(2)結(jié)合函數(shù)/(x)的定義域，化簡函數(shù)f(x)的解析式；

(3)求f(,-x),可根據(jù)/(-X)與?(?)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)/(X)的奇偶性.

若f(-χ)=-f(X),則/(X)是奇函數(shù)；

若/(-X)=/(X).則Z(X)是偶函數(shù)；

若f(-x)≠±/(X),則/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

若f(-x)=∕(x)且〃r)=-"x),則/(X)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

知識點(diǎn)二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法

(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，再判斷f(-x)與士∕(x)之一是否相等.

(2)驗(yàn)證法：在判斷了(-x)與f(x)的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證f(-x)±f(x)=O及XR=±1是否成立即可.

/(?)

(3)圖象法：奇(偶)函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱.

(4)性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；

兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).

(5)分段函數(shù)奇偶性的判斷

判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內(nèi)，對自變量X的不同取值范圍，有

著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法

也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后判斷f(-x)與/(x)的關(guān)系.首先要特別注意X與T的

范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，/(x)與/(-X)對應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)

的定義進(jìn)行比較.

知識點(diǎn)三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)。函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱：

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=∕(x)在X=O處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=f(x)必滿足f(x)=/(IΛ-∣).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對

稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)/(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形

式?i己g(x)=g"(x)+/(-X)］，〃(x)=g［∕(x)-?(-?)］，則f(x)=g(x)+h{x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所

得的函數(shù)，如/(x)+g(x),∕(x)-g(x),∕(x)×g(x),/(X)+g(x).

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶土偶=偶;奇士偶=非奇非偶；

奇X(÷)奇=偶；奇x(÷)偶=奇;偶x(÷)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式

題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值

題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

題型五：已知/'(x)=奇函數(shù)+M

題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題

題型七：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用

題型八：利用函數(shù)奇偶性識別圖像

【典型例題】

題型一：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例1.(2022?陜西?榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí))下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

A.y-y[xB.y=2x2+3C.y=---D.?=-x2,x∈(-1,1)

X

【答案】C

【解析】對于A：y=?定義域?yàn)閇0,+e),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y=?為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對于B：y=∕(x)=2f+3定義域?yàn)镽,則/(r)=2(ry+3=2χ2+3=∕(x),即y=2f+3為偶函數(shù)，

故B錯(cuò)誤；

對于C：y=g(χ)=-,定義域?yàn)?y,0)U(0,+∞),則g(-χ)=--L=L-g(χ),故y=-'為奇函數(shù),故

X~~XXX

C正確；

對于D:丁=/?(力=一/,了€(—1,1)定義域?yàn)?一1,1),貝IJM-X)=-(-χ)2=-χ2=MX),所以y=-χ2,χe(-l,l)

為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤：

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇

偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先''的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則

就會做無用功.

例2.(2022?湖北?華中師大一附中高一開學(xué)考試)已知函數(shù)〃力=.+：+".

⑴若g(x)=/(X)-2,判斷g(x)的奇偶性并加以證明.

(2)若對任意x<l,+e)J(x)>θ恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)g(x)="x)-2=二=

當(dāng)4=0時(shí)，g(χ)=χ,定義域?yàn)镽,止匕時(shí)g(-x)=—X=—g(x),

所以g(x)為奇函數(shù),

當(dāng)α*0時(shí)，定義域?yàn)?y,0)U(0,+∞),且g(-χ)=-χ-∕=-g(χ),

所以g(x)為奇函數(shù)，

綜上：g(χ)為奇函數(shù).

(2)x∈[l,+∞),∕(x)>0.

即〃X)=衛(wèi)生H=X+@+2>o,在χe[1,+8)上恒成立,

XX

整理為Q>_2X在X∈[1,+8)上恒成立，

?Λ(x)=-x2-2x=-(x÷l)2+1,

當(dāng)X=I時(shí)，Wme=-(l+I)?+1=—3,

所以α>-3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-3,轉(zhuǎn)).

例3?(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=/?,g(x)=xθx,則()

A./(χ+i)為奇函數(shù)，g(χ-D為偶函數(shù)

B./(χ+i)為奇函數(shù)，g(χ+D為偶函數(shù)

/(x+g)為奇函數(shù)，g(χ-D為偶函數(shù)

C.

D.為奇函數(shù)，g(χ+D為偶函數(shù)

【答案】D

,定義域?yàn)椴范x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故/(x+l)既

【解析】∕ω?-???∕(-0=?

不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);

—,定義域?yàn)椋吱Oχ≠o｝，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，令尸(X)=(，旦F(-x)=F(x),所以fX÷i

為奇函數(shù)；

g(x)=x2-2x,：.g(x-l)=(x-l)2-2(x-l)=f-4χ+3既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；

g(x+l)=(x+l)2-2(x+l)=f-1為偶函數(shù).

故選：D.

例4.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)/(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A./(x)”-力是奇函數(shù)B.“χ)∣"-χ)∣是奇函數(shù)

c.F(X)-/(T)是奇函數(shù)D./(x)+f(-x)是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)：設(shè)尸(X)="x)f(τ),F(-x)=∕(-x)∕(x)=F(x),則”x)”T)為偶函數(shù),A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：設(shè)G(X)=f(x)∣∕(r)∣,則G(T)="τ)∣f(x)∣,G(X)與G(-x)關(guān)系不定，即不確定"x)∣f(-x)∣

的奇偶性，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：設(shè)M(X)=/(力―/(r),則M(—x)=∕(r)-∕(x)=TW(X),則f(x)-/(T)為奇函數(shù),C正

確；

D選項(xiàng)：設(shè)N(X)=/(x)+∕(-x),則N(—x)=∕(-x)+∕(x)=N(X),貝∣J/(x)+∕(-x)為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

例5.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))已知F(X)=(丁一2x)∕(x),且/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(l)≠0,

則F(x)()

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】B

【解析】由已知F(X)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-x)=?√(x),

所以F(T)=(—Y+2x)〃T)=(X3-2x)/(X)=F(X),

所以F(X)為偶函數(shù)，

又產(chǎn)(T)=(T+2)/(T)=-F(1),F(l)=(l-2)∕(1)=-∕(1),又*1)*0,

所以F(-l)≠-F⑴，所以尸(力不為奇函數(shù)，

故選：B.

例6.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱B.圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)

c.奇函數(shù)一定滿足/(O)=OD.偶函數(shù)的圖像不一定與y軸相交

【答案】C

【解析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)知A,B正確；

對于C,如/(x)=JX∈(^,0)O(0,-HX>),易得函數(shù)“力是奇函數(shù)，但它的圖像不過原點(diǎn)，故C錯(cuò)誤;

對于D,如g(x)=±,x∈(^,0)u(0,^),易得函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，但它的圖像不與)，軸相交，故D

正確.

故選：C.

例7.(2022?浙江紹興?高二期末)已知/(x),g(x),"x)為R上的函數(shù)，其中函數(shù)/O)為奇函數(shù)，函數(shù)g(x)為

偶函數(shù)，則

A.函數(shù)〃(g(x))為偶函數(shù)

B.函數(shù)〃(/(x))為奇函數(shù)

C.函數(shù)gS(x))為偶函數(shù)

D.函數(shù)/S(X))為奇函數(shù)

【答案】A

【解析】設(shè)F(X)=〃(g(X)),因?yàn)間(χ)為偶函數(shù)，所以g(-χ)=g(χ),則尸(-χ)=Mg(-χ))="(g(χ))=F(χ),

所以函數(shù)∕z(g(x))是偶函數(shù)，故選A.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.

例8.(多選題)(2022.全國.高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x),g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，且"x)≠0,

g(x)*0,則()

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B./(x)-g(x)是奇函數(shù)

C./(x)g(x)是偶函數(shù)D./(x)∣g(x)∣是偶函數(shù)

【答案】ABC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，所以/(r)=-/(x),g(r)=-g(x),

對于A選項(xiàng)，設(shè)尸(X)=/(x)+g(x),則尸(-x)=∕(-X)+g(-X)=-/(x)-g(x)=-b(x),所以/(x)+g(x)

為奇函數(shù)，故A正確;

對于B選項(xiàng)，設(shè)尸(X)=/(x)-g(x),貝∣JF(-x)=∕(-x)-g(-x)=?√(x)+g(x)=-F(x),所以/(x)-g(x)

為奇函數(shù)，故B正確;

對于C選項(xiàng)，設(shè)E(X)=/(x)g(x),則F(-x)=f(r)g(r)=-f(x)[-g(x)]=F(x),

所以/(x)g(x)為偶函數(shù)，故C正確;

對于D選項(xiàng)，設(shè)F(X)=Ig(X)I,則F(r)=∕(T)Ig(T)∣=-∕(x)卜g(x)∣=-F(x),所以/(x)Ig(X)I是

奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

例9.(多選題)(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))下列判斷正確的是()

I匕上是偶函數(shù)X,+x,x<;是奇函數(shù)

A./(x)=(x-l)B.f(X)=

X-I-x^+x,x>()

2

J?-x

C./(x)=j3-χ2+-3是奇函數(shù)D."χ)=r?7是非奇非偶函數(shù)

X+3-3

【答案】BC

1-∣-γ

【解析】對于A,由匚』°口」-.。,得一1≤x<1,

則/(X)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以函數(shù)/(X)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對于B,函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)QO時(shí)，-X<O,

/(x)+/(-x)=-x2+x+(-x)^-X=O,

當(dāng)x<0時(shí)，也有“x)+∕(f)=0,所以“X)為奇函數(shù)，故B正確；

對于C,由3-f≥0且χ2-3≥0,得/=3,g∣Jχ=±√3,

"x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)/(x)=0,

所以/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確；

對于D,由l-χ2≥0且∣x+3∣—3≠0,得一l≤x≤l且Λ≠0,

/(χ)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)椤╔)=曲2=^3，

4_月=_正￡=_/(》)，所以函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選:BC.

例10.(多選題)(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中，在(0,+8)上單調(diào)遞增且圖像關(guān)于N軸對稱的是

()

A./(x)=x3B.f(x)=x2C./(x)=√xD./(x)=∣x∣

【答案】BD

【解析】關(guān)于A選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=d為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；

關(guān)于B選項(xiàng)，函數(shù)/(χ)=f為偶函數(shù)，其圖像圖像關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)f(χ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故

B正確：

關(guān)于C選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=G的定義域是［0,+8),故函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤：

關(guān)于D選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=W的定義域?yàn)镽,∕(r)=∣T=∣x∣=∕(x),所以函數(shù)F(X)為偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)?，

“x)=x,所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BD.

例11.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性.

⑴/(χ)=丁

⑵“χ)=(ι)侶；

(3)∕(X)=√3-X2+√√-3;

—2x,X<—1

⑷?f(x)=?2,-l≤x≤l.

2x,x>I

【解析】⑴"X)的定義域是(e,o)u(o,m),關(guān)于原點(diǎn)對稱,

又/(T)=(Ty-(=—卜一J)=-4》)，所以/(X)是奇函數(shù).

(2)因?yàn)?(x)的定義域?yàn)椋跿,l),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(3)因?yàn)榈亩x域?yàn)?6},所以/(x)=0,

則/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)方法一(定義法)因?yàn)楹瘮?shù)“X)的定義域?yàn)镽,所以函數(shù)“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

①當(dāng)x>l時(shí)，-x<-l,所以/(-x)=(-2)x(-x)=2x=f(x);

②當(dāng)-l≤x≤l時(shí)，/'(尤)=2；

③當(dāng)x<-l時(shí),-x>l,所以f(-x)=2x(-X)=-2X=F(X).

綜上，可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

方法二(圖象法)作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

-3-2-10\1233

例12.(2022?江蘇?鹽城市田家炳中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(x)=,nr+j∕n∈R).

⑴當(dāng)〃?=1時(shí)，判斷函數(shù)/(x)的奇偶性;

(2)當(dāng)加=0時(shí)，判斷函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性，并證明.

【解析】ɑ)當(dāng)加=1時(shí)，"x)=x+J,定義域?yàn)閧x∣x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

/(-?)=~x~~==-∕(x)，所以/(χ)是奇函數(shù).

(2)當(dāng)機(jī)=0時(shí)，f(x)=L證明：取O<x∣<x,,/(?i)-/(??)=-------=———,

V

'XXlX2XIX2

所以XIX2>0，J?r∣>0,則Fa)-F(W)>0,g∣J∕(xl)>∕(x2),

所以"x)在(0,+e)上是單調(diào)遞減函數(shù).

例13.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑴"i?;

(2)/(x)=(XT)后I；

(3)/(x)=Jl-χ2+Jx2-1；

x2-2x+3,x>0

(4)/(x)=<O,x=O.

-x2—2,x—3,x<O

_?4-X2≥O

【解析】⑴由1χ+3卜3≠θ,得-2≤N≤2,且XW0,

所以/(x)的定義域?yàn)椋?2,0)U(0,2］,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以〃X)=Qi=.匹I=@三:

∣x+3∣-3x+3-3X

又/(T)=也±立=_3三I=_〃x),所以/(X)是奇函數(shù).

—XX

(2)因?yàn)?(x)的定義域?yàn)椋跿,l),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(3)對于函數(shù)/(x)=√Γ∕+4r=i,p；：U，,x=±i,其定義域?yàn)閧τι},關(guān)于原點(diǎn)對稱.

因?yàn)閷Χx域內(nèi)的每一個(gè)X，都有"x)=0,所以"τ)="x),/(-x)=-∕(x),

所以“x)=√∏+4r二［既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

①當(dāng)X=O時(shí)，-x=0,

所以/(r)=f(O)=0,/(x)=∕(0)=0,所以/(-%)=-"力；

②當(dāng)x>0時(shí)，—X<0?所以J(―x)=—(―x)—2(—x)—3=—(r—2x+3)=—/(x)；

③當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,所以.f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-χ2-2x-3)=-∕(x).

綜上，可知函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

題型二：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式

例14.(2022.全國?高三競賽)已知/(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù).若〃x)-g(x)=f+2x+3,

則f(x)+g(x)=().

A?-x^+2x-3B?Λ2+2x—3

C.-X2-2x÷3D.X2-2x+3

【答案】A

【解析】由F(X)是奇函數(shù),有“τ)=-∕(χ).又g(x)是偶函數(shù)，有g(shù)(τ)=g(x).

在/(X)-g(x)=d+2x+3中，以-X代X,

得/(-X)-g(-x)=2x+3,

即-f(x)-g(r)=χ2-2x+3.

故/(x)+g(x)=-f+2x-3.選A.

【方法技巧與總結(jié)】

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程，從而可得

f(x)的解析式.

例15.(2022?福建?泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期中)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)QO時(shí)，函數(shù)的解

2

析式為/(χ)=*-1

X

(1)求f(-l)的值：

(2)用定義證明/(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)；

(3)求當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的解析式.

【解析】⑴/(T)=AD=I;

222(X—X)

(2)證明：任取0<玉<%2，貝IJf(XI)—/(工2)=——1----+1=1,所以玉工2>°，々一七>。，即

f(X1)>f(X2)t所以八幻在(0,+∞)上是減函數(shù)；

22

(3)任取x<0,則一x>0,故/(T)=——一可⑴，即x<0時(shí)，函數(shù)的解析式為/0)=———1.

XX

例16.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)〃X)=竽二1是定義在(-3,3)上的奇函數(shù)，且"1)=J.

9—XO

⑴確定“X)的解析式；

⑵判斷了(X)在(-3,3)上的單調(diào)性，并用定義證明.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃X)=詈?是定義在(-3,3)上的奇函數(shù)

所以/(。)=9=0,解得b=0?

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)6=0時(shí)，"X)=言是(-3,3)上的奇函數(shù)，滿足題意.

乂川)=言="，解得。=1，

所以"X)=5?∕≡(-3,3)?

(2)/(x)在(一3,3)上為增函數(shù).證明如下：

在(一3,3)內(nèi)任取外,馬且王</，

.∣f(.?f(?X2_____4_(-一4)(9+百工2)

則lll/⑸χ-/㈤γ=-土-虧-萬出回才

?

因?yàn)槌辉O>0,9+xlx2>0,9-X(>0,9一只>0,

所以/(w)二f(5)>0,即/(8)>“石)，

所以/(x)在(-3,3)上為增函數(shù).

例17.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))已知/(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)+g(x)=3x2-x+l,試求"x)和g(x)的表達(dá)式.

【解析】解析：以一X代替條件等式中的X,則有/(τ)+g(τ)=3χ2+χ+l,

又/(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

故-/(》)+8(》)=3/+》+1.

又“x)+g(x)=3x2-X+1,

聯(lián)立可得/(x)=r,g(x)=3∕+l.

例18.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x≥0時(shí)，/(X)≈X2-2X

⑴試求/(x)在R上的解析式；

(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.

【解析】(1)/S)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

??"(x)是奇函數(shù)，??J(-X)=-/(X).

又/(X)的定義域?yàn)镽,.??/(O)=-Z(O),解得/(0)=0.

設(shè)x<0,則-x>0,

；當(dāng)X>0時(shí)，f(x)=X2-2x,

f(-x)=(-X)2-2(-x)=X2+2X=-f{x}

:.f(x)=-X2-2x,

X2-2x(%>0)

所以/(X)=0U=O);

-X2-2x(x<0)

(2)由(1)可得/(x)的圖象如下所示：

由圖象可知/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,τ)和(l,y),單調(diào)遞減區(qū)間為(-LI)；

例19.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，/(x)=x2+2x.

⑴求當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的解析式；

(2)解不等式d卜不)一式(一切>0.

【解析】(1)由〃x)為奇函數(shù)，得〃—x)=—/(x)?當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,

故/(-?)=-/(x)=(-Λ)^+2(-X)=X2-2X,

故當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=-X2+2X.

(2)由/(一力=一/(久)，得χ3[∕(x)-√(r)]=χ3[∕(x)+∕(x)]=2χ3∕(x),

故上(X)T(T)]>。=2〃(X)>0=卜；TO或篇

如圖所示，畫出函數(shù)/(x)的圖象.

∣Λ>0∣x<O、

由圖易得J∕(x)>O的解集為(0,2),。(,<0的解集為(z-2,0),

故不等式-Iy(X)-J(τ)]>0的解集為(一2,0)(0,2),

例20.(2022?廣西?興安縣第二中學(xué)高一期中)已知y=∕(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，

/(Λ)=X2-4X,則x<0時(shí)，/(x)的解析式為.

【答案】/(X)=-X2-4X

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，則一x>0,

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2-4x,且y=∕(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

222

所以/(-%)=(-X)-4?(-x)=χ+4x=-f(x),即f{x}=-X-4x,

故x<0時(shí)，"x)的解析式為Ax)=-/-?.

故答案為：f(?)=-X2—4x.

例21.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知“X)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x(x+l),則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=

【答案】X(XT)

【解析】由x>0,則r<0,且函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，故當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=f(τ)=(-X)(T+l)=x(x-l)

故答案為：?(?-l)

題型三：已知函數(shù)的奇偶性求值

例22.(2022?江蘇?鹽城市田家炳中學(xué)高一期中)已知奇函數(shù)/(x),當(dāng)x≥0時(shí)，/(》)=2，-6(加為常數(shù))，

則"-2)=()

A.1B.2C.-3D.3

【答案】C

【解析】由于f(x)是奇函數(shù)，所以y(-0)=-∕(0),2/(0)=0J(O)=0,

所以F(O)=2。-〃7=1-，77=0,加=1,

所以x≥0時(shí)，/(x)=2*τ,

所以〃-2)==*2)=-(2-)=-3.

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

充分利用奇偶性進(jìn)行求解.

例23.(2022?上海市建平中學(xué)高一期中)定義在R上的奇函數(shù)y=∕(x)滿足/⑴+/(0)=萬，則/(T)=

【答案】F

【解析】由題意/(0)=0且/(-X)=-/(X),

貝IJ/(D+/(O)=—f(T)+0="，則?(-l)=-π.

故答案為：一乃.

例24.(2022?安徽?安慶市第七中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知/O)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(xl)為

偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤l時(shí)，/(x)=x3,貝"圖=.

【答案】-?

O

【解析】/(X)關(guān)于(0,0)對稱，關(guān)于直線X=-I對稱，

所以電卜-({If({HI})=1?

故答案為：-;

O

例25.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)y=∕(x),y=g(x)的定義域?yàn)镽,且y=∕(χ)+g(χ)為偶函

數(shù)，y=f(χ)-g(χ)為奇函數(shù)，若"2)=2,則g(-2)=_.

【答案】2

【解析】因?yàn)閥=f(χ)+g(χ)為偶函數(shù)，y=f(χ)-g(χ)為奇函數(shù)，

所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),/(-2)-g(-2)=5(2)-/(2),

兩式相減可得，/(2)=g(-2),

若〃2)=2,貝∣Jg(-2)=2.

故答案為：2.

例26.(多選題)(2022.廣東.揭陽華僑高中高一期中)AX)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且/(T)+g⑴=3,

/⑴+g(-1)=5,則()

A./(D=IB./(-1)=1C.g⑴=4D.g(T)=T

【答案】AC

【解析】因"x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)，則f(-D+g⑴=3=-ΛD+g⑴=3,

f(l)+g(-l)=5θ∕(l)+g(l)=5,

解得/⑴=l,g(D=4,即A,C都正確；而/(T)=-Lg(T)=4,即B,D都不正確.

故選：AC

例27.(2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級中學(xué)高一階段練習(xí))已知/")是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且

/(?)+g(x)=2x2-2x+l,則F(T)=()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】A

【解析】令x=l,得/(1)+g(1)=1,

令X=-1,得/(-1)+g(-1)=5,

又f(x)是偶函數(shù)，g(X)是奇函數(shù)，所以/(-1)=f(l),g(-l)=-g(l),

兩式相加得：/(1)+/(^1)+g(1)+g(^1)—6,

/(1)V(I)+?(1)-g(1)=6,即)(1)=6,

所以/(-1)=3；

故選A.

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

題型四：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

-X2+%>O

例28.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)"x)=?0,X=O是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為.

ax1+x,x<0

【答案】1

【解析】若"了)是奇函數(shù)，則有F(T)=-y(χ)?

當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,貝∣J∕(-x)=α(-x)'+(—X)=Or2—X,

又當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=-x2+x,所以-f(x)=χ2-X,

由/(τ)=-f(x),ax2-X=X2-X,解得4=1.

故答案為：1.

【方法技巧與總結(jié)】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為/(-x)=±∕(x),建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填

空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

例29.(2022?湖南?華容縣教育科學(xué)研究室高一期末)已知函數(shù)/(6=2/+以+。為偶函數(shù)，則〃=

【答案】O

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2Y+"+c為偶函數(shù)，

所以/(-x)=?(?)>即2(-x>+a(-x)+c=2x2+a>c+c,

整理得2以=0,

因?yàn)閤∈R

所以當(dāng)α=O時(shí)上式恒成立，

故答案為：O

例30.(2022?全國?高一專題練習(xí))若函數(shù)=的圖象關(guān)于V軸對稱，則常數(shù)4=.

【答案】-1

【解析】可知函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,則/(T)=F(I),即蕭言=奈，解得α=T,

9Λ+1

則"x)=∕L=l,顯然滿足題意，KU=-I.

2+1

故答案為：-1.

例31.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(必="+三是偶函數(shù)，則常數(shù)。的值為_.

4+1

【答案】-g【解析】,函數(shù)/(x)=0r+二工是偶函數(shù)

24x÷l

x)=∕(x)對定義域內(nèi)每一個(gè)X都成立

.?-ax+-------=ax-?--------,

4一”+14Λ+1

x

,^xxxXX4'Xx×4

..-2ax=-------1-----=-----1--------=-----1----=Xf

4'+l4^j,+l4X+14V(4Λ+1)4Γ+11+4”

.?.(l+2α)X=O對定義域內(nèi)每一個(gè)X都成立

.?.1+20=0>即a=--.

2

-X2+2x,X>0

例32.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x)=?0,x=0是奇函數(shù)，則，〃=

X2+mx,x<0

【答案】2

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，一x>(),/(-%)=-(-X)2+2(-Λ)=-X2-2x,

又/(x)為奇函數(shù)，?(?)=-f(-x)=X1+2x,而當(dāng)XCO時(shí)，/(x)=x2+mx,

所以，熊=2.

故答案為：2

例33.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(同=，加+依+2(加,〃￡11)是定義在［2m,加+3］上的偶函數(shù),

則函數(shù)g(x)=/(x)+2x在［-2,2］上的最小值為.

【答案】-6

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)“可=/加+加+2(〃?,"￡1<)是定義在［2加,加+3］上的偶函數(shù),

，

f(-χ)=f(χ),ιnx~-∕ιr÷2=πυc~2+nx+22nx=0/2=0

即<則解得

2w+m+3=0tn=-?m=-?m=-?

所以g(%)=/(x)+2x=-x2+2x÷2=3-(x-l)2,x∈[-2,2],

所以g(-2)=-(-2y+2x(-2)+2=-6,g⑵=-2?2x2+2=2,

則g(xL=S

故答案為：-6

題型五：已知/(X)=奇函數(shù)+M

例34.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)“χ)=2∕+3x+f+2022?'在12022,2022］上的最大值為”,

最小值為N,且“+N=2024,則實(shí)數(shù)f的值為()

A.-506B.506C.2022D.2024

【答案】B

【解析】函數(shù)〃X)=2∕+3x+24+2022F=.2r(±)+3^2022√i=2,+3x+2°22/,

X4+rX4+tX4+t

令尸(X)="x)-2f=良詈竺，

因?yàn)镕(T)=VXfS=-F(Λ),

所以F(X)為奇函數(shù)，

又/(x)在［-2022,2022］上的最大值為M,最小值為M且M+N=2024,

所以尸(x)的最大值為M-〃，最小值為N-2f,

所以(M-2f)+(N-2∕)=0,則f=506.

故選：B

【方法技巧與總結(jié)】

已知/(X)=奇函數(shù)+M,x&［-a,a］,則

(1)/(-%)+/(x)=2M

⑵∕ωmax+∕ωmi∏=2M

例35.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)“χ)=寧詈工在區(qū)間［-2,2］上的最大值為M,最小值為M

貝IJw+N-1產(chǎn)”的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，/(x)=?^+l(X≡［-2,2］),

設(shè)g(x)=?^,則/(x)=g(x)+L

%+1

因?yàn)間(-x)=\=-g(x)，

所以g(x)為奇函數(shù)，

g(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為0,

故M+N=2,

所以(M+N7)2*m=(27)2g=l.

故答案為：1

例36.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x5-渥+加+2,/(-5)=17,則/(5)的值是.

【答案】-13

【解析】g(x)=x5-加+法是奇函數(shù)

.??g(-χ)=-g(χ)

/(-5)=17=g(-5)+2.??g(5)=T5

.?j(5)=g(5)+2=-15+2=-13.

故答案為：-13.

題型六：抽象函數(shù)的奇偶性問題

例37.(多選題)(2022?全國?高一專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)"X)滿足"x+y)=∕(x)+∕(y),當(dāng)x<0

時(shí)，"χ)>0,則下列說法正確的是()

A./(0)=0

B./(x)為奇函數(shù)

C./(x)在區(qū)間上上有最大值/(〃)

D."x-l)+∕(f-l)>0的解集為{x∣-2<x<l}

【答案】ABD

【解析】對于A選項(xiàng)，在"χ+y)=∕(χ)+∕(y)中，令χ=y=O,可得f(0)=2∕(0),解得F(O)=0,A

選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，由于函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)镽,在/(χ+y)=∕(χ)+.f(y)中，令>=一%,可得

/(x)+∕(-x)=∕(0)=0,所以〃r)=-∕(x),則函數(shù)F(X)為奇函數(shù),B選項(xiàng)正確;

χ

對于C選項(xiàng)，任取4，X2∈R,且飛<石，則XI-X2<0,f(y-x2)>0,

所以∣)，所以，則函數(shù)/在上為減函數(shù)，所

/(ΛI(xiàn))-"X2)=/(XJ+y(τ2)="χ-&>°/(χJ>∕α)(χ)R

以7(x)在區(qū)間[，",n]上有最小值/(n),C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對TD選項(xiàng)，由可得/(χ2_])>_〃χ_])=〃]_江又函數(shù)〃χ)在R上為減函數(shù)，

則χ2-i<>χ,整理得f+χ一2<0,解得-2<x<l,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

【方法技巧與總結(jié)】

判斷抽象函數(shù)的奇偶性，可用特殊值賦值法來求解.在這里，由于需要判斷了(-幻與/(X)之間的關(guān)

系，因此需要先求出/.(0)的值才行.

例38.(多選題)(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))己知函數(shù)/(x)對任意x,yeR都有

“χ+y)+f(χ-y)=∕(χ)∕(y),且/⑼≠0?則下列結(jié)論正確的是()

A./(X)為偶函數(shù)B.若〃萬)=0,則"2;T)=O

C./(2X)=∕2(X)-2D.若/⑴=(),貝廳(x+4)=∕(x)

【答案】ACD

【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)椤?)≠0,令x=y=O可得"0)+/(0)=/2(0),解得"0)=2.令X=O可得

/(y)+f(-y)=f(o)f(y)=2f(y),所以/(y)=/(—y),故C(X)為偶函數(shù),A正確;

選項(xiàng)B：令χ=y=乃可得〃2萬)+"0)=∕(萬)/(萬)，所以"2萬)=-2,B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:令y=χ可得

/(2X)=∕2(X)-2,C正確；

選項(xiàng)D：令y=l可得f(x+l)+∕(x-l)=∕(x)∕(l)=O,所以/(x+l)=-∕(x-l),所以

/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),D正確.

故選：ACD.

例39.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)“X)對任意X,JeR,都有F(X+y)=f(χ)+"y),證明:/(χ)

為奇函數(shù).

【解析】證明：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/(χ)對任意見ywR,都有/(χ+y)=∕(χ)+“y),

令χ=y=o,則/(0)=2/⑼，得/⑼=0,

令y=τ,則/(o)"(χ)+f(τ),

所以“χ)+∕(-X)=0，

即/(T)=-F(χ),所以F(X)為奇函數(shù).

例40.(2022?天津南開?高一期末)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且對任意a,bQR,都有

f(a+b)=f(a)+f(.b),且當(dāng)x>0時(shí)，fCx)<0恒成立.

⑴求一(0);

⑵證明：函數(shù))F(x)是奇函數(shù)；

(3)證明：函數(shù)內(nèi)(X)是R上的減函數(shù).

【解析】(1)因?yàn)閷θ我狻?b≡R,都有/(“+〃)=√-(α)+/,(i),

所以令“=b=0,得/(0)=0.

(2)由f(α+6)=f(a)+f(?),

得/(x-x)=于(X)+f(-x).

即/(x)+f(-x)=f(0),而/(0)=0,

.'.f(-x)=-f(X),

即函數(shù)y=∕(χ)是奇函數(shù).

(3)設(shè)X∕>X2,則X∕-X2>0,f(X/-X2)<0

而/(a+ft)=f(0)+f(?),

??(x∕)=f(X/-X2+X2)=f(X/-X2)+f(X2)<f(X2)>

.?.函數(shù))可(X)是R上的減函數(shù).

例41.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)在(一1,1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<l時(shí)f(x)<O,且對任意

x、y∈(T,l)都有f(x)+f(y)=f(^1),試證明

i+xy

(l)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減.

x+y

【解析】證明：(1)由f(x)+f(y)=f(河令x=y=O,得f(O)=O,

X—X

令y=-X,得f(x)+f(-x)=f(-一V)=f(O)=O

l-x

Λf(x)=-f(—x)

.?.f(χ)為奇函數(shù)

(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減

a,Xj-X

令O<X∣<X2<l,51lJf(X2)—f(x1)=f(X2)+f(—X1)=f(--------)

1—x∣x2

Y—Y

V0<XI<X2<1,?X2-XI>0,l-χ∣X2>0,.?.[2γ；,0,

又(X2—X。一(1—X2XI)=(X2—1)(xI+1)<0,.*.X2—x∣<l-X2X1,

X-XXo-X

Λ0<729~1LVI,由題意知f(r―1)?0?即f'(x2)<f(xι)

???f(x)在(0,1)上為減函數(shù),又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0

???f(x)在(一1,1)上為減函數(shù)

例42.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/S)滿足"χ+y)="χ)+∕(y)-I(X,ywR),當(dāng)XKy時(shí),

/(x)-∕(y)、n$+O

---------->。成"，且w〃1)=2.

X-y

⑴求/(0),并證明函數(shù)g(χ)=F(X)-1的奇偶性；

(2)當(dāng)xe[0,9J,不等式〃力+/(機(jī)-2石)43