八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（人教版）：二次根式的加減（教師版）

第03課二次根式的加減目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式加減運(yùn)算；2、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01整式知識(shí)點(diǎn)回顧1、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，例如3ab與-4ab2、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)和，且字母部分不變。3、整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b25、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn知識(shí)點(diǎn)02同類二次根式將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并。合并的方法與合并同類項(xiàng)類似，把括號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律，如注意：(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān).(3)互為同類二次根式，即表示兩個(gè)或者多個(gè)二次根式可以合并；知識(shí)點(diǎn)03二次根式的加減二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式—將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變，可簡(jiǎn)記為：化簡(jiǎn)→判斷→合并。二次根式的加減法與二次根式的乘除法的區(qū)別如下：運(yùn)算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)系數(shù)相乘除系數(shù)相加減被開方數(shù)被開方數(shù)相乘除被開方數(shù)不變化簡(jiǎn)結(jié)果化成最簡(jiǎn)二次根式先化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式注：（1）化成最簡(jiǎn)二次根式后被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分；（2）整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號(hào)法則、添括號(hào)法則在二次根式運(yùn)算中仍然適用；（3）根號(hào)外的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)的形式。知識(shí)點(diǎn)04二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）。在二次根式的運(yùn)算中，有理數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式乘法法則及乘法公式仍然適用。注：在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，能用乘法公式的盡量使用乘法公式，有時(shí)還需要靈活運(yùn)用公式和逆用公式，這樣可以使計(jì)算過程大大化簡(jiǎn)。能力拓展能力拓展考法01同類二次根式的定義【典例1】下列各式，化簡(jiǎn)后能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義即可求出答案．【詳解】解：與是同類二次根式即可合并，由于=2，2與是同類二次根式，∴2與可以合并，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解同類二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【即學(xué)即練】如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并，那么a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)兩最簡(jiǎn)二次根式能合并，得到被開方數(shù)相同，然后列一元一次方程求解即可．【詳解】根據(jù)題意得，3a-8=17-2a，移項(xiàng)合并，得5a=25，系數(shù)化為1，得a=5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，利用好最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】若最簡(jiǎn)二次根式與的被開方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可知=，解出a即可.【詳解】依題意=，解得a=1，選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是找到被開方數(shù)相等.考法02二次根式混合運(yùn)算法則【典例2】下列計(jì)算結(jié)果正確的是()A．＋＝ B．3－＝3C．×＝ D．＝5【答案】C【詳解】選項(xiàng)A.不能計(jì)算.A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B.,B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C.,正確.選項(xiàng)D.,D錯(cuò)誤.故選C.【即學(xué)即練】下列運(yùn)算正確的是（

）A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a(chǎn)﹣b=（a﹣b）【答案】D【詳解】利用二次根式的加減法計(jì)算，可知：A、+不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3﹣2=，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、2+不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、a﹣b=（a﹣b），此選項(xiàng)正確．故選D．【即學(xué)即練】下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則分別判斷即可：A、和不是同類根式，不可合并，故此選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，符合題意；B、，故此選項(xiàng)運(yùn)算正確，不合題意；C、，故此選項(xiàng)運(yùn)算故此選項(xiàng)運(yùn)算正確，不合題意；D、，故此選項(xiàng)運(yùn)算正確，不合題意．故選A．考點(diǎn)：二次根式的運(yùn)算.【典例3】計(jì)算（）A．7 B．-5 C．5 D．-7【答案】C【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)算即可得.【詳解】故答案為C【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，掌握同類二次根式的運(yùn)算法則及分母有理化是解題的關(guān)鍵.【典例4】計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】原式利用積的乘方變形為，再利用平方差公式計(jì)算，從而得出答案．【詳解】====故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．考法03分母有理化【典例5】已知：a＝，b＝，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)－b＝0 B．a(chǎn)＋b＝0 C．a(chǎn)b＝1 D．a(chǎn)2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分別代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各個(gè)式子的值，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；a+b=（2+）+（2-）=4，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C選項(xiàng)正確，符合題意；∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，∴a2≠b2，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出每個(gè)式子的值是解此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】的值是()A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】先分解，再分母有理化，最后算乘法，最后合并即可．【詳解】原式=，=，=1-，=，=，=.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是審清題意，找準(zhǔn)規(guī)律答題．考法04二次根式與乘法公式【典例6】已知，則代數(shù)式的值是(

)A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)x的值和完全平方公式可以解答本題．【詳解】∵x＝?1，∴x2＋2x＋1＝（x＋1）2＝（?1＋1）2＝（）2＝2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式的化簡(jiǎn)求值的方法．【即學(xué)即練】已知x=+1,y=-1,則的值為（）A．20 B．16 C．2 D．4【答案】A【分析】原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】當(dāng)x=+1，y=-1時(shí)，x2+2xy+y2=（x+y）2=（+1+-1）2=（2）2=20，故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代數(shù)式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.【答案】（1）6（2）8【詳解】試題分析：（1）提公因式分解因式，然后代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）利用平方差進(jìn)行因式分解后，把數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可得.(1)原式＝ab(b＋a)．當(dāng)a＝＋2，b＝－2時(shí)，原式＝6；(2)原式＝(a＋b)(a－b)．當(dāng)a＝＋2，b＝－2時(shí)，原式＝8.【即學(xué)即練】已知x＝，y＝，求的值．【答案】30【解析】試題分析：先求出xy與x+y的值，再根據(jù)分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；試題解析：∵x=，y=，

∴xy=×=1，x+y=+=3+2+3-2=6，所以原式＝-4

=36-2-4

=30.考法05二次根式混合計(jì)算【典例7】計(jì)算（1）（）2﹣（﹣）（）（2）（）﹣（﹣）【答案】（1）4+6（2）5-【解析】【分析】（1）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】（1）原式=2+4+6﹣（5﹣3）=2+4+6﹣2=4+6.（2）原式=2﹣﹣+3=5﹣.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)求值：（1）-×+；（2）．【答案】（1）；（2）16-6．【解析】分析：（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)各二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)，然后合并即可.詳解：（1）－×＋=3-+=3-2+=（2）=5-6+9+11-9=16-6.點(diǎn)睛：此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)，乘法公式進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)和最簡(jiǎn)二次根式的、同類二次根式的確定.【即學(xué)即練】計(jì)算：(.【答案】7-2【分析】利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】原式＝＝7﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a的值是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝－1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝－2【答案】A【分析】?jī)蓚€(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則稱它們是同類二次根式，根據(jù)此定義即可得到關(guān)于a的方程，從而可求得a的值．【詳解】∵最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式∴a+1=2a解得：a=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的概念是關(guān)鍵．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣2【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，以及二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A.與不是同類二次根式，不能合并，故不正確；B.=2，故不正確；C.=2，正確；D.=2，故不正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義，以及二次根式的性質(zhì)，化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方式相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．熟練掌握，是解答本題的關(guān)鍵．3．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．和不是最簡(jiǎn)同類二次根式，不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B．=，所以B選項(xiàng)不符合題意；

C．，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D．，所以D選項(xiàng)符合題意．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．4．下列計(jì)算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、，此選項(xiàng)正確，符合題意；

D、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5．式子的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式分母有理化的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式性質(zhì)進(jìn)行分母有理化．6．若+（a﹣4）2＝0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．± C． D．±【答案】A【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再代入化簡(jiǎn)二次根式即可得．【詳解】由算術(shù)平方根的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性得：，解得，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、化簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．7．比較的大小，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將根號(hào)外邊的數(shù)移入到根號(hào)里面可進(jìn)行大小比較．【詳解】解：，，即：；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較．注意：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。?．下列計(jì)算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：①（）2＝2，故①正確．②＝2，故②錯(cuò)誤．③（﹣2）2＝12，故③正確．④，故④錯(cuò)誤．⑤與不是同類二次根式，故⑤錯(cuò)誤，⑥（）（）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．計(jì)算：（3－2）2020（3＋2）2021的結(jié)果是（）A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021【答案】B【分析】先根據(jù)積的乘方得到原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式計(jì)算．【詳解】解,原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)=(9-8)2020×(3＋2)=3＋2故答案為:B【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，平方差公式，二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．題組B能力提升練1．與最簡(jiǎn)二次根式5是同類二次根式，則a=_____．【答案】2【詳解】分析：先將化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于a的方程，解出即可．詳解：∵與最簡(jiǎn)二次根式5是同類二次根式，且=2，∴a+1=3，解得：a=2．故答案為2．點(diǎn)睛：本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．2．計(jì)算：______．【答案】【分析】把兩個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的減法運(yùn)算，關(guān)鍵是把算式中的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．3．計(jì)算=________________.【答案】【解析】=，故答案為.4．當(dāng)x=2+時(shí)，式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016【詳解】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子計(jì)算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013=（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．點(diǎn)睛：此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把式子配成完全平方，然后整體代入即可求解，考查了學(xué)生對(duì)整體思想的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，學(xué)生對(duì)整體思想不熟時(shí)出錯(cuò)的主要原因.5．化簡(jiǎn)的結(jié)果為_____．【答案】+1【分析】利用積的乘方得到原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1），然后利用平方差公式計(jì)算．【詳解】原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1）＝（2﹣1）2017?（+1）＝+1．故答案為+1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．6．已知x=+1，y=-1，則x2+xy+y2=_____．【答案】10【詳解】根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．故答案為10．7．已知，，則的值是______．【答案】．【分析】先對(duì)a、b分母有理化，然后將因式分解，最后將a、b的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故填：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化以及因式分解的應(yīng)用，正確的對(duì)a、b因式分解是解答本題的關(guān)鍵．8．若+=+，=-，則x+y=_______．【答案】8+2【詳解】根據(jù)配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整體代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案為8+2.9．觀察下列運(yùn)算過程：……請(qǐng)運(yùn)用上面的運(yùn)算方法計(jì)算：=_____．【答案】【分析】先分母有理化，然后合并即可．【詳解】原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），=（﹣1+﹣+…+﹣），=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).題組C培優(yōu)拔尖練1．計(jì)算：（1）÷－×÷；（2）×＋；（3）－÷×；（4）（3＋－4）÷；（5）.【答案】（1）；（2）3＋；（3）；（4）2；（