高中數(shù)學(xué)選修1-2：2.2.1同步練習(xí)

PAGEPAGE4高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-2同步練習(xí)1.下面敘述正確的是()A．綜合法、分析法都是直接證明的方法B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的D．綜合法、分析法所用語氣都是假定的答案：A2.將正整數(shù)按下表的規(guī)律排列，14516……23615……98714……10111213…………把行與列交叉處的一個數(shù)稱為某行某列的數(shù)，記作aij(i，j∈N*)，如第2行第4列的數(shù)是15，記作a24＝15，則有序數(shù)對(a82，a28)是()A．(22，45) B．(100，98)C．(51，63) D．(82，28)解析：選C.觀察發(fā)現(xiàn)a11＝1，a22＝3，a33＝7，a44＝13，∴a55＝21，a66＝a55＋10＝31，∴ann＝a(n－1)(n－1)＋2(n－1)，∴ann＝n2－n＋1，∴a88＝82－8＋1＝57，由圖形的特點可得a82＝a88－6＝51，a28＝a88＋6＝63，故有序數(shù)對(a82，a28)是(51，63)．3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an>0，且a4a6＋2a5a7＋a6a8＝36，則a5解析：∵{an}是等比數(shù)列，∴a4a6＝aeq\o\al(2,5)，a6a8＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(2,5)＋2a5a7＋aeq\o\al(2,7)＝36，即(a5＋a7)2＝36，又an>0，∴a5＋a7＝6.答案：64.將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證____________，即證______________，由于______________顯然成立，因此原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[A級基礎(chǔ)達標]1.欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需證()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：選C.根據(jù)不等式性質(zhì)，a>b>0時，才有a2>b2，∴只需證：eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(6)＋eq\r(3)，只需證：(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.2.(2012·淄博市高二期中考試)若a<0，則下列不等式成立的是()A．2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>0.2aB．0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>2aC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>0.2a>2aD．2a>0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)解析：選B.∵a<0，∴2a<0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>1，而當(dāng)a<0時，0.2a>0.5∴0.2a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>2a.3.已知a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1，則a＋2b的最小值為()A．7＋2eq\r(6) B．2eq\r(3)C．7＋2eq\r(3) D．14解析：選A.∵a＋2b＝(a＋2b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(3,b)))＝7＋eq\f(3a,b)＋eq\f(2b,a)≥7＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(2b,a))＝7＋2eq\r(6).當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3a,b)＝\f(2b,a),\f(1,a)＋\f(3,b)＝1))時取得“＝”．此時a＝eq\r(6)＋1，b＝3＋eq\f(\r(6),2).4.設(shè)P＝eq\r(2)，Q＝eq\r(7)－eq\r(3)，R＝eq\r(6)－eq\r(2)，那么P、Q、R的大小順序是________．(注：從大到小排列)解析：要比較R、Q的大小，可對R、Q作差，即Q－R＝eq\r(7)－eq\r(3)－(eq\r(6)－eq\r(2))＝(eq\r(7)＋eq\r(2))－(eq\r(3)＋eq\r(6))，又(eq\r(7)＋eq\r(2))2－(eq\r(3)＋eq\r(6))2＝2eq\r(14)－2eq\r(18)<0，∴Q<R.又P－R＝2eq\r(2)－eq\r(6)＝eq\r(8)－eq\r(6)>0，∴P>R>Q.答案：P>R>Q5.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝________．解析：∵sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＋sinβ＝－sinγ,cosα＋cosβ＝－cosγ))，兩式平方相加得：2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，∴cos(α－β)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)6.已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)>16abc.證明：左邊＝[b(a＋1)＋(a＋1)]·[b(a＋c)＋c(a＋c)]＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)．∵b＋1≥2eq\r(b)，a＋1≥2eq\r(a)，b＋c≥2eq\r(bc)，a＋c≥2eq\r(ac)，又∵a，b，c為不全相等的正數(shù)，∴(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)>16abc.[B級能力提升]7.設(shè)a、b、c三數(shù)成等比數(shù)列，而x、y分別為a、b和b、c的等差中項，則eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.∵ac＝b2，a＋b＝2x，b＋c＝2y，∴eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(a,\f(a＋b,2))＋eq\f(c,\f(b＋c,2))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2a（b＋c）＋2c（a＋b）,（a＋b）（b＋c）)＝eq\f(2ab＋4ac＋2bc,ab＋b2＋bc＋ac)＝eq\f(2ab＋4ac＋2bc,ab＋ac＋bc＋ac)＝2.eq\a\vs4\al(8.)已知△ABC中，cosA＋cosB>0，則必有()A．0<A＋B<π B．0<A＋B<eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)<A＋B<π D.eq\f(π,2)≤A＋B<π解析：選A.由cosA＋cosB>0得cosA>－cosB，∴cosA>cos(π－B)．∵0<A<π，0<B<π，且y＝cosx在x∈(0，π)上單調(diào)遞減．∴A<π－B.∴A＋B<π，即0<A＋B<π.eq\a\vs4\al(9.)已知α、β為實數(shù)，給出下列三個論斷：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).以其中的兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，寫出你認為正確的命題是__________．解析：∵αβ>0，|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.答案：①③?②eq\a\vs4\al(10.)已知a>b>0，求證：eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).證明：欲證eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b)，只需證eq\f(（a－b）2,4a)<a＋b－2eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,4b).∵a>b>0，∴只需證eq\f(a－b,2\r(a))<eq\r(a)－eq\r(b)<eq\f(a－b,2\r(b))，即證eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b)).只需證1＋eq\f(\r(b),\r(a))<2<1＋eq\f(\r(a),\r(b)).即證eq\f(\r(b),\r(a))<1<eq\f(\r(a),\r(b)).只需證eq\f(b,a)<1<eq\f(a,b).而a>b>0，∴eq\f(b,a)<1<eq\f(a,b)成立．∴原不等式成立．eq\a\vs4\al(11.)(創(chuàng)新題)如圖所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、BC的中點，EF∩BD＝G.求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1.證明：法一：要證明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需證面B1EF內(nèi)有一線垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要證EF⊥面BDD1B1，只需證EF垂直平面BDD1B1內(nèi)兩條相交直線即可，即證EF⊥BD，EF⊥B1G而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需證EF⊥