類比與探究（解析版）-八年級數(shù)學復習三角形全等、軸對稱及幾何動態(tài)問題思維訓練

專題09類比與探究

?定義型

?全等類

類比與探究

◎材料類

?定理類

【典例解析】

【例1】（2020?江蘇南京月考）閱讀理解

如圖①，XNBC中，沿NBAC的平分線ABl折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿NBIAlC的平分線A1B2

折疊，剪掉重復部分；….；將余下部分沿/BAe的平分線AnBnA折疊，點B11與點C重合.無論折疊

多少次，只要最后一次恰好重合，NBAC是aABC的好角.小麗展示了確定NBAC是AABC的好角的兩

種情形.

情形一：如圖②，沿等腰三角形A8C頂角/3AC的平分線ABl折疊，點B與點C重合；

情形二：如圖③，沿NBAC的平分線ABl折疊，剪掉重復部分；將余下的部分沿NBlAlC的平分線AlB2

折疊，此時點B?與點C重合.

探究發(fā)現(xiàn)

（1）ΔABC中，ZB=2ZC,ZBAC是不是AABC的好角？____（填“是”或“不是”）

（2）猜想：若經(jīng)過n次折疊后發(fā)現(xiàn)NBAC是AABC的好角，則NB與/C（不妨設(shè)/B>NC）之間的等

量關(guān)系為_______________

應(yīng)用提升

（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、/05。，發(fā)現(xiàn)60"和/05。的兩個角都是此三角形的好角.

請你完成，如果一個三角形的最小角是12。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此

三角形的好角.

圖①圖②圖③

【答案】(1)是；(2)ZΛ=nZC:(3)見解析.

【解析】解：(1)ZVlBC中，NB=2NC,經(jīng)過兩次折疊，NBAC是AABC的好角；

理由如下：

小麗展示的情形二中，如圖③，

由折疊知：ZB=ZAA1B1,ZA1BiC=ZC;

,/ZA41B∣=ZC+ZAIBIG

ΛZB=2ZC,NB4C是△?!BC的好角.

故答案為：是；

(2)∕B=∏NC;

理由如下：

由折疊的性質(zhì)知，ZB=ZAAiBl,ZC=ZA2B2C,ZAtBlC=ZA1A2B2,

：.ZAiA2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC;

,o

.?ZBAC+ZB+ZAA1B1-ZAlBiC=ZBAC+2ZB-2ZC180,

/.ZBAC+ZB+ZC=?SO°,

.?.NB=3NC;

由小麗展示的情形一知，當/B=NC時，NBAC是448C的好角；

由小麗展示的情形二知，當NB=2NC時，NHAC是448C的好角；

由小麗展示的情形三知，當∕B=3NC時，NBAC是aABC的好角；

故若經(jīng)過〃次折疊/BAC是AABC的好角，則/5與/C(不妨設(shè)∕B>NC)之間的等量系為/8=”/C；

故答案為：ZB=nZC;

(3)由(2)知設(shè)/A=12。，

是好角，

二NB=⑵。；

VZA是好角，

ZC-mZB=?2mn°,其中加、〃為正整數(shù),

而12+12n+12mn—180

Λ?+n+nm=↑5

ΛH(1+?n)=14,即〃?=1,n=7或m=6,〃=2或∕n=l3,H=I

.?.如果一個三角形的最小角是12。,三角形另外兩個角的度數(shù)是24。、144。；12。、156。；84。、84°.

【變式1-1](202。重慶市月考)閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是另一

個內(nèi)角度數(shù)的3倍,那么這樣的三角形我們稱為“夢想三角形”例如:一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是120。,

40°,20°,這個三角形就是一個“夢想三角形反之，若一個三角形是“夢想三角形"，那么這個三角形的三

個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍.

(1)如果一個“夢想三角形”有一個角為108。，那么這個“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為

(2)如圖1,已知∕MON=6(Γ,在射線OM上取一點4,過點A作48_LOM交CW于點8,以A為端點作

射線A。，交線段于點C(點C不與。、8重合)，若NAC8=80。.判定AAOB,/MOC是否是“夢想三

角形”，為什么？

(3)如圖2,點。在AABC的邊上，連接。C,作/AOC的平分線交AC于點E,在。C上取一點F,使得

ZEFC+ZBDC=180o,NDEF=NB.若△BCO是“夢想三角形”，求乙B的度數(shù).

圖1圖2

【答案】(D36。或18。：(2)(3)見解析.

【解析】解：當108。的角是另一個內(nèi)角的3倍時,

最小角為180o-108o-108÷3o=36o,

當180。-108。=72。的角是另一個內(nèi)角的3倍時，

最小角為72。+(1+3)=18°,

“夢想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為36?；?8°.

故答案為:36?；?8。.

(2)ΔAOB,A49C都是“夢想三角形”

證明："：ABLOM,

.".ZOAB=90°,

：.NA8。=90°-NMoN=30°,

.NOA8=3NA8O,

???ZXAOB為“夢想三角形”，

oo

VZΛ∕O∕V=60,ZACB=SOf/ACB=NOAC+NMON,

ΛZOAC=80o-60o=20o,

ΛNAO8=3NoAG

???ZXAOC是“夢想三角形”.

o0

(3)解：VZEFC+ZBDC=ISO9ZADC+ZBDC=ISO9

：.ZEFC=ZADCt

：.AD//EF,

：.ZDEF=ZADEt

?：NDEF=/B,

：.ZB=ZADE9

：.DE//BC,

."CDE=NBCD,

TAE平分NAoC

/.NADE=NCDE,

：.ZB=ZBCDf

是“夢想三角形”，

：?/BDC=3/B,或NB=3N8OC

?：ZBDC+ZBCD+ZB=180°,

/…/540、。

???/3=36?；騈B=(——)°.

7

【變式l-2](2020?寧波市期末)若ABC中剛好有NB=2NC,則稱此三角形為“可愛三角形”，并且NA

稱作“可愛角現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是().

A.45?；?6oB.72或360C.45。或72。D.36?；?2?；?5。

【答案】C

【解析】解：由題意可知：設(shè)這個等腰三角形為448G且N8=2∕C,

①當N3是底角時，則另一底角為NA,且NA=N6=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180?？芍篫Λ÷ZB÷ZC=180o,

Λ5ZC=180o,.?.∕C=36°,NA=NB=72°,

此時可愛角為/A=72。，

②當NC是底角，則另一底角為NA,且NB=2∕A=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=ISOo,

Λ4ZC=180o,即NC=45°,

此時可愛角為NA=45。，

故答案為：C.

【例2】(2020?江蘇泰州月考)

(1)如圖1：在四邊形ABC中，AB=AC,ZB=ZADC=Wo,E、F分別是BC、Cn上的點，且EF=BE+FZλ

探究圖中NBAE、ZFAD.NEAF之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學探究此問題的方法是：延長皿到點G,使OG

=BE.連接AG,先證明AABEgZVlOG,再證明△AEF絲AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

(2)如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=A。，/8+/O=180。.E、尸分別是BC、CO上的點，且EF=BE+FD,

上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(3)如圖3,已知在四邊形ABCz)中，ZABC+ZADC^18O°AB=AD,若點E在CB的延長線上，點F在

8的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請寫出/EAF與/D4B的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過

程.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF.理由:

延長FC到點G,使。G=BE,連接4G,

uo

?AB=ADtZB=ZADG=90,

：.ΛABE^ΛADGf

：.ZBAE=ZDAGfAE=AGf

?：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：.?AEF^ΔAGF,

.Β.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF.

故答案為：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)成立，理由：

延長尸。到點G,使DG=BE,連接AG,

oo

YZB+ZADF=180,ZADG+ZADF=ISOf

???NB=NAOG,

又TAB=AZ),

：.ΔABf^ΔADG,

：,/BAE=NDAG,AE=AGf

?：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：.?AEF^ΔΛGF,

???ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)ZE4F=180o-?ZDAB.

2

延長。C至G,使DG=BE,連接AG,

：.ZADC=ZABE,

又?.?A8=AQ,

Λ?ADG^∕?ABE（SAS）,

：.AG=AE,NDAG=NBAE,

?；EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.ΔΔAGF（SSS）,

.?ZFAE^ZFAG,

'：ZFAE+ZFAG+ZGAE=360o,

.?2ZFAE+（NGA8+N8AE）=360°,

Λ2ZME+（ZGAB+ZDAG）=360°,

即2ZMf+ZDAB=360o,

.?.NEAF=I80°--ZDAB.

2

【變式2-1］（2018?河南洛陽月考）（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰RJABC與等腰RjADE按如圖1方式疊放，

其中NACB=NAr）E=90°，點。，E分別在AB，AC邊上，Λ/為BE的中點，連結(jié)CM,.小

明發(fā)現(xiàn)CW=DM，你認為正確嗎？請說明理由.

（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰Rt,ADE繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會

如何呢？為此進行以下探究：

探究一：將圖1中的等腰RjADE繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°（如圖2）,其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論

CW=依然成立.請你給出證明.

探究二：將圖1中的等腰Rt-ADE繞點4沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°（如圖3）,其他條件不變，則結(jié)論

CW=OM還成立嗎？請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】見解析.

【解析】解：(1)過B作BNLAB,交。M的延長線交于N,連接CM

.".DE∕∕BN,

：./DEM=ZMBN,

,JEM=BM,ZEMD=ZBMN

：.4EMD迫叢BMN,

：.BN=DE=DA,MN=MD,

AC=BC

在△和△CN8中，＜NA=NCBN=45,

BN=DA

：.XCADQXCNB,

：.CD=CN,

AOCN是等腰宜角三角形，CM是底邊的中線,

.'.CMA-DN,

.?.ADCM是等腰直角三角形，

：.DM=CM.

(2)探究一

連接。M并延長，交BC于N,

?.,NEDA=NAC8=90。，

.?DE∕∕BC,

：?ZDEM=ZMBCf

ZDEM=ANBM

在AEMO和43MN中，?EM=BM,

ZEMD=ZNMB

:?∕?EMD與ABMN(ASA),

:?BN=DE=DA,MN=MD

YAC=BC,

：.CD=CNf

???AOCN是等腰直角三角形，CM是底邊的中線，

：.CMA.DM,NDCM=LNDCN=45。=NBCM,

2

...△CM。為等腰直角三角形.

：.DM=CM.

探究二

過點8作BN//DE交DM的延長線于N,連接CN,

：./E=NMBN=45。.

：點M是BE的中點,

：.EM=BM.

NE=ZMBN

在^EMD和ABMN中，（EM=BM

ZDME=4NMB

AEMDQABMN（ASA）,

.'.BN=DE=DA,MN=MD,

'：ZDAE=ZBAC^ZABC=45o,

.?.NDAC=NNBC=90。

DA=BN

在^DCA和小NCB中<NDAC=NNBC,

CA=BC

：.ADCA^ANCB（SAS）,

：.ZDCA=ZNCB,DC=CN,

：.NDCN=∕ACB=90°,

.?.△￡）CN是等腰直角三角形，CM是底邊的中線，

.?CM-LDM,NDCM=LNDCN=45。=NCDM,

2

：.ACMD為等腰直角三角形.

LDM=CM.

【變式2-2］（2020?浙江椒江期末）

（閱讀材科）小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，

如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)

律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若NBAC=ND4E,AB=AC,AD=AE,

則4ABD^ΛACE.

（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn).

（深入探究）（2）如圖2,AABC和AAED是等邊三角形，連接8。，EC交于點O,連接AO,下列結(jié)論：

①BO=EC;②/8OC=60。；③/4OE=60。；④Eo=C0,其中正確的有.（將所有正確的序號填在橫

線上）.

（延伸應(yīng)用）（3）如圖3,AB=BC,ZABC=ZBDC=60o,試探究N4與NC的數(shù)量關(guān)系.

EE

B

B

圖1圖2圖3

【答案】見解析.

【解析】（1）證明：：NBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ΛDAE+ACAD,

：.ZBAD^ZCAE,

AB=AC

在AABQ和^ACE中，,NBAD=NCAE,

AD^AE

二?ABD^?ACE;

(2)在。8上截取。尸=OC,連接C尸

YZVlBC和4A。E是等邊三角形，

.".AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在AABQ和△4CE中，＜NBAO=NCAE,

AD^AE

：.ΛABD^AACE,

：.BD=CE,①正確，NADB=NAEC,

設(shè)AO與CE的交點為G,

?.?NAGE=NDGO,

oo

Λl80-ZADB-ZDGO=180-ZAEC-ZAGE9

：.NOoE=NOAE=60。，

o

ΛZBOC=60f②正確，

?：OC=OFf

???△OCF是等邊三角形，

：.CF=OC,ZOFC=ZOCF=60°=ZACB,

???ZBCF=ZACOt

'JAB=ACf

Λ?BCF^?ACO,

.?.ZAOC=ZBFC=180o-ZOFC=120°,

ΛZAOE=180o-ZAOC=60o,③正確，

連接AR?OC=OE9貝IJooLCE,

2

λ

:BD=CE9

：.CF=OF=-BD,

2

：,OF=BF+OD,

J.BF<CFf

：.ZOBOZBCFf

?/NOBC+NBCF=/OFC=60。,

ΛZOBC>30o,無法判斷NO3C大于30度，所以，④不一定正確,

即：正確的有①②③，

故答案為①②③；

(3)延長￡)C至P,使DP=DB

D

?/ZBDC=60o,

.?.△8。尸是等邊三角形，

：.BD=BP,ZDBP=60o,

?：ZBAC=60o=ZDBP,

：.ZABD=ZCBP,

:AB=CB,

：.4ABDqACBP

.,.ZBCP=ZA,

?'ZBCD+ZBCP=ISOo,

：.NA+NBCO=180。.

【例3】(2020?湖南廣益期中)同學們應(yīng)該都見過光線照射在平面鏡上出現(xiàn)反射光線的現(xiàn)象。如圖1,AB

是放置在第一象限的一個平面鏡，一束光線CO經(jīng)過反射后的反射光線是OE,。，是法線，法線垂直于鏡

面AB.入射光線CD和平面鏡所成的角NBQC叫做入射角，反射光線OE與平面鏡所成的角NAQE叫做反

射角。鏡面反射有如下性質(zhì)：入射角等于反射角，根據(jù)以上材料完成下面問題：

(1)如圖1,法線DH交X軸于點F,交y軸于點H,試探究NDFC與ND4H之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)如圖2,第一象限的平面鏡AB交X軸于點B,交y軸于點A,X軸負半軸上也放置了一塊平面鏡，

入射光線CO經(jīng)過兩次反射后得到反射光線EG,DH是法線,射線CO和EG的反向延長線交于點P.

①若第一象限平面鏡與X軸夾角為26。，問入射角/BDC為多少時，反射光線EG與48平行？

②若NoCE>/QEC,平面鏡AB繞點。旋轉(zhuǎn)，是否存在一個定值％,使得ZDCE-ZDEC="/OHF總是成

立，若存在請求出Z值，若不存在，請說明理由.

圖1圖2

【答案】見解析.

【解析】解:

(1)ZDFC=ZDAH

o

?'DHLAB1ZADH=90

：.ND4H+NAHo=90。

?：ZOFH+ZAHD=90o

ΛZDAH=ZOFH

YZDFC=ZOFH

：.NDFC=NDAH

(2)①由題意得：NDBE=26。

設(shè)NBoC=M則NAoE=N8DC=x

'.'EG//AB1

INDEP=NADE=X

：.ZBED=ZBEP

?.'NDEP=NBED+/BEP=X

：.ZBED=-X

2

由NADE=NBED+NDBE,

得：X=LX+26,解得：x=52

2

即當∕BQC=52。時，EG//AB

[ZDCENBDe+NDBE

②由三角形的外角性質(zhì)得：｛,,CL

NADENDEC+4DBE

(ZBDC=ZDCE-ZDBE

即！，

ZADE=NDEC+ZDBE

Y入射角等于反射角，

.?.ZADE=ZBDC

.?.∕DCE-NDEC=2NDBE

易得：NOHF=NDBE

：.NDCE-NDEC=2NOHF

二存在一個定值k=2,使得NDCE-NDEC=2NOHF總、是成立.

【變式3-1］（2020?江西期中）數(shù)學課上，同學們探究下面命題的正確性，頂角為36。的等腰三角形我們稱

之為黃金三角形，”黃金三角形''具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可以把它分成兩個小等腰三角

形，為此，請你，解答問題：

(1)已知如圖1：黃金三角形△ABC中，乙4=36。，直線BO平分/A8C交AC于點。，求證：AABO和AOBC

都是等腰三角形；

(2)如圖2,在AABC中，AB=AC,ZA=36o,請你設(shè)計三種不同的方法，將△ABC分割成三個等腰三角

形，不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標出所分得的每個三角形的各內(nèi)角的度數(shù).

(3)已知一個三角形可以被分成兩個等腰三角形，若原三角形的一個內(nèi)角為36。，求原三角形的最大內(nèi)角

的所有可能值.

【解析】解：⑴證明：VZABC=(180-36)÷2=72,BD平分NABC,NABD=36。,

二NABD=/BAD,

為等腰三角形，

ZBDC=720=ZC,

.?.aBCQ為等腰三角形；

(2)如圖所示：

(3)當一個三角形滿足①直角三角形；②一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍；③一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍,

這三種情況之一時，該三角形必能被過某一頂點的直線分成兩個等腰三角形.

①最大內(nèi)角為90。；

②36。是另一內(nèi)角的2倍，最大內(nèi)角為：126。

一個內(nèi)角是36。的2倍，最大內(nèi)角為：72°；

除36。角外的兩個內(nèi)角度數(shù)滿足2倍關(guān)系，最大內(nèi)角為96°(不合題意，舍去)；

③36。是另一內(nèi)角的3倍，最大內(nèi)角為：132。

一個內(nèi)角是36。的3倍，最大內(nèi)角為：108。；

除36。角外的兩個內(nèi)角度數(shù)滿足3倍關(guān)系，最大內(nèi)角為108°；

綜上所述:最大角的可能值為72。,90。，108。，126。，132°.

【例4】(2020?山西平定期中)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

塞瓦定理

塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn).如圖，塞瓦定理是指在AABC

BDCEAF

內(nèi)任取一點O,延長AQBO,CO分別交對邊。，E,F于,則——X—×—=1.

DCEABF

任務(wù)：

(I)當點。,E分別為邊BGAC的中點時，求證：點b為AB的中點;

(2)若AABC為等邊三角形，AB=I2,AE=A,點。是BC邊的中點，求的長.

【答案】見解析.

【解析】(1)證明：E分別為邊BC、AC的中點，

：.BIACD,AE=CE

由塞瓦定理,得器X詈X熊=1

J.AF=BF

即尸是AB的中點.

(2)解：?.?Z?4BC為等邊三角形，AB=12

：.AB=AC=BC=U

'：AE=4

：.CE=S

。是8C中點

：.BD=CD=6,

?'AB=?2

.'.AF=U-BF

由賽瓦定理，得：殷XqX竺二I

DCEAFB

.68\2-BF,

64BF

解得：BF=8.

【習題專練】

1.（2020.湖南長沙月考）規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”,

2

記作3若k=§，則該等腰三角形的頂角為.

【答案】45°.

【解析】解:

?."AA8C中,AH=AC,

：.NB=NC,

：.ZA：ZB：ZC=2：3：3,

2

即ZA=180o×---------=45°,

2+3+3

二ZA=450.

故答案為：45°.

2.（2020.江蘇鼓樓期末）在/M4N的兩邊上各取點B、C,在平面上任取點P（不與點A、B、C重合），連

接PB、PC,設(shè)/BPC為/1,NABP為N2,/ACP為/3.請?zhí)剿?1、/2、N3和NBAC這4個角之間

的數(shù)量關(guān)系.

分析問題：由于點P是平面上的任意點，要考慮全面，需對點P的位置進行如下分類.

(1)若點尸在NMAN的兩邊上，易知點8、C將兩邊分成線段AB、AC,射線BM、CTV四個部分，根據(jù)提

示，完成表格;

條件一級分類二級分類圖形表示數(shù)量關(guān)系

?

Z2=0o

點P在

且NI=N3+NB4C

線段AB

上

ACN

點P在線上M,

A

N2T80。且

的兩邊點尸在

Nl+N3+ZBHC=180°

上射線BM

上

AC?

點尸在線

圖略

段AC上

點P在射

線AX上點P在射

線UV上圖略

(2)點P在/MAN的內(nèi)部，如圖1,線段BC將內(nèi)部分成線段8C,區(qū)域①，區(qū)域②三個部分.若點P在

線段BC上，則所求數(shù)量關(guān)系：/1=180。且/2+/3+/84?180。；

若點P在區(qū)域①中，則所求數(shù)量關(guān)系為：—；

若點P在區(qū)域②中，寫出這4個角之間的數(shù)量關(guān)系，并利用圖2加以證明.

圖2備用圖

類比解決：

(3)點P在NAMN的外部時，直接寫出當點P在該部分時這4個角之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】見解析.

【解析】解：（I）/3=0咀N1=N2+ZBAG

/3=180。且N1+N2+NBAC=180°；

（2）若點尸在區(qū)域①中，Zl+Z2+Z3+ZBAC=360°,

若點/＞在區(qū)域②中，Z∣=Z3+Z2+ZBAC,

延長BP,交射線AN于點。

：NPQC是AABQ的外角

二NPDC=N2+NBAC

VZl是4PCz）的外角

①N2=∕1+N8AC+N3

②N1=00且N2=∕3+NBAC

③N1+N2=N3+NBAC

④N3=0。且NBAC=N1+N2

⑤"AC=/1+N2+/3

⑥NBAC=N1+N3且/2=0。

⑦N1+N3=N2+NBAC

⑧N1=0。且N3=N2+NBAC

⑨∕3=∕l+N8AC+∕2

3.（2019.湖北房縣）請按照研究問題的步驟依次完成任務(wù).

（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明NA+N8=∕C+NO.

陽5

（簡單應(yīng)用）

（2）如圖2,AP,CP分別平分NA4。、ZBCD,若∕A3C=20t5,ZADC=26o,求NP的度數(shù)（可直接使用

問題（1）中的結(jié)論）

（問題探究）

（3）如圖3,直線AP平分NBA。的外角/砌O,CP平分/BCZ）的外角/BCE,若/ABC=36。，ZADC=16°,

猜想NP的度數(shù)為一；

（拓展延伸）

（4）在圖4中，若設(shè)NC=X,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,試問/P與/C、/8之間的

-33

數(shù)量關(guān)系為（用X、y表示NP）；

（5）在圖5中，AP平分/BA。，CP平分∕BCE）的外角/8CE,猜想/尸與NB、O的關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）證明：在A4O8中，N4+/8+N4O8=180。，

在ACOD中，ZC+ZZ）+ZCOD=180°,

?：ZAOB=ZCOD,

/.ZA+ZB=ZC+ZD;

(2)解：CP分別平分NBAZ),NBCD,

：.Nl=/2,Z3=Z4,

NP+N3=Nl+NB①

由（1）的結(jié)論得:

ZP+Z2=Z4+ZZX2)

①+②，得2NP+∕2+N3=Nl+∕4+∕B+∕Zλ

：.ZP=—(ZB+ZD)=23°：

2

(3)解：

平分∕E1D,CP平分NBCE,

,N1=N2,Z3=Z4,

.?.Z∕?Z)=180o-Z2,NPCO=I80°-∕3,

VZP+(180o-Zl)=ZD+(180o-Z3),ZP+Z1=ZB+Z4,

；.2NP=NB+ND,

：.ZP=—(∕8+∕E))=LX(36°+16°)=26°；

22

故答案為：26°；

(4)由題意可得：NB+NCAB=NC+NBDC,

即y+ZCAB=x+ZBDC,即C=X-y,

NB+NBAP=NP+NPDB,

即y+NZMP=NP+NPO8,

.?.y+(ZCAB-ZCAP)=ZP+(ZBDC-ZCDP),

.?.y+CZCAB--ZCAB)=ZP+QZBDC--ZCDB),

33

11

.?.ZP=v+ZCAB--ZCAB-ZCDB+-ZCDB

33

2

=>+-(NCAB-NCDB)

-3

=y+-(x-v)

-3

21

=—x+-y

33

21

故答案為：NP=-XH—y；

33

(5)由題意可得：ZB+ZBAD=ZD+ZBCDfNDAP+NP=NPCD+ND,

：?ZB-ZD=ZBCD-ZBAD,

TAP平分NB40,CP平分NBCE,

：.ZBAP=ZDAP9ZPCE=ZPCBf

：.—/BAD+NP=(ZBCD+-ZBCE)+ZD,

22

Λ?ZBAD+ZP=[ZBCD+^(180o-ZBCD)]+ZD,

：.ZP=90°+—NBCD--ZBAD+ZD

22

=90°+?(NBCD-NBAD)+ND

2

=90。+L(ZB-ZD)+ZD

2

180o+ZB+Zr>

2

4.(2019?南京師范大學附屬中學期中)(約定)若一個三角形中有一個是直角，稱此三角形為I類美麗三角

形；若一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，稱此三角形為∏類美麗三角形；若一個三角形中有一個

角是另一個角的3倍，稱此三角形為HI類美麗三角形；I、II、In類美麗三角形合稱為美麗三角形.

如圖1中的AABC中，ZC=90,則AABC是I類美麗三角形；

如圖2中的ZkABC中，NC=2NB=2α,則AABC是∏類美麗三角形；

如圖3中的AABC中，NC=2NB=3α,則△ABC是HI類美麗三角形；

(結(jié)論1)美麗三角形都可以用一條過某一頂點的直線分割成兩個等腰三角形.

(1)請在圖1、2、3中分別畫出分割線，并標出相等的角(用a表示)或相等的邊.

(應(yīng)用I)(2)如圖4,一個含有2()和15角的三角形，再拼上一個三角形后就可以拼成一個美麗三角形,

圖5就是其中的一種拼法.請在該三角形的三邊上各拼上一個三角形，使之成為I、II、IIl類美麗三角形

各一個，在備用圖中分別畫出來并在圖上標出所拼三角形的三個角的度數(shù).

(結(jié)論2)如果過一個三角形某一頂點的直線可以把它分割成兩個等腰三角形，那么這個三角形一定是美麗

三角形.

（應(yīng)用2）（3）如圖6,如果在圖4中的最短邊Ae上拼上一個三角形后所形成的ABS能被兩條直線分割

成三個等腰三角形，其中一個等腰三角形的底邊為BC、底角為NB,設(shè)所拼三角形中與20角相鄰的角為α,

請直接寫出所有a的大小.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）分割線如圖所示:

①有90。角；②有一個角是另一個角的兩倍（單倍角要小了45。）③有一個角是另一個角的三倍（單倍角要

小于45。）

?a的大小可為5。或55?；?30?；?5。或135°或10?；?5°.

5.(2020?湖南廣益期末)對于平面直角坐標系XOy中的點P(aS),若點P的坐標為(α+奶,3+勾(其

中左為常數(shù)，且ZHO),則稱點尸'為點P的"左屬派生點”.例如：P(1,4)的“2屬派生點”為

Λ(l+2×4,2×l+4),即P'(9,6).

(1)若點尸的“3屬派生點''尸'的坐標為(6,2),求點尸的坐標；

(2)若點P在X軸的正半軸上，點P的“々屬派生點”為P點，且線段尸P的長度為線段OP長度的2倍，

求去的值;

⑶如圖，已知點A(0,2),點尸是X軸上一點，且是點(2,4)的“屬派生點”，以線段AP為一邊，在其

一側(cè)作如圖所示等邊三角線APQ.現(xiàn)P點沿X軸運動，當點尸運動到原點。處時，記Q的位置為3.問

三角形ABQ的面積是否是一個定值，如果是，請求出面積；如果不是，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)設(shè)點P的坐標為尸(a,b),

a+3b=6

由題意得:

3a+b=2

a-Q

解得<

b=2

??.點P的坐標為P(0,2);

(2)設(shè)點尸的坐標為P(m,0),/?>0

由7屬派生點”的定義得：點尸的坐標為(〃?為”),

則因zn=2m,解得：k=±2；

(3)aABQ的面積是一個定值

設(shè)點P的坐標為P(，〃，0),

：點(2,4)的7屬派生點”的為(2+4k,2A+4),

2+4Z=mm--6

解得V,C

2攵+4=0k=-2

即P(-6,0),OP=G,

"JOA=I,

ΔAPQ和^AOB是等邊三角形

：.AP=AQ,ΛPAQ=ΛOAB,AO=AB

：.ZPAQ-ZOAQ=ZOAB-ZOAQ,即APAO=AQAB

：.∕?A0P^∕?A8Q

?,?S&ABQ=SeAOP=?OPOA=6

故AABQ的面積是一個定值，為6.

6.在等腰三角形中，過其中的一個頂點的直線如果能把這個等腰三角形分成兩個小的等腰三角形，我們稱

這種等腰三角形為“少見的三角形“，這條直線稱為分割線，下面我們來研究這類三角形.

(1)等腰直角三角形是不是“少見的三角形”？

(2)已知如圖所示的鈍角三角形是一個“少見的三角形''，請你畫出分割線的大致位置，并求出頂角的度數(shù)；

(3)銳角三角形中有沒有“少見的三角形”？如果沒有，請說明理由；如果有，請畫出圖形并求出頂角的度

設(shè)/A=x°,

則/ACD=/A=X°,ZB=ZA=Xo,

：?NBCD=∕B=x0,

?/ZΛ+ZACB+ZB=180o

即x+x+x÷x=180,

解得：x=45,

則頂角是90。；

???△A5C是等腰直角三角形，即等腰直角三角形是“少見的三角形”;

(2)如圖，

設(shè)N3=x0,

t

?AB=AC9

o

：.ZC=ZB=Xf

u

?BD=ADt

Q

：.ZBAD=ZB=XF

o

：,ZADC=ZB+ZBAD=2xf

λu

.AC=DCf

：.ZADC=ZCAD=2xo,

：.NBAC=3x。,

Λx+x+3x=180,x=36o,

則頂角NBAC=IO8。.

(3)如圖，

AC=BCfAB=AD=CD,

設(shè)Ne=X。,

?：AD=CD,

：?ZCAD=ZC=xo,

???ZADB=ZCAD+ZC=2xo,

,

?AD=AB9

o

：.ZB=ZADB=Ixf

?；AC=BC,

o

.?ZCAB=ZB=2xf

VZCAB+ZB÷ZC=180o,

.*.Λ+2.γ+2,r=180,x=36o,

則頂角是36。.

7.(2019?湖南天心期末)定義：若兩個三角形，有兩邊相等且其中一組等邊所對的角對應(yīng)相等，但不是全

等三角形，我們就稱這兩個三角形為偏差三角形.

(1)如圖1,已知A(3,2),B(4,0),請在X軸上找一個C,使得△OAB與△OAC是偏差三角形.你

找到的C點的坐標是,直接寫出/08A和NocA的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AC平分NBA。，ZD+ZB=180o,問△ABC與△ACQ是偏差三角形嗎？

請說明理由.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=DC,AC與8。交于點P,BD+AC=9,N84C+NBDC=I80。，其中

ZBDC<90o,且點C到直線BO的距離是3,求△ABC與△BCQ的面積之和.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)

9：AC=AB,△048與AOAC是偏差三角形，A(3,2),8(4,0),

???點C的坐標為(2,0),

?；AC=AB,

，ZACB=ZABCf

VZ0CΛ÷ZACB=I80°,

o

：.ZOBA+ZOCA=ISO9

故答案為：(2,0),ZOBA÷ZOCA=180o;

(2)AABC與AACO是偏差三角形

在Ao上截取A"=A3

〈AC平分NRAO,

ΛZCAW=ZC