八年級數(shù)學(xué)下冊講義（人教版）：平行四邊形（教師版）

第10課平行四邊形目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理；2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會如何利用所學(xué)的三角形的知識解決四邊形的問題．3.能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．4.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理．知識精講知識精講知識點(diǎn)01平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.知識點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對角相等；3．對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；4．平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.注意：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.知識點(diǎn)03平行四邊形的判定1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.注意：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).知識點(diǎn)04三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為原三角形周長的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.知識點(diǎn)05平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.2.平行四邊形的面積：平行四邊形的面積＝底×高；等底等高的平行四邊形面積相等.能力拓展能力拓展考法01平行四邊形的性質(zhì)【典例1】如圖，平行四邊形ABCD的周長為60，對角線交于O，△AOB的周長比△BOC的周長大8，求AB，BC的長．【答案與解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周長是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△AOB的周長比△BOC的周長大8．即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的長分別是19和11．【點(diǎn)睛】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，利用方程的思想解題.【即學(xué)即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上一點(diǎn)，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，則△APB的周長是_____．【答案】24.【解析】【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周長=6+8+10=24.考點(diǎn)：1平行四邊形；2角平分線性質(zhì)；3勾股定理；4等腰三角形.【即學(xué)即練2】如圖，?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長為_____．【答案】14【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形周長的定義即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周長=BC+OB+OC=6+8=14，故答案為14．點(diǎn)睛：本題考查平行四邊形的性質(zhì)．三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【即學(xué)即練3】如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長為40，則S為______．【答案】48【解析】【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面積的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程組，求出平行四邊形的各邊長，再求其面積．【詳解】解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD的周長為40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程組：，解得：∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案為：48．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與其面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)得到鄰邊的和，根據(jù)面積公式得到方程，再解方程組即可．【即學(xué)即練4】如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，則□ABCD的周長等于__________．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠ABE=∠AEB，繼而可得AB=AE，然后根據(jù)已知可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴?ABCD的周長=4+4+6+6=20，故答案為20．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)．【即學(xué)即練5】已知：在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF分別交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，則?ABCD的面積是_____．【答案】32【解析】【詳解】分析：利用平行四邊形的性質(zhì)可證明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面積為3，進(jìn)而可得△BOC的面積為8，又因?yàn)椤鰾OC的面積=?ABCD的面積，進(jìn)而可得問題答案．詳解：：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，又∵AO=CO，在△AOE與△COF中∴△AOE≌△COF∴△COEF的面積為3，∵S△BOF=5，∴△BOC的面積為8，∵△BOC的面積=?ABCD的面積，∴?ABCD的面積=4×8=32，故答案為32．點(diǎn)睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，解答本題需要掌握兩點(diǎn)：①平行四邊形的對邊相等且平行，②全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．【即學(xué)即練6】如圖，□ABCD與□DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_______°．【答案】【解析】【詳解】∵□ABCD與□DCFE的周長相等，且有公共邊CD，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴．【即學(xué)即練7】如果一個(gè)平行四邊形的一邊長是8，一條對角線長是6，那么它的另一條對角線的長m的取值范圍是______________.【答案】10＜m＜22【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，那么一邊是8，另兩邊是3和組成的三角形，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，求得相應(yīng)范圍即可．【詳解】解：由題意得：8?3＜＜8＋3，∴10＜m＜22．故答案為：10＜m＜22．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系的綜合運(yùn)用，有關(guān)“對角線范圍”的題，應(yīng)聯(lián)系“三角形兩邊之和、差與第三邊關(guān)系”知識點(diǎn)來解決．【即學(xué)即練8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三點(diǎn)為頂點(diǎn)要畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）【解析】【分析】知道A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行可得D點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的兩組對邊分別平行，可得D點(diǎn)有三種情況，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）．故答案是（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)畫出圖形，找出D點(diǎn)坐標(biāo)的三種情況．【即學(xué)即練9】如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)，連接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分線，BE是∠CBA的平分線．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）若AE=3，BE=2，求平行四邊形ABCD的面積．

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵BE、AE分別平分∠ABC和∠BAD，

∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BE；

（2）∵AE⊥BE

∴S△ABE=AE×BE÷2=3，

∴平行四邊形ABCD的面積=2S△ABE=6．考法02平行四邊形的判定【典例2】已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點(diǎn)，且AP=CQ．

求證：四邊形PBQD是平行四邊形．

【分析】證明四邊形是平行四邊形有很多種方法，此題可由對角線互相平分來證明．

【答案與解析】

證明：連接BD交AC與O點(diǎn)，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO，

又∵AP=CQ，

∴AP+AO=CQ+CO，

即PO=QO，

∴四邊形PBQD是平行四邊形．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定，利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．【即學(xué)即練1】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件__________使四邊形AECF是平行四邊形（只填一個(gè)即可）．【答案】AF=CE（答案不唯一）．【解析】【詳解】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，得出AF∥CE，當(dāng)AF=CE時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形;根據(jù)有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形的定義，可添加AE∥FC.添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四邊形AECF是平行四邊形.【即學(xué)即練2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO＝CO．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得，又由AB＝CD，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO＝CO．【詳解】證明：（1）∵BF=DE，∴，即BE=DF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE與Rt△CDF中，,∴（HL）；（2）如圖，連接AC交BD于O，∵，∴，∴，∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【即學(xué)即練3】如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，OA=OB，E、F分別是OC，OD中點(diǎn)．(1)求證：OD=OC．(2)求證：四邊形AFBE平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAO=∠DBO，再由ASA證明△AOC≌△BOD即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及中點(diǎn)可證得OE=OF，再由平行四邊形的判定定理即可證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中點(diǎn)，F(xiàn)是OD中點(diǎn)，∴OE=OC，OF=OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四邊形AFBE是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形及平行四邊形的證明，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】以銳角△ABC的邊AC、BC、AB向形外作等邊△ACD、等邊△BCE，作等邊△ABF，連接DF、CE如圖所示．求證：四邊形DCEF是平行四邊形．【答案】證明：在等邊△ADC和等邊△AFB中∠DAC＝∠FAB＝60°．∴∠DAF＝∠CAB．又∵AD＝AC，AF＝AB．∴△ADF≌△ACB(SAS)．∴DF＝CB＝CE．同理，△BAC≌△BFE，∴EF＝AC＝DC．∴四邊形DCEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．考法03構(gòu)造平行四邊形，應(yīng)用性質(zhì)【典例3】在等邊三角形ABC中，P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F(xiàn)分別在AC，AB和BC上，試說明：PD＋PF＋PE＝BA.【答案與解析】解：延長FP交AB于G,延長DP交BC于H，∵四邊形AGPD，EBHP為平行四邊形，∴PD＝AG，PH＝BE.∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等邊三角形，∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，∴ΔGEP，ΔPHF為等邊三角形∴PF＝PH＝BE,PE＝GE,∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.【點(diǎn)睛】添加輔助線構(gòu)造平行四邊形是當(dāng)題目中有平行關(guān)系的條件時(shí)經(jīng)常使用的方法.考法04三角形的中位線【典例4】如圖所示，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的長．【分析】本題中所求線段MD與已知線段AB、AC之間沒有什么聯(lián)系，但由M為BC的中點(diǎn)聯(lián)想到中位線，另有AD為角平分線和垂線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”構(gòu)造等腰三角形ABN，D為BN的中點(diǎn)，DM即為中位線，不難求出MD的長度．【答案與解析】解：延長BD交AC于點(diǎn)N．∵AD為∠BAC的角平分線，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，又∵AD為公共邊，∴△ABD≌△AND(ASA)∴AN＝AB＝12，BD＝DN．∵AC＝18，∴NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵D、M分別為BN、BC的中點(diǎn)，∴DM＝CN＝＝3．【點(diǎn)睛】當(dāng)條件中含有中點(diǎn)的時(shí)候，可以將它與等腰三角形的“三線合一”、三角形的中線、中位線等聯(lián)系起來，進(jìn)行聯(lián)想，必要時(shí)添加輔助線，構(gòu)造中位線等圖形．【即學(xué)即練1】如圖所示，四邊形ABCD中，Q是CD上的一定點(diǎn)，P是BC上的一動點(diǎn)，E、F分別是PA、PQ兩邊的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上移動的過程中，線段EF的長度將()．A．先變大，后變小B．保持不變C．先變小，后變大D．無法確定【答案】B；解：連接AQ．∵E、F分別是PA、PQ兩邊的中點(diǎn)，∴EF是△PAQ的中位線，即AQ＝2EF．∵Q是CD上的一定點(diǎn)，則AQ的長度保持不變，∴線段EF的長度將保持不變．【即學(xué)即練2】如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+BD=24厘米，△OAB的周長是18厘米，則EF=___厘米．【答案】3【解析】【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．∵△OAB的周長是18厘米，∴AB=6厘米．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，∴EF是△OAB的中位線．∴EF=AB=3厘米．【即學(xué)即練3】如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是_____．【答案】11．【解析】【詳解】利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四邊形EFGH的周長=6＋5=11．【即學(xué)即練4】如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD＝BC，∠PEF＝18°，則∠PFE的度數(shù)是__________．【答案】18．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)中位線定理和已知，易證明△EPF是等腰三角形．∵在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴FP，PE分別是△CDB與△DAB的中位線，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案為18．考點(diǎn)：三角形中位線定理．【即學(xué)即練5】如圖，在四邊形ABDC中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，并且E、F、G、H四點(diǎn)不共線．當(dāng)AC＝6，BD＝8時(shí)，四邊形EFGH的周長是_____．【答案】14【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，根據(jù)平行四邊形的判定定理和周長解答即可．【詳解】∵F，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴FG＝BD＝4，F(xiàn)G∥BD，∵E，H分別為AB，DA的中點(diǎn)，∴EH＝BD＝4，EH∥BD，∴FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF＝GH＝AC＝3，∴四邊形EFGH的周長＝3+3+4+4＝14，故答案為14【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BD=12，則△DOE的周長為（）A．15 B．18 C．21 D．24【答案】A【解析】【分析】此題涉及的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，OB=OD，又因?yàn)镋點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，可得OE是△BCD的中位線，可得OE=BC，所以易求△DOE的周長．【詳解】解：∵?ABCD的周長為36，∴2（BC+CD）=36，則BC+CD=18．∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DE=CD，∴OE是△BCD的中位線，∴OE=BC，∴△DOE的周長=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15．故選A【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對于平行四邊形的性質(zhì)的理解，三角形的中位線，平行四邊形的對角對邊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°【答案】C【解析】【詳解】試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故選C．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)．3．如圖，中，對角線、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，連接，若的周長為28，則的周長為（）A．28 B．24 C．21 D．14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，再結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵平行四邊形的周長為28，∴∵，∴是線段的中垂線，∴，∴的周長，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理.4．平行四邊形所具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等 B．鄰邊互相垂直C．每條對角線平分一組對角 D．兩組對邊分別相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，對角線互相平分，對邊平行且相等，繼而即可得出答案．【詳解】平行四邊形的對角相等，對角線互相平分，對邊平行且相等.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).5．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，CD=6，則△ABO的周長是（）A．10 B．14 C．20 D．22【答案】B【解析】【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的長，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周長是：14．故選B．【點(diǎn)睛】平行四邊形的性質(zhì)掌握要熟練，找到等值代換即可求解．6．平行四邊形的邊長為5，則它的對角線長可能是()A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)中，兩條對角線的一半和一邊構(gòu)成三角形，利用三角形三邊關(guān)系判斷可知．【詳解】A.對角線一半分別是2和3，2+3=5，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.對角線一半分別是1和6，6?1=5，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C.對角線一半分別是2和4，符合三角形的三邊關(guān)系，能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)正確；D.對角線一半分別是2和，2+<5，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7．如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，添加一個(gè)條件使四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位線定理得到，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．【詳解】∵在中，分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．A、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、根據(jù)可以判定，即，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確．C、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、根據(jù)不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】【詳解】試題解析：由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個(gè)四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB=10，BC=15，MN=3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】【詳解】延長線段BN交AC于E.∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.在△ABN與△AEN中，∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴CE=2MN=2×3=6，∴AC=AE+CE=10+6=16.故選C.題組B能力提升練10．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為___________________．【答案】(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．【解析】【分析】D的位置分三種情況分析；由平行四邊形對邊平行關(guān)系，用平移規(guī)律求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)平移性質(zhì)可以得到AB對應(yīng)DC，所以，由B，C的坐標(biāo)關(guān)系可以推出A，D的坐標(biāo)關(guān)系，即D(-1-2，2+4)，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3，6)；同理，當(dāng)AB與CD對應(yīng)時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，2)；當(dāng)AC與BD對應(yīng)時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-2)故答案為：(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：平行四邊形和平移.解題關(guān)鍵點(diǎn)：用平移求出點(diǎn)的坐標(biāo)．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，，，則平行四邊形ABCD的面積為______．【答案】48【解析】【分析】已知平行四邊形的高AE、AF，設(shè)，則，根據(jù)“等面積法”列方程，求BC，從而求出平行四邊形的面積．【詳解】設(shè)，則，根據(jù)“等面積法”得，解得，平行四邊形ABCD的面積．故答案為48．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：平行四邊形一組鄰邊之和為平行四邊形周長的一半，平行四邊形的面積底高，可用兩種方法表示．12．如圖所示，對四邊形ABCD是平行四邊形的下列判斷，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．（1）因?yàn)锳D∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四邊形．()（2）因?yàn)锳B∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（3）因?yàn)锳D∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（4）因?yàn)锳B∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四邊形．()（5）因?yàn)锳B=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四邊形．()（6）因?yàn)锳D=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四邊形．()【答案】××∨∨∨×【解析】【分析】平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．根據(jù)判定定理判斷即可．【詳解】解：（1）（2）中的四邊形可能是等腰梯形，不能判定是平行四邊形，故錯(cuò)誤；（3）（4）（5）是平行四邊形的判定定理，可判定是平行四邊形，故正確；（6）不符合平行四邊形的判定定理，不能判定是平行四邊形，故錯(cuò)誤；故答案為(1).×；(2).×；(3).∨；(4).∨；(5).∨；(6).×.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．13．如圖，線段AB＝4，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，在AB的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△APE和等邊△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是______．【答案】4．【解析】【分析】先延長EP交BC于點(diǎn)F，得出，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積，最后根據(jù)，判斷的最大值即可．【詳解】解：如圖，延長EP交BC于點(diǎn)F，，，，，平分，又，，設(shè)中，，，則，，和都是等邊三角形，，，，，在和中，，≌，，同理可得：≌，，四邊形CDEP是平行四邊形，四邊形CDEP的面積，又，，，即四邊形PCDE面積的最大值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線．14．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一點(diǎn)，且DE∥AC，DF∥AB，則DE+DF=___．【答案】7cm【解析】【詳解】試題解析：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DF=AE，又∵DE∥AC，∴∠C=∠EDB，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠EDB，∴DE=BE，∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．15．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為_____（用含α的式子表示）．【答案】270°﹣3α【解析】【詳解】分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAC=90°﹣α，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEB=180°﹣2α，根據(jù)三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)得到∠CEF=∠D=α，結(jié)合圖形計(jì)算即可．詳解：∵∠ACD=90°，∠D=α，∴∠DAC=90°﹣α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，∵∠ABC=90°，EAC的中點(diǎn)，∴BE=AE=EC，∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，∴∠CEB=180°﹣2α，∵E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠D=α，∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，故答案為270°﹣3α．點(diǎn)睛：本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練16．已知：如圖，在中，中線交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）和互相平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）利用三角形中位線定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；（2）由（1）的條件可以得出四邊形DEFG為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得出對角線和互相平分．【詳解】（1）在△ABC中，∵BE、CD為中線∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG（2）由（1）知：DE∥FG，DE=FG．∴四邊形DFGE為平行四邊形．∴和互相平分【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確利用三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．17．如圖，在四邊形中，．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動到C點(diǎn)返回，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)時(shí)，若四邊形是平行四邊形，求出滿足要求的t的值；（2）當(dāng)時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求相應(yīng)的t的值；（3）當(dāng)時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求相應(yīng)的t的值．【答案】（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出DQ=CP，當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動，由題意得出方程，解方程即可；（2）當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動，由梯形面積公式得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)返回，由梯形面積公式得出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵四邊形PQDC是平行四邊形，∴DQ=CP，當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動，如圖1所示：∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t∴16-t=21-2t解得：t=5；即當(dāng)t=5秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，P、Q分別沿AD、BC運(yùn)動，如圖1所示：CP=21-2t，DQ=16-t，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，則（DQ+CP）×AB=60，即（16-t+21-2t）×12=60，解得：t=9；即當(dāng)0＜t＜10.5時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，t的值為9秒；（3）當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，如圖2所示，點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)返回，CP=2t-21，DQ=16-t，則同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，即（16-t+2t-21）×12=60，解得：t=15．即當(dāng)10.5≤t＜16時(shí)，若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為60cm2，t的值為15秒．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、梯形的面積等知識，熟練掌握直角梯形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α≤90°），分別交線段BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求證：OE＝OF；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至90°時(shí)，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋轉(zhuǎn)角度α的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）平行四邊形，理由見解析；（3）45°【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，進(jìn)而判斷出△AOF≌△COE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出結(jié)論；（3）先求出AC＝2，進(jìn)而得出A＝1＝AB，即可判斷出△ABO是等腰直角三角形，進(jìn)一步判斷出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一得出∠BOF＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形，理由：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴AB∥EF，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形；（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，∴OA＝1＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BF＝DF，∴△BFD是等腰三角形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OF⊥BD（等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高），∴∠BOF＝90°，∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查