點、直線、圓的位置關系-2023年中考數(shù)學一輪復習（全國通用）

考向28點直線圓的位置關系

【考點梳理】

知識點1：與圓有關的位置關系

5點與圓設點到圓心的距離為d.

(l)d<ro點在。O內(nèi)；(2)d=r=點在00上；(3)上r0點在?0外.

的位胃關系

位置關系相離相切相交

圖形

6.直線和

圓的位

公共點個數(shù)0個1個2個

置關系

數(shù)量關系一<∕>rd=rd<r

知識點2:切線的性質(zhì)與判定

(1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).

7.切線

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

的判定

(3)經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(1)切線與圓只有一個公共點.

8.切線

(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.

的性質(zhì)(3)切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.______________________________________

(1)定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到

圓的切線長.

*9切線(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心

與這一點的連線平分兩條切線的夾角.

長

【題型探究】

題型一：點和圓的位置關系

1.(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模)在同一平面內(nèi)，點P到圓上的最大距離為5,最小距離為1,則此圓的半徑為()

A.3B.4或6C.2或3D.6

2.（2023秋?廣東廣州?九年級期末）A,B兩個點的坐標分別為（3,4）,（-5,1）,以原點。為圓心，5為半徑作

ΘO,則下列說法正確的是（）

A.點A,點B都在。。上B.點A在。。上，點B在。O外

C.點A在。。內(nèi)，點B在。。上D.點A,點8都在。O外

3.（2021?河北唐山?統(tǒng)考一模）在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為3,點B所表示的實數(shù)為“，，A的半徑為2.下列

說法中不正確的是（）

A.當4=1時，點8在：A上B.當2<“<3時，點8在A內(nèi)

C.當〃<5時，點8在A內(nèi)D.當4>5時，點8在A外

題型二：直線與圓的位置關系

4.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考三模）已知在直角坐標系中，以點A（0,3）為圓心，以3為半徑作A,則直線y=依+2（々≠0）

與:JA的位置關系是（〉

A.相切B.相交C.相離D.與左值有關

5.（2023春?山東青島?九年級專題練習）在直角坐標系中，一次函數(shù)y=丘+1-2（））的圖象記作G,以原點O

為圓心，作半徑為1的圓，有以下幾種說法：

①當G與。。相交時，），隨X增大而增大；②當G與。。相切時，ζ=:

4

③當G與。。相離時，A>］或&<0.其中正確的說法是（）

A.①B.O@C.①③D.②③

6.（2022秋?九年級單元測試）如圖，點A的坐標是（-2,0）,點C是以OA為直徑的。B上的一動點，點A關于

點C的對稱點為點P.當點C在。B上運動時，所有這樣的點P組成的圖形與直線），=履―3k（?>0）有且只有一個

公共點，則上的值為（）.

D.姮

CY5

題型三：切線的性質(zhì)問題

7.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖，AB是。的直徑，AC是O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點￡>.若

C.230D.27°

8.（2023?湖北武漢??？家荒＃┤鐖D,PA,總是；O的兩條切線，A,2是切點，過半徑。8的中點C作COLOB交

R4于點。，若PD=3,AD=5,則O的半徑長為（）

C.36D.2√5

9.（2023?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖,ABC中，AC=#，點。是AB邊上的一點，O與AC、BC分

別相切于點A、E,點F為:。上一點，連AF,若四邊形ACEF是菱形，則圖中陰影部分面積是（）

?-7Hb?c?VHD?

題型四：切線的判定和性質(zhì)綜合問題

10.(2023?湖南衡陽?衡陽市華新實驗中學校考一模)如圖，與。O相切于點A,過點4作ADj_OP于點C,交

。。于點。，連接尸。交直徑A8的延長線于點￡

(1)求證：Po是。。的切線；

⑵若。。的半徑為6,DC=4,求PD的長.

11.(2023?廣東云浮??？家荒?如圖，四邊形ABC3內(nèi)接于：。，BD是。的直徑，ZBDC=WNABD,過點C作

A。的平行線交AB延長線于點E,連接AC.

(1)求證：CE是:O的切線；

(2)當tan∕BAC=g,DC=6時，求8E的長.

12.(2023?湖南婁底?校考一模)如圖，在MBC中，AO平分NCA8,交BC于點ZλAB是］。的直徑，連接A。、

過點力作DElAC,交AC于點E,交AB的延長線于點尺

E

D

（1）求證：DE是。的切線;

(2)求證：DA?DF=BD?AF;

4

（3）若。的半徑為5,IanZABD=-,求8尸的長.

題型五：切線長定理

13.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）如圖，PA,PB是。的切線，A、B為切點,若NP=50。，則ZABo的度數(shù)是（）

C.45°D.50°

14.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,CA分別相切于點。，E,F,

AB=I4,8C=13,C4=9,則AQ的長是()

A.3.5B.4C.4.5D.5

15.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，O內(nèi)切于RtZ?ABC,點P、點。分別在直角邊BC、斜邊AB上，PQ±AB,

且尸。與O相切，若AC=2PQ,則SinNB的值為（）

題型六：三角形內(nèi)接圓問題

16.（2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,點Q在AC邊上，過△A8。的內(nèi)心/作/ELBQ

于點￡若BQ=I0,CZ）=4,則BE的長為（）

A.6B.7C.8D.9

17.（2022.四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是OABC的內(nèi)心，AE的延長線和：ΛBC的外接圓相交于點Q,與BC

相交于點G,則下列結(jié)論：ΦZBAD=ZCAD;②若NBAC=60。，貝IJNBEC=I20°；③若點G為BC的中點，則

/BGD=90°：④BD=DE.其中一定正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，ZiABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,AC相切于點。，E,F,已知AB=6,

AC=5,BC=I,則OE的長是（）

?12√7r10√7r9√7n8√7

7777

題型七：圓內(nèi)接四邊形問題

19.（2023?四川瀘州,統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，若/BOD=140。，則NC的度數(shù)是（）

C

A.70oB.80oC.100oD.110°

20.（2023?陜西西安?高新一中校考二模）如圖，AB是.。的直徑，Co是。的弦，NASD=50。，則/C的度數(shù)

是（）

A.120oB.130oC.140oD.150°

21.（2022.湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，。是等邊一ΛBC的外接圓，點。是弧AC上一動點（不與A,C重合）,

下列結(jié)論：①"DB=NBDC；?DA=DC;③當。B最長時，DB=2DC;?DA+DC=DB,其中一定正確的結(jié)論

有（）

A

β

?//O?/

B^------?

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型八：圓和圓的位置關系

22.（2023春?九年級課時練習）如圖，，A與8外切于點P,它們的半徑分別為6和2,直線C。與它們都相切,

切點分別為C,D,則圖中陰影部分的面積是（）

D.I6y∕3--π

3

23.（2022?湖北武漢?統(tǒng)考一模）如圖，在平面內(nèi)Ol,O1,Q兩兩外切，其中。的半徑為8,「。2，。3的

半徑都為5.用一張半徑為R的圓形紙片把這三個圓完全覆蓋,則R的最小值為（）

D.15

24.（2022.湖北武漢.統(tǒng)考模擬預測）如圖，點C是OZ）的中點，以OC為半徑作。O,以CZ）為直徑作。0，，A8與

。。和G）0'分別相切于點4和點8,連接8。，則cos/BDC的值是（）

bcD.叵

3?Y?i2

題型九：園的綜合問題：

25.(2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學校考一模)如圖，ABC內(nèi)接于＜O,AB為。的直徑，NAeB的平分

線交。于點。，連接3D.

(1)過點A作A尸，CO于點尸，過點B作8GL8于點G,求證：DF=BG;

(2)若CB=CD,求證：ABBD=2ACBC.

26.(2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模)如圖，已知ΔABC內(nèi)接于O,AB是。的直徑，/C48的平分線交8C于點O,

交(。于點E,連接EB,作NBEF=Nc4￡,E尸交AB的延長線于點F.

(1)求證：BC//EF；

(2)求證：EF■是:。的切線;

(3)若=10,EF=20,求O的半徑和AO的長.

27.(2023?廣東佛山??？家荒?如圖，菱形ABCD中，AB=4,以A8為直徑作。，交AC于點E,過點E作防工AD

于點F.

⑴求證：EF是:。的切線；

(2)連接。F,若/840=60。，求OF的長.

（3）在（2）的條件下，若點G是。上的一個動點，則線段CG的取值范圍是什么？

【必刷基礎】

一、單選題

28?（2023?湖北省直轄縣級單位??？家荒＃﹫D1是一個“不倒翁”，圖2是它的主視圖，OA,OB分別與ACB所在

圓相切于點4,B.若該圓半徑是8,/0=54。，則4CB的長是（）

D.10.4π

29.（2023?湖北省直轄縣級單位?校考一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00,ZABC=I35。，AC=4,貝∣J,O的半徑

A.4B.2√2C.√3D.40

30.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）如圖，點A是O中優(yōu)弧BAo的中點，ZABD=JOo,C為劣弧Bo上一點，則NBs

的度數(shù)是（）

A

A.120oB.130oC.140oD.150o

31.（2023?全國?九年級專題練習）如圖,48是。的直徑，點C、。在。上，若NBAC=30。，則NAZ）C的大小

C.HOoD.100°

32.（2023?全國?九年級專題練習）如圖,直線y=-Gx+36與X軸、y軸分別交于A、8兩點,P(l,θ),P與y

軸相切于點。，將P向上平移機個單位長度，當P與直線AB第一次相切時，則加的值是（）

C.3√3-3D.2√3-3

33.（2023春?九年級課時練習）如圖，正五邊形ABCQE內(nèi)接于.O,過點A作,。的切線交對角線。3的延長線于

點尸，則下列結(jié)論不成立的是（）

A.AE//BFB.AF//CDC.DF=AFD.AB=BF

34.（2023?云南??？家荒＃┤鐖D，已知AB是二，。的直徑，點、D是。上一點，過點。作：。的切線交AB延長線于

點、E,AC，。E于點C,連接A。.

(1)求證：Ar)平分NBAC；

(2)若AC=6,tanE=—,求-。的半徑.

3

35.（2023?陜西西安?高新一中?？级＃┤鐖D，。與ABC的邊AB相切于點E,點。在邊BC上，AB=AC,AO

交（。于點尸，且AOlBC于點O.

（1）求證：AC是O的切線；

（2）已知點H為，。上一點，F(xiàn)H=2EF，OA=√3,。的半徑為1,求m7的長.

36.（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，以,ABC的一邊AB為直徑作，O,。與8C邊的交點恰好為8C的中點。,

與AC邊的交點為尸，過點。作。ElAC于點E.

A

F

E

C

（1）求證：直線E>E是。的切線;

⑵若AB=5,tanZACB=2,求弦AF的長度.

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

37.（2023.江蘇泰州?九年級?？计谀┤鐖D，已知點A（4,0）,B（0,3）,直線/經(jīng)過A、B兩點，點C（XM為直線）在

第一象限的動點，作乂OC的外接圓0",延長CM交〃于點。，則aOCQ的面積最小值為（）

Q

38.（2022春?九年級課時練習）如圖，在RtC中，NC=90。，AC=BC,點。在AB上，經(jīng)過點A的O與BC

相切于點。，交力B于點E,若CC=G則圖中陰影部分面積為（）

CA3π

3B.l-πc3D.4------

?-^??^τ4

39.（2022?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學?？家荒＃┤鐖D,四邊形ABCO內(nèi)接于O,LCB交CB的延長線于

CE=5,則AE=()

C.2√6D.4√3

40.（2022.寧夏銀川.校考一模）如圖，在半圓。中，AB是半圓。的直徑，AB=4,OCLAB,連接8C,以BC為

直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（）

D.π

41.（2022.江蘇連云港??？既＃┤鐖D，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點。在對角線80上，以。B為半徑

作；O交6C于點E,連接OE,若OE是。的切線，此時〔。的半徑為（）

21

-TlD.To

42.（2022?福建福州?福建省福州教育學院附屬中學?？寄M預測）如圖，YABa）的三個頂點4、B、。均在。上,

且對角線AC過圓心。，BC與：。相切于點8,若（。的半徑為6,則。ABC。的面積為（）

A.35B.54√3C.—D.72+衛(wèi)叵

55

二、填空題

43.（2023?福建福州?統(tǒng)考一模）已知ΛBC內(nèi)接于。。，/是ABC的內(nèi)心，若NBKJ=NBoC,則284C的度數(shù)是

44.（2022?福建福州?校考一模）如圖，BC為O的直徑，尸為CB延長線上的一點，過戶作，。的切線R4,A為切

點，PA=4,PB=2,則。的半徑等于.

45.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，A、B、C、。四個點均在。上，NAoD=70°,AO//DC,則-3的

度數(shù)為.

46.（2022.內(nèi)蒙古通遼?模擬預測）如圖所示，已知四邊形ABC。是。的一個內(nèi)接四邊形，且N800=110。，則

ZDCE=

47.（2023?廣東江門??？家荒＃〢BC中，AB=AC=I3,BC=24,點。為ΛBC的對稱軸上一動點，過點。作O

與BC相切，與（。相交于點E,那么AE的最大值為.

48.（2022?浙江寧波?校考模擬預測）如圖，在..ABC中，AC=BC,。是,ABC的外接圓，在劣弧BC上存在點E

滿足NA￡B=2Zfi4E,連結(jié)AE交BC于點。，延長AO交，:。于點G,連結(jié)BG交AE于點”，連結(jié)CH,若EG=D”,

三、解答題

49.（2023?山東東營??？家荒＃┤鐖D，.A5C內(nèi)接于O,A8是。的直徑，AC=CE,連接AE交BC于點

延長。C至F點，使CF=C￡>,連接AF.

（1）判斷直線質(zhì)與O的位置關系，并說明理由;

（2）若AC=I3,tanNCAE=M,求AE的長.

50.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考一模）如圖，。是；ABC的外接圓，AA是。的直徑，尸是AO延長線上一點，連接

CD,CF,且/DCF=ZCW.

⑴求證：CF是：O的切線；

3

(2)若直徑AQ=Io,CosB=g,求FD的長.

51.(2023?廣東江門??？家荒?點E為正方形ABCD的邊CO上一動點，直線AE與8。相交于點F,與BC的延長

線相交于點G.

(1)如圖①，若正方形的邊長為2,設E>E=x,△￡>EG的面積為>，求》與X的函數(shù)關系；

(2)如圖②，求證：CF是ECG的外接圓的切線；

(3)如果把正方形ABa)換成是矩形或菱形，(2)的結(jié)論是否仍然成立？

52.(2023?廣東江門?江門市華僑中學校考--模)如圖，點。在NMPN的平分線上，O與PO相交于點C.與Po的

延長線相交于點。，與PM相切于點A.

(2)若∕?=4,PC=2,求O的半徑；

(3)點G是劣弧AC上一點，過點G作O的切線分別交PM,PN于點E,F,若!PEF的周長是一Q半徑的3倍，求

tanNEPF的值.

53.（2023?陜西西安??？家荒＃?）如圖1一A的半徑為2,AB=5,點尸為A上任意一點，則3P的最小值為

圖1圖2圖3

（2）如圖2,已知矩形ABCO,點E為AB上方一點，連接AE,BE,作所_LA8于點F,點尸是ABE尸的內(nèi)心,

求—3PE的度數(shù).

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AP,CP,若矩形的邊長A8=6,BC=A,BE=BA,求此時CP的最小值.

參考答案:

1.C

【分析】點應分為位于圓的內(nèi)部與外部兩種情況討論：①當點在圓內(nèi)時，直徑=最小距離+

最大距離；②當點在圓外時，直徑=最大距離-最小距離.

【詳解】解：分為兩種情況：

圖1圖2

①當點M在圓內(nèi)時，如圖1,

點到圓上的最小距離MJ=I,最大距離MA=5,

，直徑Aβ=l+5=6,

半徑r=3

②當點“在圓外時，如圖2,

點到圓上的最小距離M8=1,最大距離M4=5,

直徑A8=5-l=4,

，半徑r=2

故選：C

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系,注意到分兩種情況進行討論是解決本題的關鍵.

2.B

【分析】根據(jù)勾股定理，可得0A、。2的長，根據(jù)點與圓心的距離4則d>r時，點在圓

外；當d=r時，點在圓上；當"<r時，點在圓內(nèi).

【詳解】解：?.?(9A=√32+42=5,

Oβ=√52+12=√26>5,

點A在。。上，點B在。O外.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了對點與圓的位置關系的判斷.關鍵要記住若半徑為r,點到圓心的

距離為d,則有：當d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當"<r時，點在圓內(nèi).

3.C

【分析】根據(jù)點到圓心的距離d與半徑「的大小關系即可判斷點與圓的位置關系，當d>r

時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內(nèi)，再判斷各選項，可得答案.

【詳解】解：A.當”=1時，d=2,即d=r,點8在M上，故A正確；

B.當2<α<3時，0<d<?,即d<r,點B在：A內(nèi)，故B正確；

C.當α<5時,，①a<1時，d>2,即r,點8在4外；②α=l時，d=2,即d=r,

點B在A上；③l<α<5H寸，Q<d<2,即d<r,點B在A內(nèi)；故C不正確；

D.當α>5時，d>2,即d>廠，點B在A外，故D正確；

故選C.

【點睛】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷，關鍵是要記住若半徑為r,點到圓心的距

離為d,則有：當d>r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內(nèi).

4.B

【分析】直線y="+2(Zwθ)過定點(0,2),該點在A內(nèi)部，因此可知直線y=fcc+2(Z*0)

與。A的位置關系是相交.

【詳解】解：對于y="+2(�),當X=O時，無論k取何值，對應的y值均為2,

直線y=fcv+2(Zwθ)過定點(0,2),

A是以點A(0,3)為圓心，以3為半徑的圓，

定點(0,2)在，A內(nèi)部，

.?.直線y=H+2(Z*0)與：A的位置關系是相交.

故選：B.

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直線與圓位置關系的判定，得出直線

y=履+2(ZHO)過定點(0,2)是解題的關鍵.

5.C

【分析】由一次函數(shù)解析式可得直線過點(2,1),如圖1,P(2,1),A、B為直線與圓的

切點，連接OB,OP,AB,AB與OP交于點C,過B作BELy軸于E；先由勾股定理和三

角函數(shù)解放△/?O;再由切線長定理求得AB的長；然后解MAABE求得B點坐標，便可求

得直線與圓相切時的Z值；根據(jù)一次函數(shù)與y軸交點縱坐標(1-2Q隨k值的變化情況確定

直線與圓的位置關系即可解答.

【詳解】解：?.?y=Ax+l-2M&Hθ),當時，y=l,

，一次函數(shù)經(jīng)過點(2,1),

如圖1,P(2,1),A、B為直線與圓的切點，連接OB,OP,AB,AB與OP交于點C,過

B作BEJ軸于E,

y

???A點坐標(O,1),二必〃X軸,

,2

?.?∕?=2,OA=1,..OP=yJp^+Ad=√5>

-I2

R/△%O中，sinZOPA=~^tcosZO∕?=ξ^,

由切線長定理可得：PB=PA,POA.AB,

24

9

∕?AB=2ACf?AC=APsinAOPA=,/.AB=,

VZAOP+ZOM=90o,NA。。+NQAe=90。，：.ΛOAC=AOPA,

-414428

RtLABE中,BE=ABsinZEAB=×ξ^=-,AE=ABcosZEAB=忑X下=",

3

.*.OE=AE-AO=-,

5

.?.B點坐標弓，]），代入y=丘+l-2k（bθ）可得：

???直線y="+l-2M%wO）與），軸交點縱坐標為（1-2D,

45

當時，直線與圓相切，直線與y軸交點（0,--）,

45

當時，（1-2%）<-=,直線與圓相離；

33

當％<0時，（1-2A）>1,直線與圓相離：

45

當0<女<§,-§<（1-2A）<1,直線與圓相交；

4

；直線與圓相交時，0<上V],二一次函數(shù)遞增，故①正確；

4

???直線與圓相切時，上§,故②錯誤；

4

：直線與圓相離時，&或A<0,故③正確；

①③正確,

故選：C.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象特征，切線長定理，直線與圓的位置關系，解直角三角

形等知識；綜合性強難度大，正確作出輔助線是解題的關鍵.

6.C

【分析】由點C的運動軌跡，可以推出點P的運動軌跡.然后根據(jù)當點C在。8上運動時，

所有這樣的點尸組成的圖形與直線嚴丘一3我(&>0)有且只有一個公共點，推出OPLPD,

然后根據(jù)勾股定理和等積法分別求出PE和OE,進而確定點P的坐標，然后代入直線廠履

-3k(?>0)即可求出A:的值.

【詳解】解：如圖，連接0P,作過點P作PE，X軸于點E,

：點P和點A關于點C對稱，點C的運動軌跡是以點8為圓心，半徑為1的圓，

點尸的運動軌跡是以。為圓心，以4。為半徑的圓.

,.?當點C在。B上運動時，所有這樣的點P組成的圖形與直線y^kx-3k(?>0)有且只有一

個公共點，直線y=fcr-3%(?>0)過定點。(3,0),

OPLPD,

NoPo=90。，

在RrPf)中，OP=OA=2,OD=3,

22

由勾股定理得：PD=y∣θD-OP=45

由等積法，可得：OD?PE=OP?PD,

即：3×PE=2×√5,

解得：PE=還

3

_________4

在Rt?OPE中，OE=SP2-PE?=-

點P的坐標為(金，-—)

33

把點P的坐標代入)，=區(qū)一3&,得:一竿=gz-3Z,

解得:公孚.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了雙動點模型：主動點運動軌跡是圓，從動點運動軌跡也是圓，圓與

直線的位置關系，勾股定理，等積法.熟記相關模型，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的

關鍵.

7.A

【分析】如圖所示，連接。C,先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NaR=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理得到NCoD=36°,則由圓周角定理得到ZA=-ZCOD=18。.

2

【詳解】解：如圖所示，連接OC,

???CD是。的切線，

NOC￡>=90°,

,.?ND=54。，

ZCOD=36°,

：./A=L/C。。=18。，

2

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)是

解題的關鍵.

8.B

【分析】過點。作OMPB交PA于M,連接P。，0A,由平行線等分線段定理得到

MD=PD=3,由用OPA^RtOPB得NoPB=NoPA,由平行線的性質(zhì)推出NMoP=NMPO

得到OM=PM=6,由勾股定理即可求出半徑的長.

【詳解】解：過點。作OMPB交必于例，連接PO,0A,

BC

'.'PB切。于點B,

，半徑

VCDlOB,

：.CDPB,

：?PBCDOM,

YOC=CB,

：.MD=DP=3,

???以切。于A,

???半徑。4J?PA,

,.?PO=PO,OA=OB,

：.RtOPgRtOPB,

???ZOPB=ZOPA,

?/乙MOP=4OPB,

：?ZMOP=ZOPA,

：?OM=PMaPD=2x3=6,

?：MA=RA-PM=3+5-6=2,

?*?OA=√OM2-M42=√62-22=4√2?

???。的半徑長是4√Σ?

故選：B.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理,

平行線等分線段定理，關鍵是過點。作。MPB交PA于M,由平行線等分線段定理推出

DM=DP.

9.A

【分析】設AB與（。相交于點。，利用菱形的性質(zhì)可得∕C=ZF,AC=CE=E利用圓

的切線性質(zhì)可得NC4B=NOEC=90。，從而可得NC+NAOE=180。，進而可得

o

ΛF+ZAOE=ISOf然后求出NC=NE=60。，從而求出N3=30。，BC=2娓,BE=娓,

再在RL,BOE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OE的長，/3的度數(shù)，最后根據(jù)陰影部分

面積?BOE的面積一扇形DOE的面積，進行計算即可解答.

【詳解】解：設AB與，。相交于點￡?,

四邊形ACE尸是菱形，

LNC=NF,AC=CE=G

)0與AC、BC分別相切于點A、E,

.?.NCW=NoEC=90°,

.?.zc+ZAOE=360o-(NeAB+ZOEQ=180°,

.?.ZF+ZAOE=180°,

,ZAQE=2ZF,

.?.NF=1*18(T=6()o,

3

.?.ZC=ZF=60o,

.?.ZB=90o-ZC=30°,

.?.BC=2AC=2屈,

.-.BE=BC-CE=G

在RtBoE中,ZB=30。，

C

.?.OE=BE-tan30o=√6X—=√2,

3

ZEOB=90°-ZB=60°,

陰影部分面積=BQE的面積-扇形OOE的面積

'BE?OE-60”(歷

1

萬

-X

2√6-3

=G-F

陰影部分面積為8

故選：A.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，扇形面積的計

算，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關鍵.

10.(1)見解析

⑵

【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得NQAP=90。，再證明OPD=OPA（SSS）,得出

o

ZODP=ZOAP=909即

可求證；

（2）先由勾股定理求出OC=2√L再證明OCD?DCP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】（1）證明：???孫與。。相切于點A,

：.PAlOAf

：.ZOAP=90°,

VADLOP,OA=OD9

：.AC=DC1

：?PD=PA,

在AO匹力和O∕?中，

PD=PA

OD=OAi

OP=OP

：.-OPD^OPA（SSS）f

：.NoDP=NOAP=90。，

又??,。。是。。的半徑，

???PO是。。的切線；

（2）???。。的半徑為6,

??.OD=6,

?：ADLOP,

：.ZDCP=ZOCD=90°,

???OC=?∣OD2-DC2=√62-42=2√5,ZODC+ZDOC=90。，

由（1）得：NODP=90。，

：?NODC+/PDC=物,

J/DOC=ZPDC,

：?式）CD”DCP,

.ODOC

??--=---*

PDDC

即合乎

解得：PD=吆B

5

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

11.(1)見解析

⑵乎

【分析】(1)連接OC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出SALAD,根據(jù)圓周角定理得:

ABOC=IABDC,進而得出NBoC=NABO,則*〃得出。CLEC,即可得證；

(2)由tanN3DC=而=￡,得出8C=3,根據(jù)切線的性質(zhì)得出NBCE=NBAC,進而在

RtMC中，勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

QBD是。的直徑，

.-.SAlAD,

AD//EC,

.-.CElAE,

由圓周角定理得：ZB0C=2ZBDC,

./BDC=WNABD,

.-.ZBOC=ZABD,

.?.OC∕∕AE,

.?OC1EC,

OC是。的半徑，

；.CE是。的切線；

(2)解：IanZBAC=,NBDC=NBAC,

↑23Λ^BDC==?,

CD2

.CZ)=6，

.?.BC=3,

CE是。的切線，OC//AE

/.ZBEC=90°,

：?ZBCE=90o-/EBC=ZBDC=/BAC

:.NBCE=/BAC,

BEI

?-=?,即EC=25E,

EC2

BE2+EC2=BC2,

/.BE2+(2BE)2=32,

：.BE=延.

5

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，已知正切求邊長，勾股定理，綜合運

用以上知識是解題的關鍵.

12.(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接。。，證明。。為√WC的中位線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，證明DEA8即可.

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，結(jié)合余角的性質(zhì)，證明aEDBsZ?E4r)即

可.

4

(3)根據(jù)三角函數(shù)，證明N4L>E=NΛ3O,結(jié)合tanNA3O=],計算sin∕AT>E,結(jié)合

/ZRs通求解即可.

【詳解】(1)證明：連接0。，如圖，

???AB是。的直徑，Ao平分/C4B,

o

ΛZADB=ZADC=90fZCAD=ZBADf

JZC=ZABC,

???AC=ABf

.*.BD=DC,

?/AO=OB9

E

D

???OO為，ABC的中位線，

：?OD//AC9

?：DElAC,

：?DEAOD,

又???。。是半徑，

???OE是］。的切線.

(2)證明：TM是：。的切線，

???ZODB÷ZBDF=90°,

?：DO=OB9

：?ZODB=ZOBD9

JNOBD+NBDF=90。,

??.AB是。的直徑，

o

ΛZADB=90t

：?∕OBD+/DAB=90°,

：?/DAB=ZBDF,

???ZBFD=ZDFA1

：?4FDBs4FAD，

,DF_DB

**AF-DA*

JDA?DF=BD.AF.

(3)解：???AB是.J0的直徑，AO平分∕C4B,DElAC,

：.ZAED=AADB=ZADC=.ZCAD=ZBADf

：.ZADE=ZABD,

222

?：RtABO中，tanZAB。=空=:，AB=AD+BD，AB=2OA=?09

BD3

???AD=8,

???在RtAAOB中，sinZADE=sinΛABD=—=1,

AB5

AE4

在RtZ?ADE中，SinZADE=——=-,

AD5

32

???AE=y,

?：OD//AE,

：,FDoSFEA,

.OD^OF

5_BF+5

Λ32^βF+10,

y

90

???DPrP----.

7

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，三角形相似的判斷和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，三角形中位線

定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

13.A

【分析】由以、PB是O的切線,可得Λ4=P3,根據(jù)等邊對等角可得NaIB=NP胡=65。，

從而可得NABO.

【詳解】解：.PA.PB是。的切線，

..PA=PB,OBlPB,ZPBO=90°

,ZP=50o,

:.ZPAB=ZPBA=∣×(180o-50°)=65°

.?.ZABO=90°-NPBA=90°-65°=25°

故選：A

【點睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是由P4PB是，.。的切線,可得

PA=PB.

14.D

【分析】設A。=x,根據(jù)切線長定理得出4/=4ZλCE=CEBD=B。，求出

BD=BE=U,CF=CE=9-x,根據(jù)CE+BE=BC,代入求出X即可.

【詳解】設A。=X,

???ASC的內(nèi)切圓。。與A8,BC,CA分別相切于點。，E,F,

：,AF=ADfCE=CFfBD=BD,

YAB=14,8C=I3,G4=9,

：.BD=BE=?4-x,CF=CE=9—x,

;CE+BE=BC=13

Λ9-x+14-x=13,

??-Y=5,

/.AD=5.

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心和切線長定理，解決本題的關鍵是掌握切線的性

質(zhì).

15.B

【分析】設.。與RtzλABC相切于點。，E,G,與PQ相切于點凡連接。。，OE,OF,

OG,設。的半徑為r,BQ=x,PE=y.根據(jù)切線的性質(zhì)定理，正方形的判定定理和性質(zhì)求

出CE,GQ,FQ的長度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出BC的長度，根據(jù)切線長

定理確定BE=8G,PE=PF,進而列出方程并用廠表示BQ,進而用r和y表示出PQ和BP

的長度，根據(jù)勾股定理用廠表示出y,進而求出PQ和8尸的長度，再根據(jù)直角三角形的邊角

關系求解即可.

【詳解】解：如下圖所示，設。與RtAABC相切于點。，E,G,與PQ相切于點尸，連

接0￡>,OE,OF,OG,設。的半徑為r,BQ=x,PE=y.

,/。與RtZVlBC相切于點。，E,G,與PQ相切于F,PQLAB,

：.OD=OE=OF=OG=r,NoDC=NoEC=NoGQ=NoFQ=NACB=NPQB=NFQG=90。,

PF=PE=y,BE=BG.

，四邊形ODCE是矩形，四邊形OFQG是矩形，BP2=BQ2+PQ2.