數(shù)學(xué)小升初內(nèi)部講義

目錄

第一講邏輯推理初步...........................2

第二講循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù).........................5

第三講分?jǐn)?shù)計(jì)算〔一〕..........................9

第四講分?jǐn)?shù)計(jì)算〔二〕..........................11

第五講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔一〕................14

第六講分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題〔二〕................17

第七講生活中的經(jīng)濟(jì)問題.......................20

第八講工程問題...............................22

第九講圓的周長與面積.........................24

第十講不定方程...............................28

附錄：

綜合檢測卷〔1〕

綜合檢測卷〔2〕

第一講邏輯推理初步

學(xué)習(xí)提示：

本講主要是邏輯推理問題，這類問題很少依賴數(shù)學(xué)概念、法那么、公式進(jìn)行計(jì)算，而主要是根據(jù)某

些條件、結(jié)論以及它們之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行判斷推理，最終找到問題的答案，像這樣的問題我們稱之為

邏輯推理問題。

典型題解

例122名家長〔爸爸或媽媽，他們都不是老師〕和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，家長

比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有幾人？

例210名選手參加象棋比賽，每兩名選手之間都要比賽一盤。記分方法是勝一盤得1分，平一盤

得0.5分，負(fù)一盤得0分。比賽結(jié)果是選手們所得分?jǐn)?shù)各不相同。第一名和第二名都沒輸過，前兩名的

總分比第三名多10分，第四名與最后四名得分的總和相等，求第三名的得分。

例3小趙的號碼是一個(gè)五位數(shù)，它由五個(gè)不同的數(shù)字組成。小張說：“它是84261”。小王說:

“它是26048”。小李說：“它是49280”。小趙說：“誰說的某一位上的數(shù)字與我的號碼上的同一位數(shù)

字相同，就算誰猜對了這個(gè)數(shù)字?，F(xiàn)在你們每人都猜對了位置不相鄰的兩個(gè)數(shù)字?！蹦阒肋@個(gè)號碼

嗎？

例4張教授連續(xù)做實(shí)驗(yàn)假設(shè)干個(gè)小時(shí)，開始和結(jié)束時(shí)，墻上的掛鐘都正在報(bào)時(shí)，他做完實(shí)驗(yàn)后大

約16分鐘，鐘面上時(shí)針與分針重合。這個(gè)掛鐘只在整點(diǎn)時(shí)報(bào)時(shí)〔幾點(diǎn)就報(bào)幾下），整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程掛鐘共

敲了39下，問：

11）張教授的實(shí)驗(yàn)一共做了幾個(gè)小時(shí)？

[2）他做完實(shí)驗(yàn)時(shí)，掛鐘敲了多少下？

例5某次競賽共有五道題，趙軍只做對了①②③④題，得26分；錢廣只做對了①②③⑤題，得

25分；孫悅只做對了①②④⑤題，得26分；李膨只做對了①③④⑤題，得27分；周泉只做對了②③④

⑤題，得28分；吳偉五題都做對了，問吳偉得了多少分？

課后自測：

1.從三個(gè)方向看一個(gè)立方體，如以下圖，求H、X、丫的對面分別是什么字母。

2.有A、B、C、D、E共5位選手進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽，即每兩人都要打一盤，且只許打一盤。規(guī)定

勝者得2分，負(fù)者得。分?，F(xiàn)在知道：A與B并列第一名，D比C的名次高。每個(gè)人都至少勝了一盤，

求每個(gè)人的得分。

3.某班44人，從A、B、C、D、E五位候選人中選舉班長，A得選票23張，B得選票占第二位，C、

D得票相同，E得選票最少，得4票，求B得選票多少張？

4.A、B、C三名同學(xué)參加了一次考試，試題共10題，都是判斷正誤題，正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫

“X”，每道題答對得10分，答錯(cuò)沒有分，他們的答卷如下表

題號

12345678910

學(xué)生

AXVVVXVXXVX

BXXVVVXVVXX

CVXVXVVVXVV

考試成績公布后，三人都得70分，請你給出各題的正確答案。

5.甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一場。到現(xiàn)在為止，甲己經(jīng)賽

了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤，問小強(qiáng)已經(jīng)賽了幾盤？

6.甲、乙、丙三名運(yùn)發(fā)動囊括了全部比賽工程的前三名，他們的總分分別是8、7和17分，甲得

了一個(gè)第一名，第一名的得分大于第二、第三名得分之和，各個(gè)比賽工程分?jǐn)?shù)相同。問比賽共有幾個(gè)工

程？3人在各工程中各得多少分？

第二講循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

學(xué)習(xí)提示：

在進(jìn)行分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比擬以及分?jǐn)?shù)、小數(shù)的混合運(yùn)算中，常常要把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，或者把小數(shù)

化成分?jǐn)?shù)。所以，理解和掌握分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法，不僅可以溝通分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系，深刻理解分?jǐn)?shù)、

小數(shù)的意義，而且可以為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)的混合運(yùn)算打好根底。從本質(zhì)上看，小數(shù)〔這里指有限小數(shù)和

無限循環(huán)小數(shù)，不包括無限不循環(huán)小數(shù)）可以看作分?jǐn)?shù)的另一種表示形式，所以分?jǐn)?shù)和小數(shù)可以互化。

典型題解

一、循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)

1、純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

從小數(shù)點(diǎn)后面第一位就循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)。怎樣把它化成分?jǐn)?shù)呢？看下面例題。

例1把純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

(1)0.6(2)3.102

2、混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

不是從小數(shù)點(diǎn)后第一位就循環(huán)的小數(shù)叫混循環(huán)小數(shù)。怎樣把混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)呢？看下面的例

題。

例2把混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

(1)0.215(2)6.353

及時(shí)練習(xí)：1、化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。

(1)0.23(2)0.107

2、化以下混循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)。

(1)0.312(2)0.003(3)0.2316

二、循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算

循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算就可以按分?jǐn)?shù)四那么運(yùn)算法那么進(jìn)行。從這種意義上

來講，循環(huán)小數(shù)的四那么運(yùn)算和有限小數(shù)四那么運(yùn)算一樣，也是分?jǐn)?shù)的四那么運(yùn)算。

例3計(jì)算下面各題：

(1)2.45+3.13(2)2.609-1.32

(3)4.3x2.4(4)1.24+0.3

三、循環(huán)小數(shù)作加法

循環(huán)小數(shù)能直接作加法運(yùn)算嗎?

(1)有限小數(shù)加循環(huán)小數(shù)

考察下面的例子。計(jì)算：

0.2+0.30.28+0.70.4+0.32

0.98+0.450.678+0.540.6+0.38

(2)兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加。

考察下面的一些例子。

235

0.2+0.3=-+-=-=0.5

999

c,cu123405528C

0.123+0.405=——+——=——=0.528

999999999

36?

0.3+0.6=——I——=1

99

875,，

0.8+0.7=

993

0.58+0.49=—+—=—=1.08

999999

crocaA9785841562

0.978+0.584=——+——=------=1.563

999999999

再試試直接列豎式結(jié)果會怎樣？能歸納出直接運(yùn)算的法那么了嗎?

(3)兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)不相等的純循環(huán)小數(shù)相加。

考察下面的例子：

32154

0.3+0.21=-+—=--0.54

99999

A6212878cor。

(J.o+0.212=—I------=------=(J.o/o

9999999

co”23324556647八r

0.23+0.324=—+——=----------=0.556647

99999999999

一”6598153-

0.5+0.98=-+——=——=1.54

99999

0.67+0.498=—+—=1175265=1.175266

99999999999

再試試直接列豎式結(jié)果會怎樣？能歸納出直接運(yùn)算的法那么了嗎？

★規(guī)律

(1)有限小數(shù)家循環(huán)小數(shù)，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)。其循環(huán)節(jié)跟原加數(shù)的循環(huán)節(jié)相同。法那

么是：用有限小數(shù)跟循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)局部對應(yīng)數(shù)位相加，循環(huán)小數(shù)的非循環(huán)局部不

夠時(shí)，就用第一個(gè)循環(huán)節(jié)、第二個(gè)循環(huán)節(jié)……補(bǔ)足再相加，用這個(gè)和作和的非循環(huán)局

部，原來加數(shù)的循環(huán)節(jié)仍作和的循環(huán)節(jié)。

(2)兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)相同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)。法那么是：用兩個(gè)循

環(huán)節(jié)相加的和除于99……91其中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位數(shù))，商作和的整數(shù)局部，

余數(shù)作小數(shù)局部的循環(huán)節(jié)(假設(shè)余數(shù)位數(shù)不夠原加數(shù)循環(huán)節(jié)的位數(shù)時(shí)，就在余數(shù)的前

面補(bǔ)足“0”作循環(huán)節(jié))。

(3)兩個(gè)循環(huán)節(jié)位數(shù)不同的純循環(huán)小數(shù)相加，和仍然是個(gè)循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)是兩

個(gè)加數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)。方法是：先把兩個(gè)加數(shù)改成循環(huán)節(jié)位數(shù)相同(兩加

數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù))而大小不變的循環(huán)小數(shù)，再按照法那么(2)進(jìn)行計(jì)算。

及時(shí)練習(xí)

1.直接計(jì)算以下各題

0.4+0.30.43+0.350.9+0.8

0.98+0.890.4+0.980.5+0.89

0.123+0.2340.456+0.5670.78+0.123

0.4+0.7890.825+0.78

2.直接計(jì)算以下各題

0.23+0.4350.389+0.9830.237+0.8

0.7546+0.2830.203+0.0230.678+0.678

3.將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算

(1)|+0.85

(2)-+-+0.38

69

,八”7583113

(4)0.3+-+-+—+——

8999999

四、循環(huán)小數(shù)與整數(shù)作乘法

我們已經(jīng)知道，循環(huán)小數(shù)之間可以作加法運(yùn)算。由于一個(gè)數(shù)乘以整數(shù)就是求幾個(gè)相同數(shù)連加的

簡便運(yùn)算，因此，找出循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的運(yùn)算法那么是完全可能的。下面分兩種情形來討論。

(1)純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)。

考察下面例子：

.3..3

0.3x2=-x2=0.60.3x4=-x4=1.3

99

43,837/3348—

0.43x2=—x2=0.860.837x4=-----x4=-------=3.351

99999999

再試試直接列豎式結(jié)果會怎樣?能歸納出直接運(yùn)算的法那么了嗎？

(2)混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)?；煅h(huán)小數(shù)乘以整數(shù)可以轉(zhuǎn)化為純循環(huán)小數(shù)進(jìn)行計(jì)算。例

如，計(jì)算

0.32x5=(0.32x10x5)+10=(3.2x5)+10=16.1+10=1.61

規(guī)律

(1)純循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)，積仍然是個(gè)純循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)跟原循環(huán)小數(shù)中的循環(huán)節(jié)

位數(shù)相同。法那么是：用循環(huán)節(jié)乘以整數(shù)的積除以99……9］其中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的位

數(shù))，商作積的整數(shù)局部，余數(shù)作積的循環(huán)節(jié)。

(2)混循環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)，先將混循環(huán)小數(shù)擴(kuò)大一定的倍數(shù)，使它變成純循環(huán)小數(shù)，按照純循

環(huán)小數(shù)乘以整數(shù)的法那么算出積，再將所得的積縮小同樣的倍數(shù)，就得到混循環(huán)小數(shù)乘以

整數(shù)的積。

及時(shí)練習(xí)

1、計(jì)算以下各題

0.4x20.04x40.24x6

0.324x80.56x30.056x5

0.256x70.1256x90.506x8

2、計(jì)算

0.8x0.90.87x0.650.85+0.6x13

Q

-X17+0.35125x0.8x77.087x49+0.138

9

第三講分?jǐn)?shù)計(jì)算(一)

學(xué)習(xí)提示:

在分?jǐn)?shù)四那么混合運(yùn)算中，按照四那么運(yùn)算的順序進(jìn)行計(jì)算的同時(shí)，如果能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活運(yùn)

用定律，可以使計(jì)算更簡便、迅速。這一點(diǎn)在一定程度上反映一個(gè)人智商的上下和知識掌握的靈活程度。

典型題解

11^.112x^x3,003

例1

20919195

例2200-004黑+短

例331.8x7.9+19x9-+44.3x2.1

4

口1x2x3x4+2x4x6x8+4x8x12x16

例4------------------------------------------------

1X3X5X7+2X6X10X14+4X12X20X28

2004

例5+4

20042-2003x2005

規(guī)律

分?jǐn)?shù)計(jì)算千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，除了要掌握分?jǐn)?shù)運(yùn)算的計(jì)算法那么、定律、性質(zhì)外，還要有

以下兩種意識：

1、約分。約簡分子、分母中的公因數(shù)及公因式。

2、靈活運(yùn)用定律、性質(zhì)。這里說的主要是運(yùn)用乘法分配律。對于形如乘加(減)乘的算式及乘法算

式，有一個(gè)因數(shù)可以湊整時(shí)，分析另一個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)，必要時(shí)進(jìn)行拆分，從而使用乘法分配律

進(jìn)行簡便計(jì)算。

同學(xué)們，通過以上講解，不知對你是否有些啟發(fā)，試一下怎么樣。

課后自測：

3

1、5.61x9.9x0.38-(0.19x3—xl.l)

3314

2、3-X2.844-3-^(1-X1.42)X1-

19981

3、1998-1998——+------

19992000

423I19

4、1—x(18——-)+20--?

19341223

139

1.3x3.9x11.7+3x9x27+—x—x—

5、171717

I23

L3x2.6x3.9+3x6x9+—x一

171717

l-xl-xl-xlixxl—xl—

6、

2345998999

第四講分?jǐn)?shù)計(jì)算(二)

學(xué)習(xí)提示

在五年級的課本中，我們就學(xué)習(xí)過這樣的題目：「一+二一+'+」-,如果直接通分計(jì)算，

1x22x33x44x5

是對的，但是顯然很麻煩。我們可以把每一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的差來計(jì)算：原式

==l--=-o通過拆分，使得一局部分?jǐn)?shù)相互抵消，從而簡便

1223344555

計(jì)算。兩千多年前，古埃及人總喜歡把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分子是1的分?jǐn)?shù)來計(jì)算，所以后人常把分子是1的分

數(shù)叫做埃及分?jǐn)?shù)。埃及分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)計(jì)算中有著重要的規(guī)律。

〃x(〃+l)a6Z+1

(2)」二=(1-一(a,0為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且a<。)

如axbabb-a

(3)---=-x(―-----)(a,c為三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且。<6<c)

axbxc2axbbxc

(4)————=-x(—i-------)(a,b,c,d為四個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且a<6<c<d)

axbxcxd3axbxcbxcxd

一講，我們就來研究通過分?jǐn)?shù)的拆分，計(jì)算較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算題。

典型題解

11111

例1、-----1-----------1-----------1--H---------------1---------------

1x22x33x498x9999x100

111111

例2、----1----1-----1------1------1-----

2x55x88x1111x1414x1717x20

20042004200420042004

例3、----1-----1-----1-----1----

545117221357

1111

例4、1x2x32x3x43x4x518x19x20

1111

例5/±_________++

1+-(1+-X1+-)(1+-)(1+-)(1+-)(1+-)(1+-)...(1+—)

2232342399

課后自測:

1111

1、------1----1----+?..--------------

2x33x44x52003x2004

1111111

2、一+一+一+一+一+一+一

12203042567290

3、1-+2-+3—++20

612

5555

4、------1------+----+-----+-----+----（首屆《六一》杯六年級決賽試題）

1484204374594864

2222

5、-------------1----------------1----------------FH--------------------

1x2x32x3x43x4x528x29x30

234100

--------1---------------1--------------------FH----------------------------------------------------

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(1+2+3+4)(1+2++99)x(1+2++100)

--------1----------------1---------------------F?H----------------------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+，+19

-------------------1---------------------1---------------------HH-------------------------

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x611x12x13x14

9、1+——1一+——+里

23344455556100100100100

l2+2222+3232+4242+5220022+2003220032+20042

10、------+------+-----1F+----------------+----------------

1x22x33x4---4x52002x20032003x2004

第五講分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題(一)

學(xué)習(xí)提示：

分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。學(xué)好分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)

應(yīng)用題對開展能力，提高解題技能，具有非常重要的作用。解答分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定單位

“1”，能夠準(zhǔn)確找出量與率之間的對應(yīng)關(guān)系。分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題涉及的知識廣泛，數(shù)量關(guān)系變化莫測，

有時(shí)數(shù)量關(guān)系又比擬隱蔽，我們必須仔細(xì)審題，能靈活的應(yīng)用一些解題方法。

根本訓(xùn)練：

[1),男生人數(shù)占全班人數(shù)的工，你想到了什么？

11

2

(2),讀一本120頁的書，讀了這本書的一，還剩多少頁？

3

[3),讀一本120頁的書，第一天讀了這本書的g,第二天讀了這本書的25%,還剩下多少頁沒有讀？

(2),(3)題的數(shù)量關(guān)系根本是相同的：單位“1”的量x分率=分率的對應(yīng)量。

[4),讀一本120頁的書，第一天讀了這本書的g,第二天讀了這本書的25%,還剩下50頁沒讀，這

本書一共多少頁？

[5),讀一本書，第一天讀了這本書的g,第二天讀了這本書的25%,第一天比第二天多讀了10頁,

這本書一共多少頁？

(4)(5)題的數(shù)量關(guān)系根本相同，分率的對應(yīng)量+分率=單位“1”的量。在認(rèn)真讀題的根底上，

首先確定誰為單位“1”，再結(jié)合線段圖確定量率對應(yīng)關(guān)系。這是解決較為復(fù)雜分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的根

底。

典型題解

例1讀一本書，第一天讀了這本書的1還多10頁，第二天讀了這本書的L少3頁，還剩下43頁沒讀,

34

這本書一共多少頁？

例2用兩天讀完一本130頁的書，第一天讀的頁數(shù)比第二天的‘多10頁，第一天讀了多少頁？

2

例3陽光水果店運(yùn)來荔枝，香蕉，蘋果共1600千克。當(dāng)賣出荔枝總數(shù)的之和150千克香蕉后，又臨時(shí)

7

運(yùn)來200千克蘋果，這時(shí)剩下的三種水果數(shù)量恰好同樣多。原來運(yùn)來這三種水果各多少千克？

例4：小華讀一本故事書，第一天讀了這本書的1-，第二天讀了余下的3三，兩天一共讀了220頁，這本

35

書一共多少頁？

14

例5：甲，乙兩人分別有人民幣假設(shè)千元，甲比乙多一，當(dāng)甲給乙9元時(shí)，乙反而比甲多一，問甲乙兩

35

人原來分別有人民幣多少元?

課后自測

1.小華看一本故事書，每天看60頁，3天后還剩下這本書的工，這本故事書共有多少頁？

8

2.小芳讀一本故事書，第一天讀了這本書!還多6頁，第二天讀了這本書的，少8頁，最后還剩

68

下172頁沒讀，這本故事書一共多少頁？

3.參加六年級數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生共有577人，其中未獲獎(jiǎng)的女同學(xué)占女同學(xué)人數(shù)的未獲獎(jiǎng)的男

9

同學(xué)有33人，獲獎(jiǎng)的男女同學(xué)人數(shù)相等，問參賽的女同學(xué)共有多少人？

4.有紅黃兩種顏色的球共130個(gè)，拿出紅球的g,再拿出4個(gè)黃球，剩下的紅球和黃球個(gè)數(shù)正好

相等，原來紅球和黃球各有多少個(gè)？

3

5.某發(fā)電廠去年方案發(fā)電140萬千瓦時(shí)，結(jié)果上半年完成全年方案的士，下半年完成全年方案的

7

3

--去年超額發(fā)電多少千瓦時(shí)？

3

6.菜農(nóng)的西紅柿大豐收，收下全部的-時(shí)，裝滿了4筐還多50千克，收完其余局部時(shí)，又剛還裝

8

滿8筐，求共收西紅柿多少千克？

7.某校共有五，六年級學(xué)生210人，五年級有21人參加了七一文藝演出，六年級有25%的學(xué)生

參加了文藝演出，這是兩年級剩下的人數(shù)相等。五，六年級各有學(xué)生多少人？

第六講分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（二）

學(xué)習(xí)提示

在解答分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，確定單位“1”是關(guān)鍵，但題目中常常出現(xiàn)幾個(gè)不同的單位“1”，這

時(shí)需要將它們轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的單位“1”，以便于比擬和發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真審題，首先明辨

題目中有哪幾個(gè)單位“1”，以其中一個(gè)量為單位“1”，以這個(gè)單位“1”為標(biāo)準(zhǔn)，看一看其他幾個(gè)量相

當(dāng)于單位“1”的幾分之幾〔或幾倍）。

根本訓(xùn)練：

43

甲乙兩數(shù)是不相等的兩個(gè)自然數(shù)，甲數(shù)的一與乙數(shù)的一相等，甲乙兩數(shù)哪個(gè)大？為什么？

54

典型題解

［例1］哥哥和弟弟共有人民幣19.8元，哥哥用去自己錢數(shù)的75%,弟弟用去自己錢數(shù)的80%,兩人所剩

的錢正好相等，哥哥原來有多少錢？

23

［例2］甲、乙兩個(gè)班共有120人，甲班人數(shù)的一比乙班人數(shù)的一少10人，兩個(gè)班各有多少人?

57

2

［例3］柳蔭街小學(xué)的校園里，原來柳樹的棵樹是全校樹木總棵樹的歹。今年又種了50棵柳樹。這樣,

柳樹的棵樹就占全校樹木總棵樹的—。柳蔭街小學(xué)原來一共有多少棵樹？

11

［例4］水果店運(yùn)進(jìn)一批桔子，第一天賣出全部的工，第二天賣了24千克，第三天賣的是前兩天總數(shù)的

6

150%,這時(shí)還剩下全部的工，水果店運(yùn)進(jìn)的這批桔子共有多少千克？

4

［例5］有一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)（本錢）比乙店進(jìn)貨價(jià)廉價(jià)10%,甲店按20%的利潤率來定價(jià)，乙店按

15%的利潤來定價(jià)，結(jié)果甲店的定價(jià)比乙店的廉價(jià)11.2元。問甲店的進(jìn)貨價(jià)是多少元？

［例6］某商店原來將一批蘋果按100%的利潤價(jià)出售，由于定價(jià)過高，無人購置，不得不按38%的利潤重

新定價(jià)，這樣售出了40虹此時(shí)因害怕果腐爛變質(zhì)，又再次降價(jià)，售出了剩下的全部水果。結(jié)果，實(shí)際

獲得的總利潤是原來利潤的30.2%,那么第二次降價(jià)后的價(jià)格是原來的百分之幾？

課后自測：

1.修路隊(duì)修一條公路，第一天修了全長的:，第二天修的長度與第一天的比是4：3,這時(shí)還剩下800

米沒修，這條公路全長多少米？

2.某服裝廠有三個(gè)車間，其中二車間人數(shù)占全廠人數(shù)的25%,三車間比二車間少：，一車間人數(shù)比三

3

車間多一，一車間有130人，這個(gè)服裝廠共有多少人？

10

3.姐妹共養(yǎng)兔子180只。姐姐養(yǎng)的只數(shù)的,與妹妹的工相等，姐妹各養(yǎng)多少只兔子？

45

4.在學(xué)校閱覽室里，女生占全部人數(shù)的4工，后來又進(jìn)來兩名女生，這是女生占全部總?cè)藬?shù)9的二，閱

919

覽室原來有多少人？

24

5.某校有學(xué)生465人，其中女生的.比男生的上少20人，那么男生比女生少多少人？

35

6.甲乙兩人共做了84個(gè)零件，其中甲做的5士與乙做的3士共58個(gè)，甲乙兩人各做了多少個(gè)零件？

84

7.兄弟四人合買一臺電視機(jī)，老大出的錢數(shù)是另外三人總數(shù)的一半，老二出了另外三人總數(shù)的工，老

3

三出了另外三人總數(shù)的工，老四出了910元，這臺電視機(jī)共多少元？

4

第七講生活中的經(jīng)濟(jì)問題

學(xué)習(xí)提示：

經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，在我們的日常生活中，數(shù)學(xué)已不再是單純的用作計(jì)數(shù)或統(tǒng)計(jì)，還

常用于對經(jīng)濟(jì)活動中的一些復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析，例如：物價(jià)與工資、銀行儲蓄、購房與買車、股票與債

券、保險(xiǎn)等等，利用數(shù)學(xué)的知識與方法進(jìn)行分析，將有助于我們理解這些經(jīng)濟(jì)活動，找出其中的規(guī)律，

做出決策。

典型題解

例1問題：有關(guān)商場打折

一家商店將某種服裝按本錢價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折〔即按標(biāo)價(jià)的80%）優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件

仍獲利15元，這種服裝每件的本錢是多少元？

探索解決問題的方法

設(shè)每件服裝的本錢價(jià)為x元，按照題意，有：

每件服裝的標(biāo)價(jià)為：;

每件服裝的實(shí)際售價(jià)為：;

每件服裝的利潤為：;

由此，列出方程為：;

解方程，得*=。

因此每件服裝的本錢價(jià)是元。

穩(wěn)固練習(xí)

(1)某種以八折的優(yōu)惠價(jià)買一套服裝省了25元，那么買這套服裝實(shí)際用了〔)。

(A)31.25元[B[60元(C)125元(D)100元

(2)某家具的標(biāo)價(jià)為132元，假設(shè)降價(jià)以九折出售，仍可獲利10%,那么該家具的進(jìn)價(jià)是()。

(A)105(B)106〔C)108[D)118

(3)某種商品按原價(jià)的8折出售仍可獲利20%,假設(shè)按原價(jià)出售，那么可獲()。

(A〕30%〔B)40%[C)50%(D)60%

例2問題探究

假設(shè)將某商品先漲價(jià)10%后再降價(jià)10%,所得的價(jià)格與原先的價(jià)格相比有無變化?不少同學(xué)會不假

思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？

某種奶粉原價(jià)10元/kg,先后兩次降價(jià)，降價(jià)方案有三種：

方案甲：第一次降價(jià)2%,第二次降價(jià)4%；

方案乙：第一次降價(jià)4%,第二次降價(jià)2%；

方案丙：每次降價(jià)3%；

按哪種方案降價(jià)后，現(xiàn)價(jià)最廉價(jià)？

例3有一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)〔本錢價(jià))比乙店進(jìn)貨價(jià)廉價(jià)10%,甲店按20%的利潤率來定價(jià)，乙店

按15%的利潤來定價(jià)，結(jié)果甲店的定價(jià)比乙店的廉價(jià)11.2元，問：甲店的進(jìn)貨價(jià)是多少元？

例4某商店原來將一批蘋果按100%的利潤價(jià)出售，由于定價(jià)過高，無人購置，不得不按照38%的利潤

重新定價(jià)，這樣售出了40%。此時(shí)因害怕水果腐爛變質(zhì)，又再次降價(jià)，售出了剩余的全部水果。結(jié)果，

實(shí)際獲得的總利潤是原定利潤的30.2%,那么第二次降價(jià)后的價(jià)格是原價(jià)格的百分之幾？

課后作業(yè)：

1,一件商品按本錢價(jià)提高20%后標(biāo)價(jià)，又以9折銷售，售價(jià)為270元，這種商品的本錢價(jià)是多少？

2,某商場的電視機(jī)原價(jià)為2500元，現(xiàn)以8折銷售，如果想使降價(jià)前后的銷售額都為10萬元，那么銷

售量應(yīng)增加多少？

3,某商品的進(jìn)價(jià)是3000元，標(biāo)價(jià)為4500元，商店要求以利潤不低于5%的售價(jià)打折出售，最低可以

打幾折售此商品？

4,按以下三種方法，將100元存入銀行，10年后的本金和利息各是多少？〔設(shè)1年、3年、5年整存

整取，定期儲蓄的年利率分別為5.22%、6.21%、6.66%）

（1）定期1年，每年滿一年，將本利和自動轉(zhuǎn)存下一年，共續(xù)存10年；

（2）先連續(xù)存三個(gè)3年期，9年后將本和利轉(zhuǎn)存一年期，合計(jì)共存10年；

（3）連續(xù)存兩個(gè)5年期。利息=本金x利率

第八講工程問題

學(xué)習(xí)提示：

在本講中，我們要討論的工程問題的主要特點(diǎn)是：工作總量不給出具體數(shù)量，通常把工作總量看作單位

“1”，工作效率表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之一或者幾分之幾，然后依據(jù)工作效率，工作時(shí)間

和工作總量之間的相互關(guān)系解容許用題。

工程問題的根本數(shù)量關(guān)系是：

工作效率x工作時(shí)間=工作總量

工作總量+工作效率=工作時(shí)間

工作總量+工作時(shí)間=工作效率

甲的工作效率+乙的工作效率=甲乙效率和。

典型題解：

例1.打印一份稿件，小丁一人打印需要14分鐘，假設(shè)和小麗合作打印需要10分鐘完成，如果小

麗單獨(dú)打印這份稿件需要多少分鐘？

例2.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天可以完成，如果甲單獨(dú)做3天，余下的由乙去做，乙再用6天可以

做完。問假設(shè)甲單獨(dú)做6天，余下的工作乙要做幾天？

例3.客車與貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)2小時(shí)24分鐘相遇，相遇時(shí)客車比貨車多行9.6

千米?？蛙噺募渍镜揭艺拘?小時(shí)30分鐘，求客車與貨車的速度各是多少？

例4.一件工程，甲，乙合作需6天完成，乙，丙合作需9天完成，甲，丙合作需15天完成，現(xiàn)在甲,

乙，丙三人合作需要多少天完成？

例5.甲乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)5分鐘后,

甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時(shí)間兩人相遇？

課后自測：

1.做一批兒童玩具，甲組單獨(dú)所10天完成，乙組單獨(dú)作12天完成，丙組每天可生產(chǎn)64件，如果讓甲

乙兩組合作4天，那么還有256件每完成?，F(xiàn)在決定三個(gè)組合作這批玩具，需要多少天完成？

2.一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著作20天可以完成；如果甲先做20天，乙接著做8天可完

成。如果甲乙合作多少天可以完成？

3.一條公路，甲乙兩隊(duì)合修30天完成，甲隊(duì)單獨(dú)修了24天，乙隊(duì)才參加，兩隊(duì)又合修了12天，這時(shí)

甲隊(duì)調(diào)走，乙隊(duì)又繼續(xù)修了15天才完成，甲隊(duì)單獨(dú)修這條路要多少天？

4.一項(xiàng)工程，8人作要15天完成，現(xiàn)有18人作了3天，余下的由另一局部人作了3天，共完成這項(xiàng)

3

工程的一，問后3天有多少人參加？〔每個(gè)人的工作效率相同）

4

5.一件工程，甲5小時(shí)完成:，乙6小時(shí)完成剩下的一半，余下的局部由甲乙合作，還需要多少小時(shí)

才能完成？

第九講圓的周長與面積

學(xué)習(xí)提示：

圓是一種由封閉的曲線圍成的平面圖形，在日常生活中隨處可見。它的魅力、它的獨(dú)特的性質(zhì)使得

它在人們生活和生產(chǎn)中的位置是其他形狀所無法取代的。

我們每人都經(jīng)常遇見這樣的問題：為一個(gè)圓形桌布繡上花邊要買多長的花邊；修一個(gè)圓形花圃要購

置多少草皮；如何用現(xiàn)有的柵欄圍成一個(gè)盡可能大的菜地等。這些都涉及到圓的周長和面積。

圓的周長公式是C=廠或C=7id,圓的面積公式是S=%/。求圓的周長和面積的必備條件是

圓的半徑或直徑，但有時(shí)并不能求出半徑，可以把尸做為一個(gè)條件來求解。圓是軸對稱圖形，在計(jì)算周

長和面積時(shí)，還可以運(yùn)用割補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)、平移等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

典型題解

例1如圖，求陰影局部的周長（單位：米）。

例2、有三根直徑都是2分米的圓柱形木材，想用一根繩子把它們捆成一捆，捆三圈最短需要多少

分米長的繩子（打結(jié)處繩長不計(jì)）？

例3、根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，求陰影局部的面積。

例4、以下圖是由兩個(gè)正方形組合成的，其中正方形ABCD的邊長4厘米，正方形EFGD的邊長是6厘

米，求圖中陰影局部的面積。

例5如圖（單位：厘米），OA=OB=OC,AB=10o求圖形的面積

A

C

例6、如以下圖，AABC是一個(gè)等腰直角三角形，AB=BC=10,求圖中陰影局部的面積?！矄挝唬悍置祝?/p>

課后自測

1、一個(gè)半圓形的花圃直徑10米，在花圃的周圍要圍上裝飾性護(hù)欄，護(hù)欄長多少米?

2、把半徑分別是6厘米、4厘米的兩個(gè)半圓如圖放置，求陰影局部的周長?

6

3、有四