2022-2023學年上海市崇明高一年級下冊冊期中數學模擬試題（含解析）

2022-2023學年上海市崇明高一下冊期中數學模擬試題

(含解析)

一、填空題

13

1.己知平面向量￡=(1,1),5=(1,-1),則向量聲-聲=.

【答案】(-1,2)

【分析】根據平面向量的坐標運算計算即可.

【詳解】因為￡=(1,1),^=(1,-1)

所以^〃一萬3二5?！?一^。，一1)二(T，2)

故答案為：卜1,2).

ct

2.若a是第三象限角，則三是第象限的角.

【答案】二或四

【分析】根據a是第三象限角，得到萬+2br<a<^r+2br,kwZ,再得到］<2乃+%］,

keZ,然后討論人的奇偶可得答案.

3

【詳解】因為a是第三象限角，所以乃+2%乃<夕<二萬+2%r,keZ,

2

廣廣…乃，a3,，?

所以—Fkjt<—<—7i+kjikeZ、

2249

當人為偶數時，9為第二象限角，

2

當人為奇數時，三a為第四象限角.

2

故答案為：二或四.

【點睛】本題考查了象限角，考查了由角的象限判斷半角的象限，屬于基礎題.

3.已知向量d=(x,x+l),月=(1,2),若.上石,則「=.

2

【答案】

【分析】將轉化為存B=o計算即可.

_2

【詳解】由題意得2?E=x+2(x+l)=3x+2=0,解得工=一］.

2

故答案為：-§

4.若cosa=-g,a是第三象限的角，則sin(a-￡)=.

【答案】①##上正

1010

【分析】計算sina=-31,再利用和差公式計算得到答案.

4I--------3

【詳解】因為cosa=—不，二是第三象限的角，所以sina=-，l-cos2。=-7

故答案為：也

10

5.已知向量。=(3,-4),則向量G的單位向量點=

【答案】你司或卜法)

【分析】根據單位向量的定義即可求解.

【詳解】由題意可得1=±百=±],

故與￡方向相同的單位向量為2=鬻,-±

5嵇5

與Z方向相反的單位向量為/=粼二，

5楸55

故答案為:(|,高或(一線)

6.在48C中，若6=2,8=30。，C=135°,則。=.

【答案】V6-V2

【分析】根據三角形內角關系得角A的大小，再根據兩角差的正弦公式求得sin力的值，最后由正弦

定理得邊。的值.

【詳解】解：在ABC,可得/=180。-8-。=180。-30。-135。=15。，

FV6-A/2

又sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin300=-------

°瓜_及

.1x_______

由正弦定理得一j=—勺，所以?=如”=——廿一=娓-母.

sinAsinBsin5￡

2

故答案為：A/6--s/2.

7.已知茄為單位向量，其夾角為60，貝iJ(2Z-B)?很=

【答案】0

【詳解】僅2-不忸=擊看-0=2xlxlxcos60'-F=0.

8.函數〃x)=sin2x,xe]-1多的值域為.

(44」-----

【答案】[-1刀

【分析】根據正弦函數的圖象和性質即得.

【詳解】因為函數/(x)=sin2x,xe[q與，2xe|^-|,y,

所以sin2xe[-l,l],即函數〃x)=sin2x,xe(-：岑的值域為E』]

故答案為：[-L1].

9.已知向量萬=(4,3)和礪=(1,2),則而=(2,-1)用刀和歷來表示是

【答案】0A-20B

【分析】設方=2厲+〃無，根據(2,-1)=〃4,3)+M(1,2)可求出結果.

【詳解】設方=又刀+〃歷,

則(2,-1)=2(4,3)+〃(1,2),

-2=14=23+///2/解得2=1

所以

〃=一2'

所以麗=刀-2而.

故答案為：0A-20B.

10.將函數y=3sin(2x-兀)上的點，先保持縱坐標不變，將橫坐標放大為原來的兩倍，再向左平移二

4

個單位，得到的函數解析式是.

【答案】y=-3sin(x+：)

【分析】先結合誘導公式化簡函數，再根據三角函數圖象的伸縮變換與平移變換求得最終函數解析

式即可.

【詳解】解：由于y=3sin(2x-7t)=-3sin2x.將橫坐標放大為原來的兩倍得解析式為y=-3sinx,

再向左平移;個單位，得到的函數解析式為N=-3sin0+：).

故答案為：J7=-3sinfx+—\

II.已知向量為=化12),麗=(4,5),OC=(-/:,10),且A、B、C三點共線，貝壯=

2

【答案】

【分析】先求出存，品的坐標，再根據A、B、C三點共線求出左的值.

【詳解】由題得方=礪-方=(4-%,-7),

BC=0C-OB=(-k-4,5),

因為A、B、C三點共線，

所以在=2比，

所以(4-用?5+7(-"4)=0,

所以％=-；2.

故答案為：

【點睛】本題主要考查向量的坐標運算和共線向量，考查三點共線，意在考查學生對這些知識的理

解掌握水平.

12.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點4(l,"),B(2,b),且

2

cos2a=y,則|"耳=.

【答案】咚

【解析】由COS2a=|利用二倍角的余弦公式和同角公式可得|tana|=咚，再根據三角函數的定義

^^h=2aS.a=tana,進一步可得的值.

2?

【詳解】因為cos2a=§,所以cos?a-sin2a=§,

cos2?-sin2?2l-tan2?2肝21g、i?,V5

所以一2----------=一，所以.....-=-，所以tan?=-,所以|tana|=J

cosa+sina31+tan'a355

因為tana=q=2,所以6=2。，

12

所以Ia-b|=|"2a|=|a|=|tana|=(.

故答案為：冬

【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了三角函數的定義，屬于基礎題.

二、單選題

13.下列函數中是偶函數的是()

A.y=sin2xB.y=-sinx

C.y=sin|x|D.y=sinx+l

【答案】C

【詳解】A、B是奇函數，D是非奇非偶函數，C符合q—X）=sin|-x|=sinD=/（x）,

，y=sin|x|是偶函數

14.下列四個命題中，正確的個數是（）

①（H）?（很?］）=（,石>,2②零向量垂直于任何向量

③“a/區(qū)”等價于“存在實數2,使得a=2尸④3石>=片.戶

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【分析】對于①，根據平面向量數量積的定義運算可知①不正確：：

對于②，零向量不談垂直問題；

對于③，缺少條件良6;

對于④，03）2=/.廬.852<,石>.

【詳解】對于①，等式左邊=|Z|-IB1COS<1,3>,cos<反不>,

等式右邊=|51-16|?|c|2cos<a,b>,故①不正確；

對于②，零向量的方向是任意的，零向量不談垂直問題，故②不正確；

對于③，“萬/方小#0）”等價于“存在實數4,使得萬=花（辦6）”,故③不正確；

對于④，（。石）2=求.鏟.COS2<G,B>,故④不正確.

故選：A

15.設兩萬為非零向量，則“存在負數2,使得玩=而”是“零向<0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據共線向量和向量數量積的定義依次判斷充分性和必要性即可得到結果.

【詳解】若所，萬為非零向量，且存在負數義，使得而=2萬，則而,萬共線且方向相反，

.-.m-n=An2<0,充分性成立；

當而?萬<0時，流石的夾角可能為鈍角，此時不存在復數2,使得而=/1萬，必要性不成立；

，“存在負數2,使得in=而”是“和?<0”的充分不必要條件.

故選：A.

16.設“8C的內角4鳳C所對的邊分別為瓦。，若6cosc+ccos8=asin/,則/8C的形狀為

()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根據正弦定理把已知等式中的邊轉化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得sin｛的值進而

求得A,判斷出三角形的形狀.

【詳解】VbcosC+ccosB=asinA,

由正弦定理得：sin8cosc+sinCeos8=sin(8+0=sinA-sin2A,

JT

??,sinNwO,...sinZ=l,A=-,故三角形為直角三角形，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，解題的關鍵時利用正弦定理把等式中的邊轉化為角的正

弦，屬于基本知識的考查.

三、解答題

17.已知一嗎；=7,求下列各式的值:

tana-1

sina-3cosa

（1）------------;

sina+cosa

（2）sin2a+sinacosa+2.

【答案】（1）（2）2.6.

tana

【解析】由=-1求出tana=".

tana-12

（1）由s】na-3cosa分子分母同除以8sa求解;

sina+cosa

（2）將sin2a+sinacosa+2,變形為3sin%+s?acos）+2cos2a再分子分母同除以c°s2a求解

sin-a+cosa

【詳解】因為一^^=一1,

tana-1

所以tana=L

2

/八sina-3cosatana-35

（1）=---------r=~";

sma+cosatana+13

（2）sin2a+sinacosa+2,

_3sin2?+sinacosa4-2cos2a

sin2a+cos2a

_3tan2a+tana+2

tan2a+1

31.

一+一+2

-42

4+1

=2.6

18.已知飛機從A地按北偏東30。的方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30。的方向飛行

2000km到達。地，再從C地按西南方向飛行1000J5km到達。地.求D地與A地之間的距離.

【答案】100072km

【分析】作圖后由幾何關系及余弦定理求解.

由題意得"5=8C=2000km,ZABC=60°,所以/C=2000km,

因為N4CD=45。，C。=10000km，

所以/￡>=AC2+CD2-2AC-CDcosZACD=100072>

所以=CO=100072，ZCAD=45°,

。地在A地的南偏東45。，。地距A地1000枚km.

19.已知向量M=(sin2x-l,cosx),ft=(l,2cosx).設函數/(%)=萬

(1)求函數〃x)的解析式并化簡，寫出其最小正周期;

⑵求函數/(x)的單調遞減區(qū)間:

(3)求關于％的方程/(%)=，在區(qū)間

上的解集?

OO

71

【答案】⑴〃x)=^sin[2x+=],最小正周期為兀;

4

.71.5兀..

(2)kn+-,lac+—(左eZ)

OO

1.百萬37r

⑶—arcsin------,————arcsin

23882

【分析】(1)根據數量積坐標運算及三角恒等變換化簡得/")的解析式，再由周期公式求最小正周

期.

JrJr37r

(2)令2版+大42工+:42也+工解得工的范圍即為/3的單調遞減區(qū)間；

242

(3)在xe內解三角方程，用反三角函數表示解集.

OO

【詳解】(1)函數/(工)=展另=sin2x-1+2cos2x=sin2x-1+cos2x+\=y[2sin^2x+,

故函數的周期為2?兀=兀.

2

TTTT371兀5兀

(2)令2〃兀+—<2x+—<24兀+—,ZeZ,得E+—+—,

24288

故函數的單調遞減區(qū)間為[E+2，E+3(kZ).

(3)由f(x)=得sin(2x+：)='

因為xe-,所以2X+；W[0,2TT],

_88J4L」

所以2x+'=arcsin—或2x+色=兀-arcsin—,

4343

故所求解集為‘〈arcsin喙者-garcsin乎].

23oo23I

20.已知向量a=(cosa,sina),否=(cos/7,sin。)，,一q=2^.

(1)求cos(a-/?)的值；

(2)若0<。<—,---</?<0,且sin〃=—二，求sina的值.

2213

【答案】⑴g3(2)3三3.

565

【分析】(1)結合平面向量減法以及模長的坐標公式可得小cosa-cos夕『+(sina-sin夕y=~^~9

進而通過兩邊同時平方以及同角的平方關系以及兩角差的余弦公式的逆用即可求出結果；

(2)結合角范圍以及同角的平方關系求出sin(a-夕)和cos/的值，進而利用兩角和的正弦公式湊角

即可求出結果.

【詳解】(1)因為向量〃=(cosa,sina),i=(cos/?,sin/?),

所以a—5=(cosa-cos夕,sina-sin/?),

又因為卜一目=^^,所以J(cosa-cos/y+(sina-sin夕了=~~^~9

cos2a+cos2p-2cosacosp+sin2a+sin2p-2sinasin0,

47

即2-2cos(a=—,所以cos(a-夕)=—；

(2)因為-y<y9<0,所以0<a-/?<4,

I-------------------4

所以sin(a-Q)=Jl-cos2(a—/)=《,

又因為5山夕=一得，所以cos￡=Jl—sit?夕=￡?

所以sina=sin[(a—/)+夕]=sin(a-4)cos/?+cos(a-4)sinp

4123