SVM-支持向量機(jī)基本原理及應(yīng)用

支持向量機(jī)

〔supportvectormachine，SVM〕WangJiminNov18,2005OutlineSVM的理論根底線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機(jī)SVM的研究與應(yīng)用SVM的理論根底傳統(tǒng)的統(tǒng)計模式識別方法只有在樣本趨向無窮大時，其性能才有理論的保證。統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論〔STL〕研究有限樣本情況下的機(jī)器學(xué)習(xí)問題。SVM的理論根底就是統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論。傳統(tǒng)的統(tǒng)計模式識別方法在進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)時，強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗風(fēng)險最小化。而單純的經(jīng)驗風(fēng)險最小化會產(chǎn)生“過學(xué)習(xí)問題”，其推廣能力較差。推廣能力是指:將學(xué)習(xí)機(jī)器(即預(yù)測函數(shù),或稱學(xué)習(xí)函數(shù)、學(xué)習(xí)模型)對未來輸出進(jìn)行正確預(yù)測的能力。過學(xué)習(xí)問題“過學(xué)習(xí)問題”：某些情況下，當(dāng)訓(xùn)練誤差過小反而會導(dǎo)致推廣能力的下降。例如：對一組訓(xùn)練樣本(x,y),x分布在實數(shù)范圍內(nèi)，y取值在[0，1]之間。無論這些樣本是由什么模型產(chǎn)生的，我們總可以用y=sin(w*x)去擬合，使得訓(xùn)練誤差為0.SVM根據(jù)統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論，學(xué)習(xí)機(jī)器的實際風(fēng)險由經(jīng)驗風(fēng)險值和置信范圍值兩局部組成。而基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化準(zhǔn)那么的學(xué)習(xí)方法只強(qiáng)調(diào)了訓(xùn)練樣本的經(jīng)驗風(fēng)險最小誤差，沒有最小化置信范圍值，因此其推廣能力較差。Vapnik提出的支持向量機(jī)〔SupportVectorMachine,SVM〕以訓(xùn)練誤差作為優(yōu)化問題的約束條件，以置信范圍值最小化作為優(yōu)化目標(biāo)，即SVM是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)那么的學(xué)習(xí)方法，其推廣能力明顯優(yōu)于一些傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法。形成時期在1992—1995年。SVM由于SVM的求解最后轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃問題的求解，因此SVM的解是全局唯一的最優(yōu)解SVM在解決小樣本、非線性及高維模式識別問題中表現(xiàn)出許多特有的優(yōu)勢，并能夠推廣應(yīng)用到函數(shù)擬合等其他機(jī)器學(xué)習(xí)問題中Joachims最近采用SVM在Reuters-21578來進(jìn)行文本分類，并聲稱它比當(dāng)前發(fā)表的其他方法都好

OutlineSVM的理論根底線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機(jī)SVM的研究與應(yīng)用線性判別函數(shù)和判別面一個線性判別函數(shù)(discriminantfunction)是指由x的各個分量的線性組合而成的函數(shù)兩類情況:對于兩類問題的決策規(guī)那么為如果g(x)>0，那么判定x屬于C1，如果g(x)<0，那么判定x屬于C2，如果g(x)=0，那么可以將x任意分到某一類或者拒絕判定。線性判別函數(shù)以下圖表示一個簡單的線性分類器，具有d個輸入的單元，每個對應(yīng)一個輸入向量在各維上的分量值。該圖類似于一個神經(jīng)元。超平面方程g(x)=0定義了一個判定面，它把歸類于C1的點(diǎn)與歸類于C2的點(diǎn)分開來。當(dāng)g(x)是線性函數(shù)時，這個平面被稱為“超平面”(hyperplane)。當(dāng)x1和x2都在判定面上時，這說明w和超平面上任意向量正交，并稱w為超平面的法向量。注意到：x1-x2表示超平面上的一個向量判別函數(shù)g(x)是特征空間中某點(diǎn)x到超平面的距離的一種代數(shù)度量

從以下圖容易看出上式也可以表示為：r=g(x)/||w||。當(dāng)x=0時，表示原點(diǎn)到超平面的距離，r0=g(0)/||w||=w0/||w||，標(biāo)示在上圖中。總之：線性判別函數(shù)利用一個超平面把特征空間分隔成兩個區(qū)域。超平面的方向由法向量w確定，它的位置由閾值w0確定。判別函數(shù)g(x)正比于x點(diǎn)到超平面的代數(shù)距離〔帶正負(fù)號〕。當(dāng)x點(diǎn)在超平面的正側(cè)時，g(x)>0；當(dāng)x點(diǎn)在超平面的負(fù)側(cè)時，g(x)<0多類的情況

利用線性判別函數(shù)設(shè)計多類分類器有多種方法。例如可以把k類問題轉(zhuǎn)化為k個兩類問題，其中第i個問題是用線性判別函數(shù)把屬于Ci類與不屬于Ci類的點(diǎn)分開。更復(fù)雜一點(diǎn)的方法是用k(k-1)/2個線性判別函數(shù)，把樣本分為k個類別，每個線性判別函數(shù)只對其中的兩個類別分類。廣義線性判別函數(shù)在一維空間中，沒有任何一個線性函數(shù)能解決下述劃分問題〔黑紅各代表一類數(shù)據(jù)〕，可見線性判別函數(shù)有一定的局限性。廣義線性判別函數(shù)如果建立一個二次判別函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)，那么可以很好的解決上述分類問題。決策規(guī)那么仍是：如果g(x)>0，那么判定x屬于C1，如果g(x)<0，那么判定x屬于C2，如果g(x)=0，那么可以將x任意分到某一類或者拒絕判定。廣義線性判別函數(shù)廣義線性判別函數(shù)設(shè)計線性分類器

Fisher線性判別方法如：Fisher線性判別方法，主要解決把d維空間的樣本投影到一條直線上，形成一維空間，即把維數(shù)壓縮到一維。然而在d維空間分得很好的樣本投影到一維空間后，可能混到一起而無法分割。但一般情況下總可以找到某個方向，使得在該方向的直線上，樣本的投影能分開的最好。目的是降維,在低維空間中分割OutlineSVM的理論根底線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機(jī)SVM的研究與應(yīng)用最優(yōu)分類面

SVM是從線性可分情況下的最優(yōu)分類面開展而來的,根本思想可用圖2的兩維情況說明.圖中,方形點(diǎn)和圓形點(diǎn)代表兩類樣本,H為分類線,H1,H2分別為過各類中離分類線最近的樣本且平行于分類線的直線,它們之間的距離叫做分類間隔(margin)。

所謂最優(yōu)分類線就是要求分類線不但能將兩類正確分開(訓(xùn)練錯誤率為0),而且使分類間隔最大.推廣到高維空間，最優(yōu)分類線就變?yōu)樽顑?yōu)分類面。

最優(yōu)分類面如何求最優(yōu)分類面

最優(yōu)分類面OutlineSVM的理論根底線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機(jī)SVM的研究與應(yīng)用支持向量機(jī)

上節(jié)所得到的最優(yōu)分類函數(shù)為：該式只包含待分類樣本與訓(xùn)練樣本中的支持向量的內(nèi)積運(yùn)算，可見,要解決一個特征空間中的最優(yōu)線性分類問題,我們只需要知道這個空間中的內(nèi)積運(yùn)算即可。

對非線性問題,可以通過非線性變換轉(zhuǎn)化為某個高維空間中的線性問題,在變換空間求最優(yōu)分類面.這種變換可能比較復(fù)雜,因此這種思路在一般情況下不易實現(xiàn).支持向量機(jī)核函數(shù)的選擇SVM方法的特點(diǎn)①

非線性映射是SVM方法的理論根底,SVM利用內(nèi)積核函數(shù)代替向高維空間的非線性映射;②

對特征空間劃分的最優(yōu)超平面是SVM的目標(biāo),最大化分類邊際的思想是SVM方法的核心;③

支持向量是SVM的訓(xùn)練結(jié)果,在SVM分類決策中起決定作用的是支持向量。

SVM是一種有堅實理論根底的新穎的小樣本學(xué)習(xí)方法。它根本上不涉及概率測度及大數(shù)定律等,因此不同于現(xiàn)有的統(tǒng)計方法。從本質(zhì)上看,它避開了從歸納到演繹的傳統(tǒng)過程,實現(xiàn)了高效的從訓(xùn)練樣本到預(yù)報樣本的“轉(zhuǎn)導(dǎo)推理”(transductiveinference),大大簡化了通常的分類和回歸等問題。SVM方法的特點(diǎn)SVM的最終決策函數(shù)只由少數(shù)的支持向量所確定,計算的復(fù)雜性取決于支持向量的數(shù)目,而不是樣本空間的維數(shù),這在某種意義上防止了“維數(shù)災(zāi)難”。

少數(shù)支持向量決定了最終結(jié)果,這不但可以幫助我們抓住關(guān)鍵樣本、“剔除”大量冗余樣本,而且注定了該方法不但算法簡單,而且具有較好的“魯棒”性。這種“魯棒”性主要表達(dá)在:①增、刪非支持向量樣本對模型沒有影響;②支持向量樣本集具有一定的魯棒性;③有些成功的應(yīng)用中,SVM方法對核的選取不敏感。OutlineSVM的理論根底線性判別函數(shù)和判別面最優(yōu)分類面支持向量機(jī)SVM的研究與應(yīng)用SVM應(yīng)用近年來SVM方法已經(jīng)在圖像識別、信號處理和基因圖譜識別等方面得到了成功的應(yīng)用,顯示了它的優(yōu)勢。SVM通過核函數(shù)實現(xiàn)到高維空間的非線性映射,所以適合于解決本質(zhì)上非線性的分類、回歸和密度函數(shù)估計等問題。支持向量方法也為樣本分析、因子篩選、信息壓縮、知識挖掘和數(shù)據(jù)修復(fù)等提供了新工具。

支持向量機(jī)的研究對支持向量機(jī)的研究主要集中在對SVM本身性質(zhì)的研究以及加大支持向量機(jī)應(yīng)用研究的深度和廣度兩方面。SVM訓(xùn)練算法傳統(tǒng)的利用標(biāo)準(zhǔn)二次型優(yōu)化技術(shù)解決對偶問題的方法,是SVM訓(xùn)練算法慢及受到訓(xùn)練樣本集規(guī)模制約的主要原因。目前已提出了許多解決方法和改進(jìn)算法,主要是從如何處理大規(guī)模樣本集的訓(xùn)練問題、提高訓(xùn)練算法收斂速度等方面改進(jìn)。主要有：分解方法、修改優(yōu)化問題法、增量學(xué)習(xí)法、幾何方法等分別討論。SVM分類算法SVM分類算法訓(xùn)練好SVM分類器后,得到的支持向量被用來構(gòu)成決策分類面。對于大規(guī)模樣本集問題,SVM訓(xùn)練得到的支持向量數(shù)目很大,那么進(jìn)行分類決策時的計算代價就是一個值得考慮的問題。解決方法如：縮減集(Reduce