2023年江西省九江市九江一中等十校高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷（理科）

2023年江西省九江市十校高考第二次聯(lián)考試卷

數(shù)學(xué)(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合M={x∣log2*<1},集合N={x∣-1<X<1},則MC(CRN)=()

A.(-∞,-l]U[l,2)B.[1,2)C.(-∞,-l)U(l,2)D.(1,2)

2.若復(fù)數(shù)Z=9(i是虛數(shù)單位)的共朝復(fù)數(shù)是￡,則Z-W的虛部是()

ZB-C-D

?-I?I?I?I

3.2022年三九天從農(nóng)歷臘月十八開始計算，也就是2023年1月9日至17日，是我國北方地區(qū)

一年中最冷的時間.如圖是北方某市三九天氣預(yù)報氣溫圖，則下列對這9天判斷錯誤的是()

A.晝夜溫差最大為12°CB.晝夜溫差最小為4°CC.有3天晝夜溫差大于10t>CD.有3天晝夜溫

差小于7。C

4.已知SEe+2cos2∣=p則si"26=()

151533

?BCD

1-6-1-6--4-4-

5.函數(shù)/(χ)="沁≡的部分圖象大致為()

6.在△4BC中，BC=2,AB-AC=8，若。是8C的中點，則40=()

A.IB.3C.4D.5

7.已知函數(shù)/(X)=sin(ωx+φ)(ω>0,∣<p∣<今圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為看將

函數(shù)y=/(X)的圖象向左平移W個單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)/(X)的一個對稱

中心是()

A.(^,0)B.(≡,O)C.(?,O)D.(g,O)

8.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)為1(X),且滿足/(x)>∕'(x)+l,f(0)=2023,則

不等式e-"(x)>e-χ+2022(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集是()

A.(2022,+∞)B.(-∞,2023)C.(0,2022)D.(-∞,0)

9.在銳角AABC中，AB=3,AcosAsinB=1,若BC在AB上的投影長等于△ABC的外接圓

半徑R,貝IJR=()

A.4B.2C.ID.?

10.己知e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是()

A.eπ>πe>3eB.πe>3e>eπC.eπ>3e>e3D.3e>eπ>e3

11.已知正方體4BCD-4IBIGDI的棱長為1，E,尸分別是棱45和棱GDl的中點，G為棱BC

上的動點(不含端點).①三棱錐Dl-EFG的體積為定值；②當(dāng)G為棱BC的中點時，AEFG是

銳角三角形；③△EFG面積的取值范圍是6,孚)；④若異面直線AB與EG所成的角為α,則

sina∈[y,y).以上四個命題中正確命題的個數(shù)為()

A.IB.2C.3D.4

12.已知拋物線C：y2=2pχ的焦點F與雙曲線16M-2y2=1的右焦點重合，斜率為∕c的直

線1與C的兩個交點為4B.若∣4F∣+∣BF∣=4,則k的取值范圍是()

AzVT5、V15??V15.,,√T5、廠V15,,x√15

?-(一8,一一―)U(z―,+∞)B.(f一一—,0n)λU(0λ,—)C.(f-∞,----)λU(―,+∞)D.

??????

(—半,0)U(0,當(dāng))

二、填空題(本大題共4小題，共分)

13.2022年12月18日在卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊以總

分7比5戰(zhàn)勝法國隊，歷時28天的2022卡塔爾世界杯也緩緩落下

了帷幕.隨后某電視臺輪流播放半決賽及以后的這4場足球賽(

如圖)，某人隨機(jī)選3場進(jìn)行觀看，其中恰好總決賽、季軍賽被

選上的概率為.

14.已知O。：x2+y2=4,OC與一條坐標(biāo)軸相切，圓心在

直線X-y+7=0上.若。C與O。相切，則。C的一個方程為：.

15.已知圓錐。。的軸截面為等邊三角形，4ABC是底面。。的內(nèi)接正三角形，點P在DO上,

且P。=λDO.^PA1平面PBC,則實數(shù)4=.

16.著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空

航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)〃X),若數(shù)列｛%l｝滿足%n+ι=%,-給，則稱數(shù)列｛&｝

JKxn)

為牛頓數(shù)列.已知函數(shù)/(X)=X2-I,數(shù)列｛x｝為牛頓數(shù)列，a=In"，且%=1,d>1>

nnχn~l

則。8=?

三、解答題(本大題共7小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

2

17.(本小題12.0分)設(shè)數(shù)列｛｛2?｝的前幾項和為Sn，Sn=n÷n,｛bn｝是等比數(shù)列,b1=α1,

b2=華.(1)求數(shù)列｛arι｝的通項公式；(2)求數(shù)列｛*+%｝的前Zi項和

18.(本小題12.0分)甲、乙兩人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形狀完全相同的3個紅球、

2個黃球和1個藍(lán)球.乙的箱子里放有大小形狀完全相同的X個紅球、y個黃球和Z個藍(lán)球，x+

y+z=6(x,y,z∈N*).現(xiàn)兩人各從自己的箱子里任取一球，規(guī)定同色時乙勝，異色時甲勝.(1)

當(dāng)X=1,y=2,z=3時，求乙勝的概率；(2)若規(guī)定：當(dāng)乙取紅球、黃球和藍(lán)球獲勝的得分

分別是1分、2分和3分，否則得零分，求乙得分均值的最大值，并求此時X,y,Z的值.

19.(本小題12.0分)如圖，在直三棱柱ABC-中，。為上一點，40，平面&BC.(1)

求證：BCIA1B;(2)若40=百，AB=BC=2,P為AC的中點，求二面角4-4IB-P的

余弦值.

20.(本小題12.0分)已知函數(shù)/^(x)=e*+αcosx,其中x>0,α∈R.(I)當(dāng)α=-l時，討論

/(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)在(0,7T)內(nèi)有且僅有一個極值點，求α的取值范圍.

21.(本小題12.0分)已知F「F2為橢圓C：［+y2=1的左右焦點，P為橢圓C上一點.若APFiB

為直角三角形，且|Pa|≥∣P∕72∣?(1)求解的值；(2)若直線I：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交

于4,B兩點，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點N(O,-今，求實數(shù)m的取值范圍.

22.(本小題10.0分)在直角坐標(biāo)系Xoy中，P(0,遍).以坐標(biāo)原點為極點，X軸的非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，已知圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(siMe+3)=12,Fi、F2為C的左、右焦

點，過點&的直線I與曲線C相交于4B兩點.⑴當(dāng)〃/PE時，求I的參數(shù)方程；(2)求MFIIlB&|

的取值范圍.

23.(本小題12.0分)設(shè)函數(shù)/(X)=4x+∣x-α∣,其中αeR.(1)當(dāng)a=6時，求曲線y=∕(x)

與直線4x-y+8=0圍成的三角形的面積；(2)若α<0,且不等式/(x)<2的解集是

(-∞,-3),求α的值.

答案

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】A

IL【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】?

14.【答案】(X+4)2+(y-3)2=9或(X-8)2+(y-15)2=225或(X+3)2+(y-4)2=9或(X+

15)2+(y+8)2=225,一個圓的方程即可.

15.【答案】造

6

16.【答案】128

22

17.【答案】解：(1)VSn=n+九，.,?當(dāng)九=1時,α1=S1=2,當(dāng)九≥2時，Snτ=(n-I)+(n-1),

as22

n=n~SnT=∏+∏~[(∏-I)+(∏-1)]=2∏,當(dāng)幾=1時，%=2符合題意，故數(shù)列｛αn｝的

通項公式為Qn=2n；(2)由(1)得a71=2n,則g=4,二瓦=%=2,尻=毀^=4,在等比數(shù)列

jl

｛bn｝中,公比q=.=2,.?.%=2%.??-+/=島j+2==-高+2%.?.數(shù)列｛,+b列的前

n項和7；=（l-∣+i-^+...+i-4τ）+2+22+...+2n=1-?+?zp=+2"+1^2?

“'223nn+rn+11—2n+1

【解析】（1）利用數(shù)列的遞推式，即可得出答案；（2）由（1）得αn=2n,則<?=4,求出%=2%

則2+%=e+2"=；-?福+2"，利用分組求和法，即可得出答案?本題考查等差數(shù)列和等

比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）同色時乙勝，同為紅色：甲取紅球且乙取紅球：^×i=?,同為黃色：甲取

DOIZ

黃球且乙取黃球：∣×∣=i,同為藍(lán)色：甲取藍(lán)球且乙取藍(lán)球：i×l=?所以乙勝的概率為今+

裊白=曲（2）得分均值等于每種顏色的獲勝概率乘以對應(yīng)分?jǐn)?shù)，再求和，即［χ［χl+舐XX

?fIZIoboDO

2+lz3=3z±g+3￡)因為χ+y+z=6(x,y,z6N?),所以當(dāng)及=3(x+貨)+y=嚕,

6636363636

所以當(dāng)y最大時,均值最大,x,z的最小值為1,所以y最大為4,所以乙得分均值的最大值為粵=?,

OOIo

此時X=1,y=4,Z=I.

【解析】（1）同色時乙勝，則計算3種顏色分別相同的概率，求和即可；（2）得分均值等于每種顏色

的獲勝概率乘以對應(yīng)分?jǐn)?shù)，再求和，即竺誓￡,再結(jié)合χ+y+z=6（x,y,zCN*）求解即可.本

?o

題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了均值的求法，屬于中檔題.

19.【答案】（1）證明：???三棱柱ABC-4當(dāng)6為直三棱柱,

.?.A1A1平面力BC,乂BCU平面力BC,.?.A1A1BC,■：AD1

平面AiBC,且BCU平面力ιBC,.?.401BC.^5LAA1U平面

s

A1AB,AD<∑Y-^A1AB,A1AΩAD=A,.-.BCL^-^A1AB,

又AlBU平面&BC,.?.BC1（2）解：由⑴知BC1平

面48<=平面4遇8,從而BCIAB,如圖，以B為原

點建立空間直角坐標(biāo)系8-孫z,?.?40，平面&BC,其垂

足。落在直線AlIB上，［40141B.在RtAABD中，AD=

√3.AB=2,Sin乙4BD=愛=爭/.ABD=60%在直三棱柱ABC-AlBlG中,A1ALAB.在

o

RtA1<V,AA1=AB-tan60=2√3.則B(0,0,0),4(0,2,0),C(2,0,0),P(1,1,O),Λ1(0,2,2√3),

前=(1,1,0)，西=(0,2,2√5),BC=(2,0,0).設(shè)平面P&B的一個法向量本=(x,y,z),則

∏7?sp=orx+y=O

lilll2y+2√3z=0,得元=(3,-3,6)，平面4hB的一個法向量為芯=近=

法?西=o'

(2。0)，則c。S何同=磊=苧，，二面角八七Br平面角的余弦值是亨.

【解析】(1)由已知得1平面ABC,Λ1Λ1BC,AD1BC.由此能證明BC，4中.(2)由(1)知BC1

平面A√1B,從而BCIAB,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系B-Xyz,利用向量法能求出二面角A-

AB-P的平面角的余弦值.本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法，解題時

7t

-√2eT>故當(dāng)α>1或α≤-e時,y=α與y=g(x)在(0,今U6,乃)內(nèi)有唯一交點(x1,a),(x2>α)>

當(dāng)X<Xi附近，ɑ>忘？∕H(X)<0,當(dāng)x>%ι附近，α<益哀，∕,,(x)>0,故XI是/'(x)在(0,Tr)內(nèi)

的唯一極小值點，同理X2是/'O)在(OM)內(nèi)的唯一極大值點，故a的取值范圍為(-8,-e7r)U[l,

+8).

【解析】(1)代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(2)先對

函數(shù)求導(dǎo)，求出無≠泄，a=焉F構(gòu)造函數(shù)g(x)=WpX≠p對g(x)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析g(x)

的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)極值存在條件可求.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的

應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

21.【答案】解:(1)由橢圓的方程：/+y2=1可得a=√2,h=1,所以C=Va2—b2=√2—1=1,

即b=c,所以以F1F2為直徑的圓與橢圓只有兩個交點，即橢圓的上下頂點，因為仍&|≥∣PFz∣,

所以只有40PF2或NPF2&為直角，當(dāng)/&PF2為直角時，即IPFll=IPF2I,這時篇=1；當(dāng)他丘

則即|=[=強(qiáng)所以IP&I=2α-IPBI=2√Σ-a=苧，所以隔=±=3；

為直角時,

綜上所述：息=1或隔=3；(2)設(shè)AcWl)B(X2,丫2)，聯(lián)立I%：，):整理可得：U

2∕c2)x2+4fcmx+2m2—2=0,Δ=16k2m2—4(1+2k2}(2mz-2)>0,可得τ∏2V1+2k2,

且Xl+%2=—聾p%+丫2=似打+刀2)+2加=三級+2771=溪r所以4B的中點

m+1

Ξ

一普土,博R,由題意可得岫N=?Γ=一右整理可得：1+21=2m,代入m2<1+21

l+2fc2

可得m?-2m<0,解得0<τn<2,即?n的范圍為（0,2）.

【解析】（1）由橢圓的方程可得α,b的值，進(jìn)而求出C的值，可得以RF?為直徑的圓與橢圓只有兩

個交點，因為AP&F2為直角三角形，且∣PF∕≥∣PF2∣,所以可能NFIPF2或4PF2&為直角，分別

求出這兩種情況時的IPFlI,∣PF2∣的大小，進(jìn)而求出所求的代數(shù)式的值；（2）聯(lián)立直線1的方程與橢

圓的方程，判別式大于0,可得k,根的關(guān)系，求出兩根之和，進(jìn)而求出AB的中點D的坐標(biāo)，進(jìn)而

求出DN的斜率，由題意可得匕小的關(guān)系，代入判別式大于0的代數(shù)式中，可得Tn的范圍.本題考

查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，分類討論的思想，屬于中檔題.

X=ρcosθ

22.【答案】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為p2（siM0+3）=12,根據(jù)｛y=psinθ轉(zhuǎn)換為直

X2+y2=p2

角坐標(biāo)方程為[+1=1;故Fι（-l,0）,F2（1,0）,由于P（0,√5）,所以kpF]=-百，故直線PFI的

（x=-1-/

傾斜角為120。；故經(jīng)過點Fl的直線的參數(shù)方程為162（t為參數(shù)）.（2）把直線，的參數(shù)

c0sθt22

方程｛；≡lhτθt?為參數(shù)）代入3+[=1，得到（3皿2。+4sinΘ）t-6cosa—9=0；

_q_