數(shù)乘向量教學(xué)設(shè)計(jì)

5.3.1數(shù)乘向量【教學(xué)目標(biāo)】1.通過(guò)實(shí)例掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算，并理解其幾何意義，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律．2.理解并掌握平行向量根本定理．3.通過(guò)教學(xué)，養(yǎng)成學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)的作圖習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)乘向量運(yùn)算及運(yùn)算律與平行向量根本定理．【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)數(shù)乘向量定義與平行向量根本定理的理解．【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法．在向量加法的根底上引入數(shù)乘向量的定義，教學(xué)過(guò)程中緊扣向量的兩要素分析定義，始終注重?cái)?shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生思考，使問(wèn)題處于學(xué)生思維的最近開(kāi)展區(qū)，以此較好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入1．非零向量a，求作：(1)a＋a＋a；a(2)(－a)＋(－a)＋(－a)．a(chǎn)aaaaa－a－a－a請(qǐng)觀察3a與－3APQB2．eq\o(→,AB)，把線段ABAPQB三等分，分點(diǎn)為P，Q，那么eq\o(→,AP)，eq\o(→,AQ)，eq\o(→,BP)與eq\o(→,AB)的關(guān)系如何？教師提出問(wèn)題，引入課題．學(xué)生觀察解答．在向量加法的根底上引入數(shù)乘向量的定義，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，有利于概念的同化．新課新課新課新課1．?dāng)?shù)乘向量的定義實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa．向量λa(a≠0，λ≠0)的長(zhǎng)度與方向規(guī)定為：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反．當(dāng)λ＝0時(shí)，0a＝0；當(dāng)a＝0時(shí)，λ0＝02．?dāng)?shù)乘向量的幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向，長(zhǎng)度放大或縮?。?a的幾何意義就是沿著向量a練習(xí)一任作向量a，再作出向量－3a，EQ\F(1,2)a，－EQ\F(1,3)a，并說(shuō)出它們的幾何意義．3．?dāng)?shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ，μR，有：(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．請(qǐng)觀察，數(shù)乘向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律有什么相似之處？例1計(jì)算以下各式：〔1〕(－2)EQ\F(1,2)a；〔2〕2(a＋b)－3(a－b)；〔3〕(+)(a－b)－(－)(a+b)．解〔1〕(－2)EQ\F(1,2)a＝(－2EQ\F(1,2))a＝－a；〔2〕2(a＋b)－3(a－b)＝2a－3a＋2b＝(2－3)a＋(2＋3)b＝－a＋5b．〔3〕(＋)(a－b)－(－)(a＋b)＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b＝(＋－＋)a－(＋＋－)b＝2a－2練習(xí)二化簡(jiǎn)：〔1〕2(a－b)＋3(a＋b)；(2)EQ\F(1,2)(a＋b)＋EQ\F(1,2)(a－b)．例2設(shè)x是未知向量，解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0．解原式可變形為5x＋5a＋3x－3b＝08x＝－5a＋3bx＝－EQ\F(5,8)a＋EQ\F(3,8)b．練習(xí)三解關(guān)于x的方程：(1)3(a＋x)＝x；(2)x＋2(a＋x)＝0．例3eq\o(→,OA)＝3eq\o(→,OA)，eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,AB)，說(shuō)明向量eq\o(→,OB)與eq\o(→,OB)的關(guān)系．解因?yàn)閑q\o(→,OB)＝eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,OA)＋3eq\o(→,AB)＝3(eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB))＝3eq\o(→,OB)．所以eq\o(→,OB)與eq\o(→,OB)共線且同方向，長(zhǎng)度是eq\o(→,OB)的3倍．4．平行向量根本定理如果a＝λb，那么a//b；反之如果a//b，且b≠0，那么一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．例如，如果a＝2b，那么a//b；如果c＝－2b，那么c//b；如果d//b，且d的長(zhǎng)度是b的一半，并且方向相反，那么d＝－EQ\F(1,2)b．c－2bc－2bab2bb2b－EQ\F(－EQ\F(1,2)b5．非零向量a的單位向量與a同方向且長(zhǎng)度為1的向量，稱為非零向量a的單位向量．易知，a的單位向量為eq\f(a,|a|)．例4假設(shè)MN是△ABC的中位線，求證：MN＝EQ\F(1,2)BC，且MN∥BC．證明因?yàn)镸，N是AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以eq\o(→,AM)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AB)，eq\o(→,AN)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AC)，eq\o(→,MN)＝eq\o(→,AN)－eq\o(→,AM)＝EQ\F(1,2)eq\o(→,AC)－EQ\F(1,2)eq\o(→,AB)＝EQ\F(1,2)(eq\o(→,AC)－eq\o(→,AB))＝EQ\F(1,2)eq\o(→,BC)．所以MN＝EQ\F(1,2)BC，且MN∥BC．練習(xí)四點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，求證：eq\o(→,AD)＝EQ\F(1,2)(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))．教師由具體例子引導(dǎo)學(xué)生得到數(shù)乘向量的定義．師生合作完成．教師提出問(wèn)題．學(xué)生觀察解答．師生合作完成．學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固．教師引導(dǎo)學(xué)生完成．學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固．教師給出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生解答．學(xué)生根據(jù)向量加法的三角形法那么及數(shù)乘向量定義完成解答．教師由上例引導(dǎo)學(xué)生推廣到一般的平行向量．教師引導(dǎo)學(xué)生分析．學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固．培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納總結(jié)能力．緊扣向量的兩要素分析定義，便于理解數(shù)乘向量的幾何意義．類比學(xué)習(xí)．有實(shí)數(shù)運(yùn)算法那么做根底，學(xué)生解決這局部題目很容易，提醒學(xué)生向量上加箭頭．由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于學(xué)生接受．此題是首次應(yīng)用向量知識(shí)來(lái)解