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5.3.1數(shù)乘向量【教學(xué)目標(biāo)】1.通過(guò)實(shí)例掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算,并理解其幾何意義,掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律.2.理解并掌握平行向量根本定理.3.通過(guò)教學(xué),養(yǎng)成學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)的作圖習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)乘向量運(yùn)算及運(yùn)算律與平行向量根本定理.【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)數(shù)乘向量定義與平行向量根本定理的理解.【教學(xué)方法】這節(jié)課主要采用啟發(fā)式教學(xué)和講練結(jié)合的教學(xué)方法.在向量加法的根底上引入數(shù)乘向量的定義,教學(xué)過(guò)程中緊扣向量的兩要素分析定義,始終注重?cái)?shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生思考,使問(wèn)題處于學(xué)生思維的最近開(kāi)展區(qū),以此較好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【教學(xué)過(guò)程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入1.非零向量a,求作:(1)a+a+a;a(2)(-a)+(-a)+(-a).a(chǎn)aaaaa-a-a-a請(qǐng)觀察3a與-3APQB2.eq\o(→,AB),把線段ABAPQB三等分,分點(diǎn)為P,Q,那么eq\o(→,AP),eq\o(→,AQ),eq\o(→,BP)與eq\o(→,AB)的關(guān)系如何?教師提出問(wèn)題,引入課題.學(xué)生觀察解答.在向量加法的根底上引入數(shù)乘向量的定義,符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,有利于概念的同化.新課新課新課新課1.?dāng)?shù)乘向量的定義實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa.向量λa(a≠0,λ≠0)的長(zhǎng)度與方向規(guī)定為:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反.當(dāng)λ=0時(shí),0a=0;當(dāng)a=0時(shí),λ0=02.?dāng)?shù)乘向量的幾何意義把向量a沿著a的方向或a的反方向,長(zhǎng)度放大或縮?。?a的幾何意義就是沿著向量a練習(xí)一任作向量a,再作出向量-3a,EQ\F(1,2)a,-EQ\F(1,3)a,并說(shuō)出它們的幾何意義.3.?dāng)?shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ,μR,有:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.請(qǐng)觀察,數(shù)乘向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律有什么相似之處?例1計(jì)算以下各式:〔1〕(-2)EQ\F(1,2)a;〔2〕2(a+b)-3(a-b);〔3〕(+)(a-b)-(-)(a+b).解〔1〕(-2)EQ\F(1,2)a=(-2EQ\F(1,2))a=-a;〔2〕2(a+b)-3(a-b)=2a-3a+2b=(2-3)a+(2+3)b=-a+5b.〔3〕(+)(a-b)-(-)(a+b)=(+)a-(+)b-(-)a-(-)b=(+-+)a-(++-)b=2a-2練習(xí)二化簡(jiǎn):〔1〕2(a-b)+3(a+b);(2)EQ\F(1,2)(a+b)+EQ\F(1,2)(a-b).例2設(shè)x是未知向量,解方程5(x+a)+3(x-b)=0.解原式可變形為5x+5a+3x-3b=08x=-5a+3bx=-EQ\F(5,8)a+EQ\F(3,8)b.練習(xí)三解關(guān)于x的方程:(1)3(a+x)=x;(2)x+2(a+x)=0.例3eq\o(→,OA)=3eq\o(→,OA),eq\o(→,AB)=3eq\o(→,AB),說(shuō)明向量eq\o(→,OB)與eq\o(→,OB)的關(guān)系.解因?yàn)閑q\o(→,OB)=eq\o(→,OA)+eq\o(→,AB)=3eq\o(→,OA)+3eq\o(→,AB)=3(eq\o(→,OA)+eq\o(→,AB))=3eq\o(→,OB).所以eq\o(→,OB)與eq\o(→,OB)共線且同方向,長(zhǎng)度是eq\o(→,OB)的3倍.4.平行向量根本定理如果a=λb,那么a//b;反之如果a//b,且b≠0,那么一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb.例如,如果a=2b,那么a//b;如果c=-2b,那么c//b;如果d//b,且d的長(zhǎng)度是b的一半,并且方向相反,那么d=-EQ\F(1,2)b.c-2bc-2bab2bb2b-EQ\F(-EQ\F(1,2)b5.非零向量a的單位向量與a同方向且長(zhǎng)度為1的向量,稱為非零向量a的單位向量.易知,a的單位向量為eq\f(a,|a|).例4假設(shè)MN是△ABC的中位線,求證:MN=EQ\F(1,2)BC,且MN∥BC.證明因?yàn)镸,N是AB,AC邊上的中點(diǎn),所以eq\o(→,AM)=EQ\F(1,2)eq\o(→,AB),eq\o(→,AN)=EQ\F(1,2)eq\o(→,AC),eq\o(→,MN)=eq\o(→,AN)-eq\o(→,AM)=EQ\F(1,2)eq\o(→,AC)-EQ\F(1,2)eq\o(→,AB)=EQ\F(1,2)(eq\o(→,AC)-eq\o(→,AB))=EQ\F(1,2)eq\o(→,BC).所以MN=EQ\F(1,2)BC,且MN∥BC.練習(xí)四點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),求證:eq\o(→,AD)=EQ\F(1,2)(eq\o(→,AB)+eq\o(→,AC)).教師由具體例子引導(dǎo)學(xué)生得到數(shù)乘向量的定義.師生合作完成.教師提出問(wèn)題.學(xué)生觀察解答.師生合作完成.學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固.教師引導(dǎo)學(xué)生完成.學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固.教師給出問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生解答.學(xué)生根據(jù)向量加法的三角形法那么及數(shù)乘向量定義完成解答.教師由上例引導(dǎo)學(xué)生推廣到一般的平行向量.教師引導(dǎo)學(xué)生分析.學(xué)生練習(xí)穩(wěn)固.培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的歸納總結(jié)能力.緊扣向量的兩要素分析定義,便于理解數(shù)乘向量的幾何意義.類比學(xué)習(xí).有實(shí)數(shù)運(yùn)算法那么做根底,學(xué)生解決這局部題目很容易,提醒學(xué)生向量上加箭頭.由本例引入平行向量定理,由特殊到一般,便于學(xué)生接受.此題是首次應(yīng)用向量知識(shí)來(lái)解
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